《空间中直线与直线的位置关系》习题资料

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1.A 如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH ，MN 是异面直线的图形的序号为( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④2.A 如图，已知AA'，BB'，CC'不共面，且AA'∥BB'，AA'=BB'，BB'∥CC'，BB'=CC'． 求证：△ABC ≌△A'B'C'．3.B 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，11BB =，P 是AB 的中点， 则异面直线1BC 与PD 所成角等于( )A.o 30B. o 45C. o 60D. o 904.B 平面α平面,,,a b b a A c βαβ=⊂=⊂且c ∥a ，求证：b 、c 是异面直线．④ ③ ② ①金题精讲1.B 如图所示，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为_______.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系参考答案1.D.2.∵AA'∥BB'，AA'=BB'，∴AA' B'B 为平行四边形，∵BB'∥CC'，BB'=CC'，∴BB' C'C 为平行四边形，∴AB ∥A'B'，AB =A'B'，BC ∥B'C'，BC =B'C'，由等角定理易知∠ABC =∠A'B'C'，在△ABC 和△A'B'C'中，AB =A'B'，∠ABC =∠A'B'C'，BC =B'C'，∴△ABC ≌△A'B'C'，结论得证.3.C.4.若b 、c 不是异面直线，则b 、c 共面，则直线b 与直线c 平行或相交，由题易知c ∥a ，b a A =，故直线b 与直线c 不平行，若直线b 与直线c 相交，交点为B ，则B c ∈，所以B β∈，由题易知a β⊂，A a ∈，所以A β∈，所以直线AB β⊂，又因为A b ∈，B b ∈， 所以直线AB 即为直线b ， 则b β⊂，与条件矛盾，所以b 、c 是异面直线，结论得证.金题精讲1.60°。

空间中直线与直线之间的位置关系[学习目标]1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.知识点一空间中两条直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线.要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行.②不能误认为分别在不同平面的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线.(2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线.(3)判断方法方法容定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面定理法过平面外一点与平面一点的直线和平面不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线2.空间中两条直线位置关系的分类(1)按两条直线是否共面分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)按两条直线是否有公共点分类 ⎩⎪⎨⎪⎧有且仅有一个公共点——相交直线无公共点⎩⎨⎧平行直线异面直线思考 (1)分别在两个平面的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号语言⎭⎬⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b图形语言知识点三 空间等角定理 1.定理文字语言 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 符号语言OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′⇒∠AOB ＝∠A ′O ′B ′或∠AOB ＋∠A ′O ′B ′＝180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？答不一定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.异面直线所成的角θ的取值围：0°＜θ≤90°.3.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.4.异面直线所成的角的两种求法(1)在空间任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图).题型一空间两条直线的位置关系的判定例1 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案 D解析 可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′所在直线为a ，AB 所在直线为b ，已知a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则c 可以是长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中的B ′C ′，CC ′，DD ′.故a 和c 可以平行、相交或异面.跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； (2)直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； (3)直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； (4)直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________. 答案 (1)平行 (2)异面 (2)相交 (4)异面 解析 序号 结论 理由(1) 平行 因为A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，所以A 1B ∥D 1C(2) 异面 A 1B 与B 1C 不同在任何一个平面(3) 相交 D 1D ∩D 1C ＝D 1(4) 异面AB 与B 1C 不同在任何一个平面题型二 公理4、等角定理的应用例2E ，F 分别是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，C 1C 的中点，求证：四边形B 1EDF 是平行四边形.证明 设Q 是DD 1的中点， 连接EQ ，QC 1. 因为E 是AA 1的中点， 所以11//D A EQ .又因为在矩形A 1B 1C 1D 1中，1111//C B D A ，所以11//C B EQ .所以四边形EQC 1B 1为平行四边形.所以Q C E B 11//. 又因为Q ，F 分别是矩形DD 1C 1C 两边D 1D ，C 1C 的中点， 所以F C QD 1//.所以四边形DQC 1F 为平行四边形. 所以FD Q C //1.又因为Q C E B 11//，所以FD E B //1. 所以四边形B 1EDF 为平行四边形.跟踪训练2如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD . 证明 (1)在△ABD 中， ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH ∥BD .同理FG ∥BD ，则EH ∥FG . 故E ，F ，G ，H 四点共面. (2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH . 又∵四边形EFGH 是矩形， ∴EH ⊥GH .故AC ⊥BD .题型三 异面直线所成的角例3 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角. 解 如图，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ，所以EG ∥CD ，GF ∥AB ，且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF .所以∠EGF ＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形.