中考数学专题复习《圆的证明与计算》检测题(含答案)

1 专题二 圆的证明与计算

类型一 圆基本性质的证明与计算

1.如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点．

(1)求证：PA·PB＝PD·PC；

(2)若PA＝454，AB＝194，PD＝DC＋2，求点O到PC的距离．

第1题图

2. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是AB︵的中点，连接PA，PB，PC.

2 (1)如图①，若∠BPC＝60°，求证：AC＝3AP；

(2)如图②，若sin∠BPC＝2425，求tan∠PAB的值．

第2题图

3. 已知⊙O中弦AB⊥弦CD于E，tan∠ACD＝32.

(1)如图①，若AB为⊙O的直径，BE＝8，求AC的长；

(2)如图②，若AB不为⊙O的直径，BE＝4，F为BC︵上一点，BF︵＝BD︵，且CF＝7，求AC的长．

第3题图

4.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE.

3 (1)求证：D是BC的中点；

(2)若 DE＝3，BD－AD＝2，求⊙O的半径；

(3)在(2)的条件下，求弦AE的长．

第4题图

5.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点， ∠APC＝∠CPB＝60°.

(1)判断△ABC的形状：________；

(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)当点P位于AB︵的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

第5题图 备用图

4 类型二 与切线有关的证明与计算

(一、与三角函数结合

1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.

(1)求证：AC与⊙O相切；

(2)当BD＝6，sinC＝35时，求⊙O的半径．

第1题图

2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.

(1)求证：∠PCA＝∠ABC；

(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若

5 sin∠P＝35，CF＝5，求BE的长．

第2题图

3. 如图①，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，点P在BA的延长线上，且满足∠PDA＝∠ADC.

(1)判断直线PD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)延长DO交⊙O于M(如图②)，当M恰为BC︵的中点时，试求DEBE的值；

(3)若PA＝2，tan∠PDA＝12，求⊙O的半径．

第3题图

二、与相似三角形结合

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE.

(1)求证：△ABC∽△CBD；

(2)求证：直线DE是⊙O的切线．

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第1题图

2. 如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连接BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连接DF.

(1)求证：CO·CD＝DE·BO；

(2)若⊙O的半径为5，sin∠DFE＝35，求EF的长．

第2题图

3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F.

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为5，sin∠ADE＝45，求BF的长．

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第3题图

4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.

(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；

(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．

第4题图

5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD＝DC，延长CB交⊙O于点E.

(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；

(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.

①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；

8 ②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)

第5题图

6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.

(1)求证：BD是⊙O的切线；

(2)求证：CE2＝EH·EA；

9 (3)若⊙O的半径为5，sinA＝35，求BH的长．

第6题图

7.如图①，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E(BE＞EC)，且BD＝23.过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F.

(1)求证：DF为⊙O的切线；

(2)若∠BAC＝60°，DE＝7，求图中阴影部分的面积；

10 (3)若ABAC＝43，DF＋BF＝8，如图②，求BF的长．

第7题图

三、与全等三角形结合

1.如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．

(1)求证：PN与⊙O相切；

(2)如果∠MPC＝30°，PE＝23，求劣弧BE︵的长．

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第1题图

2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，

△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC＝60°.

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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第2题图

3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.

(1)求证：AE与⊙O相切；

(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tanB的值．

第3题图

4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.

(1)求证：直线PA为⊙O的切线；

(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；

(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

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第4题图

5. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD，交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.

(1)求证：PD∥AB；

(2)求证：DE＝BF；

(3)若AC＝6，tan∠CAB＝43，求线段PC的长．

第5题图

6.如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D.

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)若PD＝163，AC＝8，求图中阴影部分的面积；

(3)在(2)的条件下，若点E是AB︵的中点，连接CE，求CE的长．

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第6题图

7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.

(1)求证：GD＝GA；

(2)求证：△DEF是等腰三角形；

(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．