非线性方程求解算法比较

＊姆●　解题技巧与方法　缠瞧礅　程　鼷晌　诩　◎虞海磊　（杭州师范大学钱江学院数学与应用数学３１００１２）　【摘要】近几十年来，随着数学研究本身的发展和大型　计算机的出现及完善，各种非线性问题目益引起科学家和　工程技术人员的兴趣和重视．特别是在近代物理和科学工　程计算中的一些关键问题，归根结底都依赖于某些特定的　非线性方程的求解．所以无论在理论研究方面，还是在实际　应用中，非线性方程的求解都占有非常重要的地位．本文所　提出的主要基于ＭＡＴＬＡＢ程序设计教程，介绍了非线性代　数方程和非线性微分方程求解的几种方法．　【关键词】非线性微分；符号方程；积分因子；ｏｄｅ２３　一、非线性方程求解的作用　非线性方程组的求解乃是非线性科学的核心；很多来　自工程、机械、科学研究等的实际问题最终都化为求解一个　非线性方程组；而非线性方程组的求解，是一个至今没有彻　底解决的数学问题；特别地，来自工程、机械等的几何约束　问题，最终都将产生一个非线性方程组，且该方程组中方程　和未知量的个数都非常多，且往往其中的未知量的次数还　非常高．因此，解决这些几何约束问题极其困难．　二、微分方程　微分方程指含有一次、二次乃至高次微分未知数的方　程，是解决偏微分方程、数理方程的基础．微分方程的表达　通式是ｆ（　，　ｄ￣ｙ，　，…，　，　）＝ｏ．　三、微分方程的线性化　大部分非线性微分方程，都不能得出通解．但是，可以　，，２　对其在一定范围之内进行线性化求出近似解．例如，　＋　ｄ　ｓｉｎｙ：３ｘ．在ｙ一０的情况下，ｓｉｎｙ—Ｙ，我们得到近似线性微　２　，　分方程　Ｙ：３ｘ，它是可解的．　ｄ　一　有许多函数都是为了无法得出多项函数或超越函数形　式的解析解的微分方程而定义出来．这些特殊函数之所以　重要，是因为它们描述了自然界中的某些现象，例如，电子　的活动、鼓皮的振动、钟摆的摆动，等等．　四、常微分方程初值问题的数值解法　考虑常微分方程的初值问题Ｙ　＝－厂（ｔ，Ｙ），Ｙｏ≤ｔ≤Ｔ，　Ｙ（ｔ０）＝Ｙｏ．　所谓其数值解法就是求它的解，，（￡）在节点ｔ。＜ｔｌ＜…＜ｔ　处的近似值Ｙｏ，Ｙ　一，ｙ　的方法．所求的Ｙｏ，Ｙ　一，ｙｍ的方法．　所以求得的Ｙｏ，Ｙ　一，Ｙ　称为常微分方程初值问题的数值解．　一般采用等距节点ｔ　＝ｔ。＋ｎｈ（ｎ＝０，１，…，ｍ），其中ｈ为相邻两　个节点间的距离，叫做步长．　常微分方程初值问题的数值解法多种多样，比较常用　的有欧拉（Ｅｕｌｅｒ）法、龙格一库塔（Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ）法、线性多　步法、预报校正法等．　五、龙格一库塔（Ｒｕｎｇｅ，Ｋｕｔｔａ）法　对于一阶常微分方程的初值问题，在求解未知函数Ｙ　时，Ｙ在ｔ。点的值Ｙ（ｔ。）＝Ｙ。是已知的，并根据高等数学中的　中值定理，应有Ｙ（ｔｏ＋ｈ）ｙ　Ｙ。＋　ｔ。，Ｙ。），ｈ＞０，称为步长，　Ｙ（ｔ０＋２＾）＝Ｙ２　Ｙｌ＋　ｔ１，Ｙ。）．一般地，在任何点ｔ　＝ｔｏ＋访，　有Ｙ（ｔ０＋　＾）＝Ｙ　Ｙ；一１＋　厂（ｔ　一１，Ｙ。～１）（ｉ＝１，２，…，ｎ）．　当（ｔ。，Ｙ。）确定后，根据上述递推式能计算出未知函数　Ｙ在点ｔ。＝ｔ。＋ｉｈ（ｉ＝０，ｌ，…，１７，）的一例数值解Ｙ　＝Ｙ。，Ｙ　，　Ｙ２，…，Ｙ　，（ｉ＝０，１，…，ｎ）．　●　・　・　●　当然，递推过程中有一个误差累计的问题．在实际计算　过程中，使用的递推公式一般进行改造，著名的龙格一库塔　公式是Ｙ（　＋ｉｈ）＝Ｙ　Ｙ　一ｌ十÷（ｋｌ＋２ｋ２＋２ｋ３＋ｋ４）．　其中，ｋ，＝　０　一，），　。＝　０　＋—争，ｙ　一，＋—争　１，　ｋ３：　０。＋÷，ｙ　一，＋÷　２１，　＝，（０．＋　，ｙ　一。＋　３）．　六、龙格一库塔法的实现　基于龙格一库塔法，ＭＡＴＬＡＢ提供了求常微分方程值　解的函数，一般调用格式为：　［ｔ，Ｙ］＝ｏｄｅ２３（‘ｎａｍｅ’，ｔｅｓｐａｎ，Ｙ０），　［ｔ，Ｙ］＝ｏｄｅ４５（‘ｎａｍｅ’，ｔｅｓｐａｎ，Ｙ０）．　其中，ｆｎａｍｅ是定义＿厂（ｔ，Ｙ）的函数文件名，该函数文件必须　返回一个列向量．Ｔｅｓｐａｎ形式为［ｔ。，　，表示求解区间．Ｙ。是初　始状态列向量．ｔ和，，分别给出时间向量和相应的状态向量．　这两个函数分别采用了二阶、三阶龙格一库塔法和四阶、　五阶龙格一库塔法，并采用自适应变步长的求解方法，即当解　的变化较慢时采用较大的步长，从而使得计算速度很快，当解　的变化较快时步长会自动变小，从而使得计算精度很高．　七、符号常微分方程求解　在ＭＡＴＬＡＢ中，用大写字母Ｄ表示导数．例如，Ｄｙ表示　Ｙ　，Ｄ２ｙ表示Ｙ　，Ｄｙ（０）＝５表示，，　（０）＝５．Ｄ３ｙ＋Ｄ２ｙ＋Ｄｙ—　＋５＝０表示微分方程　Ｙ　＋Ｙ　一　＋５＝０．符号常微分方　程求解可以通过函数ｄｓｏｌｖｅ来实现，其调用格式为：　ｄｓｏｌｖｅ（ｅ，ｃ，　）．　该函数求解常微分方程ｅ在初值条件ｃ下的特解．参数　描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给　出初值条件ｃ，则求方程的通解．　ｄｓｏｌｖｅ在求常微分方程组时的调用格式为：　ｄｓｏｌｖｅ（ｅｌ，ｅ２，…，ｅ　，ｃｌ，…，ｃ　，口ｌ，…，　）．　该函数求解常微分方程组ｅ　一，ｅ　在初值条件下ｃ　一，　ｃ　下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，　一，ｃ　给出求解变量．　八、积分因子解非线性微分方程的一般应用　积分影子也可以用来解非线性微分方程．例如，考虑以　，４２　，　２　下的非线性二阶微分方程：　＝ＡｙＴ．　可以看到，　是一个积分因子：　。　＝Ａ，，手‘　．　利用复合函数求导法则，可得　ｄ【［２ｌ　Ｉ｛ｄ　ｙ，￣　］＝詈（　）．因此（鲁）　＝　＋ｃｏ．　利用分离变量法，可得Ｉ—＝＝＝二兰　＝＝ｔ＋Ｃ。．　ｊ　产　５　。　【参考文献】　［１］刘卫国．ＭＡＴＬＡＢ程序设计教程．北京：中国水利水　电出版社．　［２］何汉林，梅家斌．数值分析．北京：科学出版社．　［３］王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松．常微分方程（第三　版）．北京：高等教育出版社．　［４］吉米・威尔士．维基百科．　数学学习与研究

