二次函数面积最大值

二次函数的最大值与最小值在数学的世界中，函数是关系，它都是把输入值映射到另一个值的方法。

其中，二次函数是最重要的一类函数之一，广泛应用于数学、物理、统计学、经济学和其他领域。

本文将主要讨论二次函数的最大值与最小值问题。

首先，让我们来了解一下什么是二次函数。

二次函数是一类函数的简称，也就是满足如下形式的函数：y = ax + bx + c其中a、b、c为常数。

最重要的是，当a不等于0时，它是一个平方函数，如果a等于0，它就变成一个一次函数。

若a>0，函数图像开口向上；若a<0，函数图像开口向下。

接下来，让我们来讨论二次函数的最大值与最小值问题。

无论是最大值还是最小值，它们都是依靠函数的极值点来求得的。

通常，要找到极值点，首先需要求出函数的导数，然后将求出来的导数等于零，极值点就在d/dx=0的位置。

在二次函数y=ax+bx+c中，它的导数为：dy/dx = 2ax + b设dy/dx=0，可解得：2ax+b=0=>x = -b/2a将x的值代入二次函数中，可得：y = f(-b/2a)这里的y即为二次函数的极值点，也就是最大值或最小值，具体取决于二次函数的系数a的正负值，若a>0，极值点即为最小值；若a<0，极值点即为最大值。

有了极值点，我们就可以求得二次函数的最大值与最小值，比如有这样一个二次函数：y = 6x + 8x + 10它的导数为：dy/dx = 12x + 8将其等于零，可求出极值点的位置：=>12x + 8 = 0=>x = -8/12即极值点的位置为x = -2/3。

将x = -2/3代入原函数中，可求得极值：y = 6(-2/3) + 8(-2/3) + 10=>y = 10 - 8/3=>y = 10 - 2.66667=>y = 7.33333故二次函数y = 6x + 8x + 10的极小值y = 7.33333。

二次函数求三角形面积最大值的典型题目篇一：哎呀呀，说到二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我头疼了好一阵子呢！就比如说有这么一道题：在平面直角坐标系中，有一个二次函数图像，然后给了一堆点的坐标，让咱们求由这些点构成的三角形面积的最大值。

这可咋整？我一开始看到这题，那真是脑袋都大了！心里就想：“这啥呀？怎么这么难！”我瞪大眼睛，死死地盯着题目，手里的笔都快被我捏出汗来了。

我同桌小明呢，他倒是挺自信，还跟我说：“这有啥难的，看我的！”我心里暗暗不服气，哼，你就吹吧！然后老师开始讲题啦，老师说：“同学们，咱们得先找到这个二次函数的顶点坐标，这就好比是找到宝藏的钥匙！”我一听，宝藏？这比喻还挺有意思的。

老师接着说：“然后再看看那些给定的点，能不能通过一些巧妙的方法把三角形的面积表示出来。

”我就在那拼命点头，好像听懂了，其实心里还是有点迷糊。

我扭头看看后面的学霸小红，她一脸轻松，好像这题对她来说就是小菜一碟。

我忍不住问她：“小红，你咋这么厉害，这题你都懂啦？”小红笑了笑说：“多做几道类似的题，你也能懂！”我又埋头苦想，想着要是能像玩游戏一样，一下子就找到解题的秘诀该多好啊！经过一番折腾，我终于有点明白了。

原来求这个三角形面积最大值，就像是爬山，得找到那个最高的山峰，而我们要找的就是能让面积最大的那个点或者那条线。

你说，数学咋就这么难呢？但我就不信我搞不定它！我一定要把这些难题都攻克下来，让数学成为我的强项！总之，我觉得做这种二次函数求三角形面积最大值的题目，虽然过程很艰难，但只要我们不放弃，多思考，多练习，就一定能找到解题的窍门，取得胜利！篇二：哎呀！说起二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我又爱又恨呀！有一次上课，数学老师在黑板上出了一道这样的题：已知一个二次函数图像，还有三角形的三个顶点坐标都在这个函数图像上，让我们求三角形面积的最大值。

