专题1 含参数导数问题的分类讨论

导数应用中对含参问题的分类讨论作者：张艳来源：《考试·高考数学版》2012年第02期导数是解决函数单调性、最值等问题十分有利的工具，但学生在运用导数解决含参的问题时，往往会束手无措，特别是对其中的分类讨论感到无从下手。

其实联想到含参的二次函数求最值中，主要有两类：动轴定区间和定轴动区间，不论哪一类，我们通常是按照轴在区间左侧、轴在区间内和轴在区间右侧分三类来讨论。

类比上述方法，就可以轻松解决导数应用中对含参问题的分类讨论。

举例说明如下：一、动点定区间例1 已知函数f(x)=lnx-ax，若f(x)在［1,e］上的最小值为32，求a的值.分析：先假设函数f(x)的定义域为R，由f(x)=lnx-ax，得f′（x）=1x+ax2=x+ax2，由f′（x）=0，解得x=-a.令f′(x)＞0，解得x＞-a;令f′(x)＜0，解得x＜-a.所以f(x)在（-∞，-a）上是减函数，在（-a，+∞）上是增函数，若仅考虑函数的单调性，那么f(x)图像的增减情况大致为图1，则f(x)在［1，e］上的图像应为图1在［1，e］上的部分。

考虑到极值点-a是动点，［1,e］是定区间，即动点定区间，联想到二次函数动轴定区间求最值的方法，将问题分为极值点在区间左侧，内部，右侧三类来讨论。

解：由f(x)=lnx-ax，得f′（x）=1x+ax2=x+ax2，（1）（若极值点在区间左侧）如图11.当-a≤1即a≥-1时，∵ 1≤x≤e，∴ x+a≥0，即f′(x)≥0对x∈［1,e］恒成立，当且仅当x=-a 时，f′(x)=0.所以f(x)在［1,e］上是增函数。

当x=1时，f(x)min=f(1)=ln1-a1=-a=32,解得a=-32，不满足a≥-1，故舍去；（2）（若极值点在区间内）如图12.当1＜-a＜e即-e＜a＜-1时，当x变化时，f′（x）、f(x)的变化情况如下表：x=-a是f(x)在［1，e］上的唯一极小值点，也是最小值点.当x=-a时，f(x)min=f(-a)=ln(-a)-a-a=ln（-a）+1=32，解得a=-e∈（-e，-1），符合题意；（3）（若极值点在区间右侧）如图13.当-a≥e即a≤-e时，∵ 1≤x≤e，∴ x+a≤0，即f′（x）≤0对x∈［1,e］恒成立，当且仅当x=-a时，f′（x）=0.所以f(x)在［1,e］上是减函数。

