2021年中考数学真题分类汇编--函数：函数与几何(压轴题1)(老师版)

专题14二次函数解答压轴题（共32题）-2021年中考数学真题分项汇编

（解析版）【全国通用】（第01期）

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

一、解答题

1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点1,m和点3n,在抛物线20yaxbxa上．

（1）若3,15mn，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点1231,,2,,4,yyy在该抛物线上．若0mn，比较123,,yyy的大小，并说明理由．

【答案】（1）1x；（2）213yyy，理由见解析

【分析】

（1）由题意易得点1,3和点3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；

（2）由题意可分当0,0mn时和当0,0mn时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．

【详解】

解：（1）当3,15mn时，则有点1,3和点3,15，代入二次函数20yaxbxa得：

39315abab，解得：12ab，

∴抛物线解析式为22yxx，

∴抛物线的对称轴为12bxa；

（2）由题意得：抛物线20yaxbxa始终过定点0,0，则由0mn可得：

∴当0,0mn时，由抛物线20yaxbxa始终过定点0,0可得此时的抛物线开口向下，即0a，与0a矛盾；

∴当0,0mn时，

∴抛物线20yaxbxa始终过定点0,0，

∴此时抛物线的对称轴的范围为1322x， ∴点1231,,2,,4,yyy在该抛物线上，

∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为3513571,2,4222222xxx，

∴0a，开口向上，

∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，

2021全国中考真题分类汇编（函数）

----函数与几何（2）

1.（2021•四川省眉山市）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN

∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、

D两点．

（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；

（2）求直线MN所对应的函数表达式；

（3）求△BCN的面积．

【分析】（1）对于y＝x+6，令y＝x+6＝0，解得x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，由点A、

B的坐标得：AB＝＝10，即可求解；

（2）在Rt△NHB中，NB＝＝，即直线AB向上平移个单位得到

MN，即可求解；

（3）联立MN的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x2+49x+120＝0，得到点C的坐

标为（﹣3,10），故CN＝＝5，进而求解．

【解答】解：（1）对于y＝x+6，令y＝x+6＝0，解得x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，

故点A、B的坐标分别为（﹣8,0）、（0,6），

∵∠AOB为直角，则AB是圆P的直径，

由点A、B的坐标得：AB＝＝10， 故圆的半径＝AB＝5；

（2）过点N作HN⊥AN于点H，设直线MN与圆P切于点G，

连接PG，则HN＝PG＝5，

则sin∠NBH＝sin∠ABO＝,

在Rt△NHB中，NB＝＝，

即直线AB向上平移个单位得到MN，

故MN的表达式为y＝x+6+＝x+；

（3）联立MN的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x2+49x+120＝0，

解得：x＝﹣3或﹣，

故点C的坐标为（﹣3,10），

由点C、N的坐标得：CN＝＝5，

则△BCN的面积＝CN•NH＝×5×5＝．

2. （2021•四川省南充市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）

和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平

中考真题分类汇编（函数）

----函数与几何（2）

1.（2021•四川省眉山市）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．

（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；

（2）求直线MN所对应的函数表达式；

（3）求△BCN的面积．

2. （2021•四川省南充市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

3. （2021•遂宁市）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线1x，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．

（1）求抛物线的解析式和m的值；

（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．

4. (2021•四川省自贡市) 如图，抛物线(1)()yxxa（其中1a）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．

（1）直接写出OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；

（2）若点D为ABC的外心，且BCD△与ACO△的周长之比为10:4，求此抛物线的解析式；

中考真题分类汇编（函数）

----函数与几何（1）

1. （2021•湖北省武汉市）抛物线y＝x2－1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．

（1）□ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上．

①如图（1），若点C的坐标是(0，3)，点E的模坐标是，直接写出点A，D的坐标；

②如图（2），若点D在抛物线上，且□ACDE的面积是12，求点E的坐标；

（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FG＋FH的值是定值．

2. （2021•湖南省衡阳市）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．

（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；

（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．

①求c的取值范围；

②求∠EMN的度数；

（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3. （2021•怀化市）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．