高斯定理及应用.

1 应用高斯定理求静电场的场强

摘要：静电场的场强可以应用库仑定律及叠加原理、高斯定理、电势与场强间关系三种方法求得。应用高斯定理求静电场场强具有简单易算的特点，但高斯定理只适用于求电荷对称分布的带电体静电场场强。带电体电荷的对称性的正确分析和高斯面的恰当选取是应用高斯定理求静电场场强的关键。其中带电体电荷分布的对称性一般可以分为轴对称、面对称和中心对称三类。根据电荷分布的对称性通常选取可划分为几部分曲面的高斯面，且划分的曲面面矢量sd的方向和场强E的方向垂直或平行，可化矢量积分为标量积分以达到便于计算的目的。

关键词：场强；高斯定理；对称性；高斯面。

1引言

已知静电场的高斯定理：静电场中任一闭合曲面的E通量等于该曲面内电荷的代数和除以，即

内qSdEs . (1)

应用高斯定理可以计算闭合曲面的E通量和求静电场的场强。本文首先分析为什么高斯定理只适用于求电荷对称分布的带电体静电场场强，然后对应用高斯定理求静电场场强求解步骤中关于带电体电荷的对称性分析和高斯面选取两个问题加以分析和讨论。

3应用高斯定理求场强的适用范围

高斯定理是关于闭合曲面E通量的定理，反映的是闭合曲面E通量与电荷的关系，而不是场强E与电荷的关系。只有带电体的电荷分布具有对称性，即静电场的分布具有对称性时，才可以通过选取合适的高斯面，化矢量积分为标量积分

内qdSESdEsscos (2)

将场强的大小E从积分号中提出。所以高斯定理只适用于求电荷对称分布的带电体的静电场场强E的大小，场强E的方向需要根据对称性来判断。

2 4应用高斯定理求场强的求解步骤

应用高斯定理求电场强度可以分为以下四个步骤。第一，分析带电体电荷分布的对称性；第二，根据带电体电荷分布的对称性选取适当的高斯面；第三，计算高斯面内的E通量和高斯面内电荷的代数和；第四，化矢量积分为标量积分，求出场强的大小，并根据对称性分析场强的方向。在应用高斯定理求场强时分析带电体电荷分布的对称性及选取适当的高斯面是最为关键的，下面做具体分析。

第２１卷第３期　２００２年５月　曲靖师范学院学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＱＵＪＩＮＧ　ＴＥＡＣＨＥＲＳ　ＣＯＬＬＥＧＥ　Ｖ０１．２ｌ　Ｎｏ．３　Ｍａｖ　２００２　

高斯定理应用问题的探讨　

施传柱　（曲靖师范学院初等教育系，云南曲靖６５５０００）　摘　要：高斯定理是静电学中的一个重要定理，应用高斯定理时，常把电荷或电场的对称性作为应用高　斯定理求电场强度的条件，但实际并非如此，以高斯定理的数学表达式为基础可以阐明：对称性不是应用高　斯定理求场强的条件．　关键词：高斯定理；静电场；电场强度　中图分类号：０４４１．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９—８８７９（２００２）０３—００３４—０３　

ｌ　问题的提出　高斯定理是静电学中的一个重要定理．其内　容为：通过一个任意闭合曲面ｓ的电通　等于　该面所包围的所有电荷电量的代数和　ｑ除以ｆｉ－ｏ，　与闭合面外的电荷无关…．用公式表示则有：　＝４｝Ｅ・ｄＳ＝∑ｑｉ／０ｏ　（１）　５　（】）式中　表示沿任一闭合曲面｜ｓ的积分，∑ｑ　为闭合曲面ｓ所包围的所有电荷的电量的代数　和、　一般电磁学教材中认为，高斯定理的应用有　两方面：一是在给定闭合曲面上，所有各点处Ｅ　都已知时，可用高斯定理求该闭合面内的电荷；二　是如果电荷的分布很对称，以致我们可以通过适　当选择高斯面，那么就可用高斯定理求电场强度　Ｅｆ　．笔者认为，上述说法具有一定的片面性，不　利于对高斯定理的掌握和理解．首先，上述第二点　说法往往使人误解为电荷或电场的对称性是利用　高斯定理求电场强度的条件，即电荷或电场分布　具有对称性时就一定能用高期定理求场强，而不　具有对称性时就一定不能用高斯定理求场强．甚　至有些教材已明确说明：能够直接运用高斯定理　求出场强的情形，都必须具有一定的对称性‘３　Ｊ．但　实际情况并非如此，并非所有对称情况都能应用　高斯定理；也并非所有不对称情况均不能应用高　斯定理．只不过由于对称性的存在可使能利用高　斯定理的问题计算得以简化．　２对称性不是高斯定理求场强的条件　