知识导航分类讨论思想是高中数学中的重要思想之一，主要应用于解答出现的情况种类较多的问题.在运用分类讨论思想解答含参导数问题时，常常需对不同的情况进行分类讨论，然而很多同学却无法找到含参导数问题中分类讨论的“分界点”，导致解题出错.事实上，解题的关键在于如何确定含参导数问题中分类讨论的“分界点”.笔者认为可以从以下两个方面进行考虑.一、讨论方程的判别式很多导数问题要求讨论函数的单调性、单调区间、最值、极值、零点的个数等.解答这些问题的关键在于运用分类讨论思想，讨论求导后方程f '()x =0的判别式与0之间的关系，进而确定f '()x =0的实数解.一般地，若△>0，方程有2个解；若△=0，方程有1个解；若△<0，方程无解.例1.已知函数f ()x =ln x +λæèöø1x -x ()λ∈R .若当x ＞1时，不等式f ()x ＜0恒成立，求λ的最小值.解：由f ()x =ln x +λæèöø1x -x 可得f '()x =-λx 2+x -λx 2,当λ≥12时，方程-λx 2+x -λ=0的判别式Δ=1-4λ2≤0，所以当x ＞1时，f '()x ＜0，导数f ()x 在区间()1,+∞上单调递减，且f ()1=0，故f ()x ＜0在区间()1,+∞上恒成立，①当0＜λ＜12时，方程-λx 2+x -λ=实数根，且0＜x 1=1＜x 2=，所以当x ∈æèççø1f '()x >0，导数f ()x 单调递增，且f ()1=0，f ()x ＞0恒成立，与题意不符；②当λ≤0时，f '()x =ln x +λæèöø1x -x ≥ln x ，因为y =ln x 在区间()1，+∞上恒为正数，所以f ()x ＞0在区间()1，+∞上恒成立，与题意不符；综上所述，当x ＞1时，不等式f ()x ＜0恒成立，λ的最小值为12.解答本题的关键在于确定分类讨论的分界点.在求出导函数后，根据方程-λx 2+x -λ=0的判别式与0之间的关系来确定参数λ的取值范围，然后再对应的区间上讨论导函数与0之间的关系，确定函数的单调性，以便构造出满足不等式f ()x ＜0恒成立的条件，求得λ的最小值.二、讨论零点的个数与零点有关的问题在含参导数问题中并不少见.在进行分类讨论时，要重点讨论导函数f '()x =0的零点个数以及分布情况，在每种情况下讨论参数的取值、函数的单调性、极值的大小等，最后综合所有分类讨论的结果，得到符合题意的答案.例2.已知函数f ()x =a æèöøln x +1x ，a ∈R ,若方程2f ()x -ln x +x +2=0有三个解，求实数a 的取值范围.解：令g ()x =2f ()x -ln x +x +2=()2a -1ln x +2ax+x +2,g '()x =()x -1()x +2a x 2()x ＞0，①若a ≥0，则当x ∈()0,1时，g '()x ＜0，g ()x 单调递减；当x ∈()1，+∞时，g '()x ＞0，g ()x 单调递增，g ()x 最多有2个零点；②若a =-12，则x ∈()0,+∞，g '()x ≥0，g ()x 单调递增，g ()x 最多有1个零点；③若-12＜a ＜0，则0＜-2a ＜1,当x ∈()0,-2a 或x ∈(1,+∞)时，g '()x ＞0，g ()x 在()0,-2a 和()1,+∞上单调递增；当x ∈()-2a ,1时，g '()x ＜0，g ()x 单调递减，要使导数g ()x 有3个零点，则有ìíîh ()-2a ＞0,h ()1＜0,解得a ＜-32，与-12＜a ＜0矛盾，此时g ()x 不可能有3个零点；④若a ＜-12,则当x ∈()0,1或x ∈()-2a ,+∞时，g '()x ＞0，g ()x 在()0,1和()-2a ,+∞上单调递增；当x ∈()1,-2a 时，g '()x ＜0，g ()x 单调递减，要使导数g ()x 有3个零点，则有ìíîh ()-2a ＜0,h ()1＞0,解得-32＜a ＜-e2，而g ()e -2=4+e -2+2a ()e 2-2＜0，g ()e 2=e 2+2a (e -2+2)＞0，综上所述，若方程2f ()x -ln x +x +2=0有三个解，则a 的取值为æèöø-32,-e2.我们将方程有解的问题转化为函数有零点的问题，通过讨论函数零点的个数情况，进而求得参数a 的取值范围.总之，在解答含参导数问题时，同学们在对函数求导后要明确分类的对象是方程f '()x =0的判别式或者y =f '()x 的零点，然后确定分类讨论的“分界点”，讨论判别式与0之间的关系、零点的个数，从而快速找到解题的思路.(作者单位：江苏省启东市第一中学)范帅江38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1 •求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论 1 1 ★已知函数f(x)x 3 (a 2)x 2 2ax (a>0),求函数的单调区间 3 2f (x) =x _(a 亠2)x 亠2a =(x _a)(x -2)2a★★例1已知函数f(x)二x (a U 2)lnx (a>0)求函数的单调区间x2x -(a 2)x 2a f (x)2 x(I)当a =1时，求曲线y = f x 在点2, f 2 处的切线方程； (n)当a=0时，求函数f x 的单调区间与极值。

