线性代数练习册附答案

第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。

线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。

线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。

. .. . ..第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题. .. . ..1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .. .. . ..16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.. .. . ..四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略). .. . ..第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

第一章行列式一.填空题1.四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解.a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234,逆序为0;列标排列为2134,逆序为1.该项符号为“－”,所以答案为a 12a 21a 33a 44.2.排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n －1…i 2i 1.解.排列i 1i 2…i n 可经过1+2+…+(n －1)=n(n －1)/2次对换后变成排列i n i n －1…i 2i 1.3.在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .解.15423的逆序为5,23145的逆序为2,所以该项的符号为“－”.4.在函数xx x x x x f 21112)(---=中,x 3的系数是______.解.x 3的系数只要考察234222x x xxx x +-=--.所以x 3前的系数为2.5.设a ,b 为实数,则当a =______,且b =______时,010100=---a b b a .解.0)(11010022=+-=--=---b a ab ba ab b a .所以a =b =0.6.在n 阶行列式D =|a ij |中,当i <j 时a ij =0(i ,j =1,2,…,n ),则D =______.解.nnn n a a a a a a a a 221121222111000=7.设A 为3×3矩阵,|A |=－2,把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A ,其中A j (j =1,2,3)是A 的第j 行,则行列式=-121332A A A A ______.解.=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A .二．计算证明题1.设4322321143113151||-=A 计算A 41+A 42+A 43+A 44=?,其中A 4j (j=1,2,3,4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解.A 41+A 42+A 43+A 441111321143113151-=210320206)1(000121013201206114--=-=+=62103202061=--2.计算元素为a ij =|i －j |的n 阶行列式.解.111111110021201110||--------=n n n n n A 每行减前一行由最后一行起，)1(2)1(1000201201121--=--------n n n n n n n列每列加第3.计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ≥2).解.当2>n n x x x n x x x n x x x D n n n n ++++++=222222111+n x x n x x n x x n n ++++++ 2121212211=n x x x x n x x x x n x x x x n n nn++++++ 33322221111+nx x x n x x x n x x x n n n++++++ 323232222111+nx x x n x x x n x x x n n n ++++++ 313131222111+nx x n x x n x x n n ++++++ 32132********=－n x x x n x x x n x x x n n n++++++ 313131222111=－n x x x n x x x n x x x n n n+++ 111222111－nx x nx x n x x n n+++ 3131312211=0当2=n 2122112121x x x x x x -=++++4.证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明:||||)1(||||||,A A A A A A A nTT-=-=-==-=(n 为奇数).所以|A |=0.5.试证:如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n +1个不同的x 值都是零,则此多项式恒等于零.(提示:用范德蒙行列式证明)证明:假设多项式的n +1个不同的零点为x 0,x 1,…,x n .将它们代入多项式,得关于C i 方程组0010=++nn x C x C C 01110=++n n x C x C C …………10=++n n n n x C x C C 系数行列式为x 0,x 1,…,x n 的范德蒙行列式,不为0.所以010====n C C C 6.设).(',620321)(232x F xx x x x xx F 求=解.x x x x x x x F 620321)(232==x x x x x x 3103211222=x x x x x x 310201222=xxx x x 3102101222=32220021012xxx x x x =26)('x x F =第二章矩阵一.填空题1.设α1,α2,α3,α,β均为4维向量,A =[α1,α2,α3,α],B =[α1,α2,α3,β],且|A |=2,|B |=3,则|A －3B |=______.解.βαααα3222|3|321----=-B A =βαααα38321-⨯-=αααα321(8⨯-56|)|3|(|8)3321=--=-B A βααα2.若对任意n ×1矩阵X ,均有AX =0,则A =______.解.假设[]m A αα 1=,αi 是A 的列向量.对于j =1,2,…,m ,令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010 j X ,第j 个元素不为0.所以[]m αα 10010==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j α (j =1,2,…,m ).所以A =0.3.设A 为m 阶方阵,存在非零的m ×n 矩阵B ,使AB =0的充分必要条件是______.解.由AB =0,而且B 为非零矩阵,所以存在B 的某个列向量b j 为非零列向量,满足Ab j =0.即方程组AX =0有非零解.所以|A |=0;反之:若|A |=0,则AX =0有非零解.则存在非零矩阵B ,满足AB =0.所以,AB =0的充分必要条件是|A |=0.4.设A 为n 阶矩阵,存在两个不相等的n 阶矩阵B ,C ,使AB =AC 的充分条件是______.解.0||0)(=⇔-=-⇔=≠A C B C B A AC AB C B 非零且且5.[]42121b b b a a a n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=______.解.[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a 212221212111421216.设矩阵12,23,3211-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B E A A B A 则=______.解.=2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841E A A B 232+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841－⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9633+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021221||*1==-B B B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2210=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--112107.设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则=______.解.由,0322=++E A A 得E E A A 3)2(-=+.所以0|3||2|||≠-=+E E A A ,于是A 可逆.由,0322=++E A A 得)2(31,03211E A A AE A +-==++--8.设)9()3(,10002010121E A E A A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-则=______.解.=2A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100040201=-E A 92⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208,=+E A 3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400050104→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001400050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4100010001100050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000104101100050004 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000510161041100010001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+-4100051161041)3(1E A )9()3(21E A E A -+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4100051161041⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2000101029.设.______])2[(______,)(_______,,3342122111*1*1=-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---A A A A 则解.|A|=－3－12+8+8+6－6=1→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100010001334212211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----104012001570230211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------104031320015703210211 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----137320313203131310032103401 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----137322524933100010001 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------372252493100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-3722524931A ====---||)(,||,||1*1**1A AA A A A A AA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3342122111131*4)2(||)2()2(|2|)2(---=--=--=-A A A A A A 414)4(])2[(111*===----A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----33421221110.设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3111522100110012A ,则A 的逆矩阵1-A =______.解.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211111121,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-215331521使用分块求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111100B CAB A BC A －⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11212153⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1173019所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-21117533019002100111A 二.单项选择题1.设A 、B 为同阶可逆矩阵,则(A)AB =BA(B)存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1(C)存在可逆矩阵C ,使BAC C T=(D)存在可逆矩阵P 和Q ,使BPAQ =解.因为A 可逆,存在可逆E AQ P Q P A A A A =使,.因为B 可逆,存在可逆E BQ P Q P B B B B =使,.所以A A AQ P =B B BQ P .于是BQ AQ P P B A A B =--11令A B P P P 1-=,1-=BA Q Q Q .(D)是答案.2.