高中数学 利用二分法求方程的近似解教学案 北师大版必修1

第1节方程解的存在性及方程的近似解5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性本部分内容是在学生学习了函数的定义、性质、图像、性质都已经熟悉的基础上，进一步研究函数与其他数学知识的有机联系，这里结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理(逻辑推理)，集中研究的是判定方程实数解的存在性，运用函数来解决实际问题。

(1)知识目标：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。

(2)核心素养目标：通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神。

重点：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。

难点：方程实数解的存在区间的求解。

多媒体课件一、知识引入函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。

函数y=f(x)的零点可以理解成方程f(x)=0的解。

你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？依据定义找到函数零点： -1,1,3。

1、观察上述三个函数图像中零点附近的图像你能得什么结论吗？零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x 轴。

（零点即交点）2、零点两侧的附近区间内自变量x 对应的函数值一正一负。

（即f(a)f(b)﹤0）3、此类零点称为变号零点。

作出函数xy 1 图像确定函数有没有零点？ 能否用上述结论中f(a)f(b)﹤0来判断函数有零点？得出结果：函数没有零点，用f(a)f(b)﹤0判断零点必须是在连续区间（a,b ）上。

零点的判断方法：（1）几何法：函数y=f(x)图像与x 轴交点横坐标，即有几个交点就有几个零点。

（2）代数法：零点存在定理①函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。

②满足f(a)f(b)﹤0则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。

如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？引导学生在上述基础上加入单调性，来确定唯一零点。

二、例题解析例1 方程3x -x 2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？解设函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上连续，又∵f（-1）=3-1-（-1）2=-2/3＜0，f（0）=1-0=1＞0，∴函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上有零点；∴方程f（x）=0在区间[-1，0]内有实数解。

数学课堂教学中落实核心素养的教学设计以“利用二分法求方程的近似解”为例本文以北师大版《普通高中课程标准实验教科书数学1(必修)》第四章第一节，“利用二分法求方程的近似解”为例，探讨怎样在数学课堂教学中落实和发展学生的数学核心素养。

一．基于数学核心素养的教学内容分析本节内容是第四章第一节的第二课时内容，在第一课时中学生已经学习了“函数的零点与其对应方程解的关系”，为第二节求方程的实数解提供了思维上的准备，即利用函数来研究方程的实数解。

本节的教学应着重引导学生理解二分法的思想，二分法求方程近似解的具体步骤，充分体会函数与方程、数形结合和逼近思想；同时体会几何画板，Excel，MATLAB在数学教学中的工具性作用。

二．设计目标1.通过具体实例，体会二分法的思想，掌握用二分法求解具体方程近似解的一般步骤，培养学生的数学推理、数学建模、直观想象、数学运算以及数据分析等数学核心素养。

2.通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程的关系，以及数学建模在这一探索中的作用；二分法在线路检修、实验设计、资料查询等实际生活中的应用，充分认识数学源于生活，又服务于生活。

3.通过具体实例的研究，体会二分法程序化的解决问题思想，为算法的学习作准备，以及信息技术在本节中的有力支持；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；在二分法原理的探索发现过程中，培养学生坚韧的意志品质。

三．教学重点和难点重点：利用二分法求方程的近似解难点：二分法原理的探索；对方程近似解的精度把握和理解四．教学手段借助合作讨论，使学生积极主动地参与学习；使用计算器或计算机，旨在加强数学与信息技术的交融，提倡学生利用课余时间学习计算机语言。

五．教学过程创设情境，揭示课题上帝赐予他的童年占1/6；又过1/12他两颊长出了胡须；再过1/7，点燃了新婚的蜡烛；五年之后喜得贵子。

可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便入黄泉。

悲伤只有用数学研究去弥补，又过4年，他走完了人生的旅途。

利用二分法求方程的近似解一、教材的地位与作用本小节是高中新课程的新增内容，它是求方程近似解的常用方法，体现了函数的思想以及函数与方程的联系。

在内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，并为数学必修3中算法内容的学习做了铺垫。

二、教学目标1.知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解。

2.过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．3.情感态度与价值观：体会由特殊到一般的认识规律,体会概括结论和规律的过程,培养学生认识事物的正确方法.体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．三、教学重难点：教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解四、教法与学法：本节课我采用情境教学法和自主探究法，并充分利用多媒体辅助教学.通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和学习。

本节课的内容是需要学生实际操作，因此，在学法上采用教师引导，学生自主探究，在实践中发现问题、理解问题和解决问题。

教具：多媒体五、教学过程导入新课有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？二分法定义::每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.例1.求方程2x3+3x-3=0的一个实数解，精确到0.01.考察函数f(x)=2x3+3x-3经试算f(0)=-3<0, f(2)=19>0,所以函数f(x)在[0, 2]内存在零点，方程2x3+3x-3=0在[0, 2]内有解.取中[0, 2]的中点1，经计算，f(1)=2>0,又f(0)<0,所以方程2x3+3x-3=0在[0, 1]内有解.如此下去，得到方程2x3+3x-3=0的实数解所在区间的表如下：至此，可以看出，区间[0.7421875, 0.744140625]内的所有值,若精确到0.01，都是0.74. 所以0. 74是方程精确到0.01的实数解.设计意图：然后引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法以及用二分法求函数零点近似解的步骤。

安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 第11周集体备课一、课题： 4.1.2利用二分法求方程的近似解二、学习目标1.解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；2．让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；3．培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。

三、落实目标【自主预习】问题1：函数)(x f y =的零点的概念。

问题2：求下列函数的零点（1）2132)(2+-=x x x f （2）x x x f 9)(3-=问题3：判断下列函数或方程在给定的区间是否存在零点（1）函数62ln )(-+=x x x f 在区间（2，3）上；（2）方程在区间09342=-+x x [0，2]上。

