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二项分布应用举例

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推荐精选 二项分布及其应用

知识归纳

1．条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做

，用符号

来表

示，其公式为P(B|A)＝ .

在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个

数，则P(B|A)＝ .

(2)条件概率具有性质：

① ；

②如果B和C是两互斥事件，则P(B＋C|A)＝

．

2．相互独立事件

(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝ ，

P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝

．

(3)若A与B相互独立，则

， ， 也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则 ．

3．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为

(p为事件A发生的概率)，若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为 ．

自我检测

1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )

A.18 B.14

C.25 D.12

解析：条件概率P(B|A)＝PABPA P(A)＝C23＋1C25＝410＝25，P(AB)＝1C25＝110，∴P(B|A)＝11025＝14.

2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )

A．C10123810582 B．C91138958238 C．C911589382 D．C911389582

解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P(ξ＝12)＝C911389·582·38.

3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )

推荐精选 A.12

B.35

C.23

D.34

解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，∴每场比赛甲、乙赢的概率均为12.

记甲获冠军为事件A，则P(A)＝12＋12×12＝34

4．(2010·福建高考，13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．

解析：由题设分两种情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4. (2)第1、2个错误，第3、4个正确，由互斥事件的概率公式得P2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. ∴P＝P1＋P2＝0.128.

5．(2011·上海高考，12)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．

解析：设事件A为“至少有2位同学在同一月份出生”，则A的对立事件A为“所有人出生月份均不相同”，则P(A)＝1－P(A)＝1－A912129＝1－12×11×10×9×8×7×6×5×4129

≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985.

题型讲解

例1.(2011·湖南高考，15)如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；

(2)P(B|A)＝________.

[解析] ∵P(A)＝S正方形S圆＝22π＝2π.

P(B|A)＝PABPA＝S△EOHS正方形＝14.

[规律方法]……………►►条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PABPA.这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.

练习1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点

推荐精选 数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．

推荐精选 解析：(1)①P(A)＝26＝13. ②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．∴P(B)＝1036＝518. ③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝536. (2)由(1)知P(B|A)＝PABPA＝53613＝512.

例2.(2012·重庆高考，18)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．

解析] 设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝13，P(Bk)＝12(k＝1,2,3)．

(1)记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知

P(C)＝P(A1B1)＋P(A1 B1 A2B2)＋P(A1 B1

A2 B2 A3

B3)

＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)

＝23×12＋232122＋233123＝1327.

(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)＝P(A1 B1 A2B2)＋P(A1

B1 A2 B2A3)

＝P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)

＝232122＋23212213＝427.

[规律方法]……………►►(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单．

练习2．(2011·山东高考，18改编)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；

(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．

解析：(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F.则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.

红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DE F)＝0.6×0.5×0.5

推荐精选 ＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55

(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.

又由(1)知D EF、D EF、DE F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，

因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，

P(ξ＝1)＝P(D EF)＋P(DE F)＋P(DE F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35， P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：

ξ 0 1 2 3

推荐精选 P 0.1 0.35 0.4 0.15

例3.(2010·四川高考，17改编)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率，

(2)求中奖人数Ｘ的分布列．

[解析] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝16.

P(A·B·C)＝P(A)P(B)P(C)＝16×562＝25216.甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216.

(2)X的可能取值为0,1,2,3. P(Ｘ＝k)＝Ck316k563－k，k＝0,1,2,3.所以中奖人数X的分布列为

X 0 1 2

3

P 125216 2572 572 1216

[规律方法]………………►►(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．

练习3．(2012·四川高考，17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；

(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．

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二项分布及其应用

二项分布及其应用

二项分布及其应用

导学目标： 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题．

自主梳理

1．条件概率及其性质

(1)设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

(2)条件概率具有的性质：

①__________________；

②如果B和C是两个互斥事件，则

P(B∪C|A)＝________________.

2．相互独立事件

(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B____________.

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝______，

P(AB)＝________________＝________________.

(3)若A与B相互独立，则________________，________________，________________也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则________________．

3．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布．记作____________．

【自我检测】

1．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，14，则密码被译出的概率为( )

A．0.45 B．0.05 C．0.4 D．0.6

2．一学生通过一种英语听力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )

A.14 B.13 C.12 D.34

二项分布 分布律公式

二项分布 分布律公式

二项分布 分布律公式

摘要：

一、二项分布简介

1.二项分布概念

2.二项分布的应用场景

二、二项分布的分布律公式

1.公式推导

2.公式含义解释

3.公式应用举例

三、二项分布与概率论的关系

1.二项分布与概率的关系

2.二项分布与其他分布的关系

四、结论

1.对二项分布的理解和掌握

2.对二项分布应用的建议和展望

正文：

一、二项分布简介

二项分布，是离散型概率分布的一种，描述了在 n 次独立重复试验中，成功次数 k 的概率分布。它的名字来源于二项式定理，是概率论中非常重要的一个分布。

二项分布的应用场景非常广泛，例如：掷骰子的点数、抽奖中奖的概率、产品检验中的合格率等，都可以用二项分布来描述。

二、二项分布的分布律公式

二项分布的分布律公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中，P(X=k) 表示成功次数为 k 的概率，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k

