二项分布的现实例子

二项分布

两点分布: 又称伯努利分布或0-1分布，是离散型的随机变量，变量只能取两个值，非0即1.

两点分布如下：

二项分布是重复n次的伯努利试验，当n等于1时，为伯努利分布。在每次试验中只有两种可能的结果（0或者1），而且两种结果发生与否互相对立，相互独立。

抛硬币例子：现在抛硬币n次，确定k次正面朝上的概率，已知正面朝上的概率为p.

在n次实验中，选择k次正面朝上，有

种可能，每一种可能的发生概率为pk(1-p)n-k。

即：k次正面朝上（n-k负面朝下）的概率为：

由此，二项分布的分布列（律）为：

多项分布

多项分布是二项分布的推广，同样是重复n次实验，不同的是每次实验的取值不只2种，而有k种。

抛骰子例子：现在抛骰子n次，该骰子有6个面，已知每一个面的概率分别为p1,p2,p3,p4,p5,p6. 现在想知道各个面出现次数分别为k1,k2,k3,k4,k5,k6的概率是多少？

在n次实验中，分别让各个面出现次数为k1,k2,k3,k4,k5,k6次，有

种可能，每一种可能的发生概率为 。

即：该概率为：

由此，对于n次实验，每次实验的取值有k种，k种情况分别发生了x1…xk次，概率分别为p1…pk.

即：多项分布的分布列（律）为：

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【模块标题】二项分布

【模块目标】★★★★★☆ 迁移

【模块讲解】 二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生.但在试题中，有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况

知识回顾：

1.定义：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,,n，

并且()()1nkkk

nPkCpp−==−（其中0,1,2,,kn=），即分布列为

 0 1 2

P ()001n

nCpp− ()1111n

nCpp−− ...

 k ... n

P (1)kknk

nCpp−− ...

()01nn

nCpp−

称这样的随机变量服从二项分布，记作：()npB，﹒

2.二项分布的期望与方差：若()npB，，则()=Enp，()()1Dnpp=−

【教材内容1】利用二项分布的计算式求解问题(3星)

一.题型分类：

1.二项分布基本概念题型；

2.根据二项分布求某一事件的概率； 目标1 ★★★☆☆☆ 操作 学会计算二项分布的数字特征

目标2 ★★★★☆☆ 识别 学会二项分布在实际问题中的应用

目标3 ★★★★★☆ 迁移 利用不等式求解二项分布最值问题 2

3.根据二项分布求某一范围的概率；

4.根据二项分布求EX、DX及其变形；

5.根据EX求概率p及某一事件的概率

6.根据EX和DX求np

二.方法步骤：

1.根据条件判断是否服从二项分布；

2.根据二项分布的性质列出相应的分布列

3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差；

三.难点： 本节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布

里面的参数，然后套用公式进行求解。

例1. 下列随机变量

服从二项分布的是（ ）。

二项分布及其应用

导学目标： 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题．

自主梳理

1．条件概率及其性质

(1)设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

(2)条件概率具有的性质：

①__________________；

②如果B和C是两个互斥事件，则

P(B∪C|A)＝________________.

2．相互独立事件

(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B____________.

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝______，

P(AB)＝________________＝________________.

(3)若A与B相互独立，则________________，________________，________________也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则________________．

3．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布．记作____________．

【自我检测】

1．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，14，则密码被译出的概率为( )

A．0.45 B．0.05 C．0.4 D．0.6

2．一学生通过一种英语听力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )

A.14 B.13 C.12 D.34

《二项分布》之实例引入

《二项分布》是概率论中一个非常重要的概率分布，它描述了重复独立进行的二元实验中成功次数的概率分布。在现实生活中，我们经常会遇到类似的问题，比如投掷硬币出现正面的次数、抽取球的颜色等等。本文将通过一些实例引入《二项分布》，帮助读者更好地理解这一概念。

我们以一个投掷硬币的实例来引入《二项分布》。假设我们有一枚公平的硬币，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率也为0.5。现在我们进行了10次硬币的投掷，我们想知道在这10次投掷中，正面朝上的次数符合什么样的分布。这时，我们就可以使用《二项分布》来描述这一情况。因为每次硬币投掷都是独立事件且具有相同的成功概率，符合《二项分布》的条件。

在这两个例子中，我们可以看到《二项分布》的应用场景非常广泛。无论是硬币的投掷，还是扑克牌的抽取，只要满足独立重复试验和成功概率相同的条件，我们都可以使用《二项分布》来描述这些事件的概率分布。

在概率论中，我们将满足《二项分布》条件的随机变量称为二项随机变量。对于一个二项随机变量X，它的概率分布函数为：

P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)

n表示进行了n次独立重复试验，k表示成功事件发生的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。这个概率分布函数描述了在进行了n次独立重复试验中，成功事件发生k次的概率。

下面我们通过一个具体的实例来计算《二项分布》的概率。假设我们有一枚公平的硬币，现在进行了5次独立的投掷，我们想知道其中正面朝上的次数为2的概率是多少。这就是一个典型的《二项分布》问题。

根据《二项分布》的概率分布函数，我们可以计算出P(X=2)的概率：

P(X=2) = C(5,2)*(0.5)^2*(1-0.5)^(5-2) = 10*(0.5)^2*(0.5)^3 = 0.3125

所以在进行了5次独立的硬币投掷中，出现2次正面朝上的概率为0.3125。通过这个例子，我们可以看到《二项分布》的概率计算方法非常简单直观，只需要按照概率分布函数进行计算即可。