问题4：有一条2km 长的电话线路（大约41根电线杆），某一天线路发生了故障．想一想，维修线路的工人师傅如何尽快查出故障所在？问题5：求函数62ln )(-+=x x x f 在区间(2，3)内零点的近似值（精确到0.01）？ 附：有关函数62ln )(-+=x x x f 的一些自变量与对应函数值表区间 端点的符号 中点的值 中点函数值的符号（2，3）f(2)<0, f(3)>0 2.5 f(2.5)<0 (2.5,3) f(2.5)<0, f(3)>0 2.75f(2.75)>0(2.5,2.75)f(2.5)<0, f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0 (2.5,2.625)f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)>0 (2.5,2.5625)f(2.5)<0, f( 2.5625)>0 2.53125 f(2.53125)<0 (2.53125, 2.5625)f(2.53125)<0, f( 2.5625)>0 2.546875 f(2.546875)>0 (2.53125,2.546875)f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 2.5390625f(2.5390625)>0 (2.53125,2.5390625) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>02.53515625 f(2.53515625)>0 函数62ln )(-+=x x x f 的零点大约是：问题6：什么是二分法，它的步骤是什么？【合作探究】例1、求方程0332)(3=-+=x x x f 的一个近似解（精确到0.01）。

高中数学 4.1.2《利用二分法求方程的近似解》学案北师大版必修1随着新一轮数学课程改革不断深入，“学案”学习已成为新课程理念下一种新型学习模式，通过创建“学案”，改变学生的学习方式，使学生更加主动地学，是培养学生自学能力，提高教学效益一个新的举措．笔者为结合学案的特点，设计了“北师大版必修1第三章1．2利用二分法求方程的近似解”这一课时的学案，以飨读者，求同行的批评指正．1 教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方面，本章通过学习用二分法求方程近似解的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型．而本节课是从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系．在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔．2 学情分析通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力．这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4．06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作．3 学习目标3.1知识与技能通过学习，能说出二分法的概念，会运用二分法求简单方程近似解的方法，会判断连续函数在某个闭区间上是否存在零点．3.2过程与方法通过具体实例的讨论与探究，在对函数与方程的关系的认识中能遵循由浅入深、循序渐进的原则，归纳概括出所发现的结论或规律，初步接触算法思想，体会从具体到一般的认知过程．3.3情感态度与价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一，在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦．4 学习重点与难点学习重点：用二分法求相应方程的近似解的方法与具体步骤．学习难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 5 学习方法为更好地把握学习内容，在学习中应以动手操作、分组讨论、合作交流、总结反思、课后实践相结合．6 学习过程6．1 学习活动活动1 幸运52曾经现场直播，进行一个猜数字游戏：给定1～100这100个自然数，计算机随机出一个1～100之间的整数，通过操作键盘让同学们去猜这个数，对于大家每次猜测的结果，计算机的提示是“对了”或“大了”或“小了”．讨论：（1）任给一个1～100的整数，我都可以在7次以内猜出，你们能做到吗？（2）为什么采用正确的方法，7次以内一定可以猜中？（第一次猜50，若“大了”，则猜1与50中间的整数25，依次类推，由于每猜一次，就排除一半，范围不断缩小，7次以内一定可以猜中）（3）这种猜测的思想是什么？设计意图：上述游戏，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字，这种思想就是二分法．通过做游戏，来提高学生的学习热情，让他们在玩的过程中初步体会二分法的思想和作用，并进行有意义学习．活动2 根据课本P117例4求方程04323=-+x x 的一个实数解，精确到0.01． 探究：（1）求函数)(x f 的零点近似值第一步应做什么？（2）为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？（3）精确到0．01，算几次就可以了？若精确到0．001呢？设计意图：此活动在于通过讨论，让学生知道用二分法求方程近似解的具体过程和解题步骤，以及用二分法求近似值的过程到何时结束．活动3 课本P119页练习：用二分法求方程02129.0=-x x 的近似解，精确到0.1． 探究：（1）与活动2进行比较，过程有什么不同？（2）根据这些活动，二分法求方程近似解的具体步骤是什么？设计意图：活动1中的方程04323=-+x x 虽然没有给出初始区间，但是根据方程的形式容易知道为),(+∞-∞，而活动3中的方程02129.0=-x x 的初始区间未给定，却需要自己找，这是一个质的变化．通过自主探究，讨论，来体会、归纳确定出初始区间的一般方法：估算或利用图象（估算：由方程有意义及移项左右两边相等，可知00>x ；或作图：考察函数x y 9.0=与xy 212=图象交点的横坐标，可知00>x ），以及得出利用二分法求方程近似解的具体步骤． 活动4 利用计算器，求方程3lg =+x x 的近似解（精确到0．1）．（注：可以2人为一组，互相配合，一人按计算器，一人记录过程）不同组之间探讨交流，从中能得出什么样的结论？设计意图：（1）通过学生合作探究，进一步来体会、归纳确定出初始区间的一般方法． （估算：由方程有意义及左右两边相等，可知)3,0(0∈x ；作图：考察函数x y lg =与x y -=3图象交点的横坐标，可知)3,2(0∈x ）（2）由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助计算器来完成计算，计算器来完成．同进，通过共同学习交流探讨，感知初始区间选择的不同对结果无影响，只是计算次数多少而已．活动5 如图，一条电缆上有15个接点 ，现某一接点发生故障 ，如何尽快找到故障接点？ 设计意图：让学生在活动中体会二分法在实际生活中的用处．6．2自我诊断例1 下列函数均有零点，其中不能用二分法求近似解的是（）A. B. C. D.设计意图：使学生明确初始区间),(b a 并非任意选取，必须满足0)()(<b f a f ，加深学生对利用二分法求方程近似解原理的理解．答案：C ．例2 用二分法求方程()33801,3x x x +-=∈在内近似解的过程中取区间中点02x =，那么下一个有根区间为 ( )A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（1，2）或（2，3）都可以D ．不能确定设计意图：使学生明确利用二分法求方程近似解取新区间方法，一个端点是原区间的中点，另一个是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号．答案：A ．例3 方程0ln )21(=-x x的根的个数为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3设计意图：使学生进一步明确通过函数图象与性质来分析零点的方法．