设A 、B 都是n 阶可逆矩阵,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1002B A T等于(A)12||||)2(--B A n(B)1||||)2(--B A n(C)||||2B A T-(D)1||||2--B A 解.121||||)2(002---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-B A B A n T.(A)是答案.3.设A 、B 都是n 阶方阵,下面结论正确的是(A)若A 、B 均可逆,则A +B 可逆.(B)若A 、B 均可逆,则AB 可逆.(C)若A +B 可逆,则A －B 可逆.(D)若A +B 可逆,则A ,B 均可逆.解.若A 、B 均可逆,则111)(---=A B AB .(B)是答案.4.设n 维向量)21,0,,0,21( =α,矩阵ααTE A -=,ααT E B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵,则AB =(A)0(B)－E(C)E(D)ααTE +解.AB =)(ααTE -)2(ααT E +=ααT E -+2ααT －2ααT ααT =E .)21(=ααT (C)是答案.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=233322322131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ,设有P 2P 1A =B ,则P 2=(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010101解.P 1A 表示互换A 的第一、二行.B 表示A 先互换第一、二行,然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行.所以P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001.(B)是答案.6.设A 为n 阶可逆矩阵,则(－A )*等于(A)－A *(B)A *(C)(－1)n A *(D)(－1)n －1A *解.(－A )*=*111)1()1(1||)1()(||A A A A A n n ----=--=--.(D)是答案.7.设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2),A *是A 的伴随矩阵,则(A)A A A n 1**||)(-=(B)A A A n 1**||)(+=(C)AA A n 2**||)(-=(D)AA A n 2**||)(+=解.1*||-=AA A AA A A A A A A A A A A A n n 211111*1**||||||||)|(|||||)|(|)(-------====(C)是答案.8.设A 为m ×n 矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r 1,矩阵B =AC 的秩为r,则(A)r >r 1(B)r <r 1(C)r =r 1(D)r 与r 1的关系依C 而定解.n C r C A B n n n m ==⨯⨯)(,,所以1)()()(r n C r A r AC r r =-+≥=又因为1-=BC A ,于是rn C r B r BC r r =-+≥=--)()()(111所以r r =1.(C)是答案.9.设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且AB =0,则A 和B 的秩(A)必有一个等于零(B)都小于n (C)一个小于n ,一个等于n(D)都等于n解.若0,0.,)(1===-B AB A n A r 得由存在则,矛盾.所以n A r <)(.同理n B r <)(.(B)是答案.三.计算证明题1.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143522011B .求:i.AB －BA ii.A 2－B 2iii.B T A T解.=-BA AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1618931717641,=-22B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1326391515649=T T A B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2211531517652.求下列矩阵的逆矩阵i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------111111*********1ii.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000cos sin 0sin cos ααααiii.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000iv.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-110210000120025解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10000100001000011111111111111111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1010101001100010220202022001111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1001001102102100010220220010101111 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------110000110210210210212200220010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1100002121021021021021220011010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11110021210210210212104000110010101001→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----414141410021210210210212101000110010101001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------414141414141414141414141414141411000010000100001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-414141414141414141414141414141411A ii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos 1.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100cos sin 0sin cos 1ααααA iii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011001101.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---0000111A B B A 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00010010010010001A iv.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-313100323100005200211A 3.已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα.其中T)2,2,1(1=α,T )1,2,2(2-=α,T )2,1,2(3--=α.试求矩阵A .解.由本题的条件知:=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---212122221A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---622342641→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001212122221 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----102012001630360221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0313231032001120210221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3231323103232031300210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----9291923103232031100210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---929192919292929291100010001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=232323235032037929192919292929291622342641A 4.k 取什么值时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11100001k A 可逆,并求其逆.解.01110001||≠=-=k k A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10011101000001001 k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101110010010001001 k →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111100010010001001k k 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1110100011k k A 5.设A 是n 阶方阵,且有自然数m ,使(E +A )m =0,则A 可逆.解.因为)(1=+==+∑∑==mi i i m mi iimmA c E A c A E所以∑=-=-mi i im E A c A 11)(.所以A 可逆.6.设B 为可逆矩阵,A 是与B 同阶方阵,且满足A 2+AB +B 2=0,证明A 和A +B 都是可逆矩阵.解.因为022=++B AB A ,所以2)(B B A A -=+.因为B 可逆,所以0||)1(||22≠-=-B B n所以0|||)(|2≠-=+B B A A .所以B A A +,都可逆.7.若A ,B 都是n 阶方阵,且E +AB 可逆,则E +BA 也可逆,且AAB E B E BA E 11)()(--+-=+解.AAB E B BA E BA E A AB E B E BA E 11)()())()((--++-+=+-+=AAB E AB E B BA E A AB E BAB B BA E 11))(())((--++-+=++-+=E BA BA E =-+所以A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.8.设A ,B 都是n 阶方阵,已知|B |≠0,A －E 可逆,且(A －E )－1=(B －E )T ,求证A 可逆.解.因为(A －E )－1=(B －E )T ,所以(A －E )(B －E )T =E 所以E E B E B A T T =+--)(,TT B E B A =-)(由|B |≠0知11)(--TB B ，存在.所以E B E B A T T =--1))((.所以A 可逆.9.设A ,B ,A +B 为n 阶正交矩阵,试证:(A +B )－1=A－1+B －1.解.因为A ,B ,A +B 为正交矩阵,所以111,,)()(---==+=+B B A A B A B A TTT所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T 10.设A ,B 都是n 阶方阵,试证明:||E AB BE EA -=.解.因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡AB E B E B E E A E A E E E 0000所以ABE BEB E E A E A E E E -=-0000||)1(01)1(2E AB AB E BEB E E A n n --=-=⋅⋅-因为n n )1()1(2-=-,所以||E AB BE EA -=11.设A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵,E 为四阶单位矩阵)0,0(00000000000000>>⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k l k B i.试计算|E +AB |,并指出A 中元素满足什么条件时,E +AB 可逆;ii.当E +AB 可逆时,试证明(E +AB )－1A 为对称矩阵.解.i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414342313242312141312000a a a a a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k a a a a a a a a a a a a a AB 000000000000000044342414342313242312141312⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000343424231413ka la la ka la ka AB E +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001001001343424231413ka la la ka la ka ,2341||kla AB E -=+所以当2341a kl≠时,E +AB 可逆.ii.11111)()]([)(-----+=+=+B A AB E A A AB E 因为A ,B 为实对称矩阵,所以B A +-1为实对称矩阵,所以(E +AB )－1A 为对称矩阵.12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ100100A ,求A n .解.使用数学归纳法.