2006年高考重庆卷理科数学试题及参考答案

2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）

数学试题（理工农医类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂共他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字后，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么)()()(BPAPBAP．

如果事件A、B相互独立，那么)()()(BPAPBAP．

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

knkknnPPCkP)1()(．

一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A= {2，4，5，7}，B =

{3，4，5}，则（CUA）∪（CUB）=

（A）{1，6} （B）{4，5}

（C）{2，3，4，5，7} （D）{1，2，3，6，7}

（2）在等差数列{a n}中，若a4+ a6=12，Sn是数列{a n}的前n项和，则S9的值为 2 （A）48 （B）54 （C）60 （D）66

（3）过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为

（A）y =－3x 或xy31 （B）y = 3x 或xy31

（C）y =－3x或xy31 （D）y = 3x 或xy31

（4）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l

（A）平行 （B）相交

（C）垂直 （D）互为异面直线

（5）若nxx13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为

（A）－540 （B）－162

（C）162 （D）540

（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：

重庆数学理3 根据上图可得这100名学生中体重在[56.5, 64.5]的学生人数是

（A）20 （B）30

（C）40 （D）50

（7）与向量27,21,21,27ba的夹角相等, 且模为1的向量是

（A）53,54 （B）53,54或 53,54

（C）31,322 （D）31,322或31,322

（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配

方案有

（A）30种 （B）90种

（C）180种 （D）270种

（9）如图所示, 单位圆中弧AB 的长为)(,xfx表示弧AB 与弦AB所围

成的弓形面积的2倍，则函数)(xfy的图象是

⌒ ⌒

4

（10）若a, b, c > 0且324)(bccbaa,则cba2的最小值为

（A）13 （B）13

（C）232 （D）232

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．

（11）复数 的值是_______．

（12）12)12(312limnnnn_______．

（13）已知4cos,13124sin,53)sin(,,43,则_______．

（14）在数列na中, 若32,111nnaaa（n≥1）, 则该数列的通项na_______．

（15）设,1,0aa函数)32lg(2)(xxaxf有最大值, 则不等式0)75(log2xxa的解集为_______．

（16）已知变量yx,满足约束条件41yx,22yx, 若目标函数yaxz（其中0a）仅在点（3,1）处取得最大值，则a的取值范围为_______．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1 + 2i

3 + i3 重庆数学理5 （17）(本小题满分13分)

设函数2cos3)(xfωx + sinωxcosωx + a（其中ω> 0, a∈R）, 且)(xf的图象在y

轴右侧的第一个最高点的横坐标为6．

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）如果)(xf在区间65,3上的最小值为3, 求a的值．

（18）(本小题满分13分)

某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5

位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31,

用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数, 求：

（Ⅰ）随机变量的分布列；

（Ⅱ）随机变量的期望．

（19）(本小题满分13分)

如图, 在四棱锥ABCDP中, PA底面ABCD,

DAB为直角, ,2,//ABCDADCDAB E、F分

别为PC、CD的中点．

（Ⅰ）试证：CD平面BEF；

（Ⅱ）设ABkPA, 且二面角CBDE的平面角大于30°,

求k的取值范围．

（20）(本小题满分13分)

已知函数xecbxxxf)()(2, 其中Rcb,为常数．

（Ⅰ）若)1(42cb, 讨论函数)(xf的单调性； 6 （Ⅱ）若)1(42cb, 且,4)(lim0xcxfx 试证：26b．

（21）(本小题满分12分)

已知定义域为R的函数)(xf满足xxxfxxxff22)())((．

（Ⅰ）若3)2(f, 求)1(f； 又若)(,)0(afaf求；

（Ⅱ）设有且仅有一个实数0x, 使得00)(xxf,求函数)(xf的解析表达式．

（22）(本小题满分12分)

已知一列椭圆,1:222nnbyxC

10nb, n = 1, 2, …, 若椭圆Cn上有一点

Pn, 使Pn到右准线ln的距离dn是| Pn Fn |与

| Pn Gn |的等差中项, 其中Fn、Gn分别是Cn

的左、右焦点．

（Ⅰ）试证：23nb （n≥1）；

（Ⅱ）取232nnbn,并用Sn表示△PnFnGn的面积,试证：121nnSSSS且 （n≥3）．

重庆数学理7

2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）答案

一、选择题：每小题5分，满分50分.

（1）D （2）B （3）A （4）C

（5）A （6）C

（7）B （8）B （9）D （10）D

二、填空题：每小题4分，满分24分.

（11）i107101 （12）21 （13）6556

（14）321n （15）（2，3） （16）a>1

三、解答题：满分76分.

（17）（本小题13分）

解：（Ⅰ）axxxf|23|2sin212cos23)(

.23)32sin(ax

依题意得 .2362 8 解得.21

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.23)3sin()(axxf

又当]65,3[x时，]67,0[3x

故1)3sin(21x，

从而]65,3[)(在xf上取得最小值.2321a

因此，由题设知213 ,32321aa故.

（18分）（本小题满分13分）

解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5.

由等可能性事件的概率公式得

.2438032)1(,2433232)0(541555CPP

.2434032)3(,2438032)2(54355325CPCP

.243131)5(,2431032)4(5545PCP

从而ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3 4 5

P 24332 24380 24380 24340 24310 2431

（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为 重庆数学理9

.3524340524315243104243403243802243801243320E

解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.

故),31,5(B即

.5,4,3,2,1,0 ,)32()31()(545kCkPkk

由此计算ξ的分布列如解法一.

（Ⅱ）.35315E

解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二

（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.

即,53E 从而.35E

（19）（本小题13分）

解法一：

（Ⅰ）证：由已知ABDF//且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而CD⊥BF.

又PA⊥底面ABCD, CD⊥AD, 故由三垂线定理知CD⊥PD. 在△PDC中, E、F分