解: (I)当a =1时，曲线y = f x 在点2,f 2处的切线方程为6x 25y-32 = 0。

2(n)由于a 式0，所以f ⑺/嗔切了 ,由f'(x)=O ，得x 1 =(x +1 )I 1 '■-2a x - a x2―—义域R 内，但不知它们之间(x 2+1)a 的取值分a 0和a ：：： 0两种情况进行讨论。

函数f x 在x 2 =a 处取得极大值f a =1 o1 —(-一「：)内为增函数，在区间a1 」 1(a,)为减函数。

故函数 f x 在％处取得极小值aaX 2二a 处取得极大值f a = 1。

(x-2)(x-a)2x22ax -a 1 x 21x R ，其中a R 。

1, X 2 = a 。

这两个实根都在定 a2 22a x 1；-2x 2ax - a 1f x二2 2 (x 2+1)的大小。

因此，需对参数 (1)当 a 0 时，则 x 'x 2。

易得f x 在区间，a, •：：内为减函数,在区间i l,aI a为增函数。

故函数1i 1 f x 在为处取得极小值f a [1 I a 」2--a ; (1) 当a ”：0时，则x 1 x 2。

导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。

在高考中导数问题常见的分类讨论（一）热点透析由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度..分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。

只有这样在解题时才能做到有的放矢。

下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。

（二）知识回顾 1． 函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2． 函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3． 函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （三）疑难解释1． 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．2． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件．3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a x ＋12＝x 2＋2x －ax ＋12.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.3. 如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号) 答案 ②③解析 ①∵f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数；②∵f ′(－1)＝0且在x ＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对， ④不对，由于f ′(3)≠0.4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.33答案 C解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 1 g ′(x )－0 ＋g (x )极小值所以当x ＝3时，g (x )有最小值g ⎛⎪⎫3＝－23. 5． (2011·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞). 二、高频考点专题链接题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。

max max min min 含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其 中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。

而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳． 一、分离参数，转化为最值策略在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 a ≥ f (x ) 恒成立，只须求出f ( x ) ，则 a ≥ 化为函数求最值．f ( x ) ；若 a ≤ f ( x ) 恒成立，只须求出 f ( x ) ，则 a ≤ f ( x ) ，转例 1、已知函数 f (x ) = x ln x .（Ⅰ）求 f (x ) 的最小值；（Ⅱ）若对所有 x ≥ 1都有 f (x ) ≥ ax - 1, 求实数a 的取值范围.二、导数为 0 的点是否在定义域内，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点， 从而引起讨论．例 2.已知a 是实数，函数 f (x ) = x （2x - a ) .（Ⅰ）若 f '(1) = 3 ,求a 的值及曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）求 f (x ) 在区间[0，2]上的最大值．三、导函数为 0 是否存在，分类讨论策略求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与 0 的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关， 令△=0，求分点，从而引起讨论．例 3、已知函数 f (x ) = x 2 - x + a ln x ， (a ∈ R ) ，讨论 f (x ) 在定义域上的单调性．四、导函数为 0 的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论．例 4、已知 m > 0 ，讨论函数 f (x ) = mx 2 + 3(m + 1)x + 3m + 6e x的单调性．⎨ 练习求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