当时我一看，脑袋就嗡嗡响，这啥呀？我就开始在草稿纸上乱画，心里想着：“这咋这么难呢？”同桌小明凑过来，瞅了瞅我的草稿纸，说：“你这算的啥呀，思路都不对！”我瞪了他一眼，回道：“那你行你上啊！”然后我俩就你一句我一句地争论起来。

二次函数中的最大值怎么算二次函数在数学中具有重要的地位，它是一种常见的二次方程形式，通常表示为y=ax2+bx+c，其中 a、b、c 是常数且 a 不等于 0。

在二次函数中，最大值是一个关键的概念，它代表着函数图像的顶点或峰值，也被称为顶点。

通过一定的方法和技巧，我们可以计算二次函数的最大值。

定义在二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c 分别表示二次项、一次项和常数项的系数，其中 a 不等于 0。

最大值出现在顶点处，也就是函数图像的最高点或最低点，当 a 大于 0 时，最大值在顶点上方，当 a 小于 0 时，最大值在顶点下方。

求解方法步骤一：找出顶点横坐标顶点横坐标可以通过公式 $x = -\\frac{b}{2a}$ 直接计算得出，在二次函数中，即 $x = -\\frac{b}{2a}$。

步骤二：计算顶点纵坐标将顶点横坐标代入二次函数y=ax2+bx+c中，即可求解顶点的纵坐标，计算公式为 $y = a\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)^2 + b\\left(-\\frac{b}{2a}\\right) + c$。

步骤三：计算最大值最大值即为顶点的纵坐标，通过上述步骤求解出顶点的纵坐标后，即可得到二次函数的最大值。

示例假设有二次函数y=2x2+4x−3，我们按照上述步骤计算：步骤一计算顶点横坐标 $x = -\\frac{4}{2*2} = -1$。

步骤二将顶点横坐标代入二次函数得到顶点纵坐标：y=2∗(−1)2+4∗(−1)−3=2−4−3=−5。

所以，顶点坐标为 (-1, -5)。

步骤三最大值即为顶点的纵坐标，因此最大值为 -5。

通过上述计算，我们得知二次函数y=2x2+4x−3的最大值为 -5。

结论二次函数中的最大值可以通过计算顶点的方法来求解，顶点即为最大值的位置。

通过数学计算，我们可以精确地求解出二次函数的最大值，这在实际问题中具有重要的应用价值。

以上是关于二次函数中最大值的计算方法，希望对您有所帮助。

面积最大值问题1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B （4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC 的最大面积．2. 如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x 轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．3. 如图，二次函数y=ax 2+2x+c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求该二次函数的表达式;（2）过点A 的直线AD ∥BC 且交抛物线于另一点D ，求直线AD 的函数表达式;（3）在（2）的条件下，请解答问题： 动点M 以每秒1个单位的速度沿线段AD 从点A 向点D 运动，同时，动点N 以每秒个单位的速度沿线段DB 从点D 向点B 运动，问：在运动过程中，当运动时间t 为何值时，△DMN 的面积最大，并求出这个最大值．4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标； （2）点D 的坐标为（0，4），点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ．求S 的最大值；5. 如图，已知二次函数y=ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+ x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．6.如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．（1）求直线AB和抛物线的解析式．（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．7.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的一个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求△PCE面积最大时P点的坐标；8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；①求S与t的函数关系式；②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？9.如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y 1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称．（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式;（2）过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标;（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，二次函数y＝x2－4x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.、(备用图)（1）求点A，点B和点D的坐标；（2）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时另一个动点N从点D出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，∆MNB的面积最大，试求出最大面积．11.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y 轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；12.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B 两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；13.已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx的图象经过点A（﹣1，4），交x轴于点B（a，0）．（1）求a与b的值；（2）如图1，点M为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABM 面积的最大值及此时点M的坐标；14.如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知经过B、C两点的直线的表达式为y＝－x＋3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P(m，0)是线段OB上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC 于D，交抛物线于E，EF∥x轴，交直线BC于F，DG∥x轴，FG∥y轴，DG与FG交于点G．设四边形DEFG的面积为S，当m为何值时S最大，最大值是多少？15.如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M 从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；16.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；。