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2222210200100100100100λλλλλλλλλλλA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλλ1001002102002223A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+323233)21(0300λλλλλλ假设k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k kk k k λλλλλλ121)11(000则1+k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ100100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++-++1111)1()1(0)1(00k k k k k k k k k λλλλλλ 所以n A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---nn n n n n n n n λλλλλλ121)11(000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----n n n n n nn n n n λλλλλλ1212)1(00013.A 是n 阶方阵,满足A m =E ,其中m 是正整数,E 为n 阶单位矩阵.今将A 中n 2个元素a ij 用其代数余子式A ij 代替,得到的矩阵记为A 0.证明E A m=0.解.因为A m =E ,所以1||=m A ,所以A 可逆.11*0)(||]|[|)(--===T T T A A A A A A 所以EE A A A A A A m T m m m T m ====---1110||])[(||])(|[|14.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010101001A i.证明:n ≥3时,E A A A n n-+=-22(E 为三阶单位矩阵)ii.求A 100.解.i.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110013A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011102001+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+010*******E A A -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111020013A =所以E A A A -+=-2233假设EA A A k k -+=-22则=-+=-+A A A A k k 311A E A A A k --++-21=EA A k -+-+221）（所以EA A A n n -+=-22ii.=-+=E A A A298100E A E A A 4950222296-==-+ -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=50050050500050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡490004900049⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1050015000115.当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时,A 6=E .求A 11.解.121232321||=-=A ,所以==-||*1A A A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321因为1112116--===EA A A A E A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2123232116.已知A ,B 是n 阶方阵,且满足A 2=A ,B 2=B ,与(A －B )2=A +B ,试证:AB =BA =0.解.因为(A －B )2=A +B ,所以))(())(()(3B A B A B A B A B A -+=+-=-于是2222B AB BA A B AB BA A --+=-+-,所以BAAB =BA B BA AB A B A B A +=+--+=-222,)(因为A 2=A ,B 2=B ,所以2AB =0,所以0==BA AB .第三章向量一.填空题1.设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk ,则k =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式1102131181105213000011182105213000211142k k k -----=-----=-----316102038++-+--=k k =13k +5=0.135-=k 2.设)0,,3,1(),4,3,5,0(),2,0,2,1(),0,3,1,2(4321t -=-=-=-=αααα,则t =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式4243355504243335551000042030335211012---=----=----t tt t 0603020306020=--+++-=t t .所以对任何t ,α1,α2,α3,α4线性相关.3.当k =______时,向量β=(1,k ,5)能由向量),1,1,2(),2,3,2(21-=-=αα线性表示.解.考察行列式,012513211=--k 得k =－8.当k =－8时,三个向量的行列式为0,于是21,,ααβ线性相关.显然21,αα线性无关,所以β可用21,αα线性表示.4.已知)1,4,0,1,1(),3,1,3,0,2(),10,5,1,2,0(),1,2,2,1,1(4321-=-=-==αααα,则秩(α1,α2,α3,α4)=______.解.将α1,α2,α3,α4表示成矩阵→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---131********210211201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------21102550211002201201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------211052110211001101201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→20052000200001101201.所以r (α1,α2,α3,α4)=35.设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A ,则秩(A)=______.解.→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3224211631711614040921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3408012550755110140800921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→8351051510117510815100921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→410004030008845000815100921所以r (A )=3.6.已知),2,0,1,0(,)2,1,0,1(=-=βαT矩阵A =α·β,则秩(A )=______.解.A =α·β=()→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-402020100000201020102101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0020000000002010所以r (A )=1.7.已知向量),6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321t ====αααα,且秩(α1,α2,α3,α4)=2,则t =______.解.A =(α1,α2,α3,α4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 654654354324321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=16630642032104321t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=700000032104321t 所以当t =7时,r (A )=2.二.单项选择题1.设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是(A)α1+α2,α2+α3,α3+α1(B)α1,α1+α2,α1+α2+α3(C)α1－α2,α2－α3,α3－α1(D)α1+α2,2α2+α3,3α3+α1解.由0)()()(133322211=-+-+-ααααααk k k 得)()()(323212131=-+-+-αααk k k k k k 因为向量组α1,α2,α3线性无关,所以得关于321,,k k k 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131k k k k k k 321,,k k k 的系数行列式为011110011101=-=---.所以321,,k k k 有非零解,所以α1－α2,α2－α3,α3－α1线性相关.(C)是答案.2.设矩阵A m ×n 的秩为R (A )=m <n ,E m 为m 阶单位矩阵,下列结论正确的是(A)A 的任意m 个列向量必线性无关(B)A 的任意一个m 阶子式不等于零(C)若矩阵B 满足BA =0,则B =0(D)A 通过行初等变换,必可以化为(E m ,0)的形式解.(A),(B)都错在“任意”;(D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A 变成(E m ,0)的形式;(C)是正确答案.理由如下:因为BA =0,所以0)()()()()(B r m m B r m A r B r BA r =-+=-+≥=.所以)(B r =0.于是B =0.3.设向量组(I):T T T a a a a a a a a a ),,(,),,(,),,(332313332221223121111===ααα;设向量组(II):T T T a a a a a a a a a a a a ),,,(,),,,(,),,,(433323133423222122413121111===βββ,则(A)(I)相关⇒(II)相关(B)(I)无关⇒(II)无关(C)(II)无关⇒(I)无关(B)(I)无关⇔(II)无关解.由定理:若原向量组线性无关,则由原向量组加长后的向量组也线性无关.所以(B)是答案.4.设β,α1,α2线性相关,β,α2,α3线性无关,则(A)α1,α2,α3线性相关(B)α1,α2,α3线性无关(C)α1可用β,α2,α3线性表示(D)β可用α1,α2线性表示解.因为β,α1,α2线性相关,所以β,α1,α2,α3线性相关.又因为β,α2,α3线性无关,所以α1可用β,α2,α3线性表示.(C)是答案.5.设A ,B 是n 阶方阵,且秩(A )=秩(B ),则(A)秩(A －B )=0(B)秩(A +B )=2秩(A)(C)秩(A －B )=2秩(A)(D)秩(A +B )≤秩(A )+秩(B )解.(A)取B A ≠且|A |≠0,|B |≠0则A －B ≠0,则r (A －B )≠0.排除(A);(B)取A =－B ≠0,则秩(A +B )≠2秩(A);(C)取A =B ≠0,则秩(A －B )≠2秩(A).有如下定理:秩(A +B )≤秩(A )+秩(B ).所以(D)是答案.三.计算证明题1.设有三维向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2113α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21k k β问k 取何值时i.β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一;ii.β可由α1,α2,α3线性表示,但表达式不唯一;iii.β不能由α1,α2,α3线性表示.解.)1(22221111112-=-=k k k k k k i.10≠≠k k 且时,α1,α2,α3线性无关,四个三维向量一定线性相关,所以β可由α1,α2,α3线性表示,由克莱姆法则知表达式唯一;ii.当k =1时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121111111111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010********* .系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2.所以所以β可由α1,α2,α3线性表示,但表示不惟一;iii.当0=k 时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→011011100101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→100011100101 .系数矩阵的秩等于2,增广矩阵的秩为3,所以所以β不能由α1,α2,α3线性表示.2.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问i.α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论;ii.α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论解.i.α1不一定能由α2,α3线性表出.反例:T )1,1(1=α,T )0,1(2=α,T )0,2(3=α.向量组α1,α2,α3线性相关,但α1不能由α2,α3线性表出;ii.α4不一定能由α1,α2,α3线性表出.反例:T )0,0,2(1=α,T )0,0,1(2=α,T )0,1,0(3=α,T )1,0,0(4=α.α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,α4不能由α1,α2,α3线性表出.3.已知m 个向量α1,α2,…αm 线性相关,但其中任意m －1个都线性无关,证明:i.如果存在等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0则这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.如果存在两个等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0l 1α1+l 2α2+…+l m αm =0其中l 1≠0,则mm l k l k l k === 2211.解.i.假设k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0,如果某个k i =0.则k 1α1+…+k i －1αi －1+k i+1αi+1…+k m αm =0因为任意m －1个都线性无关,所以k 1,k 2,…k i －1,k i+1,…,k m 都等于0,即这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.