棒球击球的确定模型

棒球击球分析及确定模型

摘要

本文通过构建3个不同的模型，逐步分析了棒球棒上“甜蜜点”的确定，填充球棒对于击球效果的影响以及不同材质球棒的各个参数的区别这三个问题，最后得出各项结论。

模型一主要将棒球与球的碰撞过程视为一个“碰撞振动系统”，通过“瞬时模型”的假设，将碰撞过程分为压缩和回复阶段，建立不同的力学方程以及基于Hertz理论求解碰撞力，最后得出“甜蜜点”的位置以及最佳击球区域的大小。

模型二主要在模型一的基础上通过分析填充棒与传统木棒之间的各项参数变化引起的挥棒速度、质心位置、弹性系数的改变，继而达到改变击球效果，分析得出填充材料并不能增加击球速度。

模型三我们通过将木质和铝质的球棒的表现分为以下四点：一.人手的挥棒时间（若人挥棒时间越短则人便有更多的反应时间对球进行判断以及打击）；二.打击后球的速度；三.“甜点”区域的大小（即最佳击球区的大小）；四.球棒是否折断以及手感觉到的震动幅度大小。然后最后通过构建压杆稳定模型来分析铝棒与木棒的强度问题，分析棒球棒折断的临界条件。

通过模型的求解可以得到最佳击球点在距离中心点0.1m左右，在这个点球棒所击出的球速度最大。填充软木塞之后的球棒比实木棒所击出的速度要小，由此知道填充球棒不仅不会增加出球速度，甚至会降低出球速度。对于不同材质的球棒来说，铝棒虽然挥棒时间较之木棒更短，打击后球速更大，甜点区域更大，球棒对手的震动幅度更小以及更不容折断，但是这将大大降低球员的技巧，降低了比赛的可观看性，所以职业比赛中往往只使用木棒。

关键字：碰撞分析最佳击球点压杆稳定Hertz理论

一、问题重述

棒球运动是一种以棒打球为主要特点，集体性、对抗性很强的球类运动项目。它在国际上开展较为广泛，影响较大，被誉为“竞技与智慧的结合”。每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个最佳击球点，这里可以把打击球的力量最大程度地转移到球上。为什么这个区域不在棒球棒的最末端？基于力矩的解释或许可以确定棒球棒的最末端就是最佳的击球点，但是实际当中并不是这样的。构建一个模型帮助解释在实际运动过程当中的这个发现。还有一些棒球手相信在最佳击球区域内部添充上软木塞可以提高打击效果（在球棒头部挖一个圆柱状槽，填充上软木塞或者橡皮），这是不是合理呢？进一步扩展模型确认或者否定该结论。然后确认这个解释是否可以合理的解释为什么棒球联盟否定这种做法。球棒的制作材料是否会有影响？也就是说，建立的模型是否对木质（通常是木屑）或者金属（通常是铝）球棒的表现做出不同的预测？这是否是职业棒球联盟都禁止金属球棒的原因？

二、问题分析 由于棒球与球的接触碰撞并非是一个简单的碰撞问题，其含有各种不确定因素，一般需要基于理论分析的基础上进行实验研究和数值仿真模拟分析。

问题一的分析：目前关于国际上关于棒球最佳击球点一般意义上有8种定义，通过物理学角度分析我们可以总结成一点就是击打后球获得最大的飞行速度。要使获得速度最大，那么加速度必须达到最大值，即作用力最大，简单的分析就可得出扭矩最大不代表力最大。我们可以将球棒与球的接触碰撞视为一个斜碰撞振动系统【1】，显然碰撞前后的各状态量关系不能用简单的碰撞关系得出。在考虑瞬时碰撞和存在切面摩擦的情况下，我们可以在碰撞过程中逐步施加法向冲量和切向摩擦冲量，分为压缩变形阶段和恢复阶段，由冲量-动量（矩）的关系求得系统在每一步的状态，直至碰撞物体脱离，继而可求得球的速度和棒的振动。