二次函数求面积最大值二次函数是高中数学中比较重要的一章内容，它在数学和物理中都有广泛的应用。

其中，求二次函数的最值是一个常见的问题，而二次函数求面积最大值也是其中一个重要的应用。

一、二次函数的基本概念二次函数是形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, c-b/4a)。

二、二次函数求面积最大值的问题对于给定的二次函数y=ax+bx+c，我们要求其在区间[a, b]上的面积最大值。

这个问题可以转化为求y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值，然后再利用定积分求解。

三、求二次函数的最值我们知道，二次函数的最值只可能出现在其顶点处，因此我们可以先求出二次函数的顶点坐标，然后再判断其是否在区间[a, b]内。

对于y=ax+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, c-b/4a)。

如果顶点坐标不在区间[a, b]内，则最值出现在区间端点处，即y(a)和y(b)中的较大值。

四、利用定积分求解面积最大值已知y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值，我们可以利用定积分求解其面积最大值。

设y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值分别为y1和y2，则其面积最大值为∫[a, b] (y1-y2)dx。

五、例题解析下面通过一个例题来说明如何利用二次函数求面积最大值。

例1：求函数y=-x+4x+5在区间[0, 4]上的面积最大值。

首先，求出该函数的顶点坐标：x0 = -b/2a = -4/(-2) = 2y0 = -x0+4x0+5 = -4+8+5 = 9因为顶点坐标(2, 9)在区间[0, 4]内，所以函数的最值为y(2)=9。

然后，利用定积分求解面积最大值：∫[0, 4] (y(2)-y)dx = ∫[0, 4] (9+x-4x)dx = 20/3因此，函数y=-x+4x+5在区间[0, 4]上的面积最大值为20/3。

二次函数求最大值和最小值公式二次函数可谓是数学中一道亮丽的风景线，它的形状就像一个微笑的弧线，真是让人忍不住想要靠近。

说到二次函数，大家肯定会想到它的标准形式：(y = ax^2 + bx + c)。

这里的(a)、(b)、(c)可不是随便哪个数字，它们各有各的职责。

(a)的正负直接决定了这个函数是朝上开口，还是朝下开口，嘿，要是开口向上，那就代表着有最小值，反之，则是最大值。

简直就像人生中的起伏，时而高歌猛进，时而低沉无奈，谁知道呢！如果你想要找出二次函数的最大值或最小值，咱们得先搞清楚一个关键点，那就是顶点的坐标。

听起来很高大上，但其实就是一个简单的公式。

顶点的横坐标(x)可以通过公式(frac{b{2a)来算出来。

是不是很神奇？就像魔法一样！而得到顶点的纵坐标(y)，只需要把这个(x)的值代入原方程，简单粗暴又有效率。

这时候，运气好的话，你可能就会发现，哇，原来我的最大值或最小值就在这儿等着我，简直是惊喜连连！大家可能会问，哎，那究竟怎么判断最大值和最小值呢？咱们可以通过看看(a)的符号来决定。