导数是研究函数的图象和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题几乎是每年高考的必考试题之一．随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题成为了历年高考命题的热点．由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行分类讨论，如何进行分类讨论成为绝大多数考生答题的难点．模块1整理方法提升能力在众多的含参数导数问题中，根据所给的参数的不同范围去讨论函数的单调性是最常见的题目之一，求函数的极值、最值等问题，最终也需要讨论函数单调性．对于含参数导数问题的单调性的分类讨论，常见的分类讨论点有以下三个：分类讨论点1：求导后，考虑()0f x '=是否有实根，从而引起分类讨论；分类讨论点2：求导后，()0f x '=有实根，但不清楚()0f x '=的实根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；分类讨论点3：求导后，()0f x '=有实根，()0f x '=的实根也落在定义域内，但不清楚这些实根的大小关系，从而引起分类讨论．以上三点是讨论含参数导数问题的单调性的三个基本分类点，在求解有关含参数导数问题的单调性时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论．因此，对含参数的导数问题的分类讨论，还是有一定的规律可循的．当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就会复杂一些了，也有些题目可以根据其式子和题目的特点进行灵活处理，减少分类讨论，需要灵活把握．例1【解析】()f x 的定义域是()0,+∞．()()()2121f x a a x a x'=+---()()221211a a x a x x---+=．令()()()221211g x a a x a x =---+，则()0f x '=的根的情况等价于()0g x =的根的情况．由于()g x 的函数类型不能确定，所以需要对a 进行分类讨论从而确定函数的类型．（1）当1a =时，()g x 是常数函数，此时()1g x =，()10f x x'=>，于是()f x 在()0,+∞高中数学专题一含参数导数问题的分类讨论上递增．（2）当1a ≠时，()g x 是二次函数，类型确定后，我们首先考虑讨论点1——()0f x '=是否有实根的问题．由于()g x 不能因式分解，所以我们考虑其判别式()()4131a a ∆=--，判别式的正负影响到()0g x =的根的情况，由此可初步分为以下三种情况：①当0∆<，即113a <<时，()0g x =没有实根；②当0∆=，即13a =时，()0g x =有两个相等的实根；③当0∆>，即103a <<或1a >时，()0g x =有两个不等的实根．（免费资料公众号学习界的007）对于第①种情况，()0g x =没有实根且永远在x 轴上方，于是()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上递增．对于第②种情况，()0g x =有两个相等的实根32x =，于是()0f x '≥，所以()f x 在()0,+∞上递增．对于第③种情况，()0g x =有两个不等的实根，112x a=212x a=+．由于不知道两根是否落在定义域()0,+∞内，因此要考虑讨论点2，而利用韦达定理进行判断是一个快捷的方法．因为121x x a +=，()12121x x a a =-，所以当103a <<时，有120x x +>且120x x >，此时两个根都在定义域内切120x x <<（因为1x 与2x 的大小关系已经确定，所以不需要考虑讨论点3）．由()0f x '>可得10x x <<或2x x >，所以()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增；由()0f x '<可得12x x x <<，所以()f x 在()12,x x 上递减．当1a >时，有120x x +>且120x x <，此时210x x <<，由()0f x '>可得10x x <<，所以()f x 在()10,x 上递增；由()0f x '<可得1x x >，所以()f x 在()1,x +∞上递减．综上所述，当103a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增，在()12,x x 上递减；当113a ≤≤时，()f x 在()0,+∞上递增；当1a >时，()f x 在()10,x 上递增，在()1,x +∞上递减．其中112x a=212x a =+．【点评】只要按照3个分类讨论点进行思考，就能很好地处理含参数导数问题的单调性．此外，涉及两根与0的大小比较的时候，利用韦达定理往往比较简单．例2【解析】（1）定义域为()0,+∞，()11kx f x k x x-+'=-=．法1：①当0k =时，()10f x x'=>，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．②当0k ≠时，令()0f x '=可得1x k=．（i）当10k<，即0k <时，()0f x '>在[]1,2上恒成立，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．（ii）当101k<≤，即1k ≥时，()0f x '≤在[]1,2上恒成立，所以()f x 在[]1,2为减函数，所以()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．（iii）当12k ≥，即102k <≤时，()0f x '≥在[]1,2上恒成立，所以()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．（iv）当112k <<，即112k <<时，由()0f x '>可得11x k <<，由()0f x '<可得12x k<<，所以()f x 在11,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,2k ⎛⎫⎪⎝⎭上递减．于是()f x 在[]1,2上的最小值为()10f =或()2ln 2f k =-．当0ln 2k <-，即1ln 22k <<时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当0ln 2k ≥-，即ln 21k ≤≤时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．综上所述，当ln 2k <时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当ln 2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．