论文(留数定理及其应用)
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--完整版学习资料分享---- 学号：2012501007
石河子大学
本科毕业论文（设计）
留数定理及其应用
院 系 师范学院
专 业 数学与应用数学
姓 名 向必旭
指导老师 曹月波
职 称 讲师
摘要 -----WORD格式--可编辑--专业资料-----
--完整版学习资料分享---- 留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。
1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。
柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。
关键字：留数；留数定理；积分
目录
摘要···············································
1. 引言·············································
2. 留数············································· -----WORD格式--可编辑--专业资料-----
--完整版学习资料分享---- 2.1 留数的定义及留数定理························
2.2 留数的求法··································
2.3 函数在无穷远处的留数························
3. 用留数定理计算实积分
3.1 计算形如的积分············
3.2 计算形如的积分····················
3.3 计算形如的积分················
3.4 计算形如和的积分
3.5 计算积分路径上有奇点的积分····················
参考文献
1. 引言
留数理论是柯西积分理论的延续。其中的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具。留数在复变函数论本身和实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系。此-----WORD格式--可编辑--专业资料-----
--完整版学习资料分享---- 外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域函内数的零点分布状况。
2.留数
2.1 留数的定义及留数定理
如果函数在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a,则根据柯西积分定理，有 -----WORD格式--可编辑--专业资料-----
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但是，如果a是的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心邻域内，并包围点a,则积分
的值，一般说来，不再为零。并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。概括起来，我们有
定义2.1
设函数以有限点a为孤立奇点，即在点a的某去心领域内解析，则称积分
为在点a的留数，记为
由柯西积分定理知道，当时，留数的值与无关，利用洛朗系数公式，有
即
这里是在处的洛朗展式中这一项的系数。
2.2 留数的求法
如果为的简单极点，则 -----WORD格式--可编辑--专业资料-----
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法则2：设，其中在处解析，如果，为的一阶零点，则为的一阶极点，且
法则3：如果为的m阶极点，则
.
例 1 求函数在奇点处的留数
解 有两个一阶极点，于是根据法则得
例 2 求函数在奇点处的留数
解 有一个一阶极点与两个二阶极点，于是由法则
可得
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2.3
函数在无穷远点的留数
定义 设为的一个孤立奇点，即在圆环域内解析，则称
为在点的留数，记为，这里是指顺时针方向
（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）。
如果在的洛朗展开式为，则
这里，我们要注意，即使是的可去奇点，在的留数也必是这是同有限点的留数不一致的地方。
定理 如果在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）
为，则在各点的留数总和为零
关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则
法则
例3 求下列函数在所有孤立奇点处的留数： -----WORD格式--可编辑--专业资料-----
--完整版学习资料分享---- （1）；
（2）；
分析 对于有限的孤立奇点a，计算留数最基本的方法就是寻求洛朗展开式中负幂项的系数。但是如果能知道孤立奇点的类型，那么留数的计算也许稍简便些.。
例如当a为可去奇点时，（切记当时此结论不成立）对于极点处留数的计算，我们有相应的规则或公式。
对于无穷远点的留数，一般是寻求在内洛朗展开式中负幂项的系数变号，也可转变为求函数在处的留数，还可以用公式
，其中为的有限个奇点。
解 （1）函数有孤立奇点0和，而且易知在内有洛朗展开式
这既可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式，也可-----WORD格式--可编辑--专业资料-----
--完整版学习资料分享---- 以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式
所以
（2）函数有奇点：0，，.显然0为非孤立奇点，为的一阶零点，所以为的一阶极点
由公式
由公式
易知为的三阶极点
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=
注：由分式给出的函数，其中与在都解析。若为的一阶零点，那么当时，是的简单极点；当时，是的可去奇点，不管是哪类点都有
3.用留数定理计算实积分
留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分。 如，在研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分.。在热学中将遇到积分
(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂。如果能把它们化为复积分，用柯西定理和留数定理，那就简单了。当然关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来。
把实变积分联系复变回路积分的要点如下：定积分的积分区间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路包围着区域B，这样
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--完整版学习资料分享---- 左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了。下面具体介绍几个类型的实变定积分。留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分。
3.1 形如型的积分
这里表示的有理函数，并且在上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为，这样当作定积分时从经历变到，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周。第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设，则，
， 得
例4 计算
解 令，则 -----WORD格式--可编辑--专业资料-----
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例5
计算积分
解 令,则
其中 ,
为实系数二次方程
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--完整版学习资料分享---- 的两个相异实根.由根与系数的关系，且显然，故必，.
于是，被积函数在上无奇点。在单位圆内只有一个二阶极点和一个一阶极点。则
,
,
由留数定理得
.
3.2形如型的积分
把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。第一：，其中，均为关于的多项式，且分母的次数至少比分子的次数高两次；第二：在半平面上的极点为在实轴上的极点为则有
例6 计算