答案：B ．例4 下表是用计算器或计算机作出函数62ln -+=x x f(x)的图象和对应值，则从下表可以看出方程062ln =-+x x 的一个正的近似解是 （精确到0．01）次数左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 第1次2．00000 -1．30685 3．00000 1．09861 第2次2．50000 -0．08371 3．00000 1．09861 第3次2．50000 -0．08371 2．75000 0．51160 第4次2．50000 -0．08371 2．62500 0．21508 第5次2．50000 -0．08371 2．56250 0．06598 第6次2．53125 -0．00879 2．56250 0．06598 第7次2．53125 -0．00879 2．54688 0．02862 第8次2．53125 -0．00879 2．53906 0．00992 设计意图：使学生进一步巩固利用二分法求方程近似解的具体步骤，提高学生阅读理解能力．答案：2．53.例5 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km 长的线路，大约有200多根电线杆子．如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子.请你帮工作人员设计一个维修方案来迅速查出故障所在.设计意图：让学生感悟二分法在实际中的应用，同时体会到学习数学成功的喜悦． 答案：如图，设闸门和指挥部的所在处为点A ，B ，（1）首先从中点C 查；（2）用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段；（3）再到BC 段中点D ；（4）这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段；（5）再到CD 中点E 来看；（6）这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半.6、请感兴趣的同学思考:当10<<a 时，方程x a a x log =的解只有一个吗? 设计意图：让学有余力的学生更能发挥其个性品质，提高学科素养．6．3 总结提炼（1）二分法的基本思想是 ；（2）初始区间的选定的方法有 ；（3）利用二分法求方程的近似解的具本步骤是： ．（4）把学案中有疑惑的知识点作上记号，并在空白处写出疑惑原因．设计意图：引导学生回顾学习过程，进行总结和反思，并提出自己还存在的疑问，以便在教师或同学的帮助下得到解决．6．4阅读拓展在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(x f y =的零点（即0)(=x f 的根），对于)(x f 为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》、北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》、南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载．在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果．1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N ． H ． Abel ，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E ．Galois ，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程．人们认识到高于四次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其他的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．设计意图：介绍中外历史上的方程求解问题，让学生感受到数学文化方面的熏陶，最大限度地调动学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，提高学习的积极性和主动性．同时，从高次代数方程解的探索历程使学生认识引入二分法的意义．7 案例反思7．１倡导新课程理念，进行有效设计《数学课程标准（试验稿）》明确指出：由于不同的学生所处的社会环境不尽相同，所具备的数学知识背景与数学活动经验也各异，所以，教科书的定位应当是“学生数学学习的重要线索”，它并不能满足所有学生数学学习活动的需要．本学案设计，以倡导新课程理念：自主探索、动手实践、合作交流的学习方式为出发点，根据自己学生的社会环境特征、思维活动水平和数学学习条件去创造最适合自己学生的数学学习活动，在知识的形成过程中突出数学思维活动的学习，引导学生充分经历知识的建构过程．在设计实践中，更多地关注学生的学，坚持实现数学学习的“有效”和“高效”，并使数学学习实现从“有效学习”、“高效学习”到“魅力学习”的飞越.（1）为充分调动学生的积极性与主动性，提高学习兴趣，以猜数字游戏为情景，在玩的过程中来体验二分法的这一算法思想，突出了学习的主题，进行了有效情景的设计．（2）为让学生顺利地进行有效学习，以问拓思，因问造势，学案设计了4个活动，一环扣一环，让学生身临其境，合作交流，共同探究，帮助学生发现规律，解决问题，同时让学生学会独立地将课本上的知识进行分析综合，整理归纳，自我诊断，通过解题巩固知识，最终形成了一个完整的科学体系，达到学习目的，突出理性思维，优化学生的认知结构，培养创新能力．（3）为符合社会的需要，让学生认识到数学与我有关，我要学数学、用数学，密切联系实际生活，在生活情景学习数学，充分挖掘课本知识的生活背景，设计实际应用问题．（4）为开阔学生视野，感悟文化，激发兴趣，使个性品质得到培养，有意义地进行学习，注重选取可读性强的阅读材料——介绍中外历史上的方程求解问题．7．2 对学案的挖掘“学案”是建立在教案基础上针对学生学习而开发的一种学习方案，其实质上是教师用以帮助学生掌握教材内容，沟通教与学的桥梁，也是培养学生自主学习和建构知识能力的一种重要媒介，具有“导读，导听，导思，导做”的作用，但它没有固定的模式，具有较大的弹性和适应性．因此，教师在思想上要从“教案”转变到“学案”，根据实际情况，把教师的教学目标转化为学生学习的目标，把学习目标设计成学习方案交给学生．根据学生现有知识，自学能力水平和教学要求，参照各方面信息，制定出一整套学生自学的“学案”，来实现个性发展与全面发展的统一．参考文献：1 严士健，王尚志主编．普通高中课程标准实验教科·数学1（必修）[M]．北京：北京师范大学出版社，2008普通高中数学课程标准（实验）2 章建跃．有效改进课堂教学——暨第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动综述[J]．数学通报，2008，123 张劲松，郭豫．高中数学课程中的二分法——对“用二分法求方程的近似解”一堂课的思考[J]．中学数学教学参考，2008，44 王培．教学反思——新型教师成长的必由之路[J]．中学数学教学，2008，3。

北师大版高中必修11.2利用二分法求方程的近似解教学设计教学目标
1.了解什么是二分法，掌握其求解近似解的方法；
2.能够应用二分法求解简单方程的近似解；
3.能够将二分法运用于实际问题中。

教学重点
1.二分法的原理和应用；
2.二分法求解近似解的方法；
3.将二分法应用于实际问题中。

教学难点
1.将二分法运用到实际问题中；
2.学生的思维难度和计算难度较大。

教学准备
1.教师准备PPT进行教学；
2.学生需要准备笔记本和计算器。

教学过程设计
一、导入
1.引入二分法的概念及其作用；
2.通过生活实例引出如何用二分法求解问题。

二、概念解释
1.讲解二分法的概念；
2.讲解什么是连续函数；
3.解释什么是单调函数。

三、使用二分法求近似解的方法
1.讲解如何利用中值定理来求解近似解的方法；
2.通过简单的例题来展示二分法求解近似解的过程；
3.讲解使用二分法求解区间中的根的方法；
4.通过一些例题来演示这些方法。

