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材料力学课件第十章

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材料力学课件-10截面的静矩和形心位置

材料力学课件-10截面的静矩和形心位置
实际应用
静矩在结构设计中的应用
抗弯设计
在结构设计时，需要考虑到截面的抗弯能力。静矩是计算 抗弯能力的重要参数，通过计算截面的静矩，可以确定截 面的抗弯刚度，从而优化结构设计。
稳定性分析
在分析结构的稳定性时，静矩也是一个重要的参数。通过 比较不同截面的静矩，可以判断结构的稳定性，并优化截 面设计。
材料选择
优化设计
通过深入了解静矩和形心位置， 可以更好地优化结构设计，提高 结构的稳定性和安全性践
静矩和形心位置不仅是理论上的 概念，更是指导实践的重要工具 。在实际工程中，这些概念的应 用有助于确保结构的可靠性和安 全性。
THANK YOU
感谢观看
静矩的计算方法
直接积分法
适用于规则截面，通过积分计算得到静矩。
表格法
根据已知的规则截面尺寸和载荷分布，查找表格 中的静矩值。
近似法
对于不规则截面，可以采用近似法估算静矩值。
静矩的性质
静矩具有方向性
根据右手定则判断矩心的方向。
静矩与截面尺寸和形状有关
不同尺寸和形状的截面具有不同的静矩值。
静矩是内力分布的面积分
03
位置，形心位置与截面的形状密切相关。
截面尺寸对形心位置的影响
01
同一形状的截面，尺寸不同时，其形心位置也会发生变化 。
02
例如，矩形截面长度和宽度不同时，其形心位置会有所偏 移。
03
截面尺寸对形心位置的影响：同一形状的截面，尺寸不同时， 其形心位置也会发生变化，但总是位于截面的面积中心。
04
在选择材料时，静矩也是重要的参考因素。不同材料的截 面静矩不同，选择合适的材料可以保证结构的稳定性和安 全性。
形心位置在结构设计中的应用

材料力学课件PPT

材料力学课件PPT

力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能
一
试
件
和
实
常
验
温
条
、
件
静
载
材料拉伸时的力学性质
材料拉伸时的力学性质
二 低 碳 钢 的 拉 伸
材料拉伸时的力学性质
二 低碳钢的拉伸（含碳量0.3%以下）
e
b
f 2、屈服阶段bc（失去抵抗变 形的能力）
b
e P
a c s
s — 屈服极限
（二）关于塑性流动的强度理论
1．第三强度理论（最大剪应力理论） 这一理论认为最大剪应力是引起材料塑性流动破坏的主要
因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要构件危险 点处的最大剪应力达到材料在单向拉伸屈服时的极限剪应力就 会发生塑性流动破坏。
这一理论能较好的解释塑性材料出现的塑性流动现象。 在工程中被广泛使用。但此理论忽略了中间生应力 2的影响， 且对三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性断裂破坏的事 实无法解释。
许吊起的最大荷载P。
CL2TU8
解： N AB
A [ ]
0.0242 4
40 106
18.086 103 N 18.086 kN
P = 30.024 kN
6.5圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时的强度计算
▪ 最大剪应力：圆截面边缘各点处
max
Tr
Ip
max
Wp T
Wp
Ip r
—
抗扭截面模量
3、强化阶段ce（恢复抵抗变形
的能力）
o
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob

第十章-三向应力状态简介(材料力学课件)

第十章-三向应力状态简介(材料力学课件)
应力与许用拉应力之比 [ ] 0.5 [ ]
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
应力与许用拉应力之比 [ ] 0.577 [ ]
例：填空题。
石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵 截面裂开，这与第 二 强度理论的论述基本 一致。
例：填空题。
一球体在外表面受均布压力p = 1 MPa 作用，则在球心处的主应力 1 = －1 MPa， 2 = －1 MPa， 3 = －1 MPa。
1.最大拉应力理论（第一强度理论） • 它假定：无论材料内各点的应力状态如何，
只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时 的极限应力σu，材料即破坏。
• 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb
• 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ] b
n
• 第一强度强度条件： 1 [ ]
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、 陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符， 这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应 力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也 是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最 大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它 两个主应力的影响。
V 2EA Al 2E 2
CL10TU40