所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.跟踪训练3 空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小.解 取AC 的中点G ，连接EG ，FG ， 则EG //12AB ，GF //12CD .故直线GE ，EF 所成的锐角即为AB 与EF 所成的角， 直线GE ，GF 所成的锐角即为AB 与CD 所成的角. ∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°. 由AB ＝CD ，知EG ＝FG ，∴△EFG 为等腰三角形. 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°. 故EF 与AB 所成的角为15°或75°.转化与化归思想例5 在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2a ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3a ，求异面直线AD ，BC 所成的角.分析 要求异面直线AD ，BC 所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD ，BC 平移至一个三角形中.此题已知E ，F 分别为AB ，CD 的中点，故可寻找一边中点，如BD 的中点M ，则∠EMF (或其补角)为所求角.解 如图，取BD 的中点M .由题意，知EM 为△BAD 的中位线， 所以EM ∥AD 且EM ＝12AD .同理，MF ∥BC 且MF ＝12BC .所以EM ＝a ，MF ＝a ，且∠EMF (或其补角)为所求角. 在等腰△MEF 中，取EF 的中点N ， 连接MN ，则MN ⊥EF . 又因为EF ＝3a ， 所以EN ＝32a .故有sin ∠EMN ＝EN EM ＝32. 所以∠EMN ＝60°，所以∠EMF ＝2∠EMN ＝120°. 因为∠EMF ＝120°＞90°，所以AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角， 即AD 和BC 所成的角为60°.反证法的合理应用例6 如图，三棱锥P －ABC 中，E 是PC 上异于点P 的点.求证：AE 与PB 是异面直线.分析 利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面中的“任何”开始入手，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE与PB不是异面直线，设AE与PB都在平面α，因为P∈α，E∈α，所以PE⊂α.又因为C∈PE，所以C∈α.所以点P，A，B，C都在平面α.这与P，A，B，C不共面(P－ABC是三棱锥)矛盾.于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条4.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________.(填序号)5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.一、选择题1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面2.已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于()A.60°B.120°C.30°D.60°或120°3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°4.下面四种说法：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.15.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12，则过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为()A.10B.20C.8D.47.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°二、填空题8.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.9.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________.10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为______.三、解答题11.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA ＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.12.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.当堂检测答案1.答案 D解析 若直线a 和b 共面，则由题意可知a ∥b ；若a 和b 不共面，则由题意可知a 与b 是异面直线.2.答案 B解析 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1与BC 是异面直线，又AA 1∥BB 1，AA 1∥DD 1，显然BB 1∩BC ＝B ，DD 1与BC 是异面直线，故选B.3.答案 A解析 我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P 作直线l ′∥l ，以l ′为轴，与l ′成30°角的圆锥面的所有母线都与l 成30°角.4.答案 ②④解析 ①中，∵G ，M 是中点，∴AG 綊BM ，∴GM 綊AB 綊HN ，∴GH ∥MN ，即G ，H ，M ，N 四点共面；②中，∵H ，G ，N 三点共面，且都在平面HGN ，而点M 显然不在平面HGN ，∴H ，G ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面；③中，∵G ，M 是中点，∴GM 綊12CD ，∴GM 綊12HN ，即GMNH 是梯形，则HG ，MN 必相交，∴H ，G ，M ，N 四点共面；④中，同②，G ，H ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面.5.答案 13 解析 设棱长为1，因为A 1B 1∥C 1D 1，所以∠AED 1就是异面直线AE 与A 1B 1所成的角.在△AED 1中，cos ∠AED 1＝D 1E AE ＝1232＝13.课时精练答案一、选择题1.答案 D解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).2.答案 D解析 由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.3.答案 B解析 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1∥CC 1，故∠B 1BA 1就是异面直线BA 1与CC 1所成的角，故为45°.4.答案 D解析 若a 、b 异面，b 、c 异面，则a 、c 相交、平行、异面均有可能，故①不对.若a 、b 相交，b 、c 相交，则a 、c 相交、平行、异面均有可能，故②不对.若a ⊥b ，b ⊥c ，则a 、c 平行、相交、异面均有可能，故④不对.③正确.5.答案 D解析 如图，因为BD ⊥AC ，且BD ＝AC ，又因为E ，F ，G ，H 分别为对应边的中点，所以FG //EH //12BD ，HG //EF //12AC .所以FG ⊥HG ，且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形.6.答案 B解析 设截面四边形为EFGH ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴EF ＝GH ＝12AC ＝4，FG ＝HE ＝12BD ＝6，∴周长为2×(4＋6)＝20. 7.答案 C解析 由于CC 1与B 1E 都在平面C 1B 1BC ，故C 1C 与B 1E 是共面的，所以A 错误；由于C 1C 在平面C 1B 1BC ，而AE 与平面C 1B 1BC 相交于E 点，点E 不在C 1C 上，故C 1C 与AE 是异面直线，B 错误；同理AE 与B 1C 1是异面直线，C 正确；而AE 与B 1C 1所成的角就是AE 与BC 所成的角，E 为BC 中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，D 错误.