法2：①当0k ≤时，()0f x '>，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．②当0k >时，由()0f x '>可得10x k <<，由()0f x '<可得1x k >，所以()f x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减．于是()f x 在[]1,2上的最小值为()10f =或()2ln 2f k =-．（i）当0ln 2k <-，即0ln 2k <<时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．（ii）当0ln 2k ≥-，即ln 2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．综上所述，当ln 2k <时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当ln 2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．（2）解答详见专题三例1．例3【解析】（1）函数()()2ln 1f x x b x =++的定义域为()1,-+∞，()222211b x x b f x x x x ++'=+=++．令()222g x x x b =++，则48b ∆=-．当12b >时，0∆<，所以()g x 在()1,-+∞上恒大于0，所以()0f x '>，于是当12b >时，函数()f x 在定义域()1,-+∞上递增．（2）首先考虑()0g x =是否有实根．①当0∆<，即12b >时，由（1）知函数()f x 无极值点．②当0∆=，即12b =时，()0g x =有唯一的实根，()0g x ≥，于是()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，所以函数()f x 在()1,-+∞上递增，从而函数()f x 在()1,-+∞上无极值点．③当0∆>，即12b <时，()0g x =有两个不同的根11122x --=，21122x -+=，其中12x x <．这两个根是否都在定义域()1,-+∞内呢？这需要对参数b 的取值进一步分类讨论．当0b <时，1112x --=<-，2112x -+=>-，由()0f x '>可得2x x >，由()0f x '<可得21x x -<<，所以()f x 在()21,x -上递减，在()2,x +∞上递增，所以当0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一极小值点21122x -=．当102b <<时，111212x --=>-，211212x -+=>-，由()0f x '>可得11x x -<<或2x x >，由()0f x '<可得12x x x <<，所以()f x 在()11,x -上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增，所以当102b <<时，()f x 在()1,-+∞上有一个极大值点1x =和一个极小值点2x =．综上所述，当0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点21122x -+=；当102b <<时，()f x 有一个极大值点11122x -=和一个极小值点21122x -+=；当12b ≥时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点．模块2练习巩固整合提升练习1：设函数()1ln 1x f x a x x -=++，其中a 为常数．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性．【解析】（1）当0a =时，()11x f x x -=+，()0,x ∈+∞．此时()()221f x x '=+，于是()112f '=，()10f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y --=．（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()22221211ax a x a a f x x x x x +++'=+=++．①当0a ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上递增．②当0a <时，令()()221g x ax a x a =+++，则()()22414421a a a ∆=+-=+．（i）当12a ≤-时，0∆≤，所以()0g x ≤，于是()0f x '≤，所以函数()f x 在()0,+∞上递减．（ii）当102a -<<时，0∆>，此时()0g x =有两个不同的根，()11a x a -++=，()21a x a-+=，12x x <．下判断1x 、2x 是否在定义域()0,+∞内．法1：（待定符号法）()()10101a a a a-++⇔+-⇔+W W ()221210a a a ++⇔W W ，由于0a >，所以10x >．法2：（韦达定理）由()121221010a x x ax x ⎧++=->⎪⎨⎪=>⎩可得120x x <<．法3：（图象法）()g x 是开口方向向下的抛物线，对称轴为10a a+->，()00g a =<，由图象可知1x 、2x 都在定义域()0,+∞内．当10x x <<或2x x >时，有()0g x <，()0f x '<，所以函数()f x 递减；当12x x x <<时，有()0g x >，()0f x '>，所以函数()f x 递增．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 在()0,+∞上递增；当12a ≤-时，函数()f x 在()0,+∞上递减；当102a -<<时，函数()f x 在()10,a a ⎛-++ ⎪⎝⎭，()1a a ⎛⎫-+-+∞⎪ ⎪⎝⎭上递减，在()()11,a a a a ⎛-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭上递增．练习2：设函数()()2ln f x x a x =++．（1）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2．【解析】（1）由()10f '-=解得32a =，此时()2123123322x x f x x x x ++'=+=++，由()0f x '>解得312x -<<-或12x >-，由()0f x '<解得112x -<<-，所以()f x 在区间3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递减．（2）()f x 的定义域为(),a -+∞，()2221x ax f x x a++'=+，记()2221g x x ax =++，其判别式为248a ∆=-．①若0∆≤，即a ≤≤()0f x '≥在(),a -+∞上恒成立，所以()f x 无极值．