变形比能：
u 1
2


u

1 2

1

1

1 2

2
2

1
2
3
3
2
1 3
变形比能：
u

1 2

1

1

1
2
2
2

1
2
3
3

材料力学课件(12-3-1)--课件

材料力学课件(12-3-1)--课件

§10-3互等定理由于弹性体的应变能是保守能，与加载次序无关，由此可以导出两个重要定理——功的互等定理和位移互等定理。

上图中的弹性体，左图中先加F1，后加F2，引起的位移分别为：δ11、δ21和δ12、δ22；右图中先加F2，后加F1，引起的位移分别为：δ12、δ22和δ11、δ21。

右图中先加F 2，后加F 1，其应变能为：左图中先加F 1，后加F 2，其应变能为：11112221121122U F F F δδδ=++21222112211122U F F F δδδ=++由于U 1=U 2，因此有：112221F F δδ=功的互等定理：F 1在F 2引起的位移δ12上所作的功等于F 2在F 1引起的位移δ21上所作的功位移互等定理：当F 1=F 2时有：δ12=δ21其中的F 1和F 2可以是由多个力组成的一组力或广义力。

2322(3) 63C A a l a lEI EIδδ-==例题：利用功的互等定理求图（a ）所示超静定梁的支座反力F A 。

设梁的抗弯刚度为EI 。

解：首先解除支座A ，作用约束反力F A ，如图（b ）。

把力F 和F A 作为第一组力。

设想在同一悬臂梁的右端作用一个F 0=1的单位力作为第二组力。

在F0=1的作用下，力F 和F A 作用点处的位移分别为：3222(3)63A C A A F l Fa l a F F EI EIδδ--=-第一组力在第二组力引起的位移上所作的功为：第一组力作用时，由于A 处是铰支座，竖向位移为零，因此第二组力在第一座力产生的位移上所作的功为零。

根据功的互等定理，有：32(3)063A F lFa l a EI EI --=解得：23(3)2A Fa l a F l -=解：1)挠度器应安装在梁端5点处；2)将F 依次作用于1、2、3、4点，测出梁端5点挠度即为F 作用于梁端时1、2、3、4各点的挠度。

例10-3 用一个固定位置挠度计，测量图示悬臂梁1、2、3、4各点的挠度，挠度计应安装在何处？如何测量？12345F挠度记F 51δ 15=δ 51F 52δ 25=δ 52F δ 35= δ 53δ 53F δ 45= δ 5454。

《材料力学》课件10-4梁的极限弯矩·塑性铰

《材料力学》课件10-4梁的极限弯矩·塑性铰
保梁的状态正常且安全。
对于出现塑性铰的梁，应及 时进行加固或更换，以避免 因梁的承载能力下降而导致
结构安全事故。
在使用过程中，应加强对梁的 维护和保养，定期清理和涂装 ，以延长梁的使用寿命和保持
其良好的工作状态。
05
总结与展望
研究现状与成果
01
塑性铰的发现
塑性铰是材料在达到屈服点后发生塑性形变时，在梁内部形成的一种特
《材料力学》课件10-4梁的极限 弯矩·塑性铰
• 梁的极限弯矩 • 塑性铰 • 梁的极限弯矩与塑性铰的关系 • 实际应用中的考虑 • 总结与展望
01
梁的极限弯矩
极限弯矩的定义
01
极限弯矩是指梁在弯曲过程中所 能承受的最大弯矩，当弯矩超过 这个值时，梁会发生断裂或严重 变形。
02
极限弯矩的大小取决于梁的材料 、截面形状、尺寸以及受力情况 等因素。
塑性铰的形成条件
材料屈服
01
塑性铰的形成是由于材料发生屈服，即材料承受的应力超过其
屈服极限。
截面屈服
02
塑性铰通常在梁的某一截面上形成，该截面的应力超过其屈服
极限。
弯矩承载能力降低
03
塑性铰形成后，梁的弯矩承载能力将降低，但剪切承载能力保
持不变。
塑性铰与理想铰的区别
理想铰
理想铰是一种理想的机械装置，可以在任意位置无摩擦地转动，且不会产生任 何磨损。
但塑性铰的位置也受到梁的材料、截 面形状、加载方式等因素的影响。例 如，对于焊接而成的梁，塑性铰可能 出现在焊接缝附近。
塑性铰对梁承载能力的影响
塑性铰的形成意味着梁的承载能力达到极限，此时梁将发生断裂。因此，塑性铰对梁的承载能力具有 决定性的影响。

