奥数知识点 间隔问题

间隔问题

➢ 植树问题：

植树问题是最典型的间隔问题;植树问题,要牢记四要素：

① 路线长 ② 间距棵距长 ③ 棵数 ④ 间隔数

关于植树的路线,有封闭与不封闭两种路线;

1.不封闭路线

① 若题目中要求在植树的线路两端都植树,则棵数比段数多1;如上图把总长平均分成5段,但植树棵数是6棵;

全长、棵数、间距三者之间的关系是：

棵数=间隔数+1 / 间隔数=棵数-1

全长=间距×棵数-1

间距=全长÷棵数-1

② 如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数就比在两端植树时的棵数少1,即棵数与段数相等;全长、棵数、株距之间的关系就为：

全长=间距×棵数；

棵数=间隔数=全长÷间距；

间距=全长÷棵数;

③ 如果植树路线的两端都不植树,则棵数就比②中还少1棵;

棵数=间隔数-1=全长÷间距-1

间距=全长÷棵数+1

例1、小明在马路的一边种树,每隔3米种一棵树,共种了11棵,问这段马路有多长

分析：两端种树：全长=间距×棵数-1= 3×11-1=30米

例2、马路的一边挂了16盏红灯笼,每隔一盏红灯笼就有一盏菠萝灯笼,请问共多少菠萝灯笼

分析：两端种树：菠萝灯笼的数量=红灯笼的间距数= 16-1=15个

2.封闭的植树路线 例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因为头尾两端重合在一起,所以种树的棵数等于分成的段数;如右图所示;

棵数=间隔数=周长÷间距

周长=株距×数棵段数

株距=周长÷棵数段数

例3、在一个圆形小花园内的四周植树8棵,每两棵树之间的间隔是3米,请问：这个小花园的周长一共有多长

分析：封闭的植树路线：周长=株距×数棵段数= 3×8 = 24米

➢ 间隔问题在实际中的应用

一 锯木头问题

锯木头问题是“两端无点”的植树问题,锯点相当于棵数;

锯木头的时间是花在次数上的,所以知道了次数,也就可以计算出锯木头需要花的时间;

例4、一根木头被锯成5段,需要锯几次

分析：两端无点：棵数=间隔数-1=5-1=4次

例5、有一根木头,要锯成5段需要8分钟,如果要锯成19段,需要多少分钟

分析：两端无点：棵数=间隔数-1=5-1=4次

每锯一次的时间=8÷4=2分钟

锯19段：锯的次数=19-1=18次,时间：18×2=36分钟

例6、一段木料,每3米锯一段,一共锯了7次,这段木料一共有多长

分析：两端无点：间隔数=棵数+1=7+1=8段；长度：8×3=24米

二 爬楼问题

爬楼问题是“两端有点”的植树问题,楼层数当于棵数,间隔段数相当于爬了几层;

间隔段数=大楼层数-小楼层数

爬楼梯问题,时间是花在段爬了几层上的,知道段数,也就能计算出爬楼花的时间;

例7、小巧家住在8楼,她每天回家要爬几层楼呢

分析：两端有点：间隔数=棵数-1爬了几层=楼层楼-1=8-1=7段

例8、小林家住在四楼,他每上一层楼要走14级台阶,小林从一楼走到三楼要走多少级台阶

分析：两端有点：爬了几层=楼层楼-1=4-1=3段； 台阶总数=3×14=42级 例9、优优从1楼走到5楼需要4分钟,那么用同样的速度,他从1楼走到8楼需要几分钟

分析：两端有点：间隔数=棵数-1爬了几层=楼层楼-1=5-1=4段

速度每分钟走几层楼：4÷4=1层

走到8楼的段数=8-1=7段,时间：7×1=7分钟

三 敲钟问题

敲钟问题也是植树问题中“两端有点”的情况;时间是从第1下敲响之后开始算起;

敲钟问题的时间也是花在段上的,知道了间隔也就可以计算出敲钟所需要的时间;

例10、闹闹家的钟敲2下需要2秒,那么敲7下需要几秒

分析：两端有点：间隔数=棵数-1间隔数=敲钟数-1=2-1=1段

敲7下需要的时间：7-1×2÷1=12秒钟

例11、一座大钟,1点敲1下,几点就敲几下,2点时要敲2下,两下之间的间隔要用2秒,共用4秒敲完;问10点钟要敲10下,多少秒才能敲完

四 排队长度问题

排队问题也是植树问题中“两端有点”的情况;队伍长度是从第1个人到最后1个人;

例12、同学们上体育课,有10个男生排成一排,相临两个男生相隔１米;问这排男生排列的长度有多少米

分析：10个男生排成一排,有几个间隔和前面一样,应有9个间隔,也就是9个1米;

解：1×10-1=9米 答：这排男生排列的长度排有9米;

例13、小明用15张纸订成一个本子,每隔3页夹进一片树叶,问这个本子内共夹进几片树叶

分析：把15张纸按3张纸一组可以分成5组,因为,3+3+3+3+3=15;

那么相邻的两个组之间的间隔就：5-1=4个;

例14、学校有一块正方形的草坪,为了让这块草坪更漂亮,绿化小组的成员决定沿正方形草坪一周种上树,要求每边植7棵,并且四个角上都要植,一共要几棵怎么计算

分析：如图,如果要求每个角上种一棵,那么现在每条边上已经有了2棵树,要保证每条边上有7棵树,那么每条边上还需要种7－2＝5棵,则4条除去4个角外还需要在种5＋5＋5＋5＝20棵,再加之角上的4棵树,

所以一共需要种20+4＝24棵 例15、有一本儿童故事书,共有40页,如果从头数起每隔3张纸,夹一个书签,请问：

这本书应该夹几支书签

解：一张纸有2页,所以40页书共有20张纸,从第1张数起,每过三张夹一支书签;

共要夹6支书签,

例16、有A、B二人比赛爬楼梯,A跑到4层时,B恰好跑到3层,按照此速度,A跑到19

层时,B跑到多少层

解：当A到4层时,B到3层,因此A上3段楼梯,B上2段楼梯,

当A到19层时共上了18层,相当于6个三层,

因此B上了2＋2＋2＋2＋2＋2＝12层楼梯,到12＋1＝13层

例17、从下午2点到晚上9点,时钟共敲了几下每个半点敲一个,整点时几点就敲几下

解：从下午2点到晚上9点,共有9－2＋1=8个整点,他们之间有7个间隔用于敲半点钟,

共敲了：2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋7＝2＋9×8÷2＋7＝44＋7＝51下

例18、一座楼房每上一层要走9级台阶,到小丁当家要走36级台阶,请问小丁当家住几楼

解：到小丁当家要走36级台阶,含有4个9,说明楼梯层数为4层,小丁当家住4＋1＝5楼

例19、一个公园有个三角形的水池,园艺工人要在水池边上种植柳树,要求每条边上种5株树,那么请问公园为了节约支出需要购买多少株柳树来美化池塘呢

解：那么就应该在每个角上种植一株柳树,所以公园需要购买4＋4＋4＝12棵