因为l 1≠0,所以l 1,l 2,…l m 全不为零.所以m m l l l l ααα12121---= .代入第一式得:0)(2212121=+++---m m m m k k l l l l k αααα 即0)()(1122112=+-+++-m m m k k l l k k l l αα 所以02112=+-k k l l ,…,011=+-m m k k l l 即mm l k l k l k === 22114.设向量组α1,α2,α3线性无关,问常数a ,b ,c 满足什么条件a α1－α2,b α2－α3,c α3－α1线性相关.解.假设0)()()(133322211=-+-+-ααααααc k b k a k 得)()()(323212131=-+-+-αααk c k k b k k a k 因为α1,α2,α3线性无关,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131ck k bk k k ak当行列式0100110=---cba 时,321,k k k 有非零解.所以1=abc 时,a α1－α2,b α2－α3,c α3－α1线性相关.5.设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组A k x =0有解向量α,且A k －1α≠0,证明:向量组α,A α,⋯,A k －1α是线性无关的.解.假设01110=+++--αααk k A a A a a .二边乘以1-k A 得010=-αk A a ,0=a 由0111=++--ααk k A a A a .二边乘以1-k A 得011=-αk A a ,1=a ………………………………最后可得011=--αk k A a ,1=-k a 所以向量组α,A α,⋯,A k －1α是线性无关.6.求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i.)3,2,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(4321=----=---==αααα.ii.).10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα解.解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------3763245113122141→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------34180039031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---3200320031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000320031902141所以321,,ααα是极大线性无关组.由3322114ααααk k k ++=得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-+323924332321k k k k k k 解得2331-==k k ,212=k 所以3214232123αααα-+-=ii.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1001424527121203121301→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220101103133021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220313301011021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→04000010001011021301所以421,,ααα是极大线性无关组.由4322115ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401233231k k k k k 解得21=k ,12=k ,03=k 所以421502αααα++=由4322113ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401333231k k k k k 解得31=k ,12=k ,03=k 所以421303αααα++=7.已知三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x yyy x y y yxA ,讨论秩(A)的情形.解.i.0==y x ,)(=A r ii.0,00,0=≠≠=y x y x 或,3)(=A r iii.0≠=y x ,1)(=A r iv.0≠-=y x ,3)(=A r iv.yx y x ±≠≠≠,0,0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x y y y x yy yxA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→2222x xyxy xy x xy y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→2222222200y x y xy y xy y x y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→y x yy y x y yx00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→)2(00y x x yy x y y x 所以,当y x 2-=时,2)(=A r ;当y x 2-≠时,3)(=A r 8.设三阶矩阵A 满足A 2=E(E 为单位矩阵),但A ≠±E ,试证明:(秩(A －E )－1)(秩(A +E )－1)=0解.由第十一题知3)()(=-++E A r E A r 又因为A ≠±E ,所以0)(≠+E A r ,0)(≠-E A r 所以)(E A r +,)(E A r -中有一个为1所以(秩(A －E )－1)(秩(A +E )－1)=09.设A 为n 阶方阵,且A 2=A ,证明:若A 的秩为r ,则A －E 的秩为n －r ,其中E 是n 阶单位矩阵.解.因为A 2=A ,所以)(=-E A A 所以n E A r A r E A A r --+≥-=)()())((0所以nE A r A r ≤-+)()(又因为n E r A E A r A E r A r E A r A r ==-+≥-+=-+)()()()()()(所以n E A r A r =-+)()(.所以rn E A r -=-)(10.设A 为n 阶方阵,证明:如果A 2=E ,则秩(A +E )+秩(A －E )=n.解.因为A 2=E ,所以))((0E A E A +-=所以n E A r E A r E A E A r --++≥-+=)()()))(((0所以nE A r E A r ≤-++)()(又因为n E r A E E A r A E r E A r E A r E A r ==-++≥-++=-++)2()()()()()(所以n E A r E A r =-++)()(.第四章线性方程组一.填空题1.在齐次线性方程组A m ×n x =0中,若秩(A)=k 且η1,η2,…,ηr 是它的一个基础解系,则r =_____;当k =______时,此方程组只有零解.解.k n r -=,当n k =时,方程组只有零解.2.若n 元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r,则当______时,方程组有唯一解;当______时,方程组有无穷多解.解.假设该方程组为A m ×n x =b,矩阵的秩r A r =)(.当n r =,方程组有惟一解;当n r <,方程组有无穷多解.3.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解,则k 应满足的条件是______.解.03011211≠kk ,53,0623≠≠--+k k k k 时,方程组只有零解.4.设A 为四阶方阵,且秩(A)=2,则齐次线性方程组A *x =0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解.因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r ,所以0)(*=A r ,A *x =0的基础解系所含解向量的个数为4－0=4.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=112011121A ,则A x =0的通解为______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=000110101110110121112011121A 2)(=A r ,基础解系所含解向量个数为3－2=1.⎩⎨⎧=-=-003231x x x x ,取1,1123===x x x 则.基础解系为(1,1,1)T.A x =0的通解为k (1,1,1)T,k 为任意常数.6.设α1,α2,…αs 是非齐次线性方程组A x =b 的解,若C 1α1+C 2α2+…+C s αs 也是A x =b 的一个解,则C 1+C 2+…+C s =______.解.因为A b A i 且,=α(C 1α1+C 2α2+…+C s αs )=b,所以b b C C s =++)(1 ,11=++s C C .7.方程组A x =0以TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.解.方程组A x =0的基础解系为TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη,所以2)(=-A r n ,即2)(3=-A r ,)(A r =1.所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A ,假设),,(1312111a a a =α.由01=ηA ,得02201),,(1311131211=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a 由02=ηA ,得0110),,(1312131211=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a a 取2,1,0111213-===a a a 得.所以)1,1,2(1-=α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A (其中2,1k k 为任意常数).8.设A x =b,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,则使方程组有解的所有b 是______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,05112210321||≠=-=A ,所以)(A r =3.因为A x =b 有解,所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-b r r 112210321112210321所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123112201321k k k b ,其中321,,k k k 为任意常数.9.设A,B 为三阶方阵,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121211A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B ,且已知存在三阶方阵X ,使得B AX =,则k =___________.解.由题设B X A =⨯⨯3333,又因为0110121211||=-=A ,所以0||||||==X A B ,即0266411202314=+--=--k k k ,2-=k .二.单项选择题1.要使ξ1=(1,0,1)T ,ξ2=(－2,0,1)T 都是线性方程组0=Ax 的解,只要系数矩阵A 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321(B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-020010解.因为21,ξξ的对应分量不成比例,所以21,ξξ线性无关.所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112213321A ,3)(,0112213321||=≠=A r A .因为A 是三阶矩阵,所以0=Ax 只有零解,排除(A);(B)2)(,211121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A r A .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－1)(=A r .排除(B);(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123020010A ,2)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－1)(=A r .排除(C);(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=020010A ,1)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－2)(=A r ,(D)是答案.2.设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表成(A)321,,ξξξ的一个等阶向量组(B)321,,ξξξ的一个等秩向量组(C)321211,,ξξξξξξ+++(C)133221,,ξξξξξξ---解.由0)()(321321211=+++++ξξξξξξk k k ,得0)()(332321321=+++++k k k k k k ξξξ.因为0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,所以321,,ξξξ线性无关.于是⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ,所以0321===k k k ,则321211,,ξξξξξξ+++线性无关.它也可以是方程组的基础解系.(C)是答案.(A)不是答案.例如321,,ξξξ和21321,,,ξξξξξ+等价,但21321,,,ξξξξξ+不是基础解系.3.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是(A)任一行向量都是非零向量(B)任一列向量都是非零向量(C)b Ax =有解(D)当0≠x 时,0≠Ax ,其中Tn x x x ),,(1 =解.对(A),(B):反例⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121A ,不可逆;对于(C)假设A 为n×n 矩阵,A 为A 的增广矩阵.