信号与系统第5章习题答案
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专业知识 整理分享 第5章连续时间信号的抽样与量化
5.1试证明时域抽样定理。
证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为
T(t)(tnT) sn
由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：
1
Fs()F()T
2 ()
1
T s
n Fn
s
式中F()为原信号f(t)的频谱，T()为单位冲激序列T(t)的频谱。可知抽样后信
号的频谱()
F由F()以s为周期进行周期延拓后再与1Ts相乘而得到，这意味着如果 s
s2，抽样后的信号fs(t)就包含了信号f(t)的全部信息。如果s2m，即抽样 m
间隔 1 T
sf
2 m ，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建
原信号。因此必须要求满足 1 T
sf
2 m ，f(t)才能由fs(t)完全恢复，这就证明了抽样定理。
5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：
2t（1）Sa(50t)（2）Sa(100)
2t（3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)
SatSa
解：抽样的最大间隔 Ts12f称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率fs2fm称为奈奎 m
斯特速率，最低采样频率 s2称为奈奎斯特频率。 m
（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s，则
50)
50 25
f， m
由抽样定理得：最低抽样频率 50
fs2fm，奈奎斯特间隔 1
T。
sf
50 s
2t WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 （2）)
Sa(100)(1
100200
脉宽为400，由此可得rads
m200/，则 100
f，由抽样定理得最低抽样频率 m WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 200
fs2fm，奈奎斯特间隔 1
T。
sf
200 s
（3）Sa[(50)(50)]，该信号频谱的m50rad/s
(50t)uu
50
Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100rad/s
100
50
Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低 m
抽样频率 100
fs2fm，奈奎斯特间隔 1
T。
sf
100 s
（4）Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100
100
2t
Sa(60)(1)，该信号频谱的m120rad/s
60120
2t
所以(100)(60)
SatSa频谱的m120rad/s,则 60
f，由抽样定理得最 m
低抽样频率 120
fs2fm，奈奎斯特间隔 1
T。
sf
120 s
5.3系统如题图5.3所示，f1(t)Sa(1000t)，f2(t)Sa(2000t)，
p(t)(tnT)，f(t)f1(t)f2(t)，fs(t)f(t)p(t)。 n
（1）为从fs(t)中无失真地恢复f(t)，求最大采样间隔Tmax。
（2）当TTmax时，画出fs(t)的幅度谱Fs()。
f1(tf(t)
)
时域相乘时域抽样 fs(t)
f2(tp(t)
)
题图5.3 WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 解：
（1）先求f(t)的频谱F(j)。
1 f1(t)Sa(1000t)F1(j)[u(1000)u( 1000 1000)] WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 1
f2(t)Sa(2000t)F2(j)[u(2000)u(
2000 2000)]
F(j) 1
2 F(j 1 )F(j 2 )
1
2 1
[(u(
1000 1000)u(1000)) 1
2000 (u( 2000 ) u( 2000 )]
1
4 6
10{(3000)[u(3000)u(1000)]
2000[u(1000)u(1000)](3000)[u(1000)u(3000)]}
由此知F(j)的频谱宽度为6000，且rads
m3000/，则fm1500Hz，抽样
11
的最大允许间隔s
T max
2fm3000
（2）p(t)(tnT)，所以为用冲激序列对连续时间信号为f(t)进行采样，设原输
n
入信号f(t)的频谱密度为F()，而单位冲激序列的频谱密度为：
2
p()(n)其中 s
T n s 2
T
则根据频域卷积定理得抽样信号f(t)
s的频谱为：
11
Fs()[F()*p()]F(n) s
2T n
2
而TTmax，则s300026000rad/s
T max ，幅度谱如下图所表示。
t
5.4对信号f(t)eu(t) 进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的
频谱。 WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 解：由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：
F(j)
1 1
j
其幅度频谱和相位频谱分别为WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 1
F(j) 2
1
()arctan
单边非因果指数函数的波形f(t)、幅度谱F(j)、相位谱()如下图所示，其中a1。
()
单边指数信号的波形和频谱
显然该信号的频谱范围为整个频域，故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。抽样后
的频谱是将原信号频谱以抽样频率
s为周期进行周期延拓，幅度变为原来的 1
T s 而得到。图
略。
5.5题图5.5所示的三角形脉冲，若以20Hz频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的
时域波形如何？以图解法说明。
x(t)
-50050t/ms
题图5.5
解：三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到，具体求解可参考课本第三章。
由此可知，脉宽为幅度为E的三角形脉冲其频谱为 E
2 Sa(
4 ) 2 。其波形如图所示。
X(j)E
2
4 848
0
三角函数的频谱
在x(t)中，100ms0.1s易求得x(t)的频谱为：WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 2
X(j)0.05ESa(0.025)
4
在kk40(k)处，X(j)为零，图略。
为整数
由频域卷积定理，抽样信号的频谱为：
X 1
s(j)Xjn
T n s s
11
其中s
Ts0.05
f20Hz s ，s2fs40rad/s。抽样后的频谱是将三角形
频谱以s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的 1
T s ，可见发生了频谱混叠现象。
5.6若连续信号f(t)的频谱F()是带状的(1～2)，利用卷积定理说明当221时，
最低抽样频率只要等于2就可以使抽样信号不产生频谱混叠。
证明：由频域卷积定理的抽样信号的频谱为
1
Fs()F()T
2 ()
1
2 [F()* 2
T s
n (w n s )]
1
T s
n Fn
s
抽样后的频谱是以抽样频率
s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的 1
T s 。由于频谱
F()是带状的且221，所以当s2时频谱不会混叠。
5.7如题图5.7所示的系统。求：
（1）求冲激响应函数h(t)与系统函数H(s)；
（2）求系统频率响应函数H()，幅频特性H()和相频特性()，并画出幅频和
相频特性曲线；
（3）激励f(t)u(t)u(tT)，求零状态响应y(t)，画出其波形；
（4）激励fs(t)f(nT)(tnT)，其中T为奈奎斯特抽样间隔，f(nT)为点上 n0 WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 f(t)的值，求响应y(t)。WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 f(t)+
y(t)
-
延迟T题图5.7
解：（1）由图可知ytftftT*ut
Ts
1e
两边求拉氏变换可得YsFs
s
Ts
1e
所以Hs
s
（2）图略
Ts
1e
（3）f(t)的拉氏变换为
Fs
s
2 Ts
1e
零状态响应得拉氏变换为 YsHsFs 2
s
求拉氏反变换可得ytut2tTutTt2Tut2T
Ts
1e
（4）由Hs
可得h(t)ututTs
而ytfthtfnTtnTututT
s** ss n0
f nTu s tnTu s t nT s T
n0
