19.2.3 一次函数与方程、不等式

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第 1 页 共 1 页 19.2.3 一次函数与方程、不等式（1）

１．方程2x+20=0.

２．函数y=2x+20.

观察思考：二者之间有什么联系？

从数上看：方程2x+20=0的解，是函数y=2x+20的值为0时，对应自变量的值；

从形上看：函数y=2x+20与x轴交点的横坐标即为方程2x+20=0的解.

例1 （用两种方法求解）

补：例2 利用图象求方程6x-3=x+2的解 ，并笔算检验.

由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1

小结

本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b值为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映．经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法．虽然用函数解决方程问题未必简单，但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用

练习：用不同种方法解下列方程：

1．2x-3=x-2． 2．x+3=2x+1．

补充练习

1.某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司其中一家签让合同．设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别是x之间函数关系如下图所示．每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同，是多少元？

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第 2 页 共 2 页 19.2.3 一次函数与方程、不等式（2）

教学目标

1. 理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组；

2. 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法；

3. 历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想

教学重点：对应关系的理解及实际问题的探究建模

教学难点：二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解

教学过程

I 提出问题，复习引新

我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法，比如可以用代人法，也可以用加减法．我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢?

首先，任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合．比如

125853152853xyxyyxyx ①

对于①，根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当x取什么数值时，两个—次函数的y值相等?它反映在图象上，就是求直线5853xy和直线12xy的交点坐标.

七年级学习二元一次方程组时，有一个数学活动，就谈到了，求方程组的解就是求两条直线的交点坐标．

II 例题与练习

1．根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?这些解是什么?

（1） （2）

（3） （4）

解：（略）

2.利用函数解方程组：

72302yxyx 5853xy12xyyxO11xy21yxO213xy432xy y

x

O

4 4xy 1l y

x

O 2

2l 1 学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源

第 3 页 共 3 页 解：由02yx可得xy2.

由723yx可得2723xy.

在同一直角坐标系内作出一次函数xy2的图象1l和2723xy的图象2l,如下图所示观察图（2），得1l和2l的交点为（1，2）.

所以方程组723,02yxyx的解为.2,1yx

3.求直线93xy与直线72xy的交点坐标。你有哪些方法?；与同伴交流，并一起分析各种方法的利弊．

解法思路l：画出图象找出交点，确定交点坐标近似值．(由于两直线斜率接近，交点的确定，因作图误差可能有较大差别)

解法思路2：由解方程组，得到交点坐标．(把形的问题归结为数的解决，便捷准确)

例1 求函数323xy与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.

分析：求直线323xy与x轴、y轴的交点坐标，根据x轴、y轴上点的纵坐标和横坐标分别为0，可求出相应的横坐标和纵坐标；结合图象，易知直线323xy与x轴、y轴围成的三角形是直角三角形，两条直角边就是直线323xy与x轴、y轴的交点与原点的距离.

解：当y＝0时，x＝2，所以直线与x轴的交点坐标是A(2,0)；当x＝0时，y＝-3,所以直线与y轴的交点坐标是B(0，-3). 学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源

第 4 页 共 4 页 3322121OBOASOAB.

例2 画出第一节课中问题(1)中小明距北京的路程s（千米）与在高速公路上行驶的时间t（时）之间函数s＝570-95t的图象.

分析：这是一题与实际生活相关的函数应用题，函数关系式s＝570-95t中，自变量t是小明在高速公路上行驶的时间，所以0≤t≤6,画出的图象是直线的一部分.再者，本题中t和s取值悬殊很大，故横轴和纵轴所选取的单位长不一致.

19.2.3 一次函数与方程、不等式（3）

教学目标

（一）知识认知要求

1. 认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系.

2. 学会用图象法求解不等式

3．进一步理解数形结合思想.

（二）能力训练要求

1. 通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识.

2. 训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.

（三）情感与价值观要求

体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

教学重点

1． 理解一元一次不等式与一次函数的转化及本质联系。

2． 掌握用图象求解不等式的方法。

教学难点

图象方法求解不等式中自变量取值范围的确定。 学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源

第 5 页 共 5 页 教学过程

一、创设情境

我们来看下面两个问题有什么关系？

1． 解不等式5χ＋6＞3χ＋10。

2． 当自变量χ为何值时函数у＝2χ－4的值大于0？

得出：这两个问题实际上是同一个问题。

那么，是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢？它在函数图象

上的表现是什么？如何通过函数图象来求解一元一次不等式？

以上这些问题，我们本节将要学到。

二、新课讲授

我们先观察函数у＝2χ－4的图象。可以看出：当χ＞2时，直线у＝2χ－4上的点全在χ轴上方，即这时у＝2χ－4＞0。

由此可知，通过函数图象也可求得不等式的解χ＞2。

由上面两个问题的关系，我们能得到“解不等式aχ＋b＞0”与“求自变量χ在什么范围内，一次函数у＝aχ＋b的值大于0”之间的关系，实质上是同一个问题。

由于任何一元一次不等式都可以转化为aχ＋b＞0或aχ＋b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作，当一次函数值大于或小于0时，求自变量相应的取值范围。

[活动一]

用函数图象的方法解不等式5χ＋4＜2χ＋10。

引导学生通过画图、观察、寻求答案，并能通过两种不同解法，得到同一答案，探索思考总结归纳出其特点。 学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源

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以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低！

[活动二]巩固练习

1． 当自变量χ的取值范围满足什么条件时，函数у＝3χ＋8的值满足下列条件？

1） у＝－7； 2）у＜2。

2． 利用图象解出χ：

6χ－4＜3χ＋2

㈢随堂练习

1． 求当自变量χ取值范围为什么时，函数у＝2χ＋6的值满足以下条件？

（1）у＝0； （2）у＞0

2．利用图象解不等式5χ－1＞2χ＋5

㈣小结

1． 一次函数与一元一次不等式的联系。

2． 图象上的不等式

㈤活动与探究

作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：

（1）x取何值时，2x－4＞0？

（2）x取何值时，－2x+8＞0?

（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？

（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源

第 7 页 共 7 页 写出过程.

解：图象如下：

分析：要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数y2=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.

［解］（1）当x＞2时，2x－4＞0;

（2）当x＜4时，－2x+8＞0;

（3）当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立.

（4）由2x－4=0,得x=2;

由－2x+8=0,得x=4.

所以AB=4－2=2.

由,82,42xyxy 得交点C（3，2）.

所以三角形ABC中AB边上的高为2.

所以S=21×2×2=2.