数学必修二练习题及答案

10.1.3 古典概型一、选择题1．下列有关古典概型的四种说法：①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率()kP An=.其中所正确说法的序号是（）A．①②④B．①③C．③④D．①③④【答案】D【解析】②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.故选:D.2．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( )A．15B．14C．49D．59【答案】C【解析】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,故所求概率为49,故选：C.3．甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 4．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（ ）A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A a A b A c B b B c C c ，共 6种,∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C. 5．（多选题）下列概率模型是古典概型的为( )A ．从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小B ．同时据两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10人站成一排,其中甲,乙相邻的概率 【答案】ABD【解析】古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.显然A､B､D符合古典概型的特征，所以A､B､D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：ABD.6．（多选题）张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是（）A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜【答案】ACD【解析】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;选项B中,张明获胜的概率是12,而李华获胜的概率是14,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.故选：ACD二、填空题7．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率是_______．【答案】1 6【解析】抛掷一个骰子两次，基本事件有36种，其中符合题意的有：()()()()()()4,6,5,5,,5,6,6,4,6,5,6,6共六种，故概率为61 366=.8．有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是_______．【答案】3 5【解析】五张扑克牌中随机抽取两张，有：12、13、14、15、23、24、25、34、35、45共10种，抽到2张均为红心的有：12、13、14、23、24、34共6种，所以，所求的概率为：63105=故答案为：35. 9．从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则为整数的概率= ．【答案】16【解析】：从2，3，8，9中任取两个数记为,a b ，作为作为对数的底数与真数，共有2412A =个不同的基本事件，其中为整数的只有23log 8,log 9两个基本事件，所以其概率21126P ==. 10．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________． 【答案】0.2【解析】∵A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件，且P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”是对立事件，且P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38. 设事件E ＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B ∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2. 三、解答题11．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅰ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）516.（Ⅰ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为5 16．（Ⅰ）满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为6 16；小亮获得饮料的概率为5651161616 --=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．12．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.(1)求正整数a ，b ，N 的值；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？ (3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率． 【答案】（1）25,100，250； （2）1人，1人，4人； （3）815. 【解析】 (1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =. 且0.08251000.02b =⨯= 总人数252500.025N ==⨯ (2)因为第1,2,3组共有2525100150++=人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=， 第2组的人数为2561150⨯=，第3组的人数为10064150⨯=， 所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1C ，2C ，3C ，4C 则从6人中抽取2人的所有可能结果为：()A B ，，()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，()12C C ，，()13 C C ，，()14C C ，，()()2324 C C C C ，，，，()34C C ，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：()1AC ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，共有8种．8 15.所以恰有1人年龄在第3组的概率为。

（数学2必修）第一章 空间几何体 一、选择题1．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（ ）A. 1:2:3B. 1:3:5C. 1:2:4D. 1:3:92．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ） A. 23 B. 76C. 45D. 563．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积 分别为1V 和2V ，则12:V V =（ ）A. 1:3B. 1:1C. 2:1D. 3:14．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D. 2:95．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：A. 224cm π，212cm πB. 215cm π，212cmπC. 224cm π，236cm πD. 以上都不正确二、填空题1. 若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是060，则圆锥的体积是_______。

2.一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 . 3．球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.4．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米.5．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________。

三、解答题1. （如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱， 求圆柱的表面积65P ABCVEDF2．如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，22CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练A 组] 一、选择题1．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第8题)(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160． 8．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3． 另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6． 16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12． 三、解答题 17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第18题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2，即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 19．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥 ＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π．20．解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积COAV 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)．(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ． 棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45， 仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10，仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．。

高中数学必修二练习题（人教版，附答案）本文适合复习评估，借以评价学习成效。

一、选择题1. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A.3B.-2C. 2D. 不存在2．过点且平行于直线的直线方程为（）A． B．C．D．3. 下列说法不正确的．．．．是（）A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.4．已知点、，则线段的垂直平分线的方程是（）A． B． C． D．5. 研究下在同一直角坐标系中，表示直线与的关系6. 已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A.一定是异面B.一定是相交C.不可能平行D.不可能相交7. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是( )（A）①和②（B）②和③（C）③和④（D）①和④8. 圆与直线的位置关系是（）A．相交 B.相切 C.相离 D.直线过圆心9. 两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（）A．－1 B．2 C．3 D．010. 在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么( )A．点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内 D.点P必在平面ABC外11. 若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（C ）A.MN∥βB.MN与β相交或MNβC. MN∥β或MNβD. MN∥β或MN与β相交或MNβ12. 已知A、B、C、D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC（A ）A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定二填空题13.已知A（1，-2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|,则点P的坐标为；14.已知正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP=2,则PC＝；15.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ___________；16.圆心在直线上的圆C与轴交于两点，，则圆C的方程为．三解答题17(12分) 已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0 求AC边上的高所在的直线方程.18(12分)如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：(1) FD∥平面ABC;(2) AF⊥平面EDB.19（12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，（1）求证：平面A B1D1∥平面EFG;（2）求证：平面AA1C⊥面EFG.20(12分)已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切;②在直线y=x上截得弦长为2;③圆心在直线x－3y=0上. 求圆C的方程.设所求的圆C与y轴相切，又与直线交于AB，2分)设有半径为3的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇.设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？22（14分）已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(3) 当直线l的倾斜角为45度时，求弦AB的长.一、选择题（5’×12=60’）（参考答案）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A D B C C A A C A C A二、填空题：(4’×4=16’) （参考答案）13. (0,0,3) 14. 15 y=2x或x+y-3=0 16. (x-2)2+(y+3)2=5三解答题17(12分) 解：由解得交点B（－4，0），. ∴AC边上的高线BD的方程为.18(12分) 解：(1)取AB的中点M,连FM,MC,∵F、M分别是BE、BA的中点∴ FM∥EA, FM=EA∵ EA、CD都垂直于平面ABC ∴ CD∥EA∴ CD∥FM又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD是平行四边形∴FD∥MCFD∥平面ABC(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB又 CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF,因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB.19解：略20解：∵圆心C在直线上，∴圆心C（3a，a），又圆与y轴相切，∴R=3|a|. 又圆心C到直线y－x=0的距离在Rt△CBD中，.∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为或.21解解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，v千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇.则P、Q两点坐标为（3vx0, 0），（0,vx0+vy0）.由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，………………3分（3vx0）2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,即.……①………………6分将①代入……………8分又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置. 设直线相切，则有……………………11分答：A、B相遇点在离村中心正北千米处………………12分22解：(1)已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC, 直线l的方程为, 即 x+2y-6=0(3)当直线l的倾斜角为45度时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为.。

数学必修第二册试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，下列说法正确的是：A. 函数f(x)在(-∞, 1/3)上单调递增B. 函数f(x)在(1/3, +∞)上单调递减C. 函数f(x)在(-∞, 1/3)上单调递减D. 函数f(x)在(1/3, +∞)上单调递增答案：D2. 集合A = {x | x > 2}，集合B = {x | x < 3}，则A∩B为：A. (2, 3)B. (3, +∞)C. (-∞, 2)D. (-∞, 3)答案：A3. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1 = 1，公差d = 2，则S_5为：A. 15B. 25C. 30D. 35答案：B4. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期为：A. πB. 2πC. 4πD. 1答案：B5. 已知圆C：(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25，点P(-1, 2)，则点P与圆C的位置关系为：A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 不确定答案：C6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)：A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 3xC. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 2答案：A7. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则向量a与向量b的夹角为：A. π/4B. π/3C. π/2D. 2π/3答案：B8. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1 = 1，公比q = 2，则S_5为：A. 31B. 31/2C. 31/3D. 31/4答案：A9. 函数y = ln(x)的导数为：A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A10. 已知直线l：y = 2x + 3与x轴的交点为：A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3)D. (0, 3)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，函数的最小值为______。