如果(a)大于零，那顶点就是最小值，听着是不是感觉有点像寻找人生的目标？而如果(a)小于零，嘿，那顶点就是最大的高峰了！这就像生活中的大起大落，让人又爱又恨。

记得有次我看到一位朋友，满脸愁苦地说他的成绩像过山车一样，时高时低。

说到这，我就想起了二次函数，真是应验了生活的哲理。

想象一下，咱们站在一个无边无际的草原上，远处有一座小山丘，山顶就是二次函数的顶点。

为了找到最高或最低的点，我们必须先了解这座山的“主人”——系数(a)的个性。

如果它温柔可人，那就是让我们安心的最低点；如果它桀骜不驯，那我们就得小心它的最高点可能在何方。

人生不也如此吗？我们总是在寻找那个“山顶”，只不过是经历了一番波折。

咱们在计算的时候，不要着急，慢慢来。

每一步都要走稳，记得保持耐心，尤其是在代入公式的时候。

计算时就像是在烹饪一道美食，调料得恰到好处，才能做出美味的佳肴。

432y 2+-=x x 1221y 2++-=x x =max y 21ah S ABC 21=∆专题一：二次函数与面积问题------类型1：三角形面积的最大值一、知识点睛1.点P 是抛物线 上一动点。

若设点P 的横坐标为m ，则点P 的纵坐标可表示为： ，∴点P 的坐标可表示为：2.如右图，AB ∥x 轴，BC ∥y 轴。

则线段BC= ，AB=故：“竖直方向”上的线段长 = —“水平方向”上的线段长 = —3.二次函数的一般式为： ，顶点式为： 例如：将 化为顶点式为： ，开口向 ，顶点坐标： ∴当x= 时，二、铅垂法（割补求面积） 坐标系中三角形面积公式：S= •一点引铅垂线段的长•另两点的水平宽锐角三角形中过点C 引的铅垂线 钝角三角形中过点C 引的铅垂线锐角三角形中过点B 引的铅垂线 ah S ABC 21=∆ 铅垂法的优点： 1.任何一点引铅垂线都可以 2.任何形状的三角形都适用 3.与三角形在第几象限无关 4.与三角形在不在坐标系无关 ah S ABC 21=∆三、典例讲解例1.已知二次函数62343y 2++-=x x 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 。

点P 是第一象限抛物线上一动点。

连结BC ，BP 和CP 。

当△BCP 面积最大时，求P 点坐标。

四、小试牛刀例2.如图，已知抛物线经过两点A(-3,0)，B(0,3)且其对称轴为直线x= -1（1）求此抛物线的解析式（2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A 点B ）求△PAB 的面积最大值，并求出此时点P 的坐标。

五、能力提升1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线34383y 2--=x x 与x 轴交于点A(-2,0)，B(4,0)，与直线323y -=x 交于点C(0,-3)，直线323y -=x 与x 轴交于点D ，点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD 。

当△PCD 面积最大时，求点P 坐标.2. 如图，已知抛物线c bx ++-=2x y 过(1,4)与(4,-5)两点，且与一直线1x y +=相交于A,C 两点，(1)求该抛物线解析式.(2)求A,C 两点的坐标.(3)若P 是抛物线上位于直线AC.上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值.B C A O M N xy3.如图，抛物线经过A (-1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B 、C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接MB 、MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及最大面积；若不存在，说明理由．4.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A (0, 4), B(1, 0), C(5, 0),其对称轴与x 轴相交于点M.（1）求抛物线的解析式和对称轴.（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.（3）连接AC,在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N,使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标:若不存在，请说明理由.。

2022年九年级中考数学专题复习讲义二次函数中的最值问题（线段和面积最值）二次函数中的最值问题问题背景：在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求二次函数的表达式；一、线段最值问题：（2）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N，求出线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；思考：此时还能通过几何构图确定动点位置，从而计算相应的MN的最值吗？（3）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N，作ME∥AC于点E，求∥MEN周长的最大值，并求出此时点M的坐标；思考：由动点M生成动点N，E，∥MEN三边长虽然均为变量，但它们之间有怎样的数量关系？变式：∥MEN的面积有最大值，求出其最大值.（4）如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，连接OM与AC交于点F，求MF的最大值；FO思考：MF与OF是斜线段，它们的长度好表示吗？变式：如图，点M 为直线AC 上方抛物线上一动点，连接OM 与AC 交于点F ，当23MF FO 时，求此时点M 的坐标；（5）如图，连接BC ，点P 为直线AC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PQ ∥y轴交AC线段于点Q，过点Q作QG∥BC交x轴于点G，求PQ 的最大值及此时点P的坐标（6）如图，点P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AC于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，求PD＋PE的最大值及此时点P的坐标；二、面积最值问题 用铅垂法表示三角形面积的计算公式为：12S =⨯⨯铅垂高水平宽（7）点M 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点M ，使∥ACM 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（8）点M 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点M ，使S ∥ACM ＝15？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（9）点P是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在异于P点的点Q，使S∥ACQ＝S∥ACP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；提示：方法1，代数思想——利用铅垂法分类表示出三角形面积，建立等量关系求解；方法2，几何思想——通过辅助线构造等底等高的三角形确定出动点的位置后再进行计算.（平行线转化面积）。

