中考数学总复习《与圆有关的计算》专题训练(附答案)

中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题附详细答案

一、圆的综合

1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．

（1）求证：AC∥OD；

（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）2π．

【解析】

试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；

（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．

试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；

（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180=2π．

点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

2．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．

（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．

【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（2）352

【解析】

试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可． （2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．

试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．

证明：连接OC

∵CB∥PO

∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB

1 / 14 2021中考数学 专题训练：与圆相关的计算

一、选择题

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1.把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则(

)

A. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2

B. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2

C. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4

D. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶4

2. 正八边形的中心角是( )

A．45° B．135° C．360° D．1080°

3. 如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )

A. 10 cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26 cm

4. (2019•贵阳)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是

A．30° B．45°

C．60° D．90°

5. 2018·宁夏 用一个半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的底面圆半径是( ) 2 / 14 A．10 B．20 C．10π D．20π

6. 如图某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形ADB的面积为(

)

A．6 B．7 C．8 D．9

7. 2019·天水模拟 一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆心角是( )

A．60° B．90° C．120° D．180°

8. 如图，边长为3的正五边形ABCDE的顶点A，B在半径为3的圆O上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆O上时，点C转过的度数为(

第 1 页 共 25 页 2019年中考数学“圆的有关计算与证明”专题卷（含答案）

一、解答题（共7题）

1.如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F。已知CE=12，BE=9

（1）求证：△COD∽△CBE；

（2）求半圆O的半径 的长

2.如图△ABC内接于圆O，I是△ABC的内心，AI的延长线交圆O于点D．

（1）求证：BD=DI；

（2）若OI⊥AD，求的值．

3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．

（Ⅰ）若AB=4，求 的长；

（Ⅱ）若 = ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．

4.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC． （Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；

（Ⅱ）求证：DE2=DF•DA．

5.(本题10分) 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F,连结OC,AC.

（1）求证:AC平分∠DAO.

第 2 页 共 25 页 （2）若∠DAO=105°，∠E=30°.

①求∠OCE的度数.

②若⊙O的半径为2 ，求线段EF的长.

