对偶问题实例
摘要：
1.对偶问题的概念介绍
2.对偶问题的实例展示
3.对偶问题的解决方法
4.对偶问题在实际生活中的应用
正文：
一、对偶问题的概念介绍
对偶问题是指在数学中，给定一个线性规划问题，通过构造另一个线性规划问题，使得两个问题的解相互关联。对偶问题广泛应用于运筹学、优化理论等领域，它为我们解决复杂的实际问题提供了一种有效途径。
二、对偶问题的实例展示
假设有一个工厂需要生产两种产品 A 和 B，生产 A 产品需要消耗 3 个单位资源 1 和 1 个单位资源 2，生产 B 产品需要消耗 2 个单位资源 1 和
3 个单位资源 2。现在工厂有 6 个单位资源 1 和 4 个单位资源 2，生产 A
和 B 产品的利润分别为 20 和 15。如何分配资源以获得最大利润？
三、对偶问题的解决方法
对于上面的问题，我们可以通过构造对偶问题来求解。首先，我们需要写出原问题的数学模型：
max 20x1 + 15x2
s.t.
3x1 + 2x2 ≤ 6 x1 + 3x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
然后，我们构造对偶问题。对偶问题的解为原问题的约束条件的松弛，即：
min -20y1 - 15y2
s.t.
-3y1 + 2y2 ≥ -6
-y1 - 3y2 ≥ -4
y1, y2 ≥ 0
通过求解对偶问题，我们可以得到最优解为 y1=2, y2=1，代入原问题的目标函数，可得最大利润为 35。
四、对偶问题在实际生活中的应用
对偶问题在实际生活中的应用非常广泛，如供应链管理、交通规划、资源分配等。
第 1 页 共 2 页 对偶问题实例
（原创实用版）
目录
1.对偶问题的概念介绍
2.对偶问题的实例分析
3.对偶问题的实际应用
正文
一、对偶问题的概念介绍
对偶问题，是指在数学、物理等领域中，存在两个相互关联的问题，它们之间具有对偶性。对偶性指的是一个问题的解可以转化为另一个问题的解，这两个问题分别为原始问题和对偶问题。对偶问题在解决复杂问题时，往往可以提供一种新的思路和方法。
二、对偶问题的实例分析
举例来说，我们考虑一个经典的线性规划问题：
最大化：c^T x
约束条件：A x <= b
x >= 0
对应的对偶问题是：
最小化：c^T y
约束条件：A^T y <= b
y >= 0
其中，x 和 y 分别是原始问题和对偶问题的解。我们可以通过对偶问题来求解原始问题，也可以通过原始问题来求解对偶问题。 第 2 页 共 2 页 三、对偶问题的实际应用
对偶问题在实际应用中具有广泛的应用。比如在经济学中，对偶问题可以用来解决资源的最优配置问题；在工程领域，对偶问题可以用来解决网络设计的最优化问题；在计算机科学中，对偶问题可以用来解决复杂数据的挖掘问题。
第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
1
a．c
1≤24
b．c
2≥6
c．c
s2≤8
2
a.c
1≥-0.5
b.-2≤c
3≤0
c.c
s2≤0.5
3
a.b
1≥150
b.0≤b
2≤83.333
c.0≤b
3≤150
4
a.b
1≥-4
b.0≤b
2≤300
c.b
3≥4
5
a.利润变动范围c
1≤3，故当c
1=2时最优解不变
b.根据材料的对偶价格为1判断，此做法不利
c.0≤b
2≤45
d.最优解不变，故不需要修改生产计划
e.此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为-12小于零，对原生
产计划没有影响。
6
均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且对
应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可
知此线性规划有无穷多组解。
7
a.minf=10y
1+20y
2.
s.t.y
1+y
2≥2,
y
1+5y
2≥1,
y
1+y
2≥1,
y
1,y
2≥0.
b.maxz=100y
1+200y
2.
s.t.1/2y
1+4y
2≤4,
2y
1+6y
2≤4,8.2y
1+3y
2≤2,
y
1,y
2≥0.
a.minf=-10y
1+50y
2+20y
3-20y
4.
s.t.-2y
1+3y
2+y
3-y
2≥1,
3y
1+y
2≥2,
-y
1+y
2+y
3-y
2=5,
y
1,y
2,y
2≥0,y
3没有非负限制。
b.maxz=6y
1-3y
2+2y
3-2y
4.
s.t.y
1-y
2-y
3+y
4≤1,
2y
1+y
2+y
3-y
4=3,
-3y
1+2y
2-y
3+y
4≤2,
y
1,y
2,y
4≥0,y
3没有非负限制
9.对偶单纯形为
maxz=4y
1-8y
2+2y
3
s.ty
1-y
2≤1,
-y
1-y
2+y
3≤2,
y
1-2y
2-y
3≤3,
y
1,y
2,y
3≥0
目标函数最优值为:10
最优解:x
1=6,x
2=2,x
3=0
《管理运筹学》第四版课后习题解析
第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
1．解：
（1）c1≤24
（2）c2≥6
（3）cs2≤8
2．解：
（1）c1≥−0.5
（2）−2≤c3≤0
（3）cs2≤0.5
3．解：
（1）b1≥250
（2）0≤b2≤50
（3）0≤b3≤150
4．解：
（1）b1≥−4
（2）0≤b2≤10
（3）b3≥4
5. 解：
最优基矩阵和其逆矩阵分别为：1401B，14011B；
最优解变为130321xxx，，最小值变为-78；
最优解没有变化；
最优解变为2140321xxx，，，最小值变为-96；
6．解：
（1）利润变动范围c1≤3，故当c1=2时最优解不变。
（2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
（3）0≤b2≤45。
（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。
（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。
7. 解：
(1)设321,,xxx为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为
0,, 4005132 4505510 35010168 325.2max
321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxz约束条件：
解得三种食品产量分别为0,75.43321xxx，这时厂家获利最大为109.375万元。
(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
（3）B食品的加工工序改良之后，仍不投产B，最大利润不变；
若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中667.31110,167.144321xxxx，，；