四、经典例题解析
1.在实际问题中使用二分法求解问题；
2.直接将经典例题进行讲解和分析。

五、小结
1.对二分法进行总结；
2.提示二分法的注意事项。

教学反思
本课用PPT辅助教学，方便了学生的听课，同时普及了黑板语言和KeTex语言，但教师在上课时应留意在耽搁过多时间，时间分配不合理，最好安排好时间，严格控制进度。

此外，学生的解题思维能力欠缺，需要对应到每个例题，提醒他们把解题的过程分步骤来处理。

《利用二分法求方程的近似解》教学设计1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解．2.体会函数在解方程中的作用．重点：利用二分法求方程的近似解． 难点：求方程近似解的精确度的把握．一、情境导入情境：怎样工作最合理？在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长10 km 的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km 大约有200多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？首先从整条线路AB 的中点C 查起，用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段；再到BC 段中点D ，这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段；再查CD 中点E …每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50 m 左右，即两根电线杆附近，要查多少次？答案：只要8次就够了．设计意图：通过实际情境，让学生在轻松愉快的环境下开始本节课的学习，在问题情境中感悟数学有用，增加学习兴趣，为引入二分法的原理做准备．二、新知探究问题1：我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如ln x +2x −6=0，那么如何确定方程ln x +2x −6=0的解呢？设计意图：教师提出问题，引发学生的思维，造成悬念；再通过以下问题的探究，引导学生展开思考．方程ln x +2x −6=0一定有解吗？为此，需先确定实数解的存在性． 追问1：怎样确定方程有实数解？答案：方程f (x )=0有实数解⇔函数y =f (x )有零点⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有公共点．所以，函数y =f (x )的零点就是y =f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，即方程f (x )=0的◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程实数解．若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)•f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解．追问2：能否找出方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间呢？答案：设f(x)=ln x+2x−6，容易得出f(2)=ln2+4−6=ln2−2<0，f(3)=ln3>0，结合零点存在定理，可知f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，即方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间为(2，3)．追问3：我们已经知道， ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，其准确值无法求出，能否求这个实数解的近似值呢？答案：一个直观的想法是：如果能将实数解所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的实数解的近似值．（精确度是指近似值与其准确值的接近程度）设x̂是方程f(x)=0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0−x̂|<ε，就称x0是满足精确度ε的近似解．追问4：如果要获得精确度为0.5的近似解，你能找到一个符合要求的区间吗？答案：已知ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，即函数f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，这个区间长度为1．要获得精确度为0.5的实数解的近似值，至少需将包含零点的区间长度缩小为原来的一半．考虑区间(2，3)的中点2.5，又f(2.5)= ln2.5−1<0，f(3)=ln3>0，则f(2.5)f(3)<0．根据函数零点存在定理可知，函数f(x)= ln x+2x−6在区间(2.5，3)内存在零点，即ln x+2x−6=0在区间(2.5，3)内存在实数解，区间长度为0.5，因此，区间[2.5，3]内任意一个数都是满足精确度的近似解．追问5：如果要获得精确度为0.01的近似解，你将采取什么办法来逐步缩小区间？答案：当精确度为0.01时，借助函数的零点存在定理，至少需要将零点存在的区间长度缩小到0.01．在一定精确度的要求下，通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可以作为函数零点的近似值．追问6：给定精确度ε，为什么当|a－b|<ε时，区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值？答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x0与其准确值x̂的接近程度．近似值x0的误差不超过某个数ε，即|x0−x̂|<ε，就说它的精确度是ε．所以当|a－b|<ε时，x̂所在的区间[a，b]中任意一个值x0与x̂的误差都不超过|a－b|，当然也就不超过ε．区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值．追问8：你给出ln x+2x−6=0的精确度为0.01的近似解吗？答案：由|2.53125－2.5390625|=0.0078125<0.01知，区间(2.53125，2.5390625)内任意一点都可以作为解的近似值．如：取x=2.532作为函数f(x)=ln x+2x−6零点的近似值，也即方程ln x+2x−6=0的近似解．问题2 上面这种求方程ln x+2x−6=0的近似解的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于哪些方程？答案：这种方法的总体思路是，通过不断把函数f(x)=ln x+2x−6的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值．取区间(a，b)的中点a+b2，若f(a+b2)·f(b)<0，则区间(a+b2，b)内有方程的解．再取区间(a+b2，b)的中点……这样操作下去（如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解；如果区间中点x0的函数值不等于0，且区间某个端点的函数值与f(x0)异号，那么x0与这个端点组成新的区间的端点），经过有限次操作，就得到一串区间，其端点的函数值符号相反，且每次操作都使区间长度减小二分之一，随着操作次数的增加，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程f(x)=0的解，从而得到近似解．像这样，对于一般的函数y=f(x)，x∈[a，b]，若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．总结：只要方程所对应的函数图象是连续的曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值．二分的次数越多，近似值就越精确．二分法体现了无限逼近（极限）的数学思想．追问：你能提炼出给定精确度ε，用二分法求方程f(x)=0的近似解x0的一般步骤吗？答案：二分法求方程近似解的思想来源于零点存在定理．利用二分法求方程近似解的过程可以用下图所示：其中：初始区间是一个两端点函数值异号的区间；新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．在用二分法求方程近似解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算．初始区间选的不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小．若方程f(x)=0有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值．三、应用举例例1:求方程2x3+3x−3=0的一个近似解．（精确度为0.01）解：考察函数f(x)=2x3+3x−3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在区间．经试算，f(0)=−3<0，f(1)=2>0．所以方程f(x)=0在区间(0，1)内有解．取区间(0，1)的中点0.5，f(0.5)=−1.25<0，所以方程f(x)=0在区间(0.5，1)内有解．如此下去，得到方程f(x)=0的解所在的区间，如下表：至此，可以看出，区间[0.734375，0.7421875]的区间长度为0.0078125，它小于0.01．而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，0.74 就是方程2x3+3x−3=0精确度为0.01的一个近似解．四、课堂练习1．思考辨析(1)任何函数的零点都可以用二分法求得．()(2)用二分法求出的方程的根都是近似解．()(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b−a≤ε(精度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．()2．用二分法求函数f(x)=3x−7的零点时，初始区间可选为()A．(－1，0)B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)3．若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A．1.25B．1.375C．1.40625D．1.5参考答案：1.(1)只有当函数图象在区间[a，b]是连续的曲线，且与x轴有交点时（即f(a)·f(b)<0），才可用二分法求函数的零点．故错误；(2)使用二分法时，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解，不是近似解．故错误；(3)正确．2.解：f(−1)=3−1−7=13−7=−203<0，f(0)=30−7=1−7=−6<0，f(1)=31−7=−4<0，f(2)=32−7=9−7=2>0，故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2)．选C．3.解：根据题意知函数的零点在1.40625至1.4375之间，又|1.437 5－1.406 25|=0.031 25<0.1，故方程的一个近似解为1.40625，故选C．五、课堂小结1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，直至找到解附近足够小的区间，根据所要求的精度，区间的任意数值即为近似解．2.并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满足：(1)函数图像在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)<0．上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．六、布置作业教材第132页练习第1题．。