《材料力学》课件(10)_OK

《材料力学》课件(10)_OK

8
B
2
例题 5.7
AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
A
q0 L 6
q0
计算C点挠度
B
C
l
q0 L 3
将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半
查表
5q0 L4 384EIZ
C
1 5q0L4 2 384EIZ
5q0 L4 768EI Z
3
例题 5.8 q
A
l2
试用叠加法求图示梁C截面挠度. EI为已知。
§3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
叠加法计算位移的条件：
✓1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的； ✓2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系； ✓3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。
1
例题 5.6
试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中
截面挠度ωc和梁端截面的转角θAθB.
B
MC
FAL
1 2
qL2
0
FB 根据对称关系
FB
FA
1 2
qL
FC qL
叠加法求挠度
C
FC k
C
Cq
Ck
5q2L 4
384 EI z
FCy 2L3
48EI Z
qL4 24EIZ
k FC 24EIZ
C
L3
7
例题 5.12 悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,由四种答案,请分析判断,哪一个
EI z2
F
C1
FL32 3EI z 2
A
L1
B
L2
C
BF
FL13 3EI z1

材料力学课件 第十章压杆稳定

材料力学课件 第十章压杆稳定

sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，

材料力学课件-10截面的静矩和形心位置

材料力学课件-10截面的静矩和形心位置

材料力学课件ppt-10截面 的静矩和形心位置
本节介绍截面的静矩和形心位置。通过了解截面的定义、静力特征以及形心 的计算方法，我们可以更好地理解材料的行为和性能。
截面的定义
截面是材料在某一位置的横截面形状。了解截面的形状和尺寸对于计算静矩 和形心位置至关重要。
截面的静力特征
1 静矩的定义
静矩是截面内各个点到某一参考轴线的距离乘以该点的截面积的乘积。它示了截面对 外力的抵抗能力。
应用实例
钢梁截面静矩计算
通过计算钢梁截面的静矩和形心位置，可以评估其受力 性能，并确定适当的加固措施。
桥梁截面形心计算
计算桥梁截面的形心位置可以帮助工程师设计合适的支 撑结构，以确保桥梁的稳定性和承载能力。
总结与回顾
本节内容介绍了截面的静矩和形心位置的定义、计算方法以及应用实例。通 过深入理解这些概念，我们可以更好地分析和设计各种结构材料。
2 计算截面的静矩
可以通过积分求解截面的静矩，或者利用几何关系和图形对称性进行简化计算。
形心的定义和计算
1 形心位置的确定方法
2 不规则截面的形心计算
形心是截面上所有点的静矩之和除以截面的总面 积。它表示了截面的重心位置。
对于不规则形状的截面，可以将其分解为几个简 单形状的截面，然后计算各个简单形状的形心， 再进行合成计算。

弹性力学--第十章等截面直杆的扭转(全部)ppt课件

弹性力学--第十章等截面直杆的扭转(全部)ppt课件

s 0
(10-4）
在多连截面的 虽情 然况 应下 力 在 ， 函 每数 一边界上 ，都 但是常 各个常数一般 。并 因不 此相 ，同 只能 一把 个其 边中 界 s取 某 上为 的 零。其他边 s， 界则 上须 的根据位 件移 来单 确值 定条 。
精品课件
11
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
(1
) 2
x
2 x 2
0
(1 ) 2 y
2 y 2
0
xyzxy0
(1
) 2
z
2 z 2
0
(1)2yzy2z 0 (1)2zxz2x0
该两式要求：
2yz 0,
2zx 0
最后一式自动满足。
(1)2xyx2y0
xz
将(102)代入，得：
zx
y
(10-2）
yz
zy
x精品课件
相邻截面翘曲的程度完全相同，横截面上只有切应力，没 有正应力。 约束扭转：两端受到约束而不能自由翘曲（翘曲受到限制）。
相邻截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加正应力。
弹性力学讨论自由精品课扭件 转。
4
第十章 等截面直杆的扭转 y
10.1 扭转问题的应力和位移
x
设有等直截面杆，体力可
y
以不计，在两端平面内受有大
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移 10.2 扭转问题的薄膜比拟 10.3 椭圆截面杆的扭转 10.4 矩形截面杆的扭转
精品课件
1
学习指导
扭转问题是空间问题中的一个专门问 题。
扭转问题的理论，是从空间问题的基 本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立 起来的。扭转问题的应力函数(x，y)， 仍然是二维问题。