第一章空间几何体课时作业（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是()A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥答案： B2．下列说法中正确的是()①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④解析：因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱，有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故选A.答案： A3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10解析：正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D.答案： D4.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．答案：三棱锥(也可答四面体)6．下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．解析：棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.答案：①②④⑤三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)如图所示的几何体是不是棱台？为什么？(2)如图所示的几何体是不是锥体？为什么？解析：(1)①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台；虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台．只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．(2)都不是．棱锥定义中要求各侧面有一个公共顶点．图①中侧面ABC与CDE没有公共顶点，故该几何体不是锥体；图②中侧面ABE与面CDF没有公共点，故该几何体不是锥体．8．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．解析：(1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．尖子生题库☆☆☆9．(10分)在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解析：如图，连接A1B，BC1，A1C，则三棱柱ABC－A1B1C1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.课时作业（二）圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列四种说法①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④解析：①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．故选D.答案： D2．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析：该组合体上部是圆锥，下部是圆台，由旋转体定义知，上部由直角三角形的直角边为轴旋转形成，下部由直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成．故选A.答案： A3.如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是()A．梯形、正方形B．圆台、正方形C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱解析：空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A、B、D.答案： C4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．有下列说法：①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆面．其中正确说法的个数为________．解析：命题①②都对，命题③中一个平面与球相交，其截面是一个圆面，③对．答案： 36．下面几何体的截面一定是圆面的是________．(填正确序号)①圆柱②圆锥③球④圆台答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．解析：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：8．如图所示的几何体是否为台体？为什么？尖子生题库☆☆☆9．(10分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解析：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底一半O1A＝2 cm，下底一半OB＝5 cm.又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.课时作业（三） 中心投影与平行投影空间几何体的三视图姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列说法正确的是( ) A ．矩形的平行投影一定是矩形 B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的平行投影可能平行D ．若一条线段的平行投影是一条线段，则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点 解析： 对于A ，矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形，主要与矩形的放置及投影面的位置有关；同理，对于B ，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于C ，平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D 正确。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)， 所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（ ）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错； 故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565， 故选：D.多选题9、下列说法正确的有（ ）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线 答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错； 对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（ ）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确； 对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________． 答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1， 故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6， 所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

高中数学必修2精选习题（含答案）一、选择题：（每小题3分，共30分）1．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2. 下列说法正确的是（ ）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3. 若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是 （ ）A 、 l ∥αB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有 4. 直线k 10x y -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A (0,0)B (0,1)C (3,1)D (2,1)5．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（ ）A ．9与13B ．7与10C ．10与16D ．10与156．如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝1，则梯形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5C ．5 2D ．1027．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝08．与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=09. 已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是 ( )俯视图主视图A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12 或k ≤－2D ．－2≤k ≤1210. 在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条二、填空题：（每小题4分，共16分）11若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．12.点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________13. 正四棱锥S ABCD -S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________。

高中数学必修2课后习题及答案一、选择题1.某团体每个月会员费35元，今年第一季度总收入为6300元，那么该团体今年的会员人数是多少？A. 180人B. 160人C. 200人D. 150人答案：C. 200人2.已知等差数列的公差为3，首项为4，末项是多少？A. 19B. 20C. 21D. 22答案：C. 213.有一辆以10 m/s的速度匀速行驶的火车，从静止开始先行驶了180 m，然后经过几秒后停下，停下的时间是多少秒？A. 20秒B. 15秒C. 18秒D. 12秒答案：B. 15秒二、填空题1.某个等差数列的首项为7，公差为4，其中第5项是多少？答案：232.一辆汽车以每小时60千米的速度行驶2小时，其行驶的路程是多少千米？答案：120千米3.某个几何图形的边数比顶点数多4，那么该几何图形的顶点数是多少？答案：6三、解答题1.给定一个正三角形ABC，其中AB=AC=8cm，P是BC的中点。