综上所述，故选C.二、填空题8.答案 8解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD 是平面图形，4条边在同一平面，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.9.答案 ①③解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确.10.答案 60°解析 连接BC 1，A 1C 1，∵BC 1∥AD 1，∴异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角.在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，∴∠A 1BC 1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.三、解答题11.解取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，∴BE＝52.在Rt△AEF中，AF＝12AC＝12，AE＝12，∴EF＝22.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，∴BF＝52.在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010.12.(1)证明因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又因为CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥DB.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面.(2)解当且仅当EH∥FG，EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形. 因为EHBD＝AEAE＋EB＝mm＋1，所以EH＝mm＋1BD.同理FG＝nn＋1BD，由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形. (3)证明当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC.又因为AC⊥BD，而∠FEH是AC与BD所成的角，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.。

课后导练基础达标1两条异面直线的公垂线指的是（）A.和两条异面直线都垂直的直线B.和两条异面直线都垂直相交的直线C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段D.和两条异面直线都垂直的所有直线解析：两异面直线的公垂线必须满足两个条件：（1）与两异面直线都垂直；（2）都相交. 答案：B2两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交，则直线a、b的位置关系是（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线解析：a与b可能异面〔图①〕也可能相交〔图②〕.答案：D3一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.相交或异面解析：已知a与b异面，a∥l,则l与b相交或异面（如图）.答案：D4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是…（）A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析：如图正方体中：AB与BC相交；AB与CD异面；AE∥CD.答案：D5长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）A.2对B.3对C.6对D.12对解析：长方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1成异面直线的棱有：BB1；BC；A1B1；A1D1；DD1；DC.答案：C6四面体PABC中，PA⊥BC，E、F分别为PC、AB的中点，若EF与PA、BC成的角分别为α、β，则α+β等于（）A.30°B.60°C.90°D.45°解析：如图取PB的中点D，连结DE、DF.∵E、F分别为PC、AB中点，∴DF∥PA,DE∥BC.∵PA⊥BC,∴∠EDF=90°,又∠DEF=β,∠DFE=α,∴α+β=90°,故选C.答案：C7“a、b是异面直线”是指（）①a∩b=∅且a不平行于b ② a⊂平面α，b⊂平面β且a∩b=∅③ a⊂平面α，b⊄平面α④不存在平面α，使a⊂α且b⊂α成立A.①②B.①③C.①④D.③④解析：由异面直线的定义知：这两条直线不同在任何一个平面内，即它们既不平行，也不相交，应选①④.答案：C8如图，已知不共面的直线a、b、c相交于O点，M、P是直线a上的两点，N、Q分别是直线b、c上的一点.求证：MN和PQ是异面直线.证明：假设MN和PQ共面于α，则M∈α,P∈α,又M∈α,P∈α,∴a⊂α,又a∩b=O,∴O∈α又N∈α,且O∈b,N∈b,∴b⊂α,∴a与b都在平面α内，同理，可证C也在α内，与a,b,c不共面矛盾.所以假设错误，故MN与PQ是异面直线.综合应用9把两条异面直线看成“一对”，正六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对.解析：如图，若成异面直线，则必是底边与侧棱各取一条，在底面上任取一条，如AB其异面直线为PF，PE，PD，PC共4对，∴4×6=24对.答案：2410一条直线和这条直线外不共线的三个点，能够确定平面的个数是（ ） A.1 B.4 C.3 D.1或3或4解析：有三种情况：①直线与三点共一个面；②直线与三个点分别组成平面，则有三个；③在②的基础上，这三个点确定一个面，则有４个.选D. 答案：D11已知:a 、b 是异面直线，a 上有两点A 、B ，距离为8，b 上有两点C 、D ，距离为6，BD 、AC 的中点分别为M 、N ，且MN=5，求证：a ⊥b.证明：如图所示，连结BC ，取BC 的中点P ，连MP 、NP. 在四边形ABCD 中，MP 是中位线， ∴MP ∥DC,且MP=21DC=3.同理，NP ∥AB 且NP=21AB=4, 在△PMN 中，∵MP 2+NP 2=42+32=52=MN 2,∴MP ⊥NP,即MP 和NP 所成的角为90°. ∴MP ∥CD,NP ∥AB,∴MP 和NP 所成的角等于a,b 所成的角, ∴a,b 所成的角为90°，∴a ⊥b. 拓展探究12如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC∩BD=P,A 1C 1∩EF=Q,求证：（1）D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P 、Q 、R 三点共线. 证明：（1）∵EF 是△C 1D 1B 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中，B 1D 1∥BD, ∴EF ∥BD,∴EF 和BD 可确定一个平面，即D 、B 、E 、F 四点共面. （2）正方体AC 1中，设A 1ACC 1确定的平面为α, 又设平面DBFE 为β. ∵Q ∈A 1C 1,∴Q ∈α.又Q ∈EF,∴Q ∈β.∴Q 是α与β的公共点. 同理，P 点也是α与β的公共点， ∴α∩β=PQ.又∵A 1C∩β=R,∴R ∈α.又∵R ∈β,∴R ∈α∩β=PQ. 故P 、Q 、R 三点共线.。