问题二的分析：挖空球棒或者用材料填充球棒，显然可以改变球棒的重心点。于是可以从重心点的改变这个角度去分析得出结论，为什么联盟禁止这种做法？题目中所说的自己挖出空腔的做法明显是错的，对于是否这样做能够增大最佳击球点，可以判断挖空球棒或者填充球棒，只能改变球棒的重心点，不能改变最佳击球点的效应。

问题三的分析：球棒制作材料当然会影响“甜蜜点”,而且即使都是木棒，每根的“甜蜜点”位置区域都会不同。但是由于金属球棒密度均匀可塑性强，所以一般金属棒的“甜蜜点”是可以控制的。而由于木棒密度、软硬程度均不同，导致木棒的使用需要高的技巧，否则很容易被折断。另外职业棒球联盟禁止金属球棒的主要原因是使用木棒需要讲究绝佳的挥击技巧，而不是蛮力，从而增加职业比赛的技术含量。不同材质的球棒的强度也许也是选择过的一个关键，可以利用压感稳定模型进行求解分析碰撞时的接触力是否达到球棒的临界应力。

三、模型的建立与求解

模型一“甜蜜点”的确定

球与棒的碰撞是一个复杂的物理现象，棒球的速度在极短时间间隔内发生突然变化，就目前的研究可知其碰撞持续时间约为310秒。对此我们可以建立“瞬时假设模型”，通过假设求解撞击接触短暂瞬间的响应是解决碰撞问题的关键所在。球与棒从接触直到分离过程中一直存在作用力并一起运动，因此把碰撞问题看作是一个自由振动体系【2】的初值问题是合理的。球与球棒的碰撞相当于一个低速冲击问题，相对于高速冲击来说，低速冲击的研究重点是碰撞过程中各状态量的动态过程以及碰撞后的结构的动力响应。球与棒接触时的碰撞载荷即是碰撞区的内力，当内力由压力变成张力的时刻，既是球与棒开始分离的时刻。

对于该碰撞问题我们可以做如下假定【3】：

（1）认为碰撞持续时间t趋于0，而碰撞力F比其他作用大的多，由此过程产生有限的碰撞冲量

和有限的速度改变

其中nm为沿碰撞面法向的等效质量。

（2）因t趋于0，在此时间段内，除碰撞力以外的其他有限作用力如重力等均可忽略不计。碰撞体的微小位移不计；碰撞过程所做的的功为有限量。 （3）准刚体假设：碰撞时物体的变形局限在碰撞区附近的微小区域内，球的各质点几乎同时实现速度变化；整个过程可以划分为变形和恢复两个阶段。

基于上述各项假设，球棒与球的整个接触过程我们可以简化为下图：

棒球在0t时刻以初速度v和初始角度在C点与具有初始角速度的木棒相碰撞，碰撞过程中的角速度直接由法向冲量()Pt的的变化决定，不计由微滑引起的角度变化。其中CM点为球棒的质心，各物理量的表示意义如下：

V：击球前球棒质心速度

'V：击球后球棒质心速度

v：击打前球的速度

'v：击打后球的速度

s：击球点距离球棒的距离

u：击球前棒球击打点速度

'u：击球后棒球击打点速度

：棒接触面的滑动摩擦系数

我们可以知道，球棒与棒球接触时间是很短的，大约只有1ms,但我们还是建立这样的思想：虽然碰撞过程在“瞬时”完成，但在此过程中碰撞体即小球在接触区沿法向具有微小的压缩变形和恢复，此变形不影响物体的宏观位移。于是可以将瞬时碰撞过程按法向区域分为压缩和恢复两个“阶段”，这样，每一阶段都可以独立运用力学定律。

在碰撞的压缩阶段（切向微滑速度0u）

动量守恒：cosMVvP

角动量守恒：cosmsvI（1）

式中法向冲量0·ndttPFt

角冲量0cosdttFt(2)