教学设计利用二分法求方程的近似解教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书•数学1》北师大版第三章第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的利用函数y=f(x)的图像,判定在区间[1,5]有零点,再次利用二分法求出方程f(x)=0的近似解.由具体到一般，建立方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形.在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第二步,介绍定义二分法,满足精度的近似解.对方程的近似解提出要求,即满足一定要求的近似解,不能比近似解大于ε,也不能比近似解小于ε.在真实值未知的情况下,要达到满足要求的近似解似乎不可能.第三步,在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．教学目标1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法.2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．教学重点与难点教学重点：能够用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．教学过程教学基本流程图教学情境设计教学设计学情预设设计意图知识链接创设情境•引出课题1．趣味游戏,猜一个在1到100之间的整数.2．竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？3．如何才能更快地猜中商品的预定价格？4.这个游戏对你的启发是什么?5.复习函数的零点的定义.6.复习函数的零点的存在性定理.7.合作探究这节课应解决怎样的问题?迫使学生思考如果一个方程存在零点,那么如何才能求出这个零点?实在不能求出这个零点,退而求其次,是否可以求出这个方程的一个近似解,最好是与真实值足够接近的近似解.让学生主动发现问题,提出问题,解决问题.8.让学生解一元一次方程,一元二次方程,学生很容易解决这样的问题,然后给出一个学生无法解决的一元三次方程,学生会感到非常遗憾,努力想解决这个问题.给出问题,激发兴趣,寻求方法,解决问题.有解,如何运用某种方法找到这个解,如果无法求出真实解,那么能否求出满足一定要求的近似解.知道存在,如何找出.和趣味游戏多么的相似啊！“二分”的思路是什么？1．教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法．2．学生能够主动参与游戏，并且参与游戏的同学可以比较并总结经验．学生会有很多种方案．3．对于“问题3”学生能够顺利地得出“主持人的“高了，低了”的回答是判断价格所在区间的依据”这个结论．4．此时教师通过“问题3”引导学生进行比较哪种方法更快更好．从中学生可以得到用二分法解决问题的思路——二分指的是将解所在区间平均地分为两个区间.(1)．利用视屏与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛．(2)．通过问题3，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近似解”的时候埋下伏笔．(3)．通过游戏，让学生经历游戏过程，感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；引导学生善于发现身边的数学，培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情境转化为数学模型．(4)．通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方法——二分法．师生探究•构建新知1．上节课我们学了什么定理.它的作用是什么？还有什么问题没有解决？2．已知函数f(x)＝2x3+3x3=0,求它的一个实数解,精度为0.01 3．精度的含义是什么？怎样的区间才算满足设定的精度？4．区间(0.625,0.75)的精度为多少？5．如何将零点所在的范围缩小(即如何将精度缩小)？缩小的依据是什么？6．如何利用“猜价格”——“二分法”的逼近思想来缩小区间？ 7．近似解是多少？(1)．教师通过对上节课的内容进行复习，并且有前面游戏作为伏笔，学生能够初步体会出“连续函数零点存在定理”是判断方程的根所在区间的依据．(2)．通过“问题3”应用具体的题目引导学生进行思考．学生通过引导将方程的解与商品的价格联系到一起，运用刚才的游戏的经验，得到缩小区间的想法．(3)．学生对精度的概念可能不知．教师可以借助数轴解释说明精度的含义，引导学生思考什么时候停止操作．(4)．教师通过“问题求方程的近似解”引导学生将“二分法”与“零点存在定理”相结合得到零点所在的区间,并且这个区间的长度越来越小,端点逐步逼近方程的解,可以得到一个近似解．并且确定结束的区间.(5)．学生按照游戏的方法也就是按照“二分法”的思路，不断缩小零点存在的区间，进行具体操作，填出表格．表格刚开始的前几行学生可能会比较慢，也有可能会出错；通过多次的重复以及经验的总结，后面的表格可以正确地、快速地回答出来；使得最后的“应用二分法求函数的零点”的方法的总结更加顺利．(6)．对于深度思考,学生不太容易得到比较简洁的结论．教师可以进行解释说明：“由于整个区间内的数均满足精确度的条件，因此区间内的所有数均可以作为近似解，最后得到方程的近似解.设计意图1．趣味游戏,开门见山，延续上一节课的内容继续深入地研究，使得知识有一个链接，让学生能够很容易地将新知识建构到旧的知识体系中．2．运用求方程的近似解，将学生的思路与前面已经解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的能力．3．师生的互动,有利于一边引导学生一边总结知识．将二分法应用于解决实际问题，即将新知识应用于解决新问题．培养学生实际应用的能力，加强解决问题的严谨性，总结知识的逻辑性．使得最后方法的总结能够顺利进行．4．有了前面的商品竞猜过程的经历，学生比较容易入手，分析比较容易到位，从而降低思维的难度.5.辨析思考,让学生思考,二分法能够解决什么问题,不能解决什么问题,它的局限性是什么?使学生清楚二分法的使用范围.6.方法延伸,二分法不但能解决课堂内的数学问题,而且能解决课堂外的数学趣味题,更增加学生学习数学的兴趣.7.思想延伸,能够求出方程的近似解,而没有求出方程的真实解,多么遗憾的一件事啊！那么如何求出方程的真实解?既然区间的长度越来越小,如果长度无限小,区间的端点就无限逼近真实值.那么就得到了方程的真实值.多么奇妙的一件事啊,看起来无法求出方程的近似解,最终,不但求出了近似解,而且求出了真实值.8.小结,这节课你学到了什么?有什么收获？有什么困惑？有什么数学思想和方法？迫使学生思考，梳理，总结，提炼，迫使学生回头望，进行讨论。