当n A r A r <=)()(时,b Ax =有无穷多解,但A 不可逆;(D)是答案,证明如下:当0≠x 时,0≠Ax ,说明0=Ax 只有零解.所以1,0||-≠A A 存在.4.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r,则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A )n r =(B )n r ≥(C )n r <(D )n r >解.(C )为答案.5.设n m A ⨯为矩阵,m n B ⨯为矩阵,则线性方程组0)(=x AB (A )当m n >时仅有零解.(B )当m n >时必有非零解.(C )当n m >时仅有零解.(D )当n m >时必有非零解.解.因为AB 矩阵为m m ⨯方阵,所以未知数个数为m 个.又因为n A r AB r ≤≤)()(,所以,当n m >时,m n A r AB r <≤≤)()(,即系数矩阵的秩小于未知数个数,所以方程组有非零解.(D )为答案.6.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A ,若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A )不存在(B )仅含一个非零解向量(C )含有二个线性无关解向量(D )含有三个线性无关解向量解.因为⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,*)(n A r n A r n A r n A r 因为0*≠A ,所以1)(-≥n A r ;又因为4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,所以b Ax =的解不唯一,所以1)(-≤n A r ,所以1)(-=n A r .于是:基础解系所含解向量个数1)1()(=--=-=n n A r n (B )为答案.三.计算证明题1.求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=----=+-+-=-+-174952431132542143214321x x x x x x x x x x x 的通解,并求满足方程组及条件16354321-=-++x x x x 的全部解.解.将条件方程与原方程组构成矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------56144280287214028721401132511163517409152413113251⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→0000000000287214017409100000000002872140113251 i.条件方程与原方程组兼容,即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;ii.2)()(==A r A r ,方程组有解.齐次方程组的基础解系含解向量的个数为2)(4=-A r ;iii.齐次方程的基础解系:⎩⎨⎧=-+-=++07214049432421x x x x x x 令27,41,03142=-===x x x x 得令7,90,13142=-===x x x x 得基础解系为:T T)0,7,1,9(,)1,27,0,4(--iv.非齐次方程的通解:⎩⎨⎧=-+--=++2872141749432421x x x x x x 令2,10,02143-====x x x x 得所以全部解为:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-127040719002121k k 2.设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++=++kmx x x x x x x x x 3213213214132303,问m,k 为何值时,方程组有惟一解?有无穷多组解?有无穷多组解时,求出一般解.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110010700131170107001314113230131k m k m k m i.当3)()(,1==-≠A r A r m 时,方程组有惟一解;ii.当)()(,1,1A r A r k m ≠≠-=时,方程组无解;iii.当32)()(,1,1<===-=A r A r k m 时,方程组有无穷多解.此时基础解系含解向量个数为1)(3=-A r 齐次方程组:⎩⎨⎧==++07032321x x x x ,所以02=x .令1,113-==x x 得.基础解系解向量为:T)1,0,1(-.非齐次方程组:⎩⎨⎧==++17032321x x x x ,所以712=x .令73,013-==x x 得.非齐次方程特解为:T)0,71,73(-.通解为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10107173k x 3.问λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 有解,并求出解的一般形式.。

第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x ,y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵：(1)⎩⎨⎧==011y x x ； (2)⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求3AB -2A 和A T B .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E .当f (x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时，求f (A ).7. 举出反例说明下列命题是错误的.(1) 若A2= O，则A= O.(2) 若A2= A，则A= O或A= E..7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O，证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵．8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001Λ，求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200030004A ，矩阵B 满足AB =A+2B ，求B .12. 设102212533A --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭,利用初等行变换求A -1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵，且ABC =E ,则必有（ ）. (A) ACB =E ； (B) CBA =E ； (C) BAC =E ； (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； (C) P 1P 2A =B ； (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵，将A 的第１列与第４列交换得B ，再把B 的第2列与第3列交换得C ，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ，则C -1=（ ）. (A) A -1P 1P 2； (B)P 1A -1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（ ）. (A) A -E 不可逆 ； (B) A -2E 不可逆 ； (C) A -3E 可逆； (D) A -E 和A -2E 都可逆.5. 设A =(1,2,3)，B =(1,1/2,1/3)，令C =A T B ，求.6. 证明：如果A k =O ，则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1，k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ，求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X （021≠n a a a ），求X -1. 第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时，0010413≠xx x .3.求下列排列的逆序数：(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).4.证明：3232a cb a b a ac b a ba acb a=++++++.. .5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------(2)yx y x x y x y yx y x +++(3) 0111101111011110(4)1222123312111x x x x x x（5）nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a ．7．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明： |A *|=|A |n-1，(n ≥2)．..8. 设A ,B 都是三阶矩阵，A *为A 的伴随矩阵，且|A |=2，|B |=1，计算 |-2A *B -1|．9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ，利用公式求A -1. 复习题二1．设A ,B 都是n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A *、B *，证明：(AB )*=B *A *．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ，求A -1．3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是3⨯1矩阵，设A =( A 1, A 2, B 1,)，B =( A 1, A 2, B 2)，|A |=2，|B |=3，求|A+2B |．..4．设A ,B 都是n 阶方阵，试证：AB E E A BE -=．第3章 向量空间习 题1.设α1=(1,-1,1)T , α2=(0,1,2)T , α3=(2,1,3)T ，计算3α1-2α2+α3．2.设α1=(2,5,1,3)T , α2=(10,1,5,10)T , α3=(4,1,-1,1)T ,且3(α1- x )+2(α2+x )=5(α3+x ) ,求向量x .3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T , α2=(2,-6,-2)T , α3=(5,4,1)T ；(2) β1=(2,3,0)T , β2=(-1,4,0)T ,β3=(0,0,2)T .4.设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α1, α2, α3线性无关，证明向量组β1, β2, β3线性无关．5.设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.6.求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示...7.设α1, α2,…, αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示，证明：α1, α2,…,αn线性无关．8.设有向量组α1, α2, α3,α4, α5，其中α1, α2, α3线性无关，α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数)，求向量组α1, α3,α4, α5的秩．9.设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1)，求秩R(A T B).10.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ，求A 的秩，并写出A 的一个最高阶非零子式.11.已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ，若A 的秩R (A )=2，求参数t 的值...12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ，求A 的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明：如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n ．14.已知向量空间3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β， 求由基α1, α2, α3到基β1, β2,β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ，已知A 的秩为3，求k 的值.2．设向量组A : α1, …,αs 与B :β1,…,βr ，若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )＝(α1, …,αs )K ，其中K 为r s ⨯矩阵, 试证：B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )＝r ...3．设有三个n 维向量组A ：α1, α2, α3；B ：α1, α2, α3, α4；C ：α1, α2, α3, α5．若A 组和C 组都线性无关，而B 组线性相关，证明向量组α1, α2, α3, α4-α5线性无关．4．设向量组A : α1=(1,1,0)T ,α2=(1,0,1)T ,α3=(0,1,1)T 和B : β1=(-1,1,0)T ,β2=(1,1,1)T ,β3=(0,1,-1)T(1) 证明：A 组和B 组都是三维向量空间3R 的基；(2) 求由A 组基到B 组基的过渡矩阵；(3) 已知向量α在B 组基下的坐标为(1,2,-1)T ,求α在A 组基下的坐标．第4章 线性方程组习 题 1.写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 4 3212321321x x x k x kx x x k x x ，讨论当k 为何值时， (1)有唯一解？(2)有无穷多解？(3)无解？5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-0 26 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系...6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T ，求此方程组的的通解．7 .求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x8.