求证：PA ⊥ BC。

证明：由三角形的性质可知，对于等边三角形，它的中线同时也是它的高线。

所以，以P为中心，PC为半径画一个圆，该圆将三角形ABC分成了三个等腰三角形。

所以，该圆除了包括等边三角形的三个顶点外，还包括了等腰三角形的三个顶点。

而根据等腰三角形的性质可知，该圆经过了A点，即PA ⊥ BC得证。

2.某公司甲、乙两人同时开始独立地向北方和东方行走，甲每分钟向北方走2米，乙每分钟向东方走3米。

如果两人行走相同的时间后，他们此时相隔5米，那么他们行走的时间是多少？解答：设甲行走x分钟后，乙行走y分钟。

由于甲每分钟向北方走2米，乙每分钟向东方走3米，所以甲走的距离为2x米，乙走的距离为3y米。

根据勾股定理可知，他们相隔的距离为$\\sqrt{(2x)^2 + (3y)^2}$米。

由于他们相隔的距离为5米，所以$\\sqrt{(2x)^2 + (3y)^2} = 5$。

即(2x)2+(3x)2=25。

数学必修二空间点、直线、平面的位置关系学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如图，平面不能用( )表示．A.平面αB.平面ABC.平面ACD.平面ABCD2. 已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若m⊥l，n⊥l，则m // nB.若m // α，n // α，则m // nC.若m⊥α，n⊥α，则m // nD.若α⊥γ，β⊥γ，则α // β3. 对于不同点A、B，不同直线a、b、l，不同平面α，β，下面推理错误的是（）A.若A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂βB.若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=直线ABC.若l⊄α，A∈l，则A∉αD.a∩b=Φ，a不平行于b，则a、b为异面直线4. 若点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作（）A.B∈b∈βB.B∈b⊂βC.B⊂b⊂βD.B⊂b∈β5. 直线a、b为两异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在a、b上的任何一点，可作一个平面与a、b都平行B.过不在a、b上的任一点，可作一直线与a、b都相交C.过不在a、b上任一点，可作一直线与a、b都平行D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行6. 如图所示，平面α∩平面β=l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l=R．设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ=（）A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上均不正确7. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定8. 若点P为两条异面直线a，b外的任意一点，则下列说法一定正确的是( )A.过点P有且仅有一条直线与a，b都平行B.过点P有且仅有一条直线与a，b都垂直C.过点P有且仅有一条直线与a，b都相交D.过点P有且仅有一条直线与a，b都异面9. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点且CE=2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为()A.√1144B.√1122C.3√1144D.√111110. 空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为（）A.相等B.互补C.相等或互补D.互余11. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AB和CC1的距离为________．12. 如图所示是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为________．13. 如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面的位置关系是________．14. 已知a // β，a⊂α，α∩β=b，则a和b的位置关系是________．15. 设a、b为两条直线，α、β为两个平面，有下列四个命题：①若a⊂α，b⊂β，且a // b，则α // β；②若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β；③若a // α，b⊂α，则a // b；④若a⊥α，b⊥α，则a // b；其中正确命题的序号为________．16. 设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________（用代号表示）．17. 在空间直角坐标系O−xyz中，经过A(1, 0, 2)，B(1, 1, −1)，C(2, −1, 1)三个点的平面方程为________．18. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D、E、F分别是A1B1、BC、B1C1的中点，则平面DEF与平面ACC1A1的位置关系是________．19. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB // CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．20. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直干同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中真命题是________（写出所有真命题的序号）21. 已知直线a，b，c，且a∩b＝A，a∩c＝B，b和c异面，试画出图形表示它们之间的关系．22. 举几对既不相交也不平行的直线的例子．23. 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形（四条线段首尾相接，且连接点不在同一个平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB，AD，CB，CD上的点，且直线EF和HG交于点P，求证：点B，D，P在同一条直线上．24. 如图，过直线l外一点P，作直线a，b，c分别交直线l于点A，B，C，求证：直线a、b、c共面．25. 如图，已知E、F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．26. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，若AC1=3,BC1=√5，则异面直线BC1与AD所成的角的正切值为________.27. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（1）判断BD1与平面AEC的位置关系，并证明你的结论．（2）若AB=BC=√3，CC1=2，求异面直线AE、BD1所成的角的余弦值．28. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，求异面直线A1B与B1C夹角的余弦值．29. 如图，已知长方体的长宽都是4cm，高为2cm．（1）求BC与A′C′，A′D与BC′所成角的余弦值；（2）求AA′与BC，AA′与CC′所成角的大小．30. 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α // β；（2）若m // α，m // β，则α // β；（3）若m // α，n // α，则m // n；（4）若m⊥α，n⊥α，则m // n．上述命题中正确的为________．31. 如图，已知ABCD是空间四边形，AB=AD，CB=CD，求证：BD⊥AC．32. 已知三条直线a、b、c，若这三条直线两两相交，且交点分别为A、B、C，试判断这三条直线是否共面．33. 如图，△ABC中，∠ABC=90∘，SA⊥平面ABC，E、F分别为点A在SC、SB上的射影．（1）求证：BC⊥SB；（2）求证：EF⊥SC．34. 三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．(Ⅰ)求证：MN // 平面BCC1B1；(Ⅱ)求证：MN⊥平面A1B1C．35. 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′．（1）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（写出画法步骤，并在图中画出）（2）说明所画的线与平面AC的位置关系．36. 直线a // b，a与平面α相交，判定b与平面α的位置关系，并证明你的结论．37. 如图，在四棱锥P−ABCD中，有同学说平面PAD∩平面PBC=P，这句话对吗？请说明理由．38.（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi(i=1, 2, 3, 4)，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi(i=1, 2, 3, 4)，求该正四面体A1A2A3A4的体积．39. 如图，a，b是异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的两点，直线a // 平面a，直线b // 平面a，AB∩a=M，CD∩a=N，若AM=BM，求证：CN=DN．40. 如图，已知平面α、β，且α∩β=l．设梯形ABCD中，AD // BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．参考答案与试题解析数学必修二空间点、直线、平面的位置关系一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】平面的概念、画法及表示【解析】利用平面的表示方法，对每个选项逐一判断即可.【解答】解：A．平面可用希腊字母α，β，γ表示，故A正确；B．平面不可用平行四边形的某条边表示，故B错误；C．平面可用平行四边形的对角的两个字母表示，故C正确；D．平面可用平行四边形的顶点表示，故D正确.故选B.2.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据空间线面位置关系的情况举出反例判断或根据性质说明．【解答】对于A，当l⊥α，m⊂α，n⊂α时，显然有m⊥l，n⊥l，单m与n可能平行，也可能相交，故A错误．对于B，若α // β，m⊂β，n⊂β，则m // α，n // α，但m，n可能平行也可能相交，故B错误．对于C，由线面平行的性质“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知C正确．对于D，当三个平面α，β，γ两两垂直时，显然结论错误．3.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】在A中，由直线a上有两个点A，B都在β内，知a⊂β；在B中，由不同点A、B分别是两个不同平面α，β的公共点，知α∩β=直线AB；在C中，由l⊄α，A∈l，知A有可能是l与α的交点；在D中，因a∩b=Φ，a不平行于b，知a、b为异面直线．【解答】解：在A中，∵直线a上有两个点A，B都在β内，∴a⊂β，故A正确；在B中，∵不同点A、B分别是两个不同平面α，β的公共点，∴α∩β=直线AB，故B正确；在C中，∵l⊄α，A∈l，∴A有可能是l与α的交点，故C错误；在D中，∵a∩b=Φ，a不平行于b，∴a、b为异面直线，故D正确．故选C．4.【答案】B【考点】平面的概念、画法及表示【解析】由题意，点B在直线b上，b在平面β内，点与面之间的关系是属于关系，线与面之间的关系是包含关系，由此三者之间的关系易得【解答】解：由题意，点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作B∈b⊂β故选B5.【答案】D【考点】异面直线的判定【解析】若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，可得a⊂β，可判断A的真假；结合空间中直线关系的定义及几何特征，可判断B的真假；依据平行公理，即可判断C的真假；由公理2及其推论，我们可以判断D的真假．【解答】解：A中：若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，此时直线a在已知平面上，并非与已知平面平行，故A错误；B中：由①可得，当此点在β平面上时，结论B不成立；C中：若存在这样的直线l，则l // a，l // b，有平行公理知，必有a // b，与已知矛盾，故C错误；D中：在直线a上取A、B点，过A、B分别作直线c、d与直线b平行，c、d可确定平面α，即b平行于α，此时a在α平面上，故D正确；故答案为D6.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，∵AB∩l=R，平面α∩平面β=l，∴ R ∈l ，l ⊂β，R ∈AB ，∴ R ∈β．又∵ A ，B ，C 三点确定的平面为γ，∴ C ∈γ，AB ⊂γ，∴ R ∈γ．又∵ C ∈β，∴ C ，R 是平面β和γ的公共点，∴ β∩γ=CR ．故选C ．7.【答案】D【考点】平行公理【解析】根据题意，可在正方体中，举例说明，得到答案【解答】如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，二面角D −AA 1−F 与二面角D 1−DC −A 的两个半平面分别对应垂直，但是这两个二面角既不相等，也不互补，所以这两个二面角不一定相等或互补．．AB例如：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90∘，所以这两个二面角不一定相等或互补．8.【答案】B【考点】异面直线的判定【解析】A 通过反证法可以判定；B 由异面直线公垂线的唯一性可以判定；C 、D 利用常见的图形举出反例即可．【解答】解：设过点P 的直线为n ，且{n//a,n//b,， ∴ a // b ，这与a ，b 异面矛盾，选项A 错误；∵ 异面直线a ，b 有唯一的公垂线，∴ 过点P 与公垂线平行的直线有且只有一条，选项B 正确；如图所示的正方体中，设AD 为直线a ，A′B′为直线b ，若点P 在P 1点处，则无法作出直线与两直线都相交， ∴ 选项C 错误；如图所示的正方体中，若P 在P 2点，则由图中可知直线CC′及D′P 2均与a ，b 异面， ∴ 选项D 错误.