二次函数几何动点问题（含解析）一、面积最大值问题1.（2020九上·休宁月考）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，求的最大面积．2.（2021·芜湖模拟）如图，抛物线与直线相交于点，，且这条抛物线的对称轴为．（1）若将该抛物线平移使其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值：（2）设P为直线下方的抛物线上一点，求面积的最大值及此时P点的坐标．3.（2020九上·寻乌期末）已知二次函数的图象的对称轴是直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是．（1）请在平面直角坐标系内画出示意图，并根据图象直接写出时x的取值范围；（2）求此图象所对应的函数关系式；（3）若点P是此二次函数图象上位于x轴上方的一个动点，求面积的最大值．4.（2020九上·瑶海月考）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（-1，0），且对称轴为直线x=1（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第四象限内抛物线上的一点，当△BCM的面积最大时，求点M的坐标；5.（2020·洞头模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．6.（2020九上·山亭期末）己知:如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点，（1）求抛物线解析式:（2）当点运动到什么位置时，的面积最大?7.（2020九上·旬阳期末）已知抛物线经过点，，与y轴交于点C.（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值.8.（2020九上·永年期末）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当C为抛物线顶点的时候，求的面积.（3）是否存在这样的点P，使的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.二、等腰三角形问题9.（2020九上·呼和浩特期中）如图，抛物线y= +bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B 两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并予证明．（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10.（2020·肇东模拟）如图，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）．求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．三、直角三角形问题11.（2020九下·扎鲁特旗月考）如图，二次函数的图象经过点，直线与y轴交于点为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E是直线上方抛物线上一点，过E分别作和y轴的垂线，交直线于不同的两点在G的左侧)，求周长的最大值；（3）是否存在点E，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．12.（2020九上·芦淞期末）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．①求△PCD的面积的最大值；②是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．13.（2020九上·泉州期中）如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．四、平行四边形问题14.（2019九上·武威期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D.（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.15.（2020九上·广丰期末）如图二次函数的图像交轴于、，交轴于，直线平行于周，与抛物线另一个交点为.（1）求函数的解析式；（2）若是轴上的动点，是抛物线上的动点，求使以、、、为顶点的四边形是平行四边形的的横坐标.16.（2020九上·桐城期末）已知直线y＝kx＋b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y＝x2相交于B、C两点．（1）如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）设，把A点坐标代入得：，∴二次函数的解析式是（2），轴，P在上，∴，∵点，∴直线OA的解析式为y=x，又点C在直线OA上，∴点C（m，m）当点P在直线OA的上方时，，，，，开口向下，当m= 时，PC有最大值，即当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．（3）∵A点坐标，且PC有最大值，∴．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由题意可知，易求得直线OA 的解析式，可得点，由= ，利用二次函数最值求法求解即可；（3）根据点A坐标和PC的最大值即可求解．2.【答案】（1）解：抛物线过点，，且这条抛物线的对称轴为．代入得，解得．∴抛物线为．∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，∴平移后的抛物线为．将代入得．（2）解：如图，过P作轴，交于Q．设，则，则．∴．∵∴当时，的面积最大，，当t=2时，∴．【解析】【分析】利用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数式的解析式。