二次根式
【知识回顾】 1.二次根式：式子
a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：
（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
a （a ＞0）
a -（a ＜0）
0 （a =0）；
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab a ·b （a≥0，b≥0）；
b b
a a
=
b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
【典型例题】
1、概念与性质
例1、下列各式
1）222
11,5,3)2,4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围
（1）
x x --
+31
5；（2）2
2)-(x
例3、 在根式1)
2
2
2;2);3);4)275
x
a b x xy abc +-，
最简二次根式是（ ）A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)
例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x y
y x x y y x x x y
例5、已知数a ，b ，若2
()a b -=b －a ，则 ( )
A. a>b
B. aC. a≥b
D. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将
根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.
； B. －
； C. －
； D.
例2. 把（a －b ）－1
a －
b 化成最简二次根式
例3、计算：
例4、先化简，再求值：
11()b a b b a a b ++++，其中51+，51-．
例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：
222
()a b a b ---
4、比较数值 （1）、根式变形法
当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b （2）、平方法
当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。 例2、比较323
（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例331-21
-
（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较1514-与1413-的大小。
（5）、倒数法
例5、比较76-与65-的大小。
（6）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔< 例6、比较2131++与2
3
的大小。
5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程：
， 验证：
；
验证:
.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4
415
的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程.
例3、已知a>b>0，a+b=6ab ，则a b
a b
-+的值为（ ） A ．
22 B ．2 C ．2 D ．12
例4、甲、乙两个同学化简
时，分别作了如下变形：
甲：
=
=
；
乙：=。
其中（ ）A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确
【基础训练】
1．化简：（1）72=__ __；（2）22
2524-=___ __
（3）61218⨯⨯=___ _；
（4）3275(0,0)x y x y ≥≥=___ _；
（5）
_______420=-。 2.)化简
()
2
4-=_________。
3.计算4的结果是
Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4 4. 化简：（1）9的结果是 ； （2）123-的结果是 ；
（3）825-= （4））5x -2x =_____ _； （5）3＋（5－3）=_________； （6） ； （7）
＝________；
（8） ．
