《高数》下册第十一章练习题

第十一章 曲线积分与曲面积分

习题 11-1

1.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L，在点（x,y）处它的线密度为（x,y）。用对弧长的曲线积分分别表达：

（1）这曲线弧对x轴,对y轴的转动惯量xI,yI

（2）这曲线弧的质心坐标x,y

2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质3

3.计算下列对弧长的曲线积分：

（1）22(xy)nLds，其中L为圆周xcost,ysin(0t2)aat

（2）(xy)dsL，其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段

（3）xLds，其中L为由直线y=x及抛物线2yx所围成的区域的整个边界

（4）22xyLeds，其中L为圆周222xya，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界

（5）2221dsxyz，其中为曲线cos,sin,tttxetyetze上相应于t从0变到2的这段弧

（6）2xyzds，其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2）

（7）2Lyds，，其中L为摆线的一拱(tsin),y(1cos)(0t2)xatat

（8）22(x)dsLy，其中L为曲线(cossin),y(sincos)(0t2)xatttattt

4.求半径为ａ，中心角为2的均匀圆弧（线密度1）的质心

5.设螺旋形弹簧一圈的方程为cos,sin,xatyatzkt，其中02t，它的线密度222(x,y,z)xyz．求：

（１）它关于ｚ轴的转动惯量zI

（２）它的质心。

习题 11-2

1.设L为xOy面内直线xa上的一段，证明：

(x,y)dx0LP

2.设L为xOy面内x轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：

(x,y)dx(x,0)dxbLaPP

3.计算下列对坐标的积分：

（1）22(xy)Ldx，其中L是抛物线2yx上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧

（2）Lxydx，其中L为圆周222(x)aaya（>0）及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）

（3）Lydxxdy，其中L为圆周cos,sinxRtyRt上对应t从0到2的一段弧

（4）22(xy)dx(xy)dyLxy，其中L为圆周222+yxa（按逆时针方向绕行）

（5）2xdxzdyydz，其中为曲线cos,sinxkyaza上对应从0到的一段弧

（6）(xy1)dzxdxydy，其中是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线

（7）+ydxdydz，其中为有向闭折线ABCD，这里的A,B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

（8）22(x2xy)dx(y2xy)dyL，其中L是抛物线2yx上从点（-1,1）到点（1,1）的一段弧

4.计算(xy)dx(yx)dyL，其中L是：

（1）抛物线2yx上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧

（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段

（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线 （4）曲线2221,1xttyt上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧

5.一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周222xyR按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功

6.设z轴与动力的方向一致，求质量为m的质点从位置（x,y,z）沿直线移到（x,y,z）时重力所做的功

7.把对坐标的曲线积分(x,y)dxQ(x,y)dyLP化成对弧长的积分曲线，其中L为：

（1）在xOy面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）

（2）沿抛物线2yx从点（0,0）到点（1,1）

（3）沿上半圆周222xyx从点（0,0）到点（1,1）

8.设为曲线23,,xtytzt上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分PdxQdyRdz化成对弧长的曲线积分

习题 11-3

1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：

（1）22(2xyx)dx(xy)dyL，其中L是由抛物线2yx和2yx所围成的区域的正向边界曲线

（2）222(xxy)dx(y2xy)dyL，其中L是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界

2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积

（1）星形线33cos,sinxatyat

（2）椭圆229+16y144x

（3）圆222xyax

3.计算曲线积分22ydx2(xy)Lxdy，其中L为圆周22(x1)2y，L的方向为逆时针方向 4.证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值

（1）(2,3)(1,1)(xy)dx(xy)dy

（2）(3,4)2322(1,2)(6xyy)dx(63)dyxyxy

（3）(2,1)423(1,0)(2xyy3)dx(x4xy)dy

5.利用格林公式，计算下列曲线积分：

（1）(2xy4)dx(5y3x6)dyL，其中L为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）的三角形正向边界；