个元素的组合数，p 表示每次试验中成功的概率，n 表示试验次数。

公式推导：假设成功的概率为 p，失败的概率为 1-p，那么在 n 次独立重复试验中，成功次数 k 的概率可以表示为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(n-k)。

公式含义解释：P(X=k) 表示在 n 次独立重复试验中，成功次数为 k 的概率。C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数，反映了试验的组合方式。p^k 表示每次试验中成功的概率，(1-p)^(n-k) 表示每次试验中失败的概率。

公式应用举例：假设有一个产品检验过程，每次检验成功的概率为 0.8，失败的概率为 0.2。现在进行 5 次独立重复检验，求成功次数为 3 次的概率。根据公式，P(X=3) = C(5, 3) * 0.8^3 * 0.2^2 = 10 * 0.512 * 0.04 =

分布列知识点与应用举例

分布列知识点与应用举例

分布列知识点与应用举例

分布列是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了一组可能值的出现概率。在实际应用中，我们经常会遇到各种各样的概率分布，并使用它们来描述和解决各种问题。下面是一些常见的概率分布及其应用的举例。

1.二项分布

二项分布是最常见的概率分布之一，它描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。在实际应用中，二项分布经常被用来描述二元事件的概率，比如投硬币、赌博、产品缺陷等。举个例子，假设一个投硬币游戏中硬币正面的概率为0.5，现在进行了100次投掷，我们想知道正面出现60次的概率。这个问题可以用二项分布来解决。

2.正态分布

正态分布又称为高斯分布，它是概率论中最重要的概率分布之一，也是自然界和社会现象中许多变量的分布模型。正态分布的概率密度函数呈钟形，对称地分布在平均值周围。在实际应用中，正态分布经常被用来描述连续型变量的分布，如身高、体重、考试分数等。举个例子，假设一些班级的考试分数服从正态分布，平均分数为80分，标准差为10分，我们想知道成绩在70分至90分之间的学生所占的比例。这个问题可以用正态分布来解决。

3.泊松分布

4.指数分布

指数分布是一种连续型的概率分布，描述了独立均匀分布的随机变量第一次成功所需时间的概率分布。指数分布的概率密度函数随着时间的增长而减小。在实际应用中，指数分布经常被用来描述一些随机事件的持续时间，如等待时间、故障间隔时间等。举个例子，假设一些网站的平均用户等待时间为5分钟，我们想知道一个用户等待时间小于10分钟的概率。这个问题可以用指数分布来解决。

总之，概率分布在实际应用中有着广泛的应用。通过了解和应用不同的概率分布，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。以上只是一些常见的概率分布及其应用的举例，实际应用中还有很多其他的概率分布，每个分布都有其自身的特点和适用领域。

二项分布最大概率项的取法

二项分布最大概率项的取法

二项分布最大概率项的取法

1. 什么是二项分布？

大家好，今天咱们来聊聊一个看似复杂但其实蛮有趣的数学话题——二项分布。别被它的名字吓到，其实二项分布就是用来描述那些每次试验都有两个可能结果的情况，比如抛硬币。你是不是还记得小学时候的那个经典例子：你抛了硬币若干次，问问硬币正面朝上的次数，结果会是怎样的？这就是二项分布的基本应用。

2. 二项分布的最大概率项

好啦，既然我们知道了什么是二项分布，那接下来就来看看如何找到最大概率项。别担心，这里不会有太多晦涩难懂的公式，我们用一种简单的方式来搞定它。咱们先来个形象的比喻：你在聚会中想找最受欢迎的食物，那你自然会想知道大家最喜欢什么对吧？这就像我们找二项分布中的最大概率项一样。

2.1. 确定概率

首先，我们得了解一下什么情况下，某个结果的出现概率最大。在抛硬币的例子里，每次抛硬币都有50%的概率是正面，50%的概率是反面。那如果你抛了很多次硬币，你会发现，正面朝上的次数大概是总次数的一半，这种情况下的概率最大。这就是所谓的“期望值”或者说是“中间值”。

2.2. 公式来帮忙

如果我们把这个情况用数学公式表达出来，那么就是用二项分布公式里的“k”值，也就是成功次数。找到这个“k”值，就等于找到了概率最大的那个项。这个“k”值其实就是“n乘p”的结果，n是总次数，p是每次试验成功的概率。比如说，抛10次硬币，成功的概率是0.5，那么“k”值就是10乘0.5，也就是5次。

3. 实际应用

好啦，咱们来看看这个理论在实际生活中怎么用。想象一下你在一个拼图比赛里，每个拼图的概率都是独立的。你希望知道在完成拼图的过程中，哪一步的成功概率最大。用咱们刚才的理论，你就可以算出在完成一半拼图的时候，你成功的几率最大。这样一来，你就能更好地安排你的拼图策略了，真是妙不可言！

3.1. 计算举例

为了让大家更明白，我们来个具体例子。假设你在投掷一枚不太均匀的骰子，总共投掷了20次，骰子朝上3点的概率是0.2。你想知道出现3点的次数最有可能是多少？那你就要把20乘以0.2，结果是4次。也就是说，你最有可能在20次投掷中看到4次3点的结果。