2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系基础梳理1．空间两条直线的位置关系．空间两条直线的位置关系有且只有三种．(1)从是否有公共点的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧没有公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行异面有且仅有一个公共点相交(2)从是否共面的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧在同一平面内⎩⎪⎨⎪⎧平行相交不同在任何一平面内——异面练习1：三棱锥的六条棱可组成多少对异面直线？答案：三对2．异面直线．(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．3．平行公理(公理4)．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．符号表述： ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c ．4．等角定理．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．5．异面直线所成的角．(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]．(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．练习2：两条直线在同一个平面上，它们的位置关系是什么？答案：平行或相交►思考应用1．分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？解析：从图中可以看出a，b虽然在两个平面内，但是它们相交或平行，是共面直线．2．对于等角定理中在什么情况下相等、互补？解析：如图，AB∥A1B1，BC∥B1C1，对于∠ABC与∠A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC与∠E1B1C1两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°.3．如下定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角(或补角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．解析：在这个定义中，空间中有一点是任意取的，若在空间中，再取一点O′，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角(或直角)和a′与b′所成的锐角(或直角)相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上．自测自评1．下列说法中正确的是(B)A．不在一个平面内的两条直线是异面直线B．若两条直线不是异面直线，则这两条直线平行或相交C．直线a与直线c异面，直线b与直线c异面，则直线a与直线b异面D．两条直线垂直则这两条直线一定相交解析：A，C，D不正确，故选B.2．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为(D)A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：α与β相等或互补，β为60°或120°，故选D.3．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b(C)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：c与b可以相交，也可以异面，故选C.4．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(D)A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能解析：∵两个平面的位置不确定，∴两条直线的位置关系不确定，题型一空间直线位置关系的判定题型二证明两直线是异面直线题型三求异面直线所成的角基础达标1．如果两条直线a和b没有公共点，则a和b(D)A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：a和b无公共点，两直线的位置关系为平行或异面．2．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(D) A．90°B．45°C．60°D．30°3．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体的位置关系是(D)A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°角解析：把展开图还原到直观图，如图所示，连接AC，△ABC为等边三角形，AB与CD相交成60°角．4．如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点．将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为(B)A．90°B．60°C．45°D．0°解析：将三角形折成三棱锥如图所示B点、C点均与A点重合，HG与IJ为一对异面直线．在三棱锥A­DEF中，IJ綊12AD，HG綊12DF，所以∠ADF即为所求，可知△ADF为等边三角形，所以HG与IJ所成角为60°.5．对于平面α外的任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(D)A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为________．答案：60°巩固提升7．如图，空间四边形SABC中各边及对角线长都相等，若E，F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(C)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：求EF与SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上，为此取SB的中点G，连接GE，GF，AE.如图，由三角形中位线定理，得GE＝12BC，GF＝12SA，且GE ∥BC ，GF ∥SA ，则∠GFE 就是EF 与SA 所成的角(或补角)．若设此空间四边形边长为a ，那么GF ＝GE ＝12a ，EA ＝32a ， EF ＝EA 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝22a ， 因此△EFG 为等腰直角三角形，∠EFG ＝45°，所以EF 与SA 所成的角为45°.8．如图，a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，E ，F 分别是线段AC 和BD 的中点，判断EF 和a ，EF 和b 的位置关系，并证明你的结论．解析：假设EF 和a 共面，设这个平面为α，则EF ⊂α，a ⊂α，∴A ，B ，E ，F ∈α，∴BF ⊂α，AE ⊂α.又∵C ∈AE ，D ∈BF ，∴C ，D ∈α.于是b ⊂α.从而a ，b 共面于α，这与题设条件a ，b 是异面直线相矛盾． ∴EF 和a 共面的假设不成立．∴EF 和a 是异面直线．同理可得EF 和b 也是异面直线．9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小；(2)求直线AB1和EF所成的角的大小．解析：(1)连接DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．∵∠CC1D＝45°，∴AB1和CC1所成的角为45°.(2)连接DA1，A1C1.∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．∵△A1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1＝60°.即直线AB1和EF所成的角为60°.1．异面直线的对数用分类的方式记数．2．异面直线所成的角不可能为钝角．3．求异面直线所成角一般先平移到两条直线相交后求夹角．。