材料力学(全套483页PPT课件)-精选全文

材料力学(全套483页PPT课件)-精选全文
三、构件应有足够的稳定性
稳定性(stability)—构件承受外力时， 保持原有平衡状态的能力
4
材料力学的任务： 在满足强度、刚度和稳定性的要
求下，为设计既经济又安全的构件提 供必要的理论基础和计算方法。
5
1.2 变形固体的基本假设
1.连续性假设
假设在变形体所占有的空间内毫无空隙地充满了物质。即认 为材料是密实的。这样，构件内的一些力学量（如各点的位 移）可用坐标的连续函数表示，并可采用无限小的数学分析 方法。
2、横向变形、泊松比
横向线应变： b b1 b
bb
称为泊松比
32
是谁首先提出弹性定律? 弹性定律是材料力学中一个非常重要的基础定
律。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703) 首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在 胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正 比关系的记载。
1-1截面
A
X 0 N1 40 30 20 0 N1 N1 50kN(拉)
2-2截面
X 0 N 2 30 20 0
1 B 2C 3D 40 kN 30 kN 20 kN
N2
30 kN 20 kN
N2 10kN(拉)
3-3截面
N 50 kN
N3
20 kN
X 0
N 3 20 0 N 3 20 kN(压)
10 103 100 103 500 106
10 103 100 103 200 106
mm
0.015mm
计算结果为负，说明整根杆发生了缩短
35
静定汇交杆的位移计算，以例题说明。 例3 图示结构由两杆组成，两杆长度均为 l，B 点受垂直荷 载 P 作用。（1） 杆①为刚性杆，杆②刚度为 EA ，求节点 B 的位移；（2） 杆①、杆②刚度均为 EA，求节点 B 的位 移。

材料力学课件10_能量法_浙江大学

材料力学课件10_能量法_浙江大学

F
B
A
F D
C
例10-6. 试分析下列结构的位移
A
B
F
AB
B
V F
F A
F B
AB
V F
或 V ？ (2F )
F1 A
B
F2
AB
V F1
或 V F2
或？
q
AB
q
x
A w
B
y
解：线弹性、小变形条件下，弯矩 M 1 qLx 1 qx2
应变能
V
M 2 dx q2 L5
L 2EI
240EI
2
2
挠度 w q (L3 x 2Lx3 x4 )
24EI
外力功 W qdx w q2 L5
L
2 240EI
V W
思考：若计算梁弯曲的剪切应变能，功能相等 关系是否仍成立。
2 2
1
引起杆伸缩
2
L1 0，L2
2 2
2
L1 1 ，L2
2 2
(1
2
)
应变能 V
EAL2i 2Li
EA 2L
21
2
1 2
(1
2
)2
卡氏第一定理
0
V 1
EA 2L
21
2 2
1
2 2
2
F
V 2
EA 2L
2 2 1
2 2
2
解得
1
FL， EA
2
(1 2
2) FL EA
（2）余能定理与卡氏第二定理
V
L
M
2
dx
0 2EI
挠度
wB
V F