计算方法实验

题目：非线性方程的求解

班级：1402014

学号：14020140080

姓名：胡欣怡

计算方法与实习实验报告

1 实验目的

掌握用二分法、牛顿法、割线法设计程序，从而实现非线性方程求根。以求非线性方程2X3-2X2+3X-6=0在[1, 3]内的近似根为例。

2 实验步骤

（1）.二分法是逐次把有根区间分半，直到找到根或有根区间的长度小于给定精度为止。

1. 输入区间[m,n] m,n的值.

2. 判断[m,n]间是否有零点,若无零点,输出[m,n]内无零点 若有零点,计算 [m,n]的中间值m

3. 判断[m,m]间是否有零点,若有零点将mid赋值给n,若无零点,将mid赋值给m

4. 继续求解m=(m+n)/2.0

5. 判读是否达到精度,若否则进行step(2),若是则输出m

（2）.牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。

1. 在区间[m,n]内输入初值x0

2. 判断x0是否满足条件若否,执行step1，若是求解x1。x(1)=x(0)－f(0)/f'(0)

3. 判断x1是否达到精度,若是则输出x1，若否,执行stp2。

（3）. 割线法是利用牛顿迭代法的思想,在根的某个领域内，函数有直至二阶的连续导数，并且不等于0，则在领域内选取初值x0,x1,迭代均收敛。

1. 在区间[m ,n]内输入初值x0，x1.

