非线性方程数值解法比较

２００７年４月　第１１卷第２期　宁波职业技术学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎｉｎｇｂｏ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ａｐｒ，２００７　、，ｏ１．１１　Ｎｏ．２　

非线性方程几种数值解法的Ｍａｔｌａｂ程序　

吴专保ｌ’　

（１．湖南师范大学数学与计算机科学学院，长沙４１　００８１；２．岳阳职业技术学院公共课部，湖南岳阳４１　４０００）　

摘要：为研究非线性方程数值解，给出了二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的Ｍａｔｌａｂ程序，并进行了近似计　

算。结果表明，牛顿迭代法收敛最快。　关键词：非线性方程；Ｍａｔｌａｂ程序；二分法；迭代法　中图分类号：Ｏ２４１．６　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１・２１５３（２００７）０２—００２０・０３　

０引言　

在科学研究和科学计算中常常碰到非线性方程　

求解问题。非线性方程的解一般不能解析求出。所　

以数值解法显得非常重要，而数值解法在实际中的实　

现则更为重要。本文将介绍几种数值解法在Ｍａｔｌａｂ　

中的实现程序。　

１二分法　

设厂　）在　，６】连续，假定厂（口）＜０，厂（６）＞０，取中　

１３＇十，’　ｆ￣ＸＯ＝＝—　，检查厂（‰）符号。若厂ｘ。）＝０，则‰就是一个　

根；若ｆ（ｘ０）＞０，记ａ为ａ１，ｘ０为ｂ１，则得有根区　口。，　

６　】；若ｆ（ｘ０）＜０，记‰为ａ。，ｂ为ｂ。，则得有根区　口。，　

６。】。后两种情况都得到有根区ＩＮ［ａ　，ｂ。】，它的长度为　

原区间的一半。对［口　，ｂ。】，令　。＝下ａｌ＋ｂ１，再用同样的　

方法，可得新的有根区　口：，ｂ：】，它的长度为［口　，６。】的　

一半，如此反复进行下去，其中每一个区间是前一区　

间的一半。有ｌｉｍ　＝ｌｉｍ　＝　，这就是方程的　

根。而　＝　即为方程的近似根，且有估计误差　

Ｉｘ．－　Ｉ≤　（１）　下面用二分法求　

厂　）：　＋４　一１０　（２）　

在区　１，２】上的根。因为二分法只能求单根，首先可　

以搜索函数（２。２）在区　１，２】的根的情况。在Ｍａｔｌａｂ　

1

实验一非线性方程的数值解法

一.目的和意义

1.学会常用的求解非线性方程的迭代方法.

2.明确所学的求解非线性方程的迭代方法的优缺点.

3.熟悉编写求解非线性方程的迭代方法的Matlab程序.

4.明确迭代收敛性与初值选取的关系。

二.问题

1.方程f(x)=x3−3x−1=0有三个根1.8793,−0.34727,−1.53209.采用下面六种不同计算格式求1.8793,-0.34727的近似值。

x=3x+1x2;(1)

x=x3−13;(2)x=3√3x+1;(3)x=1x2−3;(4)

x=󰀁3+1x;(5)

x=x−x3−3x−13x2−3.(6)

2.用Newton法求方程x3−2x2−4x−7=0在[3,4]中的一个近似解。取初值x0=3。2

3.用双点和单点割线法求方程

x3−2x2−4x−7=0

在[3,4]中的一个近似解。取初值x0=3,x1=4。

4.用Newton法求方程x2−2x−ex+2=0的一个近似解。取初值x0=1。

5.用双点和单点割线法求方程

x2−2x−ex+2=0

的一个近似解。取初值x0=0,x1=1。

三.要求

1.编制程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况.

2.用误差估计|xk+1−xk|≤10−5来控制迭代次数,并且打印出迭代的次数.

3.分析初始值的选取对迭代收敛有何影响。

4.分析迭代收敛和发散的原因。

四.实验步骤

1.进入Matlab的开发环境.

2.根据实验内容和要求编写程序.

3.调试程序.

4.运行程序.

5.生成报告.

第２２卷第１期　２０１３年１月　河南城建学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｕｒｂａｎ　Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　Ｖｏｌ＿２２　ＮＯ．１　Ｊａｎ．２０１３　

文章编号：１６７４—７０４６（２０１３）Ｏ１—００８０—０５　

一类非线性偏微分方程的数值解法　

王　刚　

（河南城建学院，河南平顶山４６７０３６）　

摘　要：　利用有限差分法，给出了数值求解一类非线性偏微分方程的算法，并分析了算　

法的稳定性．考虑推广的热方程娑：　（特别是．厂为各项次数都为奇数的　ｏｔ　Ｏｘ　多项式函数），用Ｒｉｃｈｔｍｙｅｒ线性化方法把向前差分所得的非线性方程组转化　

为线性方程组，再用经典的数值解法计算得到结果，最后由热方程数值解法的　

稳定性分析，证明了算法在函数为奇数次的单项式时的稳定性．　关键词：　非线性偏微分方程；数值解；算法；稳定性　中图分类号：Ｘ１３２　文献标识码：Ａ　

一般的热方程　

ａ　ａ　Ｏｔ—ａ　

的数值解法比较容易．对于在科技和经济领域中经常出现的更一般的方程　

并没有现成的数值解法．本文重点研究此类方程的统一而又较为稳定的解法．　１　算法　

考虑线性偏微分方程：　（２）　

ｃ　

（　，０）＝　（　，１）＝　１十　１　ｎ２７ｒ　，　（３）　

咖（０，　）＝６（１，￡）＝　１．　

要求方程的显式解非常困难，所以尝试求这个方程的数值解．根据初边值条件，把问题限制在［０，　

１］×［０，１］中，采用有限差分的方法解这个偏微分方程，重点研究差分格式．选用加权隐格式，把［０，　１］×［０，１］均分成１００×１００的小块．直接采用最简单的分割方式，时间和位置的不同步长对方法的　

稳定性带来的影响在后面讨论，记为　

“（　，　）＝咖（　，　）　（４）　

则有ｕ（１，１）＝　（０，０），ｕ（１０１，１０１）＝　（１，１）．这样相邻两点间的距离ｈ：１／１００．对于式（３）的左端　项，有　

收稿日期：２０１２一ｌ１—３０　

20世纪60年代中期以后，发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程(1)的近似解。这种方法优点是，不要求f(□)的导数存在,也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大

编辑摘要

目录

• 1 正文

• 2 牛顿法及其变形

• 3 割线法

• 4 布朗方法

• 5 拟牛顿法

•

非线性方程组数值解法 - 正文

n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为

(1)

式中ƒi(x1,x2,…,xn)是定义在n维欧氏空间Rn 的开域D上的实函数。若ƒi中至少有一个非线性函数，则称(1)为非线性方程组。在Rn 中记 ƒ＝ 则(1)简写为ƒ(尣)=0。若存在尣*∈D，使ƒ(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。

非线性方程组数值解法 - 牛顿法及其变形

牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序： (2)

式中

是ƒ(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。

这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出ƒ(尣k)及;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求。

由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和 n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。 为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值ƒi及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W 内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定义，牛顿法(2)的效率为。