材料力学课件第十章压杆稳定

材料力学课件第十章压杆稳定

第十章
压杆稳定
① 强度
构件的承载能力
② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度,却不一定能安全可 靠地工作.
第十章
2.工程实例
压杆稳定
工程构件稳定性实验
第十章
压杆稳定
压杆稳定性实验
第十章
压杆稳定
第十章
其他形式的稳定问题
压杆稳定
F Fcr
第十章
3.失稳破坏案例
压杆稳定
案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏在圣劳伦斯河 上建造1907年8月29日，发生稳定性破坏，86位工人伤亡，成为
理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
第十章
压杆稳定
10.2 两端绞支细长压杆的临界压力
x
F
l
m w
y B
m
x y
F M(x)=-Fw
m x B m
第十章
该截面的弯矩
压杆稳定
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x )
M ( x ) Fw
F M(x)=-Fw
第十章
10.1 压杆稳定的概念
压杆稳定
1.引言
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为 σmax
例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1 能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN
FN max [σ ] A
mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所 实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发 生明显的弯曲变形,丧失了承载能力.
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A
图示杆左端固定，右端与固定支座间有δ＝0.02mm的 间隙。材料为理想弹塑性，E＝200GPa，σs=220MPa， 杆AB横截面面积A1＝200mm2，BC部分A2＝100mm2，试 计算杆件的屈服载荷Fs和塑性极限载荷Fu。 B C 杆与固定端接触前为
F
250
250
1.屈服荷载
ΔLB∠δ时为静定问题
F 2a FN1 2a FN2 a
1 F FN1 FN2 33kN 2
图示AB为刚性杆，1和2杆材料的应力－应变曲线如图b， 横截面面积为A＝100mm2，在力F作用下它们的伸长量分 别为△L1＝1.8mm和△L2＝0.9mm，试问：（1）此时结构 所受载荷F为多少？（2）该结构的极限载荷是多少？
静定问题,且BC段不受 力.接触后为超静定问 题,只有当AB.BC段同 时屈服时,杆件达到极 限状态.
l AB
AB
FLAB EA
EA1 200 103 200 F 0.02 160kN LAB 250
F 160 103 800MPa s A1 200
d
(c)
(d )
s
r
dA
Tu s dA 2
A
d 2 s 0

2 d
d 3
12
s
s dA
dA 2d
d
(d )
d s Tu 4 12 3 Ts d 3 s 16
3
当考虑材料塑性时,同一圆杆所对应的扭矩的极限值增大33％
T
Tu Ts
(1). 荷载为按比例同时由零增至最终值单调增加的静荷载. (2). 结构或构件在达到极限状态前,保持为几何不变体系,结 构保持继续承受荷载的能力. (3). 材料的应力---应变关系理想化为刚性---理想塑性模型 或弹性---理想塑性模型.

s

s
理想弹性

理想塑性
s
OO 弹性状态

塑性状态 刚性－理想塑性模型
第一节
塑性变形· 塑性极限分析的假设
I. 塑性变形的特征
① 塑性变形是永久变形 导致 受力构件内的残余应力
② 应力超过弹性范围后，应力应变呈非线性关系 P
O
△L
③ 塑性变形与加载 的历程有关

s

s

s
卸载规律
1
s

O 1 2


O 1 2 3


O 1 2 3
T Me 0
第四节
梁的极限弯矩· 塑性铰
h/2 h/2
b
(a )

s
s
s
s
o
s

s
(b)
s
(c)
s
(d )
s
dA 0
At Ac

At
s dA ( s )dA 0
Ac
ห้องสมุดไป่ตู้
在极限状态下，中性轴将截面分成面积相等 的两部分。 在极限状态下，中性轴不一定通过截面形心。只有当横 截面有两个对称轴时，中性轴才用过截面形心。
o
4 s 3

1 s 3
s
d 3 s Tu 4 3 s3 12 d 3d
16
16

M e Tu
s
Me 0
有残余应力存在
M e Tu
残余应力的特征:
1 s 3
1. 由于横截面上的扭矩为零，因而 横截面上的残余应力必自相平衡。
s
2. 如在卸载后继续反向增大外力偶 矩，当外力偶矩增大到Me=Ts时， 横截面周边的切应力将达到τs，若 继续增大外力偶矩，τ---γ将不再 保持线性关系。

