数列知识点总结(高中数学)

数列知识点总结

数列的概念与简单表示法

知识点一、数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项，所以数列的一般形式可以写成：

,,,,,,321naaaa

简记为na。项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；

2.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；

3.各项相等的数列叫做常数列；

4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列；

知识点二、通项公式

如果数列na的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

知识点三、数列的前n项和

1.数列的前n项和的定义：我们把数列na从第一项起到第n项止的各项之和，称为数列na的前n项和，记作nS，即nnaaaS21。

2.数列前n项和nS与通项公式na之间的关系：.2,,1,11nSSnSannn

等差数列

知识点一、等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

知识点二、等差中项

有三个数bAa,,组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时A叫做ba与的等差中项。

1.根据等差中项的定义：bAa,,是等差数列，则2baA；反之，若2baA，则bAa,,是等差数列。

2.在等差数列na中，任取相邻的三项Nnnaaannn,2,,11，则na是1na与1na的等差中项；反之，na是1na与1na的等差中项对一切Nnn,2均成立，则数列na是等差数列。

因此，数列na是等差数列),2(211Nnnaaannn。

3.若数列na是等差数列，且p+q=s+t,则tsqpaaaa。（p,q,s,t∈N）

知识点三、等差数列的通项公式

1.等差数列的通项公式：dnaan)1(1，其中1a为首项，d为公差。

等差数列的通项公式的推导方法：

累加法：因为na是等差数列，所以

daadaadaadaann1342312,,,,

等号两边分别相加，得dnaan)1(1，所以dnaan)1(1。

2.等差数列的应用：已知等差数列中任意两项),(,Nmnaamn，

dmnaamnaaddmnaadmaadnaamnmnmnmn)()()1()1(11

知识点四、等差数列与一次函数的关系

1.从函数观点认识等差数列：由于dnaan)1(1=)(1dadn

所以当d≠0时，等差数列na的第n项na是一次函数)()(1dadxxf。

2.等差数列的单调性：

当d>0时，数列na为递增数列；

当d<0时，数列na为递减数列；

当d=0时，数列na为常数列。

等差数列前n项和公式

一、等差数列的前n项和

1.等差数列前n项和公式：（ 1）2)(1nnaanS； （2）dnnnaSn2)1(1。

2.公式的推导：若等差数列na的前n项和为nS，公差为d，则

nnnaaaaS121

倒序，得：121aaaaSnnn

两式相加，得：)()(21121aaaaaaSnnnn）（=)(21aan

所以有2)(1nnaanS。

将dnaan)1(1代入上式，得dnnnaSn2)1(1。

二、等差数列前n项和的常用性质

性质1：等差数列na中连续m项的和,,,232mmmmmSSSSS仍为等差数列，公差为dm2。

性质2：若等差数列na的前n项和为nS，

则2)(2)(11knknnaanaanS，k=1,2······

性质3：（1）当项数为2n时，ndSS奇偶，1nnaaSS偶奇。

（2）当项数为2n+1时，中偶奇aaSSn1，nnSS1偶奇。

性质4：若等差数列na的前n项和为nS，则数列nSn仍为等差数列，其首项为1a，

公差为2d，且点nSnn,（n=1,2,3,···）共线。

性质5：若数列na与nb均为等差数列，且前n项和分别是nS和nT,

则1212nnnnTSba，12121212nmnmTSmnba。

等比数列

知识点一、等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母)0(qq表示。

1.等比数列的各项不能为0，公比也不能为0； 2.)0(12312qaaaaaaqnn。

知识点二、等比中项：如果在ba和中间插入一个数G，使得bGa，，成等比数列，那么G叫做ba与的等比中项。

1.由GbaG可得，abG2；

2.等比数列中任取相邻的三项21nnnaaa，，，则221nnnaaa。

知识点三、等比数列通项公式：

1.首项为1a，公比为q的等比数列na通项公式为：11nnqaa

公式的推导：累乘法：因为na是等比数列，所以当n≥2时，

111342312nnnnqaaaaaaaaaa，所以11nnqaa。

知识点四 等比数列与指数函数的关系

1.从函数观点认识等比数列：由nnnqqaqaa111可知，当q>0且q≠1时，等比数列na的第n项na是函数Rxqqaxfx1)(当nx时的函数值。

2.等比数列的单调性：由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下：

①当101qa或1001qa时，等比数列na为递增数列。

②当1001qa或101qa时，等比数列na为递减数列。

③当1q时，等比数列na为常数列。④当0q时，等比数列na为摆动数列。

知识点五 等比数列的性质：设数列na是公比为q的等比数列：

性质1：设mnaa,是数列na中任意两项，则：),(Nmnqaamnmn.

性质2：若数列na是等比数列，且s+t=m+n，则Ntsnmaaaanmts,,,

特别的，若tsm2,则tsmaaa2

性质3：若na是等比数列，则下标（即项的序号）成等差数列的项，仍然成等比数列。

即若),,(,,Npnmpnm成等差数列，则pnmaaa,,成等比数列。

性质4：若数列na是公比为q的等比数列，则连续相邻m项的积构成公比为2mq的等比数列。

性质5：（1）若数列na是公比为q的等比数列，则数列)0(na，则na1，2na，na都是等比数列，且公比分别是qqqq,,1,2。

（2）若数列na和nb分别是公比为q和q的等比数列，则数列nnba，nnba仍是等比数列，且公比分别是qq，qq。

性质6：公比为q的有穷等比数列na，把各项倒序排列得到的数列仍是等比数列，公比为q1。

等比数列的前n项和

知识点一、等比数列的前n项和的公式

1.公式：等比数列的前n项和)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 。

2.公式推导过程：

设等比数列na的首项为1a，公比为q，则na的前n项和nnnaaaaS121

则112111nnqaqaqaaS①

nnqaqaqaqaqS131211②

①-②得：nnqaSq111

因此，当q≠1时，qqaSnn1)1(1

知识点二、设等比数列na的前n项和为nS，公比为q.

1.当nS，nnSS2，nnSS23，均不为零时，数列nS，nnSS2，nnSS23仍是等比数列，其公比为nq；

2.“相关和”的性质：mnnmnSqSS；

3.若na共2n项，则qSS奇偶。

4.当1q时，mnSSmn；当1q时，mnmnqqSS11。