（2）222(cos2sin)(xsinx2ye)dyxxLxyxxyxyedx，其中L为正向星形线222333(a0)xya

（3）3222(2xyycosx)(12ysinx3xy)dyLdx，其中L为在抛物线22xy上由点（0,0）到（2，1）的一段弧

（4）22(xy)dx(xsiny)dyL，其中L是在圆周22yxx上由点（0,0）到点（1,1）的一段弧

6.验证下列(x,y)dx(x,y)dyPQ在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：

（1）(2)(2)xydxxydy

（2）22xydxxdy

（3）4sinsin3cos3cos3cos2xyxdxyxdy

（4）2232(38)(812)yxyxydxxxyyedy

（5）22(2coscos)(2sinsin)xyyxdxyxxydy

7.设有一变力在坐标轴上的投影为2,28XxyYxy，这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。

8.判断下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解。

（1）2222(36)(6xy4y)dy0xxydx （2）222(a2xyy)dx(xy)0(a)dy为常数

（3）(xe2y)dy0yyedx

（4）(xcosycosx)yysinxsiny0

（5）2(xy)dxxdy0

（6）2y(x2y)dxx0dy

（7）22(1)d2e0ed

（8）22(xy)dxxydy0

9.确定常数，使在右半平面x>0上的向量42242(x,y)2xy(xy)(xy)Aixj为某二元函数u（x,y）的梯度，并求u(x,y)

习题 11-4

1.设有一分布着质量的曲面，在点（x,y,z）处它的面密度为（x,y,z）,用对面积的曲面积分表示这曲面对于x轴的转动惯量

2.按对面积的曲面积分的定义证明公式

12(x,y,z)ds(x,y,z)ds(x,y,z)dsfff

其中是由1和2组成的

3.当是xOy面内的一个闭区域时，曲面积分(x,y,z)dSf与二重积分有什么关系？

4.计算曲面积分(x,y,z)dSf，其中为抛物面222(xy)z在xOy面上方的部分，(x,y,z)f分别如下：

（1）(x,y,z)1f （2）22(x,y,z)xyf

（3）(x,y,z)3fz

5.22计算（x+y）dS,其中是：

（1）22zz1xy锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面

（2）222z3(xy)z0z3锥面被平面和所截得的部分

6.计算下列对面积的曲面积分：

（1）4xz,13234yzds（+2x+y）其中为平面在第一卦限中的部分

（2）2xydsx（2-2x-x+z）,其中为平面2+2y+z=6在第一卦限中的部分

（3）2222(xyz)ds,xz(0ha)yzah其中为球面上的部分

（4）2222xyzx2xyyax（+yz+zx）ds,其中为锥面=被柱面所截得的有限部分7.221z(xy)(0z1)=z2求抛物面壳的质量，此壳的面密度为

8.22220x+y+z=a(z0)z求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量

习题 11-5

1.按对坐标的曲线面积的定义证明公式

1212[P(x,y,z)P(x,y,z)]dydz(x,y,z)dydz(x,y,z)dydzPP

2.xyxOR当为面内的一个闭区域时，曲面面积（,y,z）dxdy与二重积分有什么关系？

3.计算下列对坐标的曲面积分： （1）222222,xyzRxyzdxdy其中是球面的下半部分的下侧

（2）22z,x1z0z3dxdyxdydzydzdxys其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧

（3）[(x,y,z)x]dydz[2(x,y,z)y]dzdx(x,y,z)z]dxdy,(x,y,z)xyz1ffff其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧

（4）xz,x0,y0,z0,xyz1dxdyxydydz其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧

4.把对坐标的曲面积分

xP（,y,z）dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy

化成对面积的曲面积分其中

（1）3x2236yz是平面在第一卦限的部分的上侧

（2）228(xy)xOyz是抛物面在面上方的部分的上侧

习题 11-6

1.利用高斯公式计算曲面积分：

（1）222xdydzydzdxzdxdy，其中为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所围成的立体的表面的外侧

（2）333xdydzydzdxzdxdy，其中为球面2222xyza的外侧

（3）2232(xyz)(2xyyz)xzdydzdzdxdxdy，其中为上半球体2222220,zaxyxya的表面的外侧

（4）yzxdydzdzdxdxdy，其中是界于z=0和z=3之间的圆柱体229xy的整个表面的外侧