②若0∆>，即a >a <()0g x =有两个不同的实根122a x -=和222a x -+=，且12x x <，由韦达定理可得121212x x ax x +=-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()()121212x a x a a x a x a ⎧+++=⎪⎨+⋅+=⎪⎩．（i）当a <10x a +<，20x a +<，即1x a <-，2x a <-，从而()0f x '=在(),a -+∞上没有实根，所以()f x 无极值．（ii）当a >时，有10x a +>，20x a +>，即1x a >-，2x a >-，从而()0f x '=在(),a -+∞上有两个不同的根，且()f x 在1x x =，2x x =处取得极值．综上所述，()f x 存在极值时，a的取值范围为)+∞．()f x 的极值之和为()()()()()()()222121122121212ln ln ln 2f x f x x a x x a x x a x a x x x x +=+++++=⎡++⎤++-⎣⎦，而()()121ln ln2x a x a ⎡++⎤=⎣⎦，()()222121212212x x x x a a +-=--⨯=-，所以()()21211eln 1ln 1ln 222f x f x a +=+->+=．练习3：已知函数()2e 1x f x ax bx =---，其中a 、b ∈R ，e 2.71828= 为自然对数的底数．（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值；（2）若()10f =，函数()f x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围．【解析】（1）()()e 2x g x f x ax b '==--，()e 2x g x a '=-．因为[]0,1x ∈，所以()12e 2a g x a '-≤≤-．①若21a ≤，即12a ≤时，有()e 20x g x a '=-≥，所以函数()g x 在区间[]0,1上递增，于是()()min 01g x g b ⎡⎤==-⎣⎦．②若12e a <<，即1e22a <<时，当()0ln 2x a <<时，()e 20x g x a '=-<，当()ln 21a x <<时()e 20x g x a '=->，所以函数()g x 在区间()()0,ln 2a 上递减，在区间()ln 2,1a ⎡⎤⎣⎦上递增，于是()()()min ln 222ln 2g x g a a a a b ⎡⎤=⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦．③若2e a ≥，即e2a ≥时，有()e 20x g x a '=-≤，所以函数()g x 在区间[]0,1上递减，于是()()min 1e 2g x g a b ⎡⎤==--⎣⎦．综上所述，()g x 在区间[]0,1上的最小值为()()min11,21e 22ln 2,22e e 2,2b a g x a a a b a a b a ⎧-≤⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩．（2）法1：由()10f =可得e 10a b ---=，于是e 1b a =--，又()00f =，所以函数()f x 在区间()0,1内有零点，则函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间．由（1）知当12a ≤或e2a ≥时，函数()g x 即()f x '在区间[]0,1上递增或递减，所以不可能满足“函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间”这一要求．若1e22a <<，则()()()min 22ln 232ln 2e 1g x a a ab a a a ⎡⎤=--=---⎣⎦．令()()32ln 2e 1h x x x x =---（1e22x <<），则()()12ln 2h x x '=-．由()0h x '>可得1e 22x <<，由()0h x '<可得e e22x <<，所以()h x 在区间1e 22⎛ ⎝⎭上递增，在区间e e 22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递减，所以()max e e e e 32ln 2e 1e e 102222h x h ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤==---=--<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()min 0g x ⎡⎤<⎣⎦，于是函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间⇔()()02e 0110g a g a ⎧=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，由此解得e 21a -<<，又因为1e22a <<，所以e 21a -<<．综上所述，a 的取值范围为()e 2,1-．法2：由()10f =可得e 10a b ---=，于是e 1b a =--，又()00f =，所以函数()g x 在区间()0,1上至少有两个零点．()e e 10e 2e 1021x xg x ax a a x -+=⇔--++=⇔=-，所以()g x 在区间()0,1上至少有两个零点y a ⇔=与()e e 121x k x x -+=-，110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象至少有两个交点．()()()22e 3e 2e 121x x x k x x -+-'=-，令()()2e 3e 2e 1x x p x x =-+-，则()()e 21x p x x '=-，由()0p x '>可得12x >，由()0p x '<可得12x <，所以()p x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递增，()min12e 2e 202p x p ⎛⎫⎡⎤==-> ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()0k x '>，于是()k x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上也递增．因为()0e 2k =-，()11k =，当12x -→时，()k x →+∞，当12x +→时，()k x →-∞，于是y a =与()e e 121x k x x -+=-，110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象有两个交点时，a 的取值范围是()e 2,1-．。