2. 计算x2。x2=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))

3. x0=x1,x1=x2

4. 判断是否达到精度,若是输出x1，若否 执行step2

3 代码

（1）二分法

#include "Stdafx.h"

# include

# include

double quest(double x)

{

return (2*x*x*x-4*x*x+3*x-6);

一.实验目的：

通过本节实验课的学习，要求我们理解并掌握二分法、不动点迭代、牛顿切线法及弦截法解非线性方程求根的原理，掌握相应的算法原理，通过计算机解决实验问题

二.实验内容：

1、用对分区间法方程

1-x-sinx=0

在区间[0,1]上的误差小于10^(-4)的一个根，并记录对方区间的次数。

2、用不动点迭代法求解方程下

x-log(x)=2(x>1)

要求相对误差容限e=10^(-8)。

3、用Newton法求方程

x^3-x-1=0

在区间[-3,3]上的误差不大于10^(-5)的根，分别取初值x0=1.5, x0=0, x0=-1进行计算，比较他们的迭代次数。

三. 实验方案（程序设计说明）[包括算法设计思路，必要的流程图，界面设计说明、使用模块及变量的说明等。]

1、二分法是对区间收索法的一种改进，具体做法为：先求一区间的中点，并计算其函数值，若恰好有函数值为0，就是方程的根，若不为0，在判断此点的函数值与两端的函数值乘积的情况，取小于0的那个端点在进行上述对分，直到满足要求为止。

2、迭代法分为两种，一种是从任何可取的初值出发都能保证收敛，称之为大范围收敛的方法。另一类称之为局部收敛法，即为了保证收敛必须选取初值充分接近于所要求的解。迭代法的基本思想是一种逐渐逼近的方法，首先给定一个粗造的初值，然后用一个迭代公式，反复矫正这个初值，直到满足预先给出的精确要求为止。

3、双点弦接法与Newton法不同，两者有本质的区别，它分为两步，不属于不动点迭代法。

四. 实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）

（填写主要步骤与程序代码等，不够可附页）

1、f=inline('x+sin(x)-1');

a=0;

b=1;

dlt=1.0e-4;

k=1;

while abs(b-a)>dlt

c=(a+b)/2;

if f(c)==0

break;

二分法和牛顿迭代法求解非线性方程的比较及应用

摘要：本文基于计算机matlab和c语言编程去分析两者的计算复杂性，并深入探讨了两种方法的优缺点。最后，通过将两种方法结合起来解决非线性方程的求解问题，取得了显著地效果。同时，这也再次证明了方法组合解决问题的高效性。

关键词：二分法；牛顿迭代法；非线性方程

中图分类号：o242 文献标志码：b 文章编号：1674-9324（2013）25-0139-01

求解方程的近似根，一般需要解决两个问题：

1.根的隔离。即找出有根区域，使得在一些小区间中方程只有一根（或一对共轭复根）以便获取各根的较粗糙的近似值。

2.近似根的精确化。即用求根的数值方法，使求得的近似根逐步精确化，直到获得一定精度的近似根。

一、二分法和牛顿迭代法的基本思想

1.二分法。一般地，对于函数f（x），如果存在实数c，当x=c时，若f（c）=0，那么把x=c叫做函数f（x）的零点。解方程即要求f（x）的所有零点。假定f（x）在区间（x，y）上连续，先找到a、b属于区间（x，y），使f（a），f（b）异号，说明在区间（a，b）内一定有零点，然后求[f（a+b）/2]，现在假设f（a）0，a=a，从①开始继续使用中点函数值判断。如果[f（a+b）/2]>0，则在区间（a，（a+b）/2）内有零点，注：（a+b）/2<=b，从①开始继续使用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次把f（x）的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。另外，二分法不能计算复根和重根。

2.牛顿迭代法。设r是f（x）=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0，f（x0））做曲线y=f（x）的切线l，l的方程为y=f（x0）+f’（x0）（x-x0），求出l与x轴交点的横坐标x1=x0-f（x0）/f’（x0），称x1为r的一次近似值。过点（x1，f（x1））作曲线y=f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1-f（x1）/f’（x1），称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x（n+1）=x（n）-f（x（n））/f’（x（n）），称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。解非线性方程f（x）=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f（x）在x0点附近展开成泰勒级数f（x）=f（x0）+（x-x0）f’（x0）+（x-x0） *f’’（x0）/2！+…取其线性部分，作为非线性方程f（x）=0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f（x0）+f’（x0）（x-x0）=0设f’（x0）≠0则其解为x1=x0-f（x0）/f’（x0）这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x（n+1）=x（n）-f（x（n））/f’（x（n）），记为：{x（n）}。此时，当n趋于无穷大时，x（n）就会逐渐逼近f（x）=0的根。