故选B .9.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】本题考查建立适当的空间直角坐标系，利用向量方法求解即可.【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，E (1,1,23)，A 1(0,0,1)，B(1,0,0),∴ AE →=(1,1,23)，A 1B →=(1,0,−1),∴ cos <AE →,A 1B →>=AE →⋅A 1B →|AE||A 1B|=1−2 3√12+12+(23)2⋅√12+(−1)2=√1122.故选B．10.【答案】C【考点】平行公理【解析】根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等，从而易知本题答案．【解答】解：根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等．本题的条件是：一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，由于没有指出角的对应两边的方向情况，故两个角可能相等或互补．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】2【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】由题意，异面直线AB和CC1的距离为BC，即可得出结论．【解答】解：由题意，异面直线AB和CC1的距离为BC=2．故答案为：2．12.【答案】√105【考点】异面直线及其所成的角【解析】建立空间坐标系，分别求出两条异面直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间坐标坐标系．取正方体的棱长为2．则B(1, 2, 0)，A(2, 2, 1)，D(2, 0, 2)，C(2, 1, 0)．∴ BA →=(1, 0, 1)，CD →=(0, −1, 2)．∴ cos <BA →，CD →>=|BA →|⋅|CD →|˙=2√2⋅√5=√105． ∴ 异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为√105． 故答案为：√105． 13. 【答案】平行或相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用直线与平面的位置关系求解．【解答】解：∵ 直线与平面的位置关系有三种：平行、相交或直线在平面内，∴ 如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面的位置关系是平行或相交．故答案为：平行或相交．14.【答案】平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据线面平行的性质定理判断出a // b ．【解答】解：∵ a // β，a ⊂α，α∩β=b ，∴ 由线面平行的性质定理得，a // b ，故答案为：平行．15.【答案】④【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据空间中面面平行的判定方法，面面垂直的判定方法，线面平行的性质及线面垂直的性质，我们对已知中四个结论逐一进行判断即可得到结论．【解答】解：若a⊂α，b⊂β，且a // b，则α与β可能平行与可能相交，故①错误；若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α与β可能平行与可能相交，故②错误；若a // α，b⊂α，则a与b可能平行与可能异面，故③错误；若a⊥α，b⊥α，则a // b，故④正确；故答案为：④16.【答案】①③④⇒②（或②③④⇒①）【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】分析本题中的条件，四个条件取三个，有四种组合，由于本题是一开放式题答案不唯一，故选取其一即可．【解答】解：观察发现，①③④⇒②与②③④⇒①是正确的命题，证明如下：证①③④⇒②，即证若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β，因为m⊥n，n⊥β，则m⊂β或m // β，又m⊥α故可得α⊥β，命题正确；证②③④⇒①，即证若n⊥β，m⊥α，α⊥β，则m⊥n，因为m⊥α，α⊥β则m⊂β或m // β，又m⊥α故可得m⊥n，命题正确．故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①）．17.【答案】4x+3y+z＝6【考点】平面的概念、画法及表示【解析】设过A、B、C三点的平面方程为Ax+By+Cz＝D，把点的坐标代入方程求得A、B、C的值，从而求得平面方程．【解答】设过A(1, 0, 2)，B(1, 1, −1)，C(2, −1, 1)三点的平面方程为Ax+By+Cz＝D，则A+2C＝D①，A+B−C＝D②，2A−B+C＝D③，由①②③组成方程组，解得A=2D3，B=D2，C=D6；∴2D3x+D2y+D6z＝D，化简得4x+3y+z＝（6）18.【答案】平行【考点】空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据面面平行的判定定理，判断两个平面平行即可．【解答】解：因为D、E、F分别是A1B1、BC、B1C1的中点，所以BD // A1C1，BE // C1C，所以BD // 面A1B1C1，BE // 面A1B1C1，因为DB∩BE=E，所以平面DEF // ACC1A1．故答案为：平行．19.【答案】4【考点】平面的基本性质及推论【解析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．20.【答案】②④【考点】平面的基本性质及推论【解析】利用两个平面平行的判断判断出①错；利用两个平面垂直的判断判断出②对；利用垂直于同一条直线的直线的位置关系判断出③错；利用两个平面垂直的性质判断出④对．【解答】解：对于①，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故①错对于②，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直是两个平面垂直的判断定理，故②对对于③，垂直干同一直线的两条直线相互平行、相交或异面，故③错．对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直．故④对故答案为：②④．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ）21.【答案】∵ a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，b 和c 异面，∴ 画图表示如下：．【考点】异面直线的判定【解析】根据直线a ，b ，c 的关系，画出图形即可．【解答】∵ a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，b 和c 异面，∴ 画图表示如下：．22.【答案】既不相交也不平行的直线是异面直线，如图，在正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，AB 和A 1D 1，B 1C 1都构成异面直线，BC 和A 1B 1，C 1D 1→都构成异面直线．【考点】异面直线的判定【解析】可知，既不相交也不平行的直线是异面直线，可画出一个正方体，找出几对上面的异面直线即可．【解答】既不相交也不平行的直线是异面直线，如图，在正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，AB 和A 1D 1，B 1C 1都构成异面直线，BC 和A 1B 1，C 1D 1→都构成异面直线．23.【答案】证明：∵ E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边AB ，AD ，CB ，CD 上的点， ∴ 由公理一，得EF ⊂平面ABD ，GH ⊂平面CBD ，∵ 面ABD ∩面CBD =BD ，直线EF 和HG 交于点P ，∴ 由公理三得P ∈BD ，∴ 点B ，D ，P 在同一条直线上．．【考点】平面的基本性质及推论【解析】由公理一，得EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，由公理三得P∈BD，由此能证明点B，D，P在同一条直线上．．【解答】证明：∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，AD，CB，CD上的点，∴由公理一，得EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∵面ABD∩面CBD=BD，直线EF和HG交于点P，∴由公理三得P∈BD，∴点B，D，P在同一条直线上．．24.【答案】证明：设直线l与l外一点P确定的平面为α，则P∈平面α，又A∈直线l，∴A∈平面α；又P∈直线a，A∈直线a，∴直线a⊂平面α；同理直线b⊂平面α，直线c⊂平面α，∴直线a、b、c共面．【考点】平面的基本性质及推论【解析】先设直线l与l外一点P确定一个平面α，再证明直线a⊂平面α，同理得出直线b、c⊂平面α即可．【解答】证明：设直线l与l外一点P确定的平面为α，则P∈平面α，又A∈直线l，∴A∈平面α；又P∈直线a，A∈直线a，∴直线a⊂平面α；同理直线b⊂平面α，直线c⊂平面α，∴直线a、b、c共面．25.【答案】证明：取棱BB1中点为G，连C1G、EG，由正方体性质，侧面ABB1A1为正方形，又E、G分别为边AA1、BB1中点，所以EG=A1B1=C1D1，EG // A1B1 // C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E // C1G，D1E=C1G，又F、G分别为棱CC1、BB1中点，由侧面CBB1C1为正方形，知四边形BGC1F为平行四边形，所以BF // C1G，BF=C1G，又∴D1E // C1G，D1E=C1G，由平行公理可知D1E=BF，D1E // BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．由ABCD−A1B1C1D1为正方体，不妨设其棱长为a，易a知BE=BF=√52而由四边形EBFD1为平行四边形，从而即为菱形．【考点】平行公理【解析】根据菱形的定义直接证明即可．【解答】证明：取棱BB1中点为G，连C1G、EG，由正方体性质，侧面ABB1A1为正方形，又E、G分别为边AA1、BB1中点，所以EG=A1B1=C1D1，EG // A1B1 // C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E // C1G，D1E=C1G，又F、G分别为棱CC1、BB1中点，由侧面CBB1C1为正方形，知四边形BGC1F为平行四边形，所以BF // C1G，BF=C1G，又∴D1E // C1G，D1E=C1G，由平行公理可知D1E=BF，D1E // BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．由ABCD−A1B1C1D1为正方体，不妨设其棱长为a，易a知BE=BF=√52而由四边形EBFD1为平行四边形，从而即为菱形．26.【答案】12【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：设AB=a，因为ABCD是正方形，所以AC=√2a.所以CC1⊥AC,CC1⊥BC，所以CC12=AC12−AC2=BC12−BC2，即9−2a2=5−a2，解得a=2.所以CC1=1，因为AD//BC，所以∠CBC1即异面直线BC1与AD所成的角，tan∠CBC1=CC1BC =12.故答案为：12.27.【答案】解：（1）BD1 // 平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；∵E为DD1的中点，∴OE // BD1；∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC；∴BD1 // 平面AEC；（2）∵OE // BD1；∴异面直线AE，BD1所成的角为∠AEO；∵AB=BC=√3，CC1=2；∴EA=EC=2，EO=12BD1=√102；∴EO⊥AC；∴Rt△AEO中，cos∠AEO=EOEA =√104；因此，异面直线AE，BD1所成的角的余弦值为√104．【考点】异面直线及其所成的角空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）连接BD，设交AC于O，连接EO，便可说明BD1 // OE，由线面平行的判定定理即（2）由上面BD1 // OE即可得到异面直线AE、BD1所成的角为∠AEO，而通过条件可说明OE⊥AC，并且可求出AE，OE，从而根据直角三角形的边角关系cos∠AEO=EOAE，这样即可求出异面直线AE，BD1所成角的余弦值．【解答】解：（1）BD1 // 平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；∵E为DD1的中点，∴OE // BD1；∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC；∴BD1 // 平面AEC；（2）∵OE // BD1；∴异面直线AE，BD1所成的角为∠AEO；∵AB=BC=√3，CC1=2；∴EA=EC=2，EO=12BD1=√102；∴EO⊥AC；∴Rt△AEO中，cos∠AEO=EOEA =√104；因此，异面直线AE，BD1所成的角的余弦值为√104．28.【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答29.【答案】解：（1）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，BC // A′C′∴ ∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角 Rt △A ′B ′C ′中，A′C′=√42+42=4√2 ∴ cos ∠A ′C ′B ′=B ′C‘A′C′=√22； 连结B ′C ，可得四边形A ′DCB ′是平行四边形，∴ A ′D // CB ′，直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角 矩形BB ′C ′C 中，BC ′=B ′C =√42+22=2√5 设A′D 与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得cos θ=2×√5×√5=35综上所述，可得BC 与A′C′，A′D 与BC′所成角的余弦值分别为√22和35； （2）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AA ′ // BB ′∴ ∠B ′BC （或其补角）就是AA′与BC 所成的角 矩形BB ′C ′C 中，可得∠B ′BC =90∘；又∵ AA′ // CC′，∴ AA′与CC′所成角为0∘综上所述AA′与BC ，AA′与CC′所成角的大小分别为90∘和0∘．