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学习目标(1)了解空间中两条直线的位置关系;(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;(3)理解并掌握公理4;(4)理解并掌握等角定理;(5)异面直线所成角的定义、范围及应用.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:平面内两条直线的位置关系有哪几种?问题2:平面内不平行的两直线必相交,问空间内还成立否?二、自主探索,尝试解决六角螺母中(图1),两条路线AB,CD既不平行,又不相交(非平面问题).图2中的两条直线也是既不平行,又不相交.三、信息交流,揭示规律1.异面直线的定义:2.异面直线的画法3.空间两直线的位置关系按平面基本性质分按公共点个数分4.异面直线所成的角①公理4:②定理(等角定理):四、运用规律,解决问题【例1】右图长方体中(1)说出以下各对线段的位置关系.①EC和BH是直线;②BD和FH是直线;③BH和DC是直线;(2)与棱AB所在直线异面的棱共有条.【例2】如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线?(2)直线BA'和CC'的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线AA'垂直?【例3】如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.五、变式演练,深化提高1.已知a,b,c是三条直线,且a∥b,a与c的夹角为θ,那么b与c夹角为.2.判断:(1)两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行.()(2)两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行.()(3)两条直线和第三条直线平行,则这两条直线互相平行.()3.如图,已知空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH是什么四边形,并证明你的结论.4.如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=2,AD=2,AE=2.(1)求BC和EG所成的角.(2)求AE和BG所成的角.六、反思小结,观点提炼请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.七、作业精选,巩固提高课本P11习题1.1A组5.课本习题2.1A组第1,2,3,4题.参考☆答案☆三、1.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.2.画异面直线时,为了体现它们不共面的特点,常借助一个或两个平面来衬托.3.按平面基本性质分:(1)同在一个平面内:相交直线、平行直线;(2)不同在任何一个平面内:异面直线.按公共点个数分:(1)有一个公共点:相交直线;(2)无公共点:平行直线、异面直线.注1:两直线异面的判别一:两条直线既不相交又不平行.两直线异面的判别二:两条直线不同在任何一个平面内.4.①公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.——平行线的传递性推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.②定理(等角定理):空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O直线a'∥a,b'∥b 则把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).异面直线所成的角的范围为(0°,90°].注2:如果两条异面直线a,b所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥b.注3:在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等.四、【例1】(1)①相交②平行③异面(2)4【例2】解:(1)由异面直线的定义可知,棱AD,DC,CC',DD',D'C',B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'分别与直线AA'垂直.【例3】解:(1)如图,∵CG∥BF,∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又△BEF中∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH,∵HD∥EA∥FB,∴HD∥FB,∴四边形HFBD为平行四边形,∴HF∥BD,∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA,AF,易得FH=HA=AF,∴△AFH为等边三角形,又依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30°,即FO与BD所成的角为30°.注4:求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”.五、1.θ2.(1)×(2)×(3)√3.解:四边形EFGH是平行四边形.证明如下:连接BD,∵E,H分别是AB,AD的中点,∴EH是△ABD的中位线,∴EH∥BD,且EH=BD,同理,FG∥BD,且FG=BD,∴EH∥FG,且EH=FG,∴四边形EFGH是平行四边形.4.(1)45°(2)60°六、异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.空间两直线的位置关系:相交直线、平行直线、异面直线.异面直线的画法:用平面来衬托.异面直线所成的角:平移,转化为相交直线所成的角.公理4(平行公理):在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.异面直线所成角的求法:一作(找)二证三求.。

高中数学空间中直线与直线之间的位置关系练习题含答案一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有()A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′B ．∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立．上述结论中，正确的是()A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________．6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中：(1)BC ′与CD ′所成的角为________；(2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角；(2)FO 与BD 所成的角．二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是()A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D2．C 3．B 4．D 5.平行或异面6．(1)60°(2)45°7．(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解由BE 綊12AF ，G 为FA 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解(1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ，∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形，∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ，∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B11．①③12．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD 是异面直线．(2)解取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)．则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)．又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.。