《利用二分法求方程的近似解》教学设计一、教材分析与学情分析1、本节课教材分析本节内容选自北师大版高一数学上学期《必修1》第四章第§1.2节．是学生在学习了方程解的存在性的基础上，进一步用函数研究方程，即利用二分法求方程的近似解，使学生进一步体会函数与方程的关系，使学生感受函数的核心地位.同时为必修3学习算法做准备.本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精度的方程的近似解．通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想（极限思想），体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点．引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系．所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、数形结合的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想．2、本节课地位、作用“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性定理”，本节课是上节学习内容《利用函数性质判定方程解的存在》的自然延伸；是数学必修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、函数与方程、逼近思想和算法思想等.3、学生情况分析学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备．但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难.二、教学目标根据教材内容和学生的实际情况，本节课的三维教学目标设定如下：【知识与技能】：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想.【过程与方法】：借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备．【情感态度与价值观】：通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识.通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一.三、教学重点、难点重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解.难点：对二分法原理的探究，对精度、近似值的理解.四、教法、学法与教学手段教法分析：教师要处理好传授知识和培养能力的关系，要关注个体差异，满足不同层次学生的需要，因此，在教学中必须以充分暴露整个思维过程，认知过程为主要宗旨，通过问题引导、讨论交流、动手实践等探究活动来形成师生互动.因此，本节课我采用问题探索、师生互动探究式的教学方法.学法分析：相对教师的教法，学生应当采用自主探究、研讨发现的学习方法.老师要鼓励、引导学生自主探索，使学生在讨论、分析、交流、实践等多种活动加深对二分法的感受和理解，同时鼓励主要通过小组活动方式，对所学的内容进行分析，归纳总结、讨论和交流，让学生经历知识的形成过程和发展过程，这就极大的发挥了学生的积极性和主动性. 学法指导：分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点.教学手段：计算机、投影仪、计算器.五、教学过程（一）设置情景，问题引入在数学学习中，解方程是我们经常遇到的问题.问题1：你会求哪些类型方程的解？有哪些方程不会求解？ 你会求下列方程的根吗？对于前两个方程，学生很快找出解决办法，最后一个方程学生无法根据之前学过的知识进行求解，这时教师适时总结：一元一次方程、一元二次方程我们会解，但是对于超越方程、高次方程从方程角度难以求出方程的根．教师追问：那么，第三个方程是不是就无解呢？ 生：不是.师：如果有解，该如何求出它的解或近似解？引出本节课的课题.【设计意图】：从学生熟悉的方程入手，引入求方程根的话题，引起学生的认知冲突，激起进一步探究的欲望.问题2：方程ln 260x x +-=是否有解？能不能求方程的近似解？为了解决这个问题，先回顾上节课的内容.复习回顾：（1）方程的根与函数零点的关系.（2）函数零点存在性定理.方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =有零点.所以求方程ln 260x x +-=⇔求函数()ln 26f x x x =+-的零点.教师用几何画板展示出函数()ln 26f x x x =+-的图像让学生直观判断有没有零点.【点拨】：当从方程角度直接入手难以求出方程的根时，我们可以转化为求该方程相应函数的零点的问题.（二）互动探究，获得新知以求方程ln 260x x +-=的近似解（精度为0.1）为例进行探究. 探究1：怎样确定解所在的区间？（1）图像法：教师用几何画板展示.（2）试值法：f (x )=ln x +2x 6方程ln 260()ln 26x x f x x x +-==+-相应的函数是，由上面两种方法我们得出函数()ln 26f x x x =+-在区间（2,3）内有一个零点，这一节课的重点就是如何找出这个零点的位置.教师引导分析：根据我们的分析，我们可以将“求方程ln 260x x +-=的近似解”问题转变为“找函数()ln 26f x x x =+-在区间（2,3）内的近似零点”问题.【设计意图】：进一步理清思路，明确问题，使问题由“求”变为“找”，问题的提出，进一步激发学生利用二分法探究问题的热情. 探究2：怎样缩小解所在的区间？为了解决这个问题，我们先来看个视频和玩个小游戏：播放视频并邀请学生现场模拟吉林卫视《心动价给你》中猜商品价格环节：游戏规则：某 的价格在400—2000元之间，猜测它的价格，猜对了将给予奖励．每次猜后主持人会给出“高了”还是“低了”的提示，在20秒内且误差不超过10元时算猜对.让学生思考：（1）主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？（2）误差不超过10元，怎么理解？（3）如何猜才能最快猜出商品的价格？经过三个问题的引导，大家很快便总结出猜价格的方法：不断取中点值与真实值比较，懂得判断真实值所属区间，区间长度不断缩短，x1 2 3 4 ()f x 4 1.307 1.099 3.386直到“猜值”与真实值的误差小于10元为止.这种方法在数学中我们叫做“二分法”.【设计意图】：使学生更加轻松有趣的学习，通过猜价格游戏来引出二分法的概念，让学生更容易接受二分法的思想和体会到学习二分法的使用价值，学生理解用二分法的思想缩小解所在的区间.回到例题“求方程ln260x x+-=的近似解.（精度为0.1）”.探究3：你有进一步缩小函数零点范围的方法吗？引导学生：通过刚刚游戏中取“中点”的方法逐步缩小零点所在的范围（区间）。