【考点】异面直线及其所成的角 【解析】（1）根据长方体的性质，可得∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角，在Rt △A ′B ′C ′中，利用三角函数的定义可得cos ∠A ′C ′B ′=√22，即为BC 与A′C′所成角的余弦值．同理可得直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角，结合余弦定理加以计算即可得到A′D 与BC′所成角的余弦值；（2）根据长方体的性质可得AA ′ // BB ′，因此矩形BB ′C ′C 中，∠B ′BC =90∘就是AA′与BC 所成的角；再由AA′ // CC′，得到AA′与CC′所成角为0∘． 【解答】解：（1）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，BC // A′C′∴ ∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角 Rt △A ′B ′C ′中，A′C′=√42+42=4√2 ∴ cos ∠A ′C ′B ′=B ′C‘A′C′=√22； 连结B ′C ，可得四边形A ′DCB ′是平行四边形，∴ A ′D // CB ′，直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角 矩形BB ′C ′C 中，BC ′=B ′C =√42+22=2√5设A′D 与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得cos θ=5+5−162×√5×√5=35综上所述，可得BC 与A′C′，A′D 与BC′所成角的余弦值分别为√22和35；（2）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AA ′ // BB ′ ∴ ∠B ′BC （或其补角）就是AA′与BC 所成的角 矩形BB ′C ′C 中，可得∠B ′BC =90∘；又∵ AA′ // CC′，∴ AA′与CC′所成角为0∘综上所述AA′与BC ，AA′与CC′所成角的大小分别为90∘和0∘． 30.【答案】 （4）． 【考点】空间中平面与平面之间的位置关系 空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据题意，分析4个命题：（1）由α⊥γ，β⊥γ，得α // β，或α∩β； （2）由m // α，m // β，得α // β，或α∩β；（3）由m // α，n // α，得m // n ，或m ∩n ，或m ，n 异面；（4）由m ⊥α，n ⊥α，根据线面垂直的性质，得m // n ．进而可得答案． 【解答】 解：（1）命题不一定成立，因为α⊥γ，β⊥γ时，α，β可能平行，也可能相交； （2）命题不一定成立，因为m // α，m // β时，α，β可能平行，也可能相交； （3）命题不一定成立，因为m // α，n // α时，直线m ，n 可能平行，也可能相交，也可能异面；（4）命题是正确的，因为m ⊥α，n ⊥α时，由垂直于同一平面的两条直线平行，得m // n ．所以，上述正确的命题只有（4）． 31.【答案】证明：取BD 的中点O ，连接AO ，CO ． ∵ AB =AD ，∴ AO ⊥BD ， ∵ CB =CD ，∴ CO ⊥BD ， 又AO ∩CO =O ， ∴ BD ⊥平面ACO ， AC ⊂平面ACO ，∴BD⊥AC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】取BD的中点O，连接AO，CO．由等腰三角形的三线合一，得到AO⊥BD，CO⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACO，运用线面垂直的性质即可得证．【解答】证明：取BD的中点O，连接AO，CO．∵AB=AD，∴AO⊥BD，∵CB=CD，∴CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥平面ACO，AC⊂平面ACO，∴BD⊥AC．32.【答案】解：如图，三条直线a、b、c两两相交，且交点分别为A、B、C，设a，b确定一个平面α，∵B∈a，C∈a，A∈b，C∈b，∴A∈α，B∈α，又∵A∈c，B∈c，∴c⊂α，∴三条直线a，b，c共面于α．∴这三条直线共面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】利用设a，b确定一个平面α，由已知条件利用公理二能推导出c⊂α，从而这三条直线a，b，c共面于α．【解答】解：如图，三条直线a、b、c两两相交，且交点分别为A、B、C，设a，b确定一个平面α，∵B∈a，C∈a，A∈b，C∈b，∴A∈α，B∈α，又∵A∈c，B∈c，∴c⊂α，∴三条直线a，b，c共面于α．∴这三条直线共面．33.【答案】证明：（1）∵ SA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ SA ⊥BC ，又∵ AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面SAB ， ∵ SB ⊂平面SAB ， ∴ BC ⊥SB ；（2）∵ AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB ， ∴ BC ⊥AF ，∵ AF ⊥SB ，且BC ∩SB =B ， ∴ AF ⊥平面SBC ， ∵ SC ⊂平面SBC ，∴ SC ⊥AF ，又AE ⊥SC ，且AF ∩AE =A ， ∴ SC ⊥平面AEF ， ∴ EF ⊥SC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】（1）证明BC ⊥平面SAB ，然后，从而得到BC ⊥SB ；（2）对于EF ⊥SC 的证明，可以先证明SC ⊥平面EF ，然后，很容易得到EF ⊥SC ． 【解答】 证明：（1）∵ SA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ SA ⊥BC ，又∵ AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面SAB ， ∵ SB ⊂平面SAB ， ∴ BC ⊥SB ；（2）∵ AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB ， ∴ BC ⊥AF ，∵ AF ⊥SB ，且BC ∩SB =B ， ∴ AF ⊥平面SBC ， ∵ SC ⊂平面SBC ，∴ SC ⊥AF ，又AE ⊥SC ，且AF ∩AE =A ， ∴ SC ⊥平面AEF ， ∴ EF ⊥SC ． 34.【答案】证明：(Ⅰ)证明：连接BC 1，AC 1．在△ABC 1中，∵ M ，N 是AB ，A 1C 的中点，∴ MN||BC 1． 又∵ MN ⊄平面BCC 1B 1，∴ MN||平面BCC 1B 1．（2）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系B 1−xyz ．则B 1(0, 0, 0)，C(0, 2, 2)，A 1(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)，N(−1, 1, 1) ∴ B 1C →=(0, 2, 2)，A 1B 1→=(2,0,0)，NM →=(0,−1,1)． 设平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)．{n ⋅B 1C →=0n ⋅A 1B 1→=0⇒{x =0y =−z令z ＝1，则x ＝0，y ＝−1，∴ n ＝(0, −1, 1)． ∴ n =NM →．∴ MN ⊥平面A 1B 1C ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】(Ⅰ)欲证MN||平面BCC 1B 1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN 与平面BCC 1B 1内一直线平行即可，而连接BC 1，AC 1．根据中位线定理可知MN||BC 1，又MN ⊄平面BCC 1B 1满足定理所需条件；(Ⅱ)以B 1为原点，A 1B 1为x 轴，B 1B 为y 轴，B 1C 1为z 轴建立空间直角坐标系B 1−xyz ，求出平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)，而n =NM →，根据法向量的意义可知MN ⊥平面A 1B 1C ． 【解答】证明：(Ⅰ)证明：连接BC 1，AC 1．在△ABC 1中，∵ M ，N 是AB ，A 1C 的中点，∴ MN||BC 1． 又∵ MN ⊄平面BCC 1B 1，∴ MN||平面BCC 1B 1．（2）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系B 1−xyz ．则B 1(0, 0, 0)，C(0, 2, 2)，A 1(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)，N(−1, 1, 1) ∴ B 1C →=(0, 2, 2)，A 1B 1→=(2,0,0)，NM →=(0,−1,1)． 设平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)．{n ⋅B 1C →=0n ⋅A 1B 1→=0 ⇒{x =0y =−z令z ＝1，则x ＝0，y ＝−1，∴ n ＝(0, −1, 1)． ∴ n =NM →．∴ MN ⊥平面A 1B 1C ．35.【答案】解：（1）过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；作图如右图，（2）易知BE，CF与平面AC的相交，∵BC // 平面A′C′，又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，∴BC // B′C′，∴EF // BC，又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，∴EF // 平面AC．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）注意到棱BC平行于面A′C′，故过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；（2）易知BE，CF与平面AC的相交，可证EF // 平面AC．【解答】解：（1）过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；作图如右图，（2）易知BE，CF与平面AC的相交，∵BC // 平面A′C′，又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，∴BC // B′C′，∴EF // BC，又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，∴EF // 平面AC．36.【答案】解：判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，下面给出证明：如图所示，∵a // b，∴可以经过直线a，b确定一个平面β．∵a∩α=P，∴α∩β=l．则b与直线l必然相交，否则b // l，则a // l，与a∩l=P相矛盾．因此b∩l=Q，∴b∩α=Q．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，可用反证法给出证明：如图所示，由于a // b，可以经过直线a，b确定一个平面β．由于a∩α=P，可得α∩β=l．可得b与直线l必然相交，否则b // l，得出矛盾．【解答】解：判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，下面给出证明：如图所示，∵a // b，∴可以经过直线a，b确定一个平面β．∵a∩α=P，∴α∩β=l．则b与直线l必然相交，否则b // l，则a // l，与a∩l=P相矛盾．因此b∩l=Q，∴b∩α=Q．37.【答案】解：由平面与平面的基本性质可知，如果两个平面相交，有且仅有结果该点的公共直线，所以如图，在四棱锥P −ABCD 中，有同学说平面PAD ∩平面PBC =P ，这句话不正确．【考点】平面的基本性质及推论空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用平面的基本性质判断即可．【解答】解：由平面与平面的基本性质可知，如果两个平面相交，有且仅有结果该点的公共直线，所以如图，在四棱锥P −ABCD 中，有同学说平面PAD ∩平面PBC =P ，这句话不正确． 38.【答案】解：（1）如图所示，取A 1A 4的三等分点p 2，p 3，A 1A 3的中点M ，A 2A 4，的中点N ， 过三点A 2，P 2，M ，作平面α2，过三点A 3，P 3，N 作平面α3，因为A 2P 2 // NP 3，A 3P 3 // MP 2，所以平面α2 // α3，再过点A 1，A 4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次互相平行，由线段A 1A 4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A 1A 2A 3A 4就是满足题意的正四面体．设正四面体的棱长为a ，以△A 2A 3A 4的中心O 为坐标原点，以直线A 4O 为y 轴，直线OA 1为Z 轴建立如图所示的右手直角坐标系，则A 1(0, 0, √63a)，A 2(−a 2, √36a, 0)，A 3(a 2, √36a, 0)，A 4(0, −√33a, 0)． 令P 2，P 3为．A 1A 4的三等分点，N 为A 2A 4的中点，有P 3(0, −2√39a, √69a)，N(−a 4, −√312a, 0)，所以P 3N →=(−a 4, 5√336a, −√69a)，NA 3→=(34a, √34a, 0)，A 4N →=(−a 4, √34a, 0)。