设有向量组A ：12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα，3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 问向量β能否由向量组A 线性表示？. .9. 设η*是非齐次线性方程组AX =b 的一个解，ξ1, ξ2,…, ξn -r 是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）η*, ξ1, ξ2,…, ξn -r 线性无关；（2）η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn -r 线性无关．复习题四 1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ，且方程组AX =θ的解空间的维数为2，则a =.2．设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零，则它的基础解系所含向量个数为.3.设有向量组π：α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T , α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T ，问a , b 为何值时,（1）向量β不能由向量组π线性表示；（2）向量β能由向量组π线性表示，且表示式唯一；（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．4．设四元齐次线性方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+004221x x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x 求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系；(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．5．设矩阵A =(α1, α2, α3, α4)，其中α2, α3, α4线性无关，α1=2α2-α3，向量β=α1+α2+α3+α4，求非齐次线性方程组Ax=β的通解．6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关，且向量组γβα,,线性相关．第5章 矩阵的特征值和特征向量习 题1.已知向量α1=(1,-1,1)T ，试求两个向量α2, α3，使α1, α2, α3为R 3的一组正交基．2.设A , B 都是n 阶正交矩阵，证明AB 也是正交矩阵．..3. 设A 是n 阶正交矩阵，且|A |=-1，证明：-1是A 的一个特征值．4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，计算行列式|A 3-5A 2+7E |．6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似，求y x ,；并求一个正交矩阵P ，使P -1AP =Λ．7.将下列对称矩阵相似对角化：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022..（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004．8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值，证明：(1)λA是A *的特征值．(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时，求A *的特征值．9.设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3，属于特征值λ1=6的特征向量为p 1=(1,1,1)T ，求矩阵A ．复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是．2.已知3阶矩阵A , A -E ,E +2A 都不可逆，则行列式|A +E |=．3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ，已知A 与B 相似，则a , b 满足． 4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量，A α1=0, A α2=2α1+, α2，则A 的非零特征值为.5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，求x ．6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，证明A 的特征值只能是1或2．7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量． (1) 求参数a , b 及特征值λ； (2) 问A 能否相似对角化？说明理由．8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ，求φ(A )=A 10-5A 9． 第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式：42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型．3.已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为２，求a 的值．4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形．5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ，若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=，求a 的值．7. 判别下列二次型的正定性：（1）312123222122462x x x x x x x f ++---=（2）4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a 的取值X 围．复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵，B =λE +A T A ，试证：λ>0时，矩阵B 为正定矩阵．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形．3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ，通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ，求b a ，的值．4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，2）（A E B +=k ，其中k 为实数，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似，并讨论k 为何值时，B 为正定矩阵．测试题一一、计算题：1.计算行列式111131112+=n D n .2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ，计算T B A 3．3．设A 、B 都是四阶正交矩阵，且0<B ，*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式*2BAA -．4．设三阶矩阵A 与B 相似，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ，计算行列式E B 22-． 5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ，且A 的秩为2，求常数b a ,的值． 二、解答题： 6．设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α，其中4321,,,t t t t 是各不相同的数，问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示？说明理由．7．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系．8．问k 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解．9．已知四阶方阵A ＝（4321,,,αααα），其中321,,ααα线性无关，3243ααα-=，求方程组4321αααα+++=Ax 的通解．10．三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1. 三、证明题:11．设2112ααβ+=，32223ααβ+=，13334ααβ+=，且321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关．12．设A 为实对称矩阵，且满足O E A A =--22，证明E A 2+为正定矩阵． 测试题二一、填空题:１、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列134782695的逆序数为；２、已知A 为三阶正交矩阵，且A ＜０，则*AA =；３、设方阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24523121x ，若A 不可逆，则=x ； ４、设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5432P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ1001，则6A =； ５、“若向量组321,,ααα线性无关，向量组432,,ααα线性相关，则4α一定能由32,αα线性表示”．该命题正确吗？ 。

线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题（1）4245322635-=-⨯-⨯=-（2）12130111110101(1)(1)21011110++=-+-=（3）1312001002020030(1)3002(1)243000040040004++=-=⨯-=- （4）11121310000230234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题（1）214121413121506201232123250625062-== （2）28512851105131025319061906512511310805120512121100107609712--------==---=----=----------（3）111111111abac aebcebdcdde adf b c e adfbce bfcfef b c e ----=-=----111024020adfbce adfbce -== （4）3300011()()01000a b b b a b b b ab a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -==--=-------- （5）x a a aa x aa a ax a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a aax n a x a ax n a a x a x n a a ax+-+-+-+- =[(1)]x n a+-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]x na +-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --（6）22222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++（7）12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)0121111110001012111112002131111122012301230123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题（1）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111111111112222222222222233333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = （2）00()()()()00x y z x z yx y z y z x z x y x y z y z x z y x =-+++-+-+-（证明略）（3）11111111111111111110111111111110111111111110111x x x x x y y y y y y+---=++++--- 21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y y y y y y-⎛-⎫- ⎪=++=++++ ⎪ ⎪---⎝⎭- 222222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y ⎛⎫+ ⎪=+-=-+= ⎪- ⎪-⎝⎭（4）设01211000100010n n n a a x D a x a x----=-， 则按最后一行展开，可得01113210001101(1)0011n n n n n a a x xD a x a x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++. 332123223321123210n n n n n n n n n n n a xa a x a xx D a xa a x a x a x a x -----------==+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 有非零解时，必须满足什么条件？ 解：齐次线性方程组有非零解，当且仅当1242310111λλλ---=-. 又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得，0,λ=或2λ=，或3λ=.所以，当0,λ=或2λ=，或3λ=，齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2. 解：由A X B +=， 得020133.221X B A -⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 3. 解：213220583221720,0564292290T AB A A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 4. 解：（1）()31,2,32132231101⎛⎫ ⎪=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ （2）()22411,212336-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （3）12110162134021311491231042217--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4） 131********78113413120510402⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭5. 