2
1
1m B
a
A
a
240 MPa
O

(b)
1.2 103

(a )
F
1.确定杆1，杆2是否进入塑性
1.2 103
杆将进入塑性屈服
L1 1.8 10 3 1.8 103 1.2 103 杆1已塑性屈服 1 L1 1 L2 0.9 10 3 0.9 10 3 1.2 103 杆2处于弹性变形阶段 2 L2 1
F
250
250

2.极限荷载 当F≥Fs，杆开始自由伸长，直到杆BC的C端与右固定端相接。然 后，继续增大F，杆BC受压，当BC杆内压力达到σs时，结构成为 塑性机构，这时的F就是结构的极限荷载Fu。
Fu Fs s A2 44 103 220 100 66kN
第三节
D
一般铰处弯矩为零，而塑性 铰承担着，因此一般铰可以 双向转动：而塑性铰单向自 由转动。因为如果发生反向 转动，就意味着结构卸载截 面将重新进入弹性状态，这 将使反向转动成为不自由。
D
塑性铰
本章作业
(II)2－2， (II)2－4， (II)2－6，

O

弹性－理想塑性模型
第二节
拉压杆系的极限荷载
屈服荷载
结构（或构件）开始出现塑性变形时的荷载FS
极限荷载
使结构（或构件）处于极限状态的荷载FU
图示AB为刚性杆，1和2杆材料的应力－应变曲线如图b， 横截面面积为A＝100mm2，在力F作用下它们的伸长量分 别为△L1＝1.8mm和△L2＝0.9mm，试问：（1）此时结构 所受载荷F为多少？（2）该结构的极限载荷是多少？
s
ydA M
M u y s dA
AC
o
y
At
S dA
z
s ( ydA ydA)
At Ac
s (St Sc )
y
z
M s sW
M u sWs
对于矩形截面梁
Ws St Sc
塑性弯曲截面系数
1 h 1 2 St S c bh bh 2 4 8 1 2 bh s 4

(a )
F
2.计算荷载F的大小
1 s 240MPa
FN1 A s 100 240 24kN
2 E 2
M
A
0，
240 FN 2 2 A E 2 A 18kN 3 0.9 10 3 100 1.2 10

2
1
a
A
FN 2
a
FN 1
1m B
240 MPa
O

(b)
1.2 103

(a )
F
当杆1和杆2均进入塑性变形时，结构成为塑性结构，失去承载能力，这 时的F值即为结构的极限荷载
FN1 FN 2 s A 240100 24kN
1 Fu FN1 FN 2 36kN 2
M u sWs s St Sc
1 2 M s sW bh s 6
Mu 1.5 Ms
不同的截面其比值不同

s

u
s
o
s

o
3 s 2

有残余应力存在
1 s 2


s
M Mu
M M u
M 0
塑性铰与一般铰的区别：
F
A
B
C
D
A
B
C
图示AB为刚性杆，1和2杆材料的应力－应变曲线如图b， 横截面面积为A＝100mm2，在力F作用下它们的伸长量分 别为△L1＝1.8mm和△L2＝0.9mm，试问：（1）此时结构 所受载荷F为多少？（2）该结构的极限载荷是多少？

2
1
a
A
FN 2
a
FN 1
1m B
240 MPa
O

(b)
1.2 103
max
等直圆杆扭转时的极限扭矩
T 16T WP d 3

32TL 2 16TL 2 max L TL 4 3 Gd d Gd GI P Gd
TS SWP
2 S L S Gd
d 3
16
S
Me
Me
d
L
(a )

s
o s
(b)

s
s
r
即当AB变形小于δ时，AB杆已进入塑性屈服
Fs s A1 220 200 44kN
A
图示杆左端固定，右端与固定支座间有δ＝0.02mm的 间隙。材料为理想弹塑性，E＝200GPa，σs=220MPa， 杆AB横截面面积A1＝200mm2，BC部分A2＝100mm2，试 计算杆件的屈服载荷Fs和塑性极限载荷Fu。 B C

同一应力σ对应不同的应变值ε
O




s
1
1
1
2
O
2


O


O


同一应变值ε 对应不同的应力σ
④ 一般金属材料的塑性变形量远大于弹性变形量.

1
s
p:
塑性应变
弹性应变 : 0.5％----1％
p e
e:
p e
O

e
2. 塑性极限分析的假设