高中数学必修2测试题附答案数学必修2一、选择题1、下列命题为真命题的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行；解析：平行于同一平面的两条直线一定平行，为真命题，选A。

2、下列命题中错误的是：（）A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；解析：如果直线α垂直于平面β，则α内不存在直线平行于平面β，选A。

3、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，异面直线AA’与BC所成的角是（）解析：异面直线AA’与BC所成的角为直角，选D。

4、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，AB二面角D’-AB-D的大小是（）解析：AB二面角D’-AB-D为60度，选C。

5、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）解析：将y=0代入5x-2y-10=0，得到x=2，即直线在x轴上的截距为2；将x=0代入5x-2y-10=0，得到y=-5，即直线在y轴上的截距为-5，选B。

6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）解析：将2x-y=7和3x+2y-7=0联立，解得交点为(3,-1)，选A。

7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）解析：3x-4y+6=0的斜率为3/4，与其垂直的直线斜率为-4/3，过点P(4,-1)，代入点斜式方程y+1=-4/3(x-4)，化简得到4x+3y-13=0，选A。

8、正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（）解析：正方体的全面积为6a，每个面积为a，每个面的对角线长为正方体的对角线长，即球的直径。

因此球的直径为正方体的对角线长，即a的开根号乘以根号3.球的表面积为4πr^2，即4π(0.5a√3)^2=3πa^2，选C。

9、圆x^2+y^2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（）解析：将x^2-4x和y^2-2y分别配方得到(x-2)^2-4+(y-1)^2-1=0，即(x-2)^2+(y-1)^2=5，圆心坐标为(2,1)，选B。

高一数学必修二练习题及答案[基础训练A组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对主视图左视图俯视图2．棱长都是1的三棱锥的表面积为A.B.C.D.．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 A．25? B．50?C．125? D．都不对．正方体的内切球和外接球的半径之比为ABC．2D35．在△ABC中，AB?2,BC?1.5,?ABC?1200,若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是 A.92? B.2?C.2?D.2?．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是A．130B．140 C．150 D．160 二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱。

2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

．正方体ABCD?A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O?AB1D1的体积为_____________。

4．如图，E,F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形1BFD1E在该正方体的面上的射影可能是____________。

5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题1．将圆心角为120，面积为3?的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积第一章空间几何体 [综合训练B组] 一、选择题1．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 A．? B． C．1?222?2D． 1?2．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为A．R3B．R3C．R3D．R482483．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是Ａ．8?cm Ｂ．12?cmＣ．16?cm2Ｄ．2220?cm24．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84?，则圆台较小底面的半径为 A．7Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．5．棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是A．1:7Ｂ．2:Ｃ．7:1Ｄ．5:166．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB,EF?的距离为2，则该多面体的体积为3,且EF与平面ABCD2C9Ｂ．215Ｃ．6Ｄ．2A．二、填空题1．Rt?ABC中，AB?3,BC?4,AC?5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成2的几何体的体积为____________。

高中数学必修2立体几何练习题一．单选题（共__小题）1．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A．2B．C．3D．2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S"S4．把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大值为；②当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为45°；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，]；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，异面直线B C与A D所成角为45°．其中正确结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个5、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20c m的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径（）A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm6．如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则A M+M D1的最小值为（）A．B．C．D．27．下列说法正确的是（）A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．8．平行六面体A B C D-A1B1C1D1中A B=1，A D=2，A A1=3，∠B A D=90°，∠B A A1=∠D A A1=60°，则A C1的长为（）A．B．C．D．9、如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线B D1上，过点P作垂直于B D1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设B P=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]10．一个棱柱为正四棱柱的充要条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直与底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直D．各个面都是矩形的平行六面体二．填空题（共__小题）11．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______•12．一个圆柱的底面面积是16，侧面展开图是正方形，则该圆柱的侧面积是______．13．若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是______．14．一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，则s i n12α=______．15．一个正四棱锥的中截面（过各侧棱中点的截面）的面积为Q，则它的底面边长为______．16．若一个n面体中共有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为．由此可知，四棱锥“直度”的最大值为______．17．在三棱锥P-A B C中，给出下列四个命题：①如果P A⊥B C，P B⊥A C，那么点P在平面A B C内的射影是△A B C的垂心；②如果点P到△A B C的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面A B C 内的射影是△A B C的内心；③如果棱P A和B C所成的角为60？，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1；④三棱锥P-A B C的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于；⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s．其中正确命题的序号是______．18．若长方体的三个面的面积分别为6c m2，3c m2，2c m2，则此长方体的对角线长为______．19．已知长方体A B C D-A1B1C1D1的体积为216，则四面体A B1C D1与四面体A1B C1D 的重叠部分的体积为______．20．一个长方体共一顶点的三条棱长为1，2，3，则这个长方体对角线的长是______三．简答题（共__小题）21．已知正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）．（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．22．试构造出一个三棱锥S-A B C，使其四个面中成直角三角形的个数最多，作出图形，指出所有的直角，并证明你的结论．23、已知三棱锥S-A B C的三条侧棱S A、S B、S C两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面A B C上的射影．求证：（1）O为△A B C的垂心；（2）O在△A B C内；（3）设S O=h，则++=．参考答案一．单选题（共__小题）1．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A．2B．C．3D．答案：A解析：解：设正四棱台的高为h，斜高为x，由题意可得4••（3+6）x=32+62，∴x=．再由棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形、可得h==2，故选A．2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°答案：C解析：解析：如图，四棱锥P-A B C D中，过P作P O⊥平面A B C D于O，连接A O则A O是A P在底面A B C D上的射影．∴∠P A O即为所求线面角，∵A O=，P A=1，∴c o s∠P A O==．∴∠P A O=45°，即所求线面角为45°．故选C．3．如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S"S答案：A解析：解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，根据相似比的性质可得：消去r，然后代入一个方程，可得2故选A．4．把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大值为；②当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为45°；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，]；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，异面直线B C与A D所成角为45°．其中正确结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解析：解：把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，如图所示，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥，当侧面A C D⊥底面A B C时，体积最大值==，正确；②由①可知：当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为∠O B D=45°，正确；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，），因此不正确；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，由①可知：异面直线B C与A D所成角为90°，因此不正确．综上可知：只有①②正确．故选：C．5、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20c m的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径（）A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm答案：B解析：解：因为底面是一个正方形，一共有四条棱，皮球心距这四棱最小距离是10，∵四条棱距离正方形的中心距离为10，所以皮球的表面与8根铁丝都有接触点时，半径应该是边长的一半∴球的半径是10故选B．6．如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则A M+M D1的最小值为（）A．B．C．D．2答案：A解析：解：将平面A B A1和平面B C D D1A1放在同一个平面上，如图，则A M+M D1的最小值即为线段A D1，在直角三角形A E D1中，A E=，E D1=，∴A D1==，故选A．7．下列说法正确的是（）A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．答案：B解析：解：如图所示：A．如图（1）符合条件但却不是棱柱；B．图中P A⊥底面A B C，A B是圆O的直径，点C是圆上的一点，则四个面都是直角三角形，符合题意；C．其侧棱不相较于一点，故不是棱台；D．以直角三角形的斜边A B为轴旋转得到的是两个对底的圆锥．综上可知：只有B正确．故选B．8．平行六面体A B C D-A1B1C1D1中A B=1，A D=2，A A1=3，∠B A D=90°，∠B A A1=∠D A A1=60°，则A C1的长为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：平行六面体，如图所示：∵∠B A A1=∠D A A1=60°∴A1在平面A B C D上的射影必落在直线A C上，∴平面A C C1A1⊥平面A B C D，∵A B=1，A D=2，A A1=3，∵=∴||2=（）2=||2+||2+||2+2+2+2=1+9+4+0+2×1×3×+2×2×3×=23，∴||=，∴A C1等于．故选：B．9、如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线B D1上，过点P作垂直于B D1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设B P=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]答案：D解析：解：∵正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y m i n=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴y m a x=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选D．10．一个棱柱为正四棱柱的充要条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直与底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直D．各个面都是矩形的平行六面体答案：C解析：解：若底面是正方形，有相对的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面不垂直于底面，则棱柱为斜棱柱，故A不满足要求；若底面是正方形，有相对的两个侧面是矩形，另外两个侧面是不为矩形的平行四边形，则棱柱为斜棱柱，故B不满足要求；底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直，则底面为正方形，侧棱与底面垂直，此时棱柱为正四棱柱，故C满足要求；各个面都是矩形的平行六面体，其底面可能不是正方形，故D不满足要求；故选C二．填空题（共__小题）11．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______•答案：解析：解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：，所以r=，设正方体的最大棱长为a，所以，，a=故答案为：12．一个圆柱的底面面积是16，侧面展开图是正方形，则该圆柱的侧面积是______．答案：64π解析：解：圆柱的侧面展开图是正方形，如图；设圆柱的底面半径为r，高为l，∵圆柱的底面面积是16，∴πr2=16，∴r=；∴l=2πr=2π×=8，∴圆柱的侧面积是l2==64π；故答案为：64π．13．若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是______．答案：（0，）解析：解：根据条件，四根长为1的直铁棒与两根长为x的直铁棒要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：①底面是边长为1的正三角形，三条侧棱长为1，x，x，如图，此时x应满足：∵A D=，S D=，且S D＜S A+A D，∴＜1+，即x2＜2+，∴＜x＜；②构成三棱锥的两条对角线长为x，其他各边长均为1，如图所示，此时应满足0＜x＜；综上，x的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．14．一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，则s i n12α=______．答案：解析：解：∵一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，∴正方体的面对角线与棱的夹角，∵设正方体的棱长为1，∴A到三角形A B1D1中心的距离为：×=，∴A1点到面A B1D1距离为：=，∴s i nα=∴s i n12α=（）6=，故答案为：15．一个正四棱锥的中截面（过各侧棱中点的截面）的面积为Q，则它的底面边长为______．答案：解析：解：∵四棱锥的中截面与底面相似，且相似比为1：2，面积比为1：4，∴若正四棱锥的中截面的面积为Q，则底面面积为4Q，∵底面为正方形，面积为边长的平方，∴它的底面边长为2故答案为216．若一个n面体中共有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为．由此可知，四棱锥“直度”的最大值为______．答案：解析：解：∵四棱锥有5个面组成，∴n=5，当四棱锥的底面是矩形，一条侧棱与底面垂直时，四棱锥的4个侧面都是直角三角形，∴m=4，∴四棱锥“直度”的最大值为，故答案为：．17．在三棱锥P-A B C中，给出下列四个命题：①如果P A⊥B C，P B⊥A C，那么点P在平面A B C内的射影是△A B C的垂心；②如果点P到△A B C的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面A B C 内的射影是△A B C的内心；③如果棱P A和B C所成的角为60？，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1；④三棱锥P-A B C的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于；⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s．其中正确命题的序号是______．答案：①④⑤解析：解：①若P A⊥B C，P B⊥A C，因为P H⊥底面A B C，所以A H⊥B C，同理B H⊥A C，可得H是△A B C的垂心，正确．②若P A=P B=P C，易得A H=B H=C H，则H是△A B C的外心，不正确．③如果棱P A和B C所成的角为60°，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1或；不正确．④如果三棱锥P-A B C的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于，正确．⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s，正确．故答案为：①④⑤．18．若长方体的三个面的面积分别为6c m2，3c m2，2c m2，则此长方体的对角线长为______．答案：解：设长方体的三度分别为：a，b，c，由题意可知：a b=6，b c=2，a c=3所以，a=3，b=2，c=1，所以长方体的对角线长为：故答案为：．19．已知长方体A B C D-A1B1C1D1的体积为216，则四面体A B1C D1与四面体A1B C1D 的重叠部分的体积为______．答案：36解析：解：如图所示，四面体A B1C D1与四面体A1B C1D的重叠部分是以长方体各面中心为定点的多面体，摘出如图，设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则a b c=216，重叠部分的体积为两个同底面的四棱锥体积和，等于．故答案为：36．20．一个长方体共一顶点的三条棱长为1，2，3，则这个长方体对角线的长是______答案：解：因为在长方体中，底面对角线的平方是底面长和宽的平方和，体对角线的平方等于面对角线的平方加上高的平方；长方体对角线的长：故答案为：三．简答题（共__小题）21．已知正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）．（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．答案：解：（1）如图所示，∵P O⊥平面A B C D，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，∴∠P A O=45°，∴P O=O A=，P O1=O1A1=a．分别取A B，A1B1的中点E，E1，连接O E，O1E1．则P E==，P E1==．∴斜高E E1=P E-P E1=．∴棱台的侧面积S侧==；（2）∵棱台的侧面积等于两底面面积之和，∴=a2+b2，∴E E1=．∴O O1===．22．试构造出一个三棱锥S-A B C，使其四个面中成直角三角形的个数最多，作出图形，指出所有的直角，并证明你的结论．答案：解：如图，S A⊥平面A B C，∠A B C=90°，则∠S A C=∠S A B=90°，又A B⊥B C，所以B C⊥S B，所以∠S B C=90°，即四个面S A B，S A C，S B C，A B C为直角三角形．23、已知三棱锥S-A B C的三条侧棱S A、S B、S C两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面A B C上的射影．求证：（1）O为△A B C的垂心；（2）O在△A B C内；（3）设S O=h，则++=．答案：证明：（1）∵S A⊥S B，S A⊥S C，∴S A⊥平面S B C，B C⊂平面S B C．∴S A⊥B C．而A D是S A在平面A B C上的射影，∴A D⊥B C．同理可证A B⊥C F，A C⊥B E，故O为△A B C的垂心．（2）证明△A B C为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，则底面三角形A B C中，A B=为最大，从而∠A C B为最大角．用余弦定理求得c o s∠A C B=＞0，∴∠A C B为锐角，△A B C为锐角三角形．故O在△A B C内．（3）S B•S C=B C•S D，故S D=，=+，又S A•S D=A D•S O，。

