伊宁市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

第 1 页，共 19 页 伊宁市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB=2sinC，a2﹣c2=3bc，则A等于（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．

3． 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=（ ）

A． B．

C． D．

4． 如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，﹣），∠AOC=α，若|BC|=1，则cos2﹣sincos﹣的值为（ ） 第 2 页，共 19 页

A． B． C．﹣ D．﹣

5． 实数x，y满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y取得最大值的是（ ）

A．（1，1） B．（0，3） C．（，2） D．（，0）

6． A={x|x＜1}，B={x|x＜﹣2或x＞0}，则A∩B=（ ）

A．（0，1） B．（﹣∞，﹣2）

C．（﹣2，0） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）

7． 若函数21,1,()ln,1,xxfxxx则函数31()32yfxx的零点个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；

③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9． 已知函数y=x3+ax2+（a+6）x﹣1有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ）

A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2

10．设nS是等比数列{}na的前项和，425SS，则此数列的公比q（ ）

A．-2或-1 B．1或2 C.1或2 D．2或-1

11．如图框内的输出结果是（ ） 第 3 页，共 19 页

A．2401 B．2500 C．2601 D．2704

12．阅读右图所示的程序框图，若8,10mn，则输出的S的值等于（ ）

A．28 B．36 C．45 D．120

二、填空题

13．设变量x，y满足约束条件，则的最小值为

．

14．若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于 ．

15．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 . 第 4 页，共 19 页

【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.

16．函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值的和为 2 ．

17．已知复数，则1+z50+z100=

．

18．在△ABC中，，，，则_____．

三、解答题

19．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．

（I）求AM的长；

（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．

第 5 页，共 19 页

20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．

21．（本小题满分12分）

如图长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，

BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝4，D1F＝8，过点E，F，C的平面α与长方体的面相交，交线围成一个四边形．

（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）；

（2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．

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22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，

（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；

（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

23．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积．

第 7 页，共 19 页

24．在正方体1111DABCABCD中,,EGH分别为111,,BCCDAA的中点.

（1）求证：EG平面11BDDB；

（2）求异面直线1BH与EG所成的角]

第 8 页，共 19 页 伊宁市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc，

可得a2=7c2，

所以cosA===﹣，

∵0＜A＜180°，

∴A=120°．

故选：C．

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查．

2． 【答案】

【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A

所以BD⊥平面PAC

（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，

所以BO=1，AO=OC=，

以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则

P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）

所以=（1，，﹣2），

设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|

（III）由（II）知，设，

则

设平面PBC的法向量=（x，y，z）

则=0，

所以令，

平面PBC的法向量所以，

同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC， 第 9 页，共 19 页 所以=0，即﹣6+=0，解得t=，

所以PA=．

【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

3． 【答案】 C

【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，

则球心O到四个面的距离都是R，

所以四面体的体积等于以O为顶点，

分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．

则四面体的体积为

∴R=

故选C．

【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．

4． 【答案】 A

【解析】解：∵|BC|=1，点B的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=，

又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos（﹣α）=，﹣sin（﹣α）=﹣，

∴sin（﹣α）=．

∴cosα=cos[﹣（﹣α）]=coscos（﹣α）+sinsin（﹣α） 第 10 页，共 19 页 =+=，

∴sinα=sin[﹣（﹣α）]=sincos（﹣α）﹣cossin（﹣α）

=﹣=．

∴cos2﹣sincos﹣=（2cos2﹣1）﹣sinα=cosα﹣sinα

=﹣=，

故选：A．

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．

5． 【答案】 D

【解析】解：由题意作出其平面区域，

将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距，

故由图象可知，

使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内，

故（1，1），（0，3），（，2）成立，

而点（，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，

故不成立；

故选D．