高考数学所有公式及结论总结大全

高考数学常用公式及结论200条

集合

 元素与集合的关系

UxAxCA,UxCAxA.

 德摩根公式

();()UUUUUUCABCACBCABCACBIUUI.

 包含关系

ABAABBIUUUABCBCA

UACBIUCABRU

 容斥原理

()()cardABcardAcardBcardABUI

()()cardABCcardAcardBcardCcardABUUI

()()()()cardABcardBCcardCAcardABCIIIII.

 集合12{,,,}naaaL的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.

 集合A中有M个元素，集合B中有N个元素，则可以构造M*N个从集合A到集合B的映射；

二次函数，二次方程

 二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2()(0)fxaxbxca;

(2)顶点式2()()(0)fxaxhka;

(3)零点式12()()()(0)fxaxxxxa.

 解连不等式()NfxM常有以下转化形式

()NfxM[()][()]0fxMfxN

|()|22MNMNfx()0()fxNMfx

11()fxNMN.

 方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根,与0)()(21kfkf不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内,等价于0)()(21kfkf,或0)(1kf且22211kkabk,或0)(2kf且22122kabkk.

 闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若qpabx,2，则minmaxmax()(),()(),()2bfxffxfpfqa；

qpabx,2，maxmax()(),()fxfpfq，minmin()(),()fxfpfq.

(2)当a<0时，若qpabx,2，则min()min(),()fxfpfq，若qpabx,2，则max()max(),()fxfpfq，min()min(),()fxfpfq.

 一元二次方程的实根分布

依据：若()()0fmfn，则方程0)(xf在区间(,)mn内至少有一个实根 .

设qpxxxf2)(，则

（1）方程0)(xf在区间),(m内有根的充要条件为0)(mf或2402pqpm；

（2）方程0)(xf在区间(,)mn内有根的充要条件为()()0fmfn或2()0()0402fmfnpqpmn或()0()0fmafn或()0()0fnafm；

（3）方程0)(xf在区间(,)n内有根的充要条件为()0fm或2402pqpm .

 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间),(的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式(,)0fxt(t为参数)恒成立的充要条件是min(,)0()fxtxL.

(2)在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式(,)0fxt(t为参数)恒成立的充要条件是(,)0()manfxtxL.

(3)0)(24cbxaxxf恒成立的充要条件是000abc或2040abac.

简易逻辑

 真值表

ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ

真 真 假 真 真

真 假 假 真 假

假 真 真 真 假

假 假 真 假 假

 常见结论的否定形式

原结论 反设词 原结论 反设词

是 不是 至少有一个 一个也没有

都是 不都是 至多有一个 至少有两个

大于 不大于 至少有n个 至多有（1n）个

小于 不小于 至多有n个 至少有（1n）个

对所有x，

成立 存在某x，

不成立

p或q

p且q

对任何x，

不成立 存在某x，

成立

p且q

p或q

 四种命题的相互关系

原命题

互逆 逆命题

若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ

互 互

互 为 为 互

否 否

逆 逆

否 否

否命题 逆否命题

若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

 充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

函数

 函数的单调性

(1)设2121,,xxbaxx那么

1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；

1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.

(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.

 如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数; 如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([xgfy是增函数.

 奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;在对称区间上，奇函数的单调性相同，欧函数相反；，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0，则必有f(0)=0;

 若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf.

 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是函数2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy 的图象关于直线2bax对称.

 若)()(axfxf,则函数)(xfy的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(axfxf,则函数)(xfy为周期为a2的周期函数.

 多项式函数110()nnnnPxaxaxaL的奇偶性

多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

 函数()yfx的图象的对称性

(1)函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax (2)()faxfx.

(2)函数()yfx的图象关于直线2abx对称()()famxfbmx

()()fabmxfmx.

 两个函数图象的对称性

(1)函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0x(即y轴)对称.

(2)函数()yfmxa与函数()yfbmx的图象关于直线2abxm对称.

(3)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x对称.

 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象.

 互为反函数的两个函数的关系

abfbaf)()(1.

 若函数)(bkxfy存在反函数,则其反函数为])([11bxfky,并不是)([1bkxfy,而函数)([1bkxfy是])([1bxfky的反函数.

 几个常见的函数方程

(1)正比例函数()fxcx,()()(),(1)fxyfxfyfc.

(2)指数函数()xfxa,()()(),(1)0fxyfxfyfa.

(3)对数函数()logafxx,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa.

(4)幂函数()fxx,'()()(),(1)fxyfxfyf.

(5)余弦函数()cosfxx,正弦函数()singxx，()()()()()fxyfxfygxgy，

0()(0)1,lim1xgxfx.

 几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；

（2）0)()(axfxf，或)0)(()(1)(xfxfaxf，

或1()()fxafx(()0)fx,或21()()(),(()0,1)2fxfxfxafx,则)(xf的周期T=2a；

(3))0)(()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期T=3a；

(4))()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1(()()1,0||2)fafxfxxxa，则)(xf的周期T=4a；

(5)()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa

()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa,则)(xf的周期T=5a；

(6))()()(axfxfaxf，则)(xf的周期T=6a.

指数与对数