导数中含参数问题该如何进行分类讨论
一、导函数是二次函数或者类二次函数形式的
注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符号相同，很容易判断a 非负状态下的单调性，切记，切记。

二、导函数不是二次函数和类二次函数形式
能因式分解的先分解，之后求根，注意所求的根在所给出的定义域有没有意义，如果两个根中有一个或两个含有参数，则需要对比两根的大小关系，最后如果原函数有定义域，还需判断极值点和定义域端点处的位置关系。

三、最高次项系数含有参数，对该系数分类讨论
四、根的个数不确定时，对判别式Δ分类
五、两根大小不确定时，对两根大小分类讨论
六、不确定根是否在定义域内时，对根与定义域端点值的大小分类讨论
七、复杂问题，按顺序分类讨论。

含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。

而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳.一、分离参数，转化为最值策略在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 a f x恒成立，只须求出f X max，则a f X max ；若a f x恒成立，只须求出f X皿山，则a f X min，转化为函数求最值.例1、已知函数f(x) xlnx. (I)求f(x)的最小值；(n)若对所有x 1都有f (x) ax 1,求实数a的取值范围.二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论.例2.已知a是实数，函数f(x) x(x a).(I)若f (1) 3,求a的值及曲线y f(x)在点(1, f (1))处的切线方程；(n)求f(x)在区间［0 , 2］上的最大值.三、导函数为0是否存在，分类讨论策略求导后，考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令厶=0,求分点，从而引起讨论.例3、已知函数f (x) x2 x alnx , (a R) 讨论f (x)在定义域上的单调性.四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间 .所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论.2例4、已知m 0 ,讨论函数f (x) mx 一3(m !)x 3m 6的单调性.e练习求导后，考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式) ，从而引起讨论。