高斯定理

Gauss theorem

矢量分析的重要定理之一。它给出，矢量场通过任意闭合曲面的通量（面积分）等于该矢量场的散度在闭合曲面所包围体积内的积分（体积分）。如果通量恒为零，则矢量场是无源场亦称无散场；如果通量可以不为零，则矢量场是有源场亦称有散场。高斯定理是比较、区别各种矢量场特征的重要手段之一。

电场的高斯定理 高斯定理是静电场的基本方程之一。它给出，通过任一闭合曲面的电通量正比于该闭合曲面内电荷的代数和，即

式中V是S包围的体积；在真空中，是V内自由电荷的代数和，在有电介质时，是V内自由电荷和极化电荷的代数和。

有电介质时，由于极化电荷未知，可利用电位移D把静电场的高斯定理表为

对于线性各向同性电介质，D＝ε0εrE，εr是相对电容率 ，上式又可写成

式中是V内自由电荷的代数和。

静电场的高斯定理由库仑定律和场强叠加原理（见电场强度）证明。它揭示了静电场是有源场这一特性，正电荷是发出电力线的源头，负电荷是会聚电力线的尾闾。另外，高斯定理还提供了计算某些对称分布静电场场强的方法，如均匀带电球、无限大均匀带电面以及无限长均匀带电圆柱的电场等。

由变化磁场产生的有旋电场E旋的高斯定理为

它表明有旋电场是无源的，与静电场不同。

静电场的高斯定理还适用于随时间变化的情形，把推广后的结果和有旋电场的高斯定理合并，得出

式中E是静电场与有旋电场之和的总电场的场强，上式是麦克斯韦方程组的组成部分。

磁场的高斯定理 电流产生的磁场或变化电场产生的磁场或两者之和的总磁场都遵循同样的高斯定理，

它表明磁场是无源的，上式也是麦克斯韦方程组的组成部分。

高斯定理

电场和电荷的数学联系

讲课思路：󰂄一、回忆电场强度通量󰂄二、立体角󰂄三、高斯定理——证明、意义󰂄四、高斯定理的应用

E

󰁋

S

一、电场强度通量定义：通过电场中某一个面的电力线数叫做通过这个面的电场强度通量，

均匀电场，

垂直平面

E

󰁋

ES

Φ

=e

θcoseESΦ=均匀电场，与平面夹角E󰁋θ

θn󰁇

θSEΦ󰁋󰁋⋅=eE󰁋

S,∫⋅=sSEΦ󰁋󰁋de.nddeSS󰁋󰁋⋅=

∫∫=⋅=SSSESEΦdcosdeθ󰁋󰁋闭合曲面的电场强度通量SEΦ󰁋󰁋dde⋅=

规定规定闭合曲面法线方向向外为正！

即如电力线从闭合曲面内向外穿出，则电通量为正；反之，电通量为负󰁋󰁋θESd

E󰁋S为封闭曲面S

（平面）角: 由一点（顶点）到某一曲线上两个端点作直线，由这两条直线为界所围成的空间部分称为（平面）角。

平面角是以扇形的顶点为心，半径为1的园

被截得的弧度来度量。

如果在该园上所切出的长度L，就是该平面角为L。二、立体角

1=

R平面角

弧长:22

11

Srl

rl==ϕ

1r2r1l2l

ππ22==Θrr园环的弧度：

1,2'====Θ∫∫nnrdld

LLπϕ（包围顶点）闭合曲线的弧度：

0==Θ∫

Ldϕ（不包围顶点）闭合曲线的弧度：立体角: 由一点（顶点）到某一闭合曲线上所有各点作直线，由这些直线为界所围成的空间部分称为立体角。

立体角是

以锥的顶点

为心，半径为

1的球

面被锥面所截得的面

积

来度量的。

如果立体角在该球面

上所切出的面积

ds

，

就是该立体角的量值

d

Ω

。

球面:222211dSrdSrdSd==Ω

任意面元ds（ds的法线方向n

与

r的夹角不为零）时，须将ds投影到半径为r的球面上ds’，再对应到单位球面，求出ds对O点所张的立体角。

232

cosˆ'

rdSrd

rdSd

θ=⋅==ΩSrπθ4cos'22∫∫∫===Ω=Ω

SSS

rdS

rdSd整个球面对球心O所张的立体角为4π，

单位为球面度。

球面的立体角：

（包围顶点）闭合曲面