三角形角平分线的全部定理

‘数学教学通讯）２００３年１２月（上半月）（总第１８１期）　重庆－３７·　

三角形角分线定理及共应用　

（河南省周口市川汇区教委教研室４６６００１）　李世臣　

（河南省周口教育学院数学系４６６００１）　陈劲松　

我们把三角形一个角的顶点与对边上一　

点的连线叫做三角形的角分线．　

角分线有如下性质：　定理　三角形角分线分对边的比等于两　

邻边与其相应分角正弦积的比．　下面给出该定理的证明．　

已知：如图１，Ｄ点在ＡＡＢＣ的ＢＣ边上，　

ＡＤ为　的角分线．　

ｔ　ＢＤ　ＡＢｓｉｎ　ＢＡＤ　让：丽＝＝＝—ＡＣｓｉｎＬ—ＣＡＤ。　

证明：过Ｂ、Ｃ向角分线　

ＡＤ所在直线作垂线，Ｅ、　

为垂足，　则ＢＥ＝　

ＢＡｓｉｎＬＢＡＤ．ＣＦ＝　

ＡＣｓｉｎ　ＣＡＤ．　Ａ　

Ｃ　

因为　ＢＥＤ＝ＬＣＦＤ　图ｌ　

Ｒｔ　，　ＢＤＥ一　ＣＤＦ，　

所以△ＢＥＤ∽△ＣＦＤ．　所以　＝　＝　ｓｉｎ　ＬＢＡ　Ｄ

很明显，当角分线分成等角时，ｓｉｎ　ＢＡＤ　

＝ｓｉｎ　Ｃ　Ｄ，便得ＢＤ：ＤＣ—ＢＡ：ＡＣ．所　

以，角分线定理可以认为是三角形角平分线定　理的推广．在数学解题中，角分线定理和角平分　

线定理一样，有着广泛的应用．本文依托分角线　定理，仅就以分角为参数，化曲为直，寻求比例　

关系的解题方法进行阐述．　

１　证明线段相等　

例１　如图２，△Ａ８Ｃ中，ＡＣ＞ＡＢ，在ＡＣ　

上取一点Ｄ，使ＣＤ＝ＡＢ，Ｅ为ＡＤ的中点，Ｆ　

为ＢＣ的中点，连结ＦＥ，并延长ＦＥ交ＢＡ的延　

长线于点Ｇ．　求证：ＡＥ＝ＡＧ．　

证明：连接ＧＣ，设　ＡＧＥ＝口，　ＥＧＣ＝卢．　

由角分线定理得：　ＡＥ　ＡＧｓｉｎａ　ＥＣ　—ＧＣｓ—ｉｎｆｌ—Ｒ　

ＡＧ·ＢＧｓｉｎａ　ＡＧ　ＢＦ　ＢＧ￣Ｇ—Ｃｓｉｎｆｌ＝＝＝丽。一ＦＣ。　

即豇丽ＡＥ—　

ＡＧ　ＢＦ　ＡＧ＋—ＡＢ‘雨’　Ｇ　

图２　

因为ＡＥ＝ＥＤ，ＢＦ＝ＦＣ，ＡＢ＝ＣＤ，　

所以　ＡＥ一　ＡＧ　

化简得ＡＥ＝ＡＧ．　

２　求线段的比值　

例２　在ＡＡＢＣ中，Ｄ点在ＢＣ上，　

说题教学设计

姓名：杨松

题目：立足教材，拓展探究

新人教版数学八年级上册P29页拓广探索第11题，

一、审题分析：

1.题目背景：

（1）教材背景：本题源于新人教版《数学》八年级下册教材P29页复习题第11题，是在学习了角平分线的定义和《三角形》的全章内容的基础上出现的。

（2）知识背景：涉及的知识点包括， 角平分线的定义，三角形的内角和定理。 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于点G.求证：

(1)∠BGC=180∘−21 (∠ABC+∠ACB)；

(2)∠BGC=90∘+ 21∠A。

（3）方法背景： 根据条件，选择证明线段相等的方法，学会找出全等三角形。根据条件，选择证明角度相等的方法，学会根据角平分线的定义和三角形的内角和定理转换角度，化散为整，懂得逆推的思维，会运用三角形的内角和去解决问题。

(4)思想背景： “由特殊到一般”、“由复杂到简单”的数学思想，以及“逆推”、“转化”、“化归”的数学思维。

2.学情分析

八年级的学生对图形已经有了一定的认知和感受，也有了一定的推理、证明和表达的能力。此前学生已经学习了《角平分线》、《与三角形有关的角》，掌握了证明角度相等的一般方法，等量代换的转换思想，角平分线的定义，三角形内角和定理等。但是对于在复杂图形中能灵活运用角平分线的性质和三角形角度关系的证明上还有待加强。