解： （1） 错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有AB BA ≠；（2）错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误，令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误， 设00,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有20A =，但0.A ≠（5）错误， 设10,00A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有2A A =，但.A I ≠6． 解：2221010(),0101AB A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭7． 证明： 因为A 为对称矩阵，所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此，T B AB 是对称矩阵.8. 证明： 因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解： 由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-⎛⎫--⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+⎛⎫=⎪++⎝⎭因此，由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 11. （1）解： 由初等行变换可得，11103111031110311007221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）解： 由初等行变换可得，111111107125016016234000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12. 解法见第38页 例2.14. 13. (1)解：22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭， 当2λ=-时， 方程组无解， 当1λ=时，方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12,k k 为任意常数， 当1λ≠， 且2λ≠-时，方程组有唯一解，221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++（2）解：322111************213221λλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-+--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭当1λ=时，方程组无解，方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12,k k 为任意常数，当3λ=时，方程组无解，当3λ≠且1λ≠时，方程组有唯一解，123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解： 通过初等变换，可得A 的标准型矩阵为，17100010101002800105100015⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭15. 解析：通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →，则1A B -= 例如（1）通过初等行变换，121012101052250101210121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故 112522521--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵，答案见教材第177页. 16. 解： 原线性方程组可写成123123122103430x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，11231123132210234301x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.（1） 由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （2） 由原矩阵方程可得1111143120112011104X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18证明： 因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=， 所以12()()k I A I A A A --=++++19． 解： 由220A A I --=， 得()2A I AI -=，3(2)4A IA I I -+=-， 因此，1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=- 20. 证明： 由220A AB B ++=， 且B 可逆得，22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=，因此，,A A B +可逆，且1212(),().A A B B A B B ----=-++=-21. 令11123,01121001B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，则111311044,0111100122B C --⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1111130004411000002200001100001101B B A A A ----⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 22. 证明： 若,B C 可逆，则有11000B C I CB --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以A 可逆，且1110.0C A B---⎛⎫= ⎪⎝⎭ 反之，若A 可逆, 设其逆为XY Z V ⎛⎫⎪⎝⎭， 则， 000B X Y I o C Z V I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此，,BZ I CY I ==， 因此,B C 可逆.23. 证明：用反证法. 假设A 是奇异矩阵，则由2A A =， 得211A A AA --=， 即A E =， 这与已知条件矛盾，所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得, 12345111,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法，可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 上面方程组只有零解，所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立.7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()⇒设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()⇐ 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关， 所以123123123(000k k k k k k k k k +-=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 解得上面方程组只有零解， 因此，123,,ααα线性无关. 证明： 9.（⇒）设1mi i i k αα==∑， 和10.mi i i l α==∑ 则，111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑，又α的表达式唯一，因此,i i i k l k += 即0,i l = 故，12,,,m ααα 线性无关.（⇐）设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑， 则1()0mi i i i k l α=-=∑，因为12,,,m ααα 线性无关，所以，,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明：因为12,,,m ααα 线性相关， 则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得，10.mi i i k α==∑若有某个0i k =， 不妨设10k =，则有20,mi i i k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关，因此230m k k k ====， 这与12,,,m k k k 不全为零矛盾，因此12,,,m k k k 全不为零， 命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以， 当50,c -+≠ 即5c ≠时，123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时，123,,ααα线性相关， 且312111.77ααα=+ 13. 解： （1）因为234411231123112311232344050100501032613261050100000102110210120000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此，向量组1234,,,αααα的秩为2， 12,αα是一个极大线性无关组， 且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求（2）， （3）， 答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 有一个二阶子式01331=--，所以秩（12,αα）=2， 即12,αα线性无关.（2） 容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=，120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈，12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈，因此，1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=，因此， ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∉ 因此，2V 不是线性空间. 17. 证明： 因为111111101101211110011==-=--，所以123,,ααα线性无关， 即秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以，秩（123,,ααα）=3，故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++， 即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩， 解得，1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明： 因为A 是正交阵， 所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此，2**()T A A A E E ==， 故*A 是正交阵. 习题四 1. 解（1）1251251251320170171490214000378017000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以，原方程组与下面方程组同解，1232325070x x x x x ++=⎧⎨-=⎩选取3x 作为自由未知量， 解得基础解系为1971-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 因此， 方程组的解为1971k -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）313411311131159815980467113131340000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 选取选取34,x x 作为自由未知量， 解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）见教材答案 （4）见教材答案2. （1） 对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解得特解为5/6101/6⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭， 对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 因此方程组的同解为5/6101/6⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭+3510k -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2） 答案见教材 3. （略）4. 证明： 令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==，因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。

