第三章直线与方程31直线的倾斜角与斜率教案

第三章 直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

教案 A

第1课时

教学内容：3.1.1 倾斜角与斜率

教学目标

一、知识与技能

1. 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；

2. 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.

二、过程与方法

经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”的思想方法.

三、情感、态度与价值观

1. 通过把直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力；

2. 通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合的思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

教学重点、难点

教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

教学难点：斜率的计算方法.

教学关键：直线斜率的两种计算方法.

教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法.

教法与学法导航

教学方法：启发、引导、讨论.

学习方法：探究、思考、讨论、练习.

教学准备

教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案）.

学生准备：一次函数与直线的关系、特殊角的正切值.

教学过程

详见下页表格.

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

创设情景

导入新课 我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？ 学生回答（不能确定）

（1）它们都经过点P.

（2）它们的倾斜程度不同.

接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题. 设疑激趣导入课题．

概念形成 1．直线倾斜角的概念

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0o. 教师提问：

倾斜角的取值范围是什么？0°≤α＜180°

当直线l与x轴垂直时90o

（由学生结合图形回答）

概念深化 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角. 教师提问：

如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？

学生回答后作出结论.

一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出确定一条直线位置的几何要素. 通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素．

概念形成 2．直线的斜率

一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即tank.

由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如= 45°时，

k = tan45°= 1；

= 135°时， k = tan135°= –1 . 教师提问：（由学生讨论后回答）

（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？

k = tan0°= 0.

（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？

= 90°，k不存在. 设疑激发学生思考得出结论． y a

b c

x O 续上表

概念形成 3．直线的斜率公式

2121.yykxx

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

（1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角= 90°，直线与x轴垂直；

（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；

（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

（4）当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角= 0°，直线与x轴平行或重合；

（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. 教师提出问题：

给定两点P1 （x1，y1），P2 （x2，y2），x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？

可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导. 借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.

应用举例 例1 已知A （3，2），B （–4，1），C （0，–1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）

【分析】已知两点坐标，而且x1 ≠ x-2，由斜率公式代入即可求得k的值；

而当tan0k时，倾斜角是钝角；

而当tan0k时，倾斜角是锐角；

而当tan0k时，倾斜角是0°.

学生分析求解 ，教师板书

例1 略解：直线AB的斜率k1 = 1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角.

直线BC的斜率k2 =

–0.5＜0，所以它的倾斜角是钝角.

通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义

续上表

例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.

【分析】要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可. 例2 略解：设直线a上的另一个点M的坐标为（x，y），根据斜率公式有1 = （y – 0）/（x – 0），

所以 x = y.

可令x = 1，则y = 1，于是点M的坐标为（1，1）.此时过原点和点M（1，1），可作直线a.

同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）

小结 （1）直线的倾斜角和斜率的概念.

（2）直线的斜率公式. 师生共同总结交流完善. 引导学生学会自己总结.

课堂作业

1. 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.

（1）（1，1），（2，4）； （2）（–3，5），（0，2）；

（3）（2，3），（2，5）； （4）（3，–2），（6，–2）

【解析】（1）413021k，所以倾斜角是锐角；

（2）25100(3)k，所以倾斜角是钝角；

（3）由x1 = x2 = 2得：k不存在，倾斜角是90°；

（4）2(2)063k，所以倾斜角为0°.

2. 已知点P(3,1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为 .

【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为（0，b）

直线PQ的斜率k = tan120°= 3，

∴130(3)bk ， ∴b = –2，即Q点坐标为(02)，.

第2课时

教学内容： 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

教学目标

一、知识与技能

1. 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件；

2. 会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

二、过程与方法

通过探究两直线平行或垂直的条件，提高运用已有知识解决新问题的能力， 以及数形结合能力．

三、情感、态度与价值观

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，获得成功感觉；同学合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣．

教学重点、难点

教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

教学难点：启发学生， 把研究两条直线的平行或垂直问题， 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

教学关键：理解并掌握判断两直线平行和垂直的方法.

教学突破方法：结合图形探究两直线平行和垂直时二者斜率的关系，并从这种关系的内涵和外延两个方面强化学生对此结论的理解.对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况，在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．

教法与学法导航

教学方法：以实验探究的教学方法为主，具体以实例展示法、多媒体演示法、分析讨论法、问题教学法和练习巩固法展开教学活动.

学习方法：以探究理解学习方法为主，自主学习，自我反馈，渐进式提高.

教学准备

教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案），资料图片.

学生准备：直线的倾斜角与斜率的概念及联系.

教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

创设情景

导入新课 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的计算公式. 现在，我们来研究通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．

师：解析几何的本质是什么？

生：用代数的方法研究几何图形的位置关系. 设疑激趣导入课题 续上表

师生互动探究新知 1. 先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

师生互动探究新知 2. 两条直线的斜率都存在时， 两直线的平行.

设直线 l1和l2的斜率分别为k1和k2. 我们知道， 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的， 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.

问题: 两条互相平行或垂直的直线， 它们的斜率有什么关系?

结论1: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2k1=k2.

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2，

那么一定有l1∥l2; 反之则不一定. 首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形．如果l1∥l2（如下图），那么它们的倾斜角相等：α1=α2．（借助多媒体， 让学生通过观察度量，

感知α1， α2的关系）

因为tanα1=tanα2 即k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1=k2，那么tanα1=tanα2．

由于0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，所以α1=α2．

又因为两条直线不重合，两条直线平行l1∥l2． 通过这种师生互动引导学生明确两条直线平行的判定方法