6.如图， 为 的直角边 上一点，以 为半径的 与斜边 相切于点 ，交

于点 ．已知 ， ．

（1）求 的长；

九年级数学中考二轮复习专题训练圆的有关计算（有答案）

2022中考九年级数学二轮复习专题训练：圆的有关计算一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.一个扇形的半径为6，圆心角为120∘，则该扇形的面积是（）A.2πB.4πC.12πD.24π2.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240∘的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A.6cmB.9cmC.12cmD.18cm 3.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30∘，OA=2，则阴影部分的面积是（）A.B.C.πD.2π 4.已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36∘，则该圆锥的母线长为（）A.100cmB.10cmC.10cmD.1010cm 5.已知圆O的半径是3，A，B，C 三点在圆O上，∠ACB＝60∘，则弧AB的长是（）A.2πB.πC.32πD.12π 6.如图，在扇形AOB中∠AOB=90∘，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为22时，则阴影部分的面积为（）A.2π-4B.4π-8C.2π-8D.4π-4 7.制作一个圆锥模型，已知这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为120∘的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，则这块铁皮的半径为（）cm．A.32B.1C.2D.38.如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在AB上的点D处，且BDl:ADl=1:3（BDl表示BD的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）A.1:3B.1:πC.1:4D.2:9 9.如图一个扇形纸片的圆心角为90∘，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（）A.16π3-43B.43-4π3C.16π3-83D.93-3π 10.如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的个数是（）①AM平分∠CAB； ②AM2＝AC⋅AB； ③若AB＝4，∠APE＝30∘，则BM的长为π3； ④若AC＝3，BD＝1，则有CM=DM=3．A.1B.2C.3D.4二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分） 11.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为________． 12.一个圆锥的侧面展开图半径为16cm，圆心角270∘的扇形，则这个圆锥的底面半径是________cm． 13.如图，在△ABC中，AB=CB=62cm，∠ABC=90∘，以AC的中点O为圆心，OB为半径作半圆．若∠MON=90∘，OM与ON分别交半圆于点E，F，则图中阴影部分的面积是________.14.如图，半径为2的⊙O与△AOB的边AB相切于点C，与OB相交于点D，且OD=BD，则图中阴影部分的面积为________． 15.如图，AC⊥BC,AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O； 以点C为圆心，BC为半径作AB，过点O作AC的平行线分别交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是________.三、解答题（本题共计8小题，共计75分） 16.（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以12AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积．17.(9分)如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE // AB，过点B作直线BE // AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45∘，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）． 18.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30∘，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB=43，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 19.(9分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠E=40∘，∠F=50∘.(1)求∠A的度数； (2)当⊙O的半径等于2时，请求出劣弧BD的长(结果保留π).20.(9分)如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且AC = CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．1求证：CD是⊙O的切线； 2若OFFD = 23，求证：AE=AO； 3连接AD，在2的条件下，若CD = 2，求AD的长． 21.(9分)如图，AB是半圆的直径，O为半圆O的圆心，AC是弦，取BC的中点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是半圆O的切线； (2)当AB=10,AC=53时，求BC的长； (3)当AB=20时，直接写出△ABC面积最大时，点D到直径AB的距离. 22.(10分)如图，点O是线段AH上一点，AH=3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD．(1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若OH=13AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积； (3)若NH=13AH，BN=54，连接MN，求OH和MN的长． 23.(11分)如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若点F是OA的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积； (3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长_________．参考答案一、选择题1.【答案】C【解答】解：S=120某π某62360=12π.故选C.2.【答案】C【解答】圆锥的弧长为：240π某18180=24π，∴圆锥的底面半径为24π÷2π＝12，3.【答案】B【解答】∵∠BCD=30∘ABO=60∘AB是OO的直径，CD是弦，OA=2…阴影部分的面积是：60某π某22360=2π3故选B．4.【答案】C【解答】设母线长为R，圆锥的侧面积=36πR2360=10π，∴R＝10cm5.【答案】A【解答】如图，∵∠ACB＝60∘，∴∠AOB＝2∠ACB＝120∘，∴l=nπr180=120某π某3180=2π．6.【答案】A【解答】解：连接OC∵在扇形AOB中∠AOB=90∘，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，∴∠COD=45∘，∴OC=(22)2+(22)2=4，∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积=45360某π某42-12某(22)2=2π-4．故选A.7.【答案】D【解答】解：圆锥的底面周长为：120某π某9180=6π,设圆形铁皮的半径为r，则2πr=6π，解得：r=3cm．这块圆形铁皮的半径为3cm.故选D.8.【答案】D【解答】解：连接OD交OC于M.由折叠的可得：OM=12OD=12OA，∠OMA=90∘，∴∠OAM=30∘，∴∠AOM=60∘.∵BDl:ADl=1:3，∴∠AOB=80∘.设圆锥的底面半径为r，母线长为l，80πl180=2πr，∴r:l=2:9.故选D.9.【答案】B【解答】解：由折叠可知，S弓形AD=S弓形OD，DA=DO.∵OA=OD，∴AD=OD=OA，∴△AOD为等边三角形，∴∠AOD=60∘，∠DOB=30∘.∵AD=OD=OA=4，∴CD=23，∴S弓形AD=S扇形ADO-S△ADO=60π⋅42360-12某4某23=83π-43，∴S弓形OD=83π-43，∴阴影部分的面积=S扇形BDO-S弓形OD=30π⋅42360-(83π-43)=43-4π3.故选B.10.【答案】C【解答】连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM // AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确； ∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90∘，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴ACAM=AMAB，∴AM2＝AC⋅AB，故②正确； ∵∠APE＝30∘，∴∠MOP＝∠OMP-∠APE＝90∘-30∘＝60∘，∵AB＝4，∴OB＝2，∴BM的长为60⋅π某2180=2π3，故③错误； ∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD // AC，∴PBPA=BDAC=13，∴PB=13PA，∴PB=12AB，BD=12OM，∴PB＝OB＝OA，∴在Rt△OMP中，OM＝2BD＝2，∴OP＝4，∴∠OPM＝30∘，∴PM＝23，∴CM＝DM＝DP=3，故④正确．二、填空题11.【答案】π16【解答】根据题意，针头扎在阴影区域内的概率就是圆与正方形的面积的比值； 由题意可得：正方形纸边长为4cm，其面积为16cm2，圆的半径为1cm，其面积为πcm2，故其概率为π16．12.【答案】12【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=270π某16180，则r=12cm．故答案为：12.13.【答案】(9π-18)cm2【解答】解：∵AC是半圆O的直径，∴∠ABC=90∘=∠MON，又∵AB=CB，点O是AC的中点，∴∠BOC=90∘，∴ ∠BOE=∠COF，∴S扇形BOE=S扇形COF，将扇形BOE以点O为旋转中心，逆时针旋转90∘，∵AB=CB=62,由勾股定理，得AC=AB2+BC2=622+622=12 ,∴OB=OA=OC=6, S阴影=S扇形BOC-S△BOC=90π某62360-12某6某6=(9π-18)cm2.故答案为：(9π-18)cm2.14.【答案】23-2π3【解答】解：∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB.∵OD=DB，OD=OC=r=2，∴OB=OD+DB=2OC=2r=4，∴∠OBC=30∘，∴∠BOC=60∘，∴BC=OB2-OC2=42-22=23，∴S阴影=S△OCB-S扇形DOC，=12某BC某OC-60某π某r2360，=12某23某2-60π某4360=23-2π3.故答案为：=23-2π3.15.【答案】5π3-23【解答】解：连接CE．∵AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O； 以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴∠ACB=90∘，OB=OC=OD=2，BC=CE=4．又∵OE // AC，∴∠ACB=∠COE=90∘，∴在直角△OEC中，OC=2，CE=4，∴∠CEO=30∘，∠ECB=60∘，∴OE=23，∴S阴影＝S扇形BCE-S扇形BOD-S△OCE=60π某42360-14π某22-12某2某23=5π3-23.故答案为：5π3-23.三、解答题16.【答案】解：∵∠C=90∘，CA=CB=4，∴12AC=2，S△ABC=12某4某4=8，∵三条弧所对的圆心角的和为180∘，三个扇形的面积和=180π某22360=2π，∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和=8-2π．17.【答案】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下： 连结OD，BD，则∠ABD=∠ACD=45∘，∵AB是直径，∴∠ADB=90∘，∴△ADB为等腰直角三角形，∵点O为AB的中点，