利用二分法求方程的近似解【教学目标】1．通过具体函数图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，培养数学运算素养。

2．通过学习利用二分法求方程近似解的过程和方法，提升直观想像、逻辑推理素养。

【教学重难点】1．根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解。

(重点)2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法。

(难点)【教学过程】一、基础铺垫1．二分法的概念对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法。

2．用二分法求方程的近似解的过程在图中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P ”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解。

思考：用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？ [提示] (1)f (x )在区间[a ，b ]上的图像连续； (2)在区间[a ，b ]端点的函数值f (a )·f (b )<0. 二、新知探究 1．二分法概念的理解【例1】 下列图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )A B C D[思路探究] 零点附近连续→零点左右函数值异号A [按定义，f (x )在[a ，b ]上是连续的，且f (a )·f (b )＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点。

故结合各图像可得选项B 、C 、D 满足条件，而选项A 不满足，在A 中，图像经过零点x 0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。

故选A ．]【教师小结】（1）准确理解“二分法”的含义。

二分就是平均分成两部分。

二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。

用二分法求方程的近似解教学目标:了解二分法的根本思想，能够借助计算机〔计算器〕用二分法求相应方程的近似解，进一步体会函数的核心地位，树立函数视点。

通过亲历用二分法求方程近似解的过程，主动探求处理该问题的规律，体会数形结合、函数与方程、从特殊到一般、逼近思想。

体验无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。

提倡同学间合作与交流，渗透二分法在生活中的应用。

学情分析：对于刚刚进入高一的学生，在所学知识较少，初中又没有算法知识做铺垫的情况下，独立理解二分法的根本思想是比拟难的。

教学重难点：理解二分法的根本思想，掌握用二分法求方程近似解的步骤。

教学过程一、问题引入：看商品猜价格问题1：你能猜出这个商品的价格吗？〔生活用品〕游戏规那么：首先甲出示一件价格在 某一范围内的商品，乙要猜出这个商品的价格〔允许存在误差，甲可以给出最大误差〕，猜价格的过程中，根据参与者给出的价格，相应地给出“高了〞或“低了〞或“正确〞的提示 ，最终猜出在误差范围内的价格。

学生读题，并完成游戏活动总结：在误差允许的范围内，要找某个特定值的近似值，可以通过取特定值所在范围的中点的方法逐步缩小其范围，从而取得近似值问题2:你会求以下方程的解吗?〔1〕310x +=〔2〕2320-+=x x〔3〕310--=x x学生求解，并提出疑问，〔3〕式应该如何求解？ 二、方法探究问题3：求方程310x x --=的实数根.(精确度为0.1)()[,]()()0,()y f x a b f a f b y f x =<=如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数在区间(a,b)内有零点.〔1〕能否找出函数3()1f x x x =--的一个零点的存在区间呢？〔2〕函数3()1f x x x =--在区间〔1,2〕内有零点,且f (1)<0,f (2)>0. 如何使方程实数解的存在区间 越来越小呢？〔3〕设x 是方程f(x)=0的一个解，给定了精确度，假设x0满足|x0-x |<0.1.就称x0是满足精度的近似解。

《用二分法求方程的近似解》教学设计1．探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，渗透极限思想．2．能借助计算工具用二分法求方程近似解．3．通过提炼二分法的一般步骤，使学生经历由特殊到一般的归纳过程，了解二分法求方程近似解具有一般性，让学生感受算法的思想，并提升数学抽象核心素养． 教学重点：用二分法求方程近似解的思路与步骤．教学难点：用二分法求方程近似解的算法．PPT 课件，计算器．（一）整体感知，明确任务引导语：因为大多数方程都没有求根公式，所以这些方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．而在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．通过前一节课的学习，我们已经知道，求方程()0f x =的实数解，就是确定函数()y f x =的零点．根据函数零点存在定理并结合函数的单调性等性质，可以确定在某一区间内方程实数解的个数．进一步的问题是，如何求出这些实数解？本节课我们将研究这个问题．设计意图：确定了方程有实数解和解的个数后，自然会思考怎么求出这些实数解．引起学生思考，明确本节课要研究的内容．（二）新知探究1．探索方法，解决问题问题1：我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？师生活动：学生讨论交流，教师引导学生：将零点所在的范围尽量缩小．图1设计意图：学生通过重复相同的步骤，初步体会二分法的具体过程，为提炼二分法的一般步骤作铺垫．另外，通过具体的计算，列表展示函数值的变化趋势，结合图象的变化趋势，数形结合地使学生感受逼近和算法的思想．追问4：根据填好的表格，请你给出函数()ln26f x x x=+-在精确度为0.01的零点的近似值．师生活动：学生回答，教师予以补充完善．预设的答案：因为2.539 062 5 2.531 25.007 812 50.01=-，所以区间(2.531 25，2.5390<062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值．为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x=2.531 25作为函数()ln26=+-零点的近似值，也即方程f x x x+-=的近似值．x xln260设计意图：通过求具体函数()ln26f x x x=+-的零点在精确度0.01下的近似值，再次明确精确度的含义．在精确度ε限制下的近似值为所在满足精确度要求的区间中的任意值，即近似值有无数个，所以可以任取一个作为近似值．2．提炼方法，规范步骤问题2：像上面这种求函数()ln26f x x x=+-的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？师生活动：学生交流后回答，教师予以补充完善．这里要注意的是，虽然我们是通过+-=这个不能用公式求解的方程，探索出了二分法，但并不意味着二分法只适用x xln260于不能用公式求零点的函数．学生可能会在这里产生惯性思维，教师要注意引导．预设的答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x *与其准确值x 的接近程度．近似值x *的误差不超过某个数ε，即*x x ε-<，就说它的精确度是ε．所以当a b ε-<时，零点x 0所在的区间[a ，b ]中任意一个值与x 0的误差都不超过a b -，当然也就不超过ε．所以区间[a ，b ]中任意一个值都是零点x 0满足精确度ε的近似值．设计意图：使学生进一步理解精确度的含义．3．初步应用，深化理解例2 借助信息技术，用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度为0.1）．师生活动：先由学生说出解决问题的思路，然后师生共同利用信息技术解答．预设的答案：解：原方程即2370x x +-=，令()237x f x x =+-，用信息技术画出函数()y f x =的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）．表3x0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273观察图2或表3，可知()()120f f <，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x 0．取区间(1，2)的中点1 1.5x =，用信息技术算得()1.50.33f ≈．因为()()1 1.50f f <，所以x 0∈(1，1.5)． 再取区间(1，1.5)的中点2 1.25x =，用信息技术算得()1.250.87f ≈-．因为()()1.25 1.50f f <，所以x 0∈(1.25，1.5)．同理可得，x 0∈(1.375，1.5)，x 0∈(1.375，1.437 5)．由于11.437 51.02.3 750.650-=<，所以，原方程的近似解可取为1.375．设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解．（三）归纳小结，布置作业图2问题4：回顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充．预设的答案：二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想．在逐渐逼近的过程中，重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想．设计意图：回顾本节课所学二分法的一般步骤，让学生体会其中蕴含的数学思想．问题5：通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图3就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解．图3师生活动：学生课后自行完成．设计意图：拓展学生思路，鼓励学生利用算法语言编程解决求方程近似解的问题．问题6：阅读教科书“阅读与思考—中外历史上的方程求解”，了解方程求解的发展过程是怎样的？二分法对于方程求解的重要性是什么？师生活动：学生课后自行完成．设计意图：让学生进一步了解二分法对于方程求解的重要意义，激发学生学习兴趣，提升学生数学人文素养．作业布置：教科书习题．（四）目标检测设计1．借助信息技术，用二分法求函数()32=++-在区间(0，1)内零点的1.10.9 1.4f x x x x近似值（精确度为0.1）．设计意图：考查用二分法求函数零近似值的能力．2．借助信息技术，用二分法求方程3lg=-在区间(2，3)内的近似解（精确度为0.1）．x x设计意图：考查用用二分法求方程解的近似值的能力．参考答案：1．0.625．2．2.625．。