一、选择题1．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案] D[解析]对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．2．a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l必定()A．与a，b都相交B．与a，b都不相交C．至少与a，b之一相交D．至多与a，b之一相交[答案] C[解析]若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾．故选C.3．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能[答案] D[解析]如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，所以AB∥A1B1；又AD与AA1相交，所以AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，所以AB与A1D1异面．故选D.4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有() A．3条B．4条C．6条D．8条[答案] C[解析]画一个正方体，不难得出有6条．5．下列命题中，正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] B[解析]②④是正确的．6. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] A[解析]取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A.7．正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C [解析] ∵A 1D ∥B 1C ，∴A 1D 与BD 所成的锐角(或直角)即为所求角，连接A 1B .∵△A 1DB 为正三角形，∴∠A 1DB ＝60°.8．空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 的中点分别为P 、Q 、R ，且AC ＝4，BD ＝25，PR ＝3，则AC 和BD 所成的角为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°[答案] A[解析] 如图，P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CD 中点，∴PQ ∥AC ，QR ∥BD ，∴∠PQR 为AC 和BD 所成角又PQ ＝12AC ＝2，QR ＝12BD ＝5，RP ＝3∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°即AC和BD所成的角为90°，故选A.二、填空题9．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是________，不平行的两条直线的位置关系是________，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是________，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为________．[答案]平行、相交、异面相交、异面平行、异面平行、相交、异面．10．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠ACB＝∠A′C′B′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.一定成立的是________．[答案]③11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点，则①MN与PQ的位置关系为________，它们所成的角为________．②DB1与MN的位置关系为________，它们所成的角是________．[答案]①相交60°②异面90°[解析]①连接AC、D1C由于P、Q分别为C1D1、C1C的中点，所以PQ∥D1C，同理MN∥AC，则AC与D1C所成角即为MN与PQ所成角，∠D1CA＝60°.②连接AC、BD交于O，取BB1的中点H，连OH，则OH∥B1D，连AH，HC，则AH＝HC，∴OH⊥AC，又MN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.12．正方体ABCD－A1B1C1D1中①AC和DD1所成角是________度．②AC和D1C1所成的角是________度．③AC和B1D1所成的角是________度．④AC和A1B所成的角是________度．⑤O为B1D1中点，AC和BO所成角是________度．⑥A1B和B1D1所成角是________度．[答案]①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°. [解析]①DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC；②D1C1∥DC，∠DCA＝45°，∴D1C1与AC成45°角；③B1D1∥BD，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC；④A1B∥D1C，△D1AC为等边三角形，∴成60°角；⑤在正方体中，∵O是B1D1中点，∴O为A1C1中点，又A1B＝BC1∴BO⊥A1C1，又AC∥A1C1，∴BO⊥AC，∴AC与BO成90°角；⑥B1D1∥BD，△A1BD为等边三角形，∴成60°角．三、解答题13．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．[分析]由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可．[解析]如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．理由：∵EF∥B1C1，BC∥B1C1，∴EF∥BC.14．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E 分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．[解析]由已知得BC⊥AC，又BC＝AC，∴∠ABC＝45°.又在△VBC中，D、E分别为VB、VC中点，∴DE∥BC，∴DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.15．如右图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA ⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[分析]根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE 与CD 所成的角即为∠BEF 或其补角，解△EFB 即可获解．[解析] 取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)．在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52.在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰△EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010， ∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.16．如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、E 1、F 1分别为棱AD 、AB 、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.[证明] 如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M，则BF＝A1M＝12AB.又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形．∴A1F∥BM.而F1、M分别为C1D1、A1B1的中点，则F1M綊C1B1，而C1B1綊BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC. ∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N綊DE，∴四边形A1NDE为平行四边形．∴A1E∥DN.又E1N∥CD，且E1N＝CD，∴四边形E1NDC为平行四边形．∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反．∴∠EA1F＝∠E1CF1.规律总结：证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法．另外，通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明，如本例还可通过证明△EA1F与△E1CF1全等来证明角相等．。