3.题目重难点

重点：引导学生发现题目中与三角形内角和相关的隐含条件，联系角平分线的定义证明角的等量关系，再转换成角度之间的等量关系。

难点：把联系不明显的角转化成同一个三角形中的角去解决问题。

4.教材背景

教材在此前练习中已经出现过相类似的题目，如人教版第17页习题第8、9题，都是关于三角形的内角、外角，角平分线所成的夹角的题型，为此题的证明做了经验准备。

二、解题过程：

1. 题目剖析：

２００２年第１０期　中学教研（数学）　・３７・　

让大家思考如下的问题：已知缝制的足球上，共有黑色皮子１２块，试问白色皮子共有多少块呢？　受欧拉公式的证明启发，产生了一门新的几何学领域：拓扑学．我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连　的材料（如橡皮泥）做所的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质．欧拉公式、，＋Ｆ—Ｅ　＝２，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式．这个规律是简单多面体的一种拓扑不　变性，这里的ｖ＋Ｆ—Ｅ：２就是个拓扑不变数．　最后我们就利用图论中的连通的平面网络的欧拉公式来解决这样一个问题：球面上有　个大圆，其中任　３个圆均不交于同一点，则这些大圆分球面所成的部分数为　一　＋２．　由于将球面上的这些大圆拓扑变形到平面上后得一连通的网络，注意到Ｖ＝２　（其中Ｖ表示交点数，　每两个大圆交于两点，不同的每两圆有Ｃ２种）而Ｅ＝÷（４×２　）（其中Ｅ为边数，４的意义来自每交点处连　接着４条边，括号前面的÷的意义是由于每边由两个交点连成，因此有重复，要将数量减半，再代入Ｖ＋Ｆ一　厶　Ｅ＝２，得　Ｆ：Ｅ—Ｖ＋２＝４Ｃ２，，一２Ｃ２＋２＝ｎ２一　＋２．　

参考文献　

１任樟辉著．数学思维理论．广西教育出版社，２００１　

韧等敦擎研究一一韧等效幸研究一一向篝数学研究・・奶等数学爵，【・・初等数学研兜・・初等数学－｝兜・・韧篝敷学－｝兜・・韧薯数学－ｆ兜・・韧辱数学研兜・・韧辱敦学研兜　三　角　形　角　平　分　线　的　判　定　●王雪芹　（北师大天津附中３００２００）●杨　之　（天津宝坻区教研室３０１８００）　初等数学研究－・韧等数学研究・・韧等鼓学研究・・初辱敷学研究・・初等鼓掌研究・・初等鼓掌研兜・・韧辱矗学－｜究・・初等数学研究・・韧辱数学研究・・韧辱数学研究　Ａ・科克肖特和Ｂ・沃尔斯特早在１９世纪末　（１８９８年）出版的一本非常有趣的小书《圆锥曲线的　几何性质》，已由蒋声教授译出，２００２年初上海教育　出版社作为《通俗数学名著译丛》的一种出版，这对　于消解我国２０世纪８０年代以来，“圆锥曲线研究　热”中，大量重复性的工作，也许会有一点好处．　该书全用综合法，使得圆锥曲线的重要基本性　质和大量深刻的几何性质的推证。十分直观、简明、　机巧，从而显示出它对于“解析法”的优势．但该书常　用未证的逆命题或相关命题．例如，该书关于圆锥曲　线的一条基本性质（Ｐ３：关于抛物线，Ｐ３５：关于椭圆，　Ｐ７８：关于双曲线）：　圆锥曲线的弦ＰＰ　所在直线交准线于Ｋ，Ｓ是　准线相应的焦点，则ＳＫ平分　ＰＳＰ　或其外角．　证明时，要用到三角形角平分线性质定理的逆　命题和关于外角平分线的相关命题（该书Ｐ４标注的　根据ＥｕＣ・Ⅳ－Ａ，不对，应是ＥｕＣ－ＶＩ・３的相关命题）．　鉴于欧氏“原本”和课本均无外角平分线判定定理，　我们在这里给出三角形内外角平分线判定定理及证　明，供读者研究．　定理设Ｄ为－Ａ．Ａ／￣的边／３（２或其延长线上　的点，若　～ＢＤＣＤ＝Ａ　Ｃ（１），　１，　则ＡＤ平分　ＢＡＣ（当Ｄ在ＢＣ上）或其外角　（当Ｄ在ＢＣ延长线上时）．　Ｅ　

海初二语文试卷第1页（共10页） 2013年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试

语 文 试 卷

考生注意：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟。

2．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚。

3．答案须用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔书写。

题 号 第一部分 第 二 部 分 第三部分 一 二 三 四

得 分

第 一 部 分

（1～6题 24分）

1．根据拼音将相应语句规范、工整地写在下面的田字格内。（2分）

Shū

shān

yŏu

lù

qín

wéi

jìng

，

Xué hăi wú yá kǔ zuò zhōu 。

[

2．读下面这段文字，给加点的字注音，根据拼音写出相应的汉字。（共4分）

生之为人，我们需要接受，更需要承受。承受是为寻求迸．（ ）发而做的自我蓄结，是一种实现自我的最完美的收敛。每一次承受，无不宣xiè（ ）和张扬着深厚博大的人格魅力。以肩膀和胸怀去承受生活的各种施加，才能真正地感受生活、享受生活。承受了炼狱 之痛，就有了获得新生的欢欣和感悟。一个善于承受、能够承受的人，他的步履．（ ）沉稳而安xiáng（ ），他的人生却也因此丰富而深厚。

3．在下面的横线上填写出相应的句子。（共5分）

（1） ，病树前头万木春。（刘禹锡《酬乐天扬州初逢席上见赠》）

（2） ，水中藻、荇交横，盖竹柏影也。（苏轼《记承天寺夜游》）

（3）长风破浪会有时

（4）岑参在《白雪歌送武判官归京》中为归京的友人吟诵“ ，