导数含参数问题的分类讨论利用导数来研究函数的单调性、极值、最值问题是高中数学的重要内容，分类讨论的思想又是高中阶段着重培养的思想方法。

导数大题的共同点就是求完导数后往往转化为带参数的函数，因此，需要利用分类讨论来解决含参数的导数问题成为近几年高考考查的一个重点和热点。

导数是解决函数单调性，最值等问题十分有利的工具，但学生在运用导数含参的问题时，往往产生惧怕心理，尤其对分类讨论感到困惑。

关于导数的分类讨论最常用有以下两种。

一、区间固定讨论极值点现在以2012年北京高考题为例。

本题第二问主要考察用导数来求函数的单调区间，以及在确定区间内求函数的最值问题。

试题的背景是以人教版A版2-2 1.3.2节例4，例5为蓝本。

例4是求函数的极值，例题的极值点是确定的具体的数。

例5是在闭区间内求最值。

此例题的极值点和端点值都是具体的实数。

接下来要讲的这道高考题和这道例题类似，把极值点变成含参数的极值点。

这道高考题目是来源于例题又高于例题。

（2012年北京卷理科18题）已知函数f（x）=ax2+1（a>0）与曲线g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x），y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（-∞，-1]上的最大值。

此例题与课本例4：求y=x3/3-4x+4的极值，例5求y=x3/3-4x+4在区间[0，3]上求函数的最值进行对比。

首先是找出两例题的相同点。

两题的相同之处都是三次函数，都是求函数的单调区间和在固定的区间内求最值。

不同点是北京高考题中函数的极值点含有参数，极值点不固定，而课本例题的极值点是确定的。

要研究函数在固定区间上的最值问题，就是研究函数在此区间上的单调性，要研究函数的单调性就是研究函数的极值点，利用传递性可得解决问题的实质就是研究函数的极值点。

研究函数的最值问题就是研究函数的极值点与区间位置关系的问题。

导数含参问题中常见的分类讨论方法
第二模块 巩固与练习，进一步深化 （8分钟） 问题 变式1 已知函数
321()13
f x x ax x =+++，a R ∈，讨论函数()f x 的单调区间．
处理 学生在缄默情境下练习 并用所学解决作业中出现的问题。

选择有代表性作业分析，一份分类错误，一份正确解答。

意图 本模块一方面让学生通
过练习来巩固分类的依据1，另一
方面通过改变变量的范围，让学生
提高知识的灵活运用能力。

Ppt 演示文稿 交互式白板展示学生练习
第三模块 变式与深化，题目演绎
（14分钟）
问题 变式2 设函数()()2f x x x a =-其中．当
时,求函数()f x 的极大值和
极小值﹒
变式 3 已知函数
()()211ln 2f x x a x a x =-++，]1,3x ⎡∈⎣求函数()f x 的单调区间与极值﹒
处理 让学生逐个完成变2
和变3 先完成变 选择正确的解
答示众，评价完方法总结，易错问
题的分析。

意图 变2和变3多数学生
解答困难不大，主要是帮助学生经
历过程，获得解决问题的方法。

Ppt 演示文稿 交互式白板展示学生练习
四、教学评价设计
1.评价方式与工具
课堂提问 书面练习
2.评价量表内容（测试题、作业描述、评价表等） 测试题 已知函数()()32x f x xe x ax =-++．若当0x ≥时，()232f x x x ≥-+恒成立，求a 的取值范围．。

导数中含参数的讨论策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。

而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳．一．求导后，导函数的解析式为一次函数y=kx+b ,如k 不定就分清况讨论k>0,k=0,k<0，然后导函数y=kx+b 为零时有无实根,根是否落在定义域内，(2008高考浙江卷理科)已知a 是实数，函数())f x x a =-（1）求函数()f x 的单调区间；解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，())'30a x f x x ⎛⎫- ⎪===>，由'()0f x =得3ax =。

考虑3a是否落在导函数'()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。

（1） 当0a ≤时，则'()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。

（2） 当0a >时，由'()0f x >，得3a x >；由'()0f x <，得03a x <<。

因此，当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递增区间为,3a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

二．求导后，导函数可以转化为c bx ax y ++=2时，如a 不定先讨论a>0,a=0,a<0；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△＞0、△=0、△＜0；在△＞0时，求导函数的零点再根据零点是否在定义域内进行讨论，若零点含参数在定义域内则对零点之间的大小进行讨论。