F为碰撞力，n为碰撞接触面公法线方向。在碰撞切面采用Coulomb摩擦力模型，所以摩擦力产生的切向冲量为P。在C点，棒球有法向速度cosvv和切向速度sinnvv，于是在碰撞过程中有

sin/tvvPm和cos/nnvvPm（3）

式中tm和nm为压缩阶段球的切向和法向等效质量。通过式（1）可以得

21(sinsincos/)mm（4）

压缩阶段将在0Vv时结束。 在碰撞恢复阶段，因切向速度为零，相应的等效质量为

'21(sinsincos/)mm（4）

整个碰撞过程在冲量P为零时结束，两物体碰撞后的分离速度与碰撞前的接近速度成正比，这个比值叫做恢复系数【4】。如果碰撞为弹性碰撞，则恢复系数为1，满足机械能守恒；如果为非弹性碰撞，则恢复系数<1，不满足机械能守恒，一部分能量转变为内能，但是动量守恒是始终满足的；完全非弹性碰撞为0，两个物体基本上是黏贴在一起，没有任何弹跳运动。

恢复系数表达式：'cos'cosvucvu（5）

基于角速度的关系我们还可以得出：

'''uVs（6）但通过棒球运动的实际分析可以知道，一个职业棒球运动员投出的球速可以

达到40m/s,而本垒距离投球手的距离约为18m,即使考虑空气阻力对于球速的影响球在接触球棒时速度改变方向为微小角度，趋于0；击球后的球速需达到低、平、快的目的，才能更好的得分，即击打后球速角度也趋于0。

于是通过以上方程我们得到

22(1)()()'(1)mmscVsvcMIvmmsMI（7）

此过程中法向动能损失为22'(1/)2nnnmvWcmm（8）

为了给予球的最大的飞行速度，该动能损失量的值必须达到最小值。

然而运动员在击打球时，运动员手部可以明显感觉到球棒的震动，如果震感较为强烈会引起运动员击打掌握不够甚至手部损伤，显然这是大家都不愿看到的。可以发现，碰撞时接触力越大，手部震感越强，下面就讨论确定手部震感最小时的击球点。

球与球棒的碰撞问题，接触过程的每一时刻，都相当于一个经典的Hertz问题【5】，虽说经典的Hertz问题是静态的弹性接触理论，但许多文献证明，Hertz问题理论在低速碰撞问题中还是相当精确的。

根据Hertz接触理论

接触力32Fk

(cos)Vvt（9）

其中121243kkkrkk

1jjjEk1,2j（10）

jE，j分别为棒和球的弹性模量，泊松比；r为球的半径，为棒与球的相对位移。

通过将击球区域用线性杆元离散化，用直接积分的方法来求解碰撞系统，可以求得所需的碰撞力。Graff给出了用波动法推导该问题时得出的一个非线性方程【6】

33222212dd0ddkcktAEtm（11）

式中1A为碰撞过程最大接触面积，22/cE为杆中波速。由于该方程也是基于Hertz理论，其数值解与有限元解可以做到无限逼近，用四阶-库塔法求解该方程得出()t，从而求出()Ft,继而通过绘图比较分析可以得出F的区域解。

表一木质球棒的相应参数

0.142kg

0.9kg

0.0432.kgm

34/rads

-40/ms

16/ms

把上式数据代入可以得出：

通过MATLAB绘图程序（见附录1）我们可以得到如下图：

其中黑色曲线为F(t)的函数图像。

从上图可以清楚得出当s=0.1m时的棒球飞离速度最大，又因为s是击打点距离质心的距离，而棒球末端距质心的距离显然大于0.1m，故可以得出最佳击球点不在棒球末端。

而且我们还可以发现，在0.05-0.15的区域内速度和力均为最高值，这个区域在棒球棒上我们可以称为最佳击球区域，在此区域内，击打效果和得分概率显着提高。

模型二填充材料的影响分析

填充球棒给我们的直观感觉是填充物会改变球棒的一系列物理特性，例如球棒质量，质心位置，弹性系数等。毫无疑问，这些物理特性的改变会最终影响到运动员的击球效果，继而增加得分能力，直接关乎比赛的公平性。下面着手分析各影响因子的影响程度。

2.1挥棒速度的改变量

实际经验可以知道，球棒填充以后球棒的质量通常会减轻45g左右。而挥棒速度的改变可以用下面的公式衡量。

假设击球选手挥棒力恒定，挥棒的距离恒定。则填充棒和实木棒的质量比为：