高中数学必修二练习题及答案解析时间120分钟，满分150分。

一、选择题1.若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为A. 3B. 4C. 5D. 63.已知平面a和直线1,则a内至少有一条直线与1A.平行B.相交C.垂直D.异面4.长方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB, A1D1 所成的角等于A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面a , 使得A. a? a , b? aB. a? a , b〃 aC. a± a , b± aD. a? a , b± a6.下面四个命题：若直线a, b异面，b, c异面，则a, c异面;若直线a, b相交，b, c相交，则a, c相交；若a〃b,则a, b与c所成的角相等；若a_Lb, b±c,则a〃c.其中真命题的个数为A. 4B. 3C. 2D. 17.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E, F分别是线段A1B1, B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E-B1F,有下面四个结论：EFXAA1；②EF//AC；③EF与AC异面；④EF〃平面ABCD.其中一定正确的有A.①②B.②③C.②④D.①④8.设a, b为两条不重合的直线，a, B为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是A.若a, b与a所成的角相等，则a〃bB.若a〃 ci , b〃 B , ci 〃 B，贝U a〃bC.若a?ct , b?B , a//b,贝I] a 〃 BD.若a_L ci , b± B , a _L B，则a_Lb9.已知平面ci上平面B , Q C B =1,点AC a , A?l, 直线AB//1,直线AC±1,直线m〃a, n〃 B ,则下列四种位置关系中，不一定成立的是A. AB〃mB. AC±mC. AB〃BD. AC± B10.）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为43A. — B. .533C. 4D. -511.已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等，且AB = AC = 3, BC = 2,则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为11A. B. C. 0D. -212.如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA_L平面ABCD, PA=AB,则PB与AC所成的角是A.90°B. 60°C. 45°D. 30°二、填空题13.下列图形可用符号表示为14.正方体ABCD-A1B1C1D1 中，二面角C1-AB-C 的平面角等于.15.设平面a 〃平面B , A, CC ci , B, DC B ,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面a, B之间，AS = 8, BS = 6, CS = 12,则SD=.16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:AC±BD；AACD是等边三角形；AB与平面BCD成60°的角；AB与CD所成的角是60° .其中正确结论的序号是.三、解答题17.如下图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AABC与AA1B1C1都为正三角形且AA1±面ABC, F、Fl分别是AC,A1C1的中点.求证：平面AB1F1 〃平面C1BF；平面AB1F11 平面ACC1A1.［分析］本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件.18.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA_L平面ABCD, AB = 4, BC = 3, AD = 5, ZDAB= ZABC = 90° , E 是CD的中点.证明：CD 平面PAE；若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.19.如图所示，边长为2的等边APCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC = 2, M为BC的中点.证明：AM1PM；求二面角P-AM—D的大小.20.如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形, B1CXA1B证明：平面AB1C1平面A1BC1；设D是A1C1上的点，且A1B〃平面B1CD,求AID DC1 的值.221.如图，AABC 中，AC = BC = 2, ABED 是边长为1的正方形，平面ABEDX底面ABC,若G, F分别是EC, BD的中点.求证：GF〃底面ABC；一、选择题1、给出的下列命题中，正确命题的个数是梯形的四个顶点在同一平面内②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合④每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面A.1B.C.D.参考答案与解析：思路解析:逐个对各选项分析：梯形是一个平面图形，所以其四个顶点在同一个平面内，①对;两条平行直线是可以确定一个平面的，三条平行直线有可能确定三个平面,②错；三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上,③错;设这四条直线分别为11、12、13、14,取其中两条相交直线11和12,则它们可确定一个平面Q,取13,设其与11、12的交点分别为A、B,则由题意知这两点不同，且AE 11, 12,所以有A、BC ci ,从而13£ a ；同理可证明14F Q .所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面，④对.答案:B主要考察知识点：空间直线和平面2、如图2-1-17,空间四边形SABC中，各边及对角线长都相等，若E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于A.90°B. 60°C. 45°D. 30°图2-1-17参考答案与解析:思路解析:求EF与SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上,为此取SB的中点G,连结GE、GF、BE、AE.由三角形中位线定理得GE二BC, GF-SA,且GF//SA,所以ZGFE就是EF与SA所成的角.若设此空间四边形边长为a,那么GF=GE二a, EA二a, EF二成的角为45° .答案:Ca,因此Z\EFG为等腰直角三角形，ZEFG-450,所以EF与SA所主要考察知识点：空间直线和平面3、如果直线a 〃平面Q,那么直线a与平面a内的A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交参考答案与解析:思路解析:利用线面平行的定义.直线a〃平面Q,则a与a无公共点，与a内的直线当然均无公共点.答案:D主要考察知识点：空间直线和平面4、若点M在直线a上，a在平面a内，则M、a、a间的上述关系可记为A. M G a, a G ciB. a, aC. Ma, a aD. Ma, a a a参考答案与解析:B主要考察知识点：空间直线和平面5、在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M,贝UA.M 一定在直线AC上B.M 一定在直线BD上C.M可能在AC±,也可能在BD上D.M不在AC±,也不在BD上参考答案与解析:A 主要考察知识点：空间直线和平面6、下列说法正确的是A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面a和平面B有不同在一条直线上的三个交点参考答案与解析:解析：A错，不共点的三点;B错，如空间四边形;D错,两平面的三个交点在同一直线上.答案：C主要考察知识点：空间直线和平面7、若点M在直线a上,a在平面a内，则M, a, a间的上述关系可记为A. M G a, a G aB. M £ a,c. , D.,参考答案与解析:解析：要明确数学符号语言的表示.答案：B主要考察知识点：空间直线和平面8、异面直线是指A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线参考答案与解析:解析：A错,有可能平行；B错，有可能平行或相交；C错,有可能平行或相交；D正确.主要考察知识点：空间直线和平面9、若a〃 a , b〃 Q ,则直线a、b的位置关系是A.平行B.相交C.异面D. A、B、C均有可能参考答案与解析:解析：平行、相交、异面都有可能，此题的难点在于可能选平行，易和平行公理混淆.答案：D主要考察知识点：空间直线和平面10、下列命题：若直线1平行于平面。