§4.1.2用二分法求方程的近似解一、教学目标1．知识与技能（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。

2．过程与方法（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；（2）让学生归纳整理本节所学的知识。

3．情感、态度与价值观①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。

二、教学重点、难点重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。

难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?三、学法与教学用具1．想－想。

2．教学用具：计算器。

四、教学设想（一）、创设情景，揭示课题提出问题：（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？（二）、研讨新知一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。

用二分法求方程的近似解安徽省濉溪中学杨梅【教学目标】知识目标：1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法；2．借助计算器用二分法求方程的近似解的步骤能力目标：通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的对立统一情感、态度与价值观:1通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识；2通过体验具体的方程求近似解的过程，培养学生不畏困难的精神和严谨细致的思维品质．【教学重点】掌握用“二分法”求方程的近似解的方法及步骤，体会函数零点与方程实数解之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识【教学难点】对二分法概念的理解，精确度的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合【教学过程】（一抛砖引玉（二溯本逐源()()=+-f x x x已知函数在区间，上有零点，你有什么办法求出这个零点的近似值？ln2623二分法的定义：对于在区间[],a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数(),y f x =通过不间断地把函数()f x 的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 （三）顺藤摸瓜()()0.1ln 2623.给定精确度，求零点在，上的近似值f x x x =+- ()0(2)0,f f ><解：初始区间为（2,3），且3区间区间长度区间中点的值中点函数近似值()2,3 1 2.5 0.084- ()2.5,30.5 2.75 0.512 ()2.5,2.75 0.25 2.625 0.215 ()2.5,2.625 0.1252.5625 0.066 ()2.5,2.56250.06252.5-2.5625=0.06250.1由于< 2.5 2.5625.所以，原方程的近似解可取为或 （四）瓜熟蒂落给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：ε1确定区间[],a b ，验证()()0f a f b ⋅<，给定精确度ε； 2(),求区间的中点a b c ; 3()计算f c ;（1）若()0f c =，则c 就是函数的零点；（2）若()()0f a f c ⋅<，则令b c =（此时零点0(,)x a c ∈）； （3）若()()0f c f b ⋅<，则令ac =（此时零点0(,)x c b ∈）．4 :判断是否达到精确度ε||即若，a b -<ε则得到零点近似值（或）;a b 否则重复2～4 （五）抽丝剥茧定区间，找中点， 中值计算看两边； 同号去，异号留， 零点落在异号间； 周而复始怎么办？ 精确度上来判断 （六）典例分析例 借助计算器或计算机用二分法求方程237xx +=的近似解（精确度0.1）解：原方程即2370x x +-=，令()237x f x x =+-，作出函数()237x f x x =+-的对应值表：()()()120,1,2因为所以零点在区间内.f f ⋅<学生合作完成下表，组内交流，找出零点的近似值，确定方程的近似解1.375-1.4375=0.06250.1由于< 1.4375.所以，原方程的近似解可取为 七学以致用1下列函数的图像中，其中不能用二分法求解其零点的是（ ）A BC D2用二分法求函数()23x f x =-的零点时，初始区间可选为 CA ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,33用二分法研究函数()331f x x x =+-的零点时，第一次计算()()00,0.50,f f <>可得其中一个零点0x ∈_______，第二次应计算________．以上横线应填的内容为 AA ．()0,0.5 ()0.25fB ．(0,1) ()0.25fC ．()0.5,1 ()0.75fD ．()0,0.5 ()0.125f 八课堂小结（九）课后巩固1必做题： P91 练习第1题P92 习题组第1,2题2选做题：阅读课本P93阅读与思考,回答下面问题中外历史上方程的求解经历了哪些过程？结合阅读材料和二分法的学习与应用，你对二分法及对数学有哪些新的认识？（十）教后反思。