2021新高考数学二轮复习学案：板块 回扣三角函数与平面向量
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学必求其心得，业必贵于专精
三角函数与平面向量
［回归教材]
1．由sin α±cos α符号判断α的位置
（1）sin α－cos α＞0⇔α终边在直线y＝x上方（特殊地，当α在第二象限时有sin α－cos α＞1）；
(2)sin α＋cos α＞0⇔α终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α＞1)．
2．正弦、余弦定理及其变形
定理 正弦定理 余弦定理
内容 asin A＝错误!＝错误!＝2R(R为△ABC外接圆的半径） a2＝b2＋c2－2bccos
A；
b2＝a2＋c2－2accos
B;
c2＝a2＋b2－2abcos
C
变形 （1）a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B,
c＝2Rsin C; cos A＝错误!；
cos B＝错误!；
cos C＝错误! 学必求其心得，业必贵于专精
(2）sin A＝错误!，sin B＝错误!，sin C＝错误!；
(3）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A;
（5）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝错误!＝2R
3.三角形中的常见结论
（1)A＋B＋C＝π。
（2）大边对大角，大角对大边．
(3）任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边．
（4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B）＝－cos
C，tan（A＋B)＝－tan C,sin错误!＝cos 错误!，cos错误!＝sin 错误!.
(5)在斜△ABC中,tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan B·tan C．
（6)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，则
①若a2＋b2＝c2，则C＝错误!；②若a2＋b2＞c2,则C〈错误!;③若a2＋b2＜c2，则C＞π2。
4．三点共线的判定 学必求其心得，业必贵于专精
A，B，C三点共线⇔错误!，错误!共线；
向量PA→，PB，→，PC，→中三个终点A,B，C共线⇔存在实数α,β使得错误!＝α错误!＋β错误!，且α＋β＝1。
5．中点坐标和三角形的重心坐标
(1)P1，P2的坐标为（x1，y1），（x2,y2），错误!＝错误!⇔P为P1P2的中点，中点P的坐标为错误!.
（2)三角形的重心坐标公式：△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1），B(x2，y2)，C（x3，y3），则△ABC的重心坐标是错误!。
6．三角形“四心"向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点,角A，B，C所对的边长分别为a，b，c,则
（1)O为△ABC的外心⇔|错误!|＝｜错误!｜＝｜错误!｜＝错误!；
(2）O为△ABC的重心⇔错误!＋错误!＋错误!＝0；
(3)O为△ABC的垂心⇔错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!；
（4)O为△ABC的内心⇔a错误!＋b错误!＋c错误!＝0.
【易错提醒】
1．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．
2．求y＝Asin(ωx＋φ）的单调区间时,要注意ω，A的符号．ω〈0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单学必求其心得，业必贵于专精
调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时,不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．
3．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数,这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是错误!，选正、余弦皆可;若角的范围是（0，π)，选余弦较好；若角的范围是错误!，选正弦较好．
4．利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A>B⇔sin A＞sin B．
5．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b,当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；（a·b）·c与a·（b·c）不一定相等；(a·b)·c与c平行,而a·(b·c）与a平行．
6．两向量夹角的范围为［0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．
[保温训练]
1．已知函数f (x)＝错误!cos错误!－cos 2x,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f (x）的图象（ ）
A．向左平移错误!个单位长度 B．向右平移错误!个单位长度
C．向左平移错误!个单位长度 D．向右平移错误!个单位长度
C ［f (x）＝错误!cos错误!－cos 2x＝错误!cos错误!－cos 2x＝错误!sin 2x学必求其心得，业必贵于专精
－cos 2x＝2sin错误!＝2sin错误!,所以将f （x）的图象向左平移错误!个单位长度可得到奇函数y＝2sin 2x的图象．故选C．］
2．已知sin（π＋α)＝－错误!，则tan错误!＝________。
±22 ［∵sin(π＋α)＝－错误!，∴sin α＝错误!，则cos α＝±错误!，∴tan错误!＝错误!＝错误!＝±2错误!.]
3．已知向量a＝（－1，2），b＝（2，m)，c＝（7，1)，若a∥b,则b·c＝________。
10 ［∵向量a＝(－1，2）,b＝（2，m）,a∥b，
∴－m－2×2＝0，解得m＝－4，
∴b＝（2,－4)．
∵c＝（7，1），∴b·c＝2×7－4×1＝10.]
4．已知△ABC中，三内角A，B，C对应的三边分别为a,b，c，若a＝2，sin C＝2sin B且sin Acos B＋错误!sin Asin B＝sin C＋sin B,则c＝________.
错误! ［sin Acos B＋错误!sin Asin B＝sin C＋sin B可化为sin Acos B＋错误!sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＋sin B，即sin错误!＝错误!，∴A＝π3。又sin C＝2sin B，即sin Acos B＋cos Asin B＝2sin B，即错误!cos
B＋错误!sin B＝2sin B,则tan B＝错误!，∴B＝错误!，则C＝错误!，c＝错误!＝学必求其心得，业必贵于专精
433。］
5．在△ABC中,已知错误!·错误!＝错误!，｜错误!|＝3,|错误!|＝3,M,N分别是BC边上的三等分点,则错误!·错误!＝________.
132 ［不妨设错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,
所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!错误!2＋错误!错误!·错误!＋错误!错误!2＝错误!(错误!2＋错误!2)＋错误!错误!·错误!＝错误!×(32＋32)＋错误!×错误!＝错误!.]
6．[一题两空］已知a，b,c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，（3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3错误!，则ab＝________，a＋b＝________。
9 错误! ［∵（3b－a)cos C＝ccos A,∴根据正弦定理可得3sin
Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin（A＋C）＝sin B．
又∵sin B≠0，∴cos C＝错误!,则C为锐角，∴sin C＝错误!.
由△ABC的面积为3错误!,可得错误!absin C＝3错误!，∴ab＝9。
由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，∴(a＋b)2＝113ab＝33，∴a＋b＝33.］