9.2.2 总体百分位数的估计一、选择题1．观察下图所示的统计图，下列结论正确的是()A．甲校女生比乙校女生多B．乙校男生比甲校男生少C．乙校女生比甲校男生少D．甲、乙两校女生人数无法比较【答案】D【解析】选D.图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生总数不知道，因此男生与女生的具体人数也无法得知．2.据报道，去年某咨询公司对1 500个家庭进行了关于奶粉市场的调查，下图是关于每月购买奶粉袋数的有关数据，则每月购买1袋奶粉的比率同每月购买2袋奶粉的比率合计为()A．79.9%B．70.9% C．38.8% D．32.1%【答案】B【解析】根据折线图，每月购买1袋奶粉和每月购买2袋奶粉的比率分别为38.8%和32.1%，故所求为38.8%＋32.1%＝70.9%.3．某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的水电费开支占总开支的百分比为（）A ．12.25%B ．16.25%C ．11.25%D ．9.25%【答案】B 【解析】由图2知，水、电支出占水、电、交通支出的比例为2004501320045015016+=++， 由图1知，水、电、交通支出占学校一个学期总开支的比例为15， 因此，该学期的水电费开支占总开支的百分比为1311316.25%16580⨯==，故选：B 。

4．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 80%分位数是（ ）A ．7.5B ．8C ．8.5D ．9【答案】B【解析】数据3，4，5，5，6，7，7，8，9，10共10个，且0010808⨯=，所以0080分位数是第 8个数，为8.故选：B.5．（多选题）2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人心抗击疫情.下图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述正确．．的是（ ）A．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数C．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值【答案】ABC【解析】对于A选项，由图象可知，2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，A选项正确；对于B选项，由图象可知，随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数，B选项正确；对于C选项，由图象可知，2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大，C选项正确；对于D选项，在2月16日及以前，我国新型冠状病毒肺炎新增确诊人数大于新增治愈人数，我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数不在2月12日左右达到峰值，D选项错误.6．（多选题）为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.下面有四个推断：A.这200名学生阅读量的平均数可能是26本；B.这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30,40)内；C.这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内；D.这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20,30)内.所有合理推断的序号是( )【答案】BCD【解析】在A 中，由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知，这200名学生的平均阅读量在区间()24.5,25.5内，故错误；在B 中，20075%150⨯=，阅读量在[)0,30的人数有7831292526126+++++=人，在[30,40)的人数有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30,40)内，故正确；在C 中，设在区间[)0,10内的初中生人数为x ，则[]0,15,x x N *∈∈， 当0x =时，初中生总人数为116人，116582=，此时区间[)0,20有25人，区间[20,30)有36人，所以中位数在[20,30)内，当15x =时，初中生总人数为131人，13165.52=，区间[)0,20有152540+=人，区间[20,30)有36人，所以中位数在[20,30)内，当区间[)0,10人数去最小和最大，中位数都在[20,30)内，所以这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内，故正确；在中D ，设在区间[)0,10内的初中生人数为x ，则[]0,15,x x N *∈∈， 当0x =时，初中生总人数为116人，11625%29⨯=，此时区间[)0,20有25人，区间[20,30)有36人，所以25%分位数在[20,30)内，当15x =时，初中生总人数为131人，13125%32.75⨯=，区间[)0,20有152540+=人，所以25%分位数在[)0,20内，所以这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20,30)内，故正确；故答案为：BCD二、填空题7．对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：/m s ）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是【答案】29.5【解析】数据从小到大排列为：27,28,29,30,31,33,34,35,36,36,38,38，1225%3⨯=， 故最大速度的第一四分位数是293029.52+=. 8．某校为了了解学生的睡眠情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用如图所示的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为______h .【答案】6.4【解析】法一：要确定这50名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间．总睡眠时间为5.5×0.1×50＋6×0.3×50＋6.5×0.4×50＋7×0.1×50＋7.5×0.1×50＝27.5＋90＋130＋35＋37.5＝320.故平均睡眠时间为320÷50＝6.4(h )．法二：根据图形得平均每人的睡眠时间为t ＝5.5×0.1＋6×0.3＋6.5×0.4＋7×0.1＋7.5×0.1＝6.4(h )．9. 求1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的25%分位数为 ；90%分位数为 ．【答案】2.5；9.【解析】因为数据个数为10，而且10×25%＝2.5，10×90%＝9.所以该组数据的25%分位数为x 3＝3，75%分位数为x 8＝8，90%分位数为x 9＋x 102＝9＋102＝9.5. 10．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图已知该校在校学生3000人，根据统计图计算该校共捐款________元.【答案】37770【解析】根据统计图,得高一人数为300032960⨯=％,捐款9601514400⨯=（元）；高二人数为300033990⨯=％,捐款9901312870⨯=（元）高三人数为3000351050⨯=％,捐款10501010500⨯=（元）所以该校学生共捐款.14400128701050037770++=（元）三、解答题11.现有甲、乙两组数据如下表所示．试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．【解析】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15.因此，甲组数的25%分位数为x 5＋x 62＝2＋32＝2.5； 甲组数的75%分位数为x 15＋x 162＝9＋102＝9.5. 乙组数的25%分位数为x 5＋x 62＝1＋12＝1，乙组的75%分位数为x 15＋x 162＝10＋142＝12. 12．为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：A ，1.5小时以上，B ，1-1.5小时，C ，0.5-1小时，D ，0.5小时以下．图（1），（2）是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：（1）本次一共调查了多少名学生．（2）在图（1）中将B 对应的部分补充完整．（3）若该校有3000名学生，你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？【解析】（1）从题图中知，选A 的共60人，占总人数的百分比为30%，所以总人数为6030%200÷=，即本次一共调查了200名学生．---=（人），补充完整的条形统计图如图所示．（2）被调查的学生中，选B的有200603010100⨯=，估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5时以下．（3）30005%150。