线性代数练习册答案第五章 相似矩阵及二次型51ξ- 内积52ξ- 方阵的特征值与特征向量一．填空题：1.A 是正交矩阵，则A1A =± . 2.已知n 阶方阵A 的特征值为12,,,n λλλ⋅⋅⋅， 则E A λ-= ()()()12n λλλλλλ--⋅⋅⋅- .3.已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则232B A A =-的特征值为 1,5,8 ；A = 2- ；A 的对角元之和为 2 .4.若0是A 的特征值，则A 不可逆 （可逆，不可逆）.5.A 是n 阶方阵，A d =，则AA *的特征值是 ,,,d d d ⋅⋅⋅（共n 个） . 二．用施密特法把下列向量组规范正交化123111(,,)124139ααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：()111,1,1Tβα==[]()()()2122121,61,2,31,1,11,0,13TT Tαββαββ=-=-=- [][]313233122212,,αβαββαββββ=--()()()1481211,4,91,1,11,0,1,,32333TTTT⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭故)1111,1,1T b ββ==，)2221,0,1T b ββ==-，)3331,2,1Tb ββ==-.三．求下列矩阵的特征值和特征向量1. 1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2. 100020012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：1. A 的特征多项式为12(3)(1)21A E λλλλλ--==-+-故A 的特征值为123,1λλ==-.当13λ=时，解方程()30A E x -=.由221132200rA E --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:得基础解系111P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1(0)kPk ≠是对应于13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系211P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是对应于21λ=-的全部特征向量.2. B 的特征多项式为2100020(1)(2)012B E λλλλλλ--=-=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===.当11λ=时，解方程()0B E x -=.由000011010010011000r B E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系1100P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故1(0)kP k ≠是对应于11λ=的全部特征向量. 当232λλ==时，解方程()20B E x -=.由1001002000000010010r B E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系2001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是对应于232λλ==的全部特征向量.四．证明下列各题1. x 为n 维列向量，且1T x x =，求证：2T H E xx =-是对称的正交阵.2. 设A 、B 为同阶正交阵，证明：AB 也是正交阵. 证明：1. ()()222TTTTT TT T H E xx H E xxE xx H =-⇒=-=-=故H 为对称阵.又()()()224444T T T T T T T T H H E xx E xx E xx x x x x E xx xx E =--=-+=-+=故H 为正交阵.2. 因,A B 为同阶正交阵，故,T T A A E B B E ==. 又()()TT T T T AB AB B A AB B EB B B E ====，故AB 为正交阵.五．A 是n 阶方阵，命题P 为：A 的特征值均不为0.请尽量多的列举与P 等价的命题.（如A 可逆.至少列举3个） 解：等价命题：1P ：A 的列（行）向量组线性无关 2P ：0A ≠3P ：齐次线性方程组0Ax =只有0解 4P ：A 的秩为n53ξ- 相似矩阵54ξ- 实对称矩阵的相似矩阵一．填空题：1.若ξ是A 的特征向量，则 1P ξ- 是1P AP -的特征向量.2.若A 与B 相似，则A.3.20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则x = 0 ，y = 1 .4.若λ是A 的k 重特征根，则必有k 个相应于λ的线性无关的特征向量， 不对 （对，不对），若A 是实对称的呢？ 对 （对，不对）.二．多项选择题（选出全部正确的选项，可能不只一个）1.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个（ C ） （A ）互不相同的特征值； （B ）互不相同的特征向量； （C ）线性无关的特征向量； （D ）两两正交的特征向量；2.方阵A 与B 相似，则必有（ BD ）（A ）E A E B λλ-=-； （B ）A 与B 有相同的特征值； （C ）A 与B 有相同的特征向量； （D ）A 与B 有相同的秩； 3.A 为n 阶实对称矩阵，则（ ACD ）（A ）属于不同特征值的特征向量必定正交； （B ）0A >；（C ）A 必定有n 个两两正交的特征向量； （D ）A 的特征值均为实数；三．100021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试求一个可逆矩阵P 使得1P AP -为对角阵，并求m A .解：先求A 的特征值和特征向量.2100021(1)(3)012E A λλλλλλ--=-=--- 故A 的所有特征值为1233,1λλλ===.当13λ=时，解方程()30A E x -=.2001003011011011000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:令1011P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 即为对应于13λ=的特征向量. 当231λλ==时，解方程()0A E x -=.000000011011011000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:令23100,101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,P P 即为对应于231λλ==的特征向量.显然，123,,P P P 线性无关.令()123010,,101101P P P P ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则11110031313102211313022mm m m mm P AP A P P A P P ---⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪+-+ ⎪⎪Λ==⇒=Λ⇒=Λ= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭-++ ⎪⎪⎝⎭四．三阶实对称矩阵A 的特征值为0,2,2，又相应于特征值0的特征向量为1111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求出相应于2的全部特征向量.解：因为A 为三阶实对称矩阵，故A 有三个线性无关的特征向量，且对应于不同特征值的 特征向量两两正交.已知对应于10λ=的特征向量为1P ，设对应于232λλ==的特征向量为23,P P ，则12130,0T T P P P P ==.即23,P P 为齐次线性方程组10T P x =的两个线性无关的解.由10T P x =得1230x x x ++=.令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11,1x =--.取23111,001P P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,P P 即为对应于232λλ==的特征向量.令2233k P k P ξ=+（23,k k 不全为零），则ξ为对应于232λλ==的全部特征向量. 五．设3阶方阵A 的特征值为1231,0,1λλλ===-，对应的特征向量分别依次为1231222,2,1212P P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求A .解：因为123λλλ≠≠，故A 可对角化，且123,,λλλ所对应的特征向量123,,P P P 线性无关.显然()()112312323,,,,A P P P P P P λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令()123,,P PP P =， 故1112311021001231220A P P P P λλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.55ξ- 二次型及其标准形56ξ- 用配方法化二次型为标准形57ξ- 正定二次型一．填空题：1. 22(,)22f x y x xy y x =+++是不是二次型？答： 不是 .2. 123121323(,,)422f x x x x x x x x x =-++的秩是 3 ；秩表示标准形中 平方项 的个数．3．21101000A k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A 为正定矩阵,则k 满足 大于1 .二．A 为实对称矩阵，选出全部的A 为正定矩阵的充分必要条件（ 12346 ） 1.对任意的列向量0x ≠，0x Ax '> 2.存在可逆方阵C ，使得A C C '= 3.A 的顺序主子式全部大于零 4.A 的主子式全部大于零 5.A 的行列式大于零 6.A 的特征值全部大于零三．212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；2.求正交变换x Py =，将二次型化为标准形.解：1. 2112312331232123001(,,)(,,)300(,,)343043x x f x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212233343x x x x x =+++ 故二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.2. 问题可转化为求正交矩阵P ，将A 化为对角形.21032(1)(5)023A E λλλλλλ--=-=--- 故A 的特征值为1231,5λλλ===.当121λλ==时，解方程()0A E x -=.000011022000022000r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:.令1310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得20,1x =-.取12100,101ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ξξ即为对应于121λλ==的特征向量.显然，12,ξξ正交.将12,ξξ单位化得121212010,0P P ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭当35λ=时，解方程()50A E x -=.4001005022011022000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:.令31x =，得1201x x =⎧⎨=⎩.取3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3ξ即为对应于35λ=的特征向量.将3ξ单位化得3330P ξξ⎛⎫⎪ ⎪==. 令()123P P P P =，则1115P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故123(,,)f x x x 的标准形为2221235y y y ++.四．已知A 和B 都为n 阶正定矩阵，求证A B +的特征值全部大于零. 证明：因为,A B 都为n 阶正定矩阵，则对任意n 维列向量0x ≠， 有()0,00T T T x Ax x Bx x A B x >>⇒+>.即A B +是正定矩阵. 故A B +的特征值全部大于零. 五．已知A 为n 阶正定矩阵，求证1A E +>.证明：因为A 为n 阶正定矩阵，则A 的n 个特征值12,,,n λλλ⋅⋅⋅全大于零且存在正交矩阵P ，使得112211n n P AP A P P λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=⇒= ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由1122111n n A E P P PP P E P λλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121111n P P λλλ-+⎛⎫⎪+⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭，得()()()121121111111n n A E PP λλλλλλ-+++==++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+六.求22:1L x xy y ++=围成的面积.解：设二次型()22112(,),112x f x y x xy y x y y ⎛⎫ ⎪⎛⎫=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 令112112A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 是对称矩阵且正定.设12,λλ为A 的特征值，可知存在正交矩阵P ，使得11200T P AP P AP λλ-⎛⎫== ⎪⎝⎭.由0E A λ-=，得1213,22λλ==. 因为正交变换不改变向量的长度，故可用正交变换12z x P z y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得1221122T T T T X AX Z P APZ Z P APZ z z λλ-===+，其中12,z x X Z z y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上可知，经过正交变换后，221213(,)22f x y z z =+.故L 的面积即为椭圆： 221213122z z +=的面积.面积S =.第五章 复习题三、计算题1、设3阶对称阵A 的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为()11,1,1Tp =，求A解：因为对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是两两正交的，所以求对应于3的特征向量即为求与()1,1,1T正交的特征向量。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。

（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。

(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。

(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。

(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。

若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。

若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。