线性代数第3章

第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。

2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。

3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。

3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。

4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。

（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。

第3章　矩阵的初等变换与线性方程组本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质；然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有惟一解或有无限多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法.§1矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用.为引进矩阵的初等变换，先来分析用消元法解线性方程组的例子.引例　求解线性方程组解这里，　（1）→（B1）是为消x1作准备. （B1）→（B2）是保留①中的x1，消去②、③、④中的x1.（B2）→（B3）是保留②中的x2并把它的系数变为1，然后消去③、④中的x2，在此同时恰好把x3也消去了.　（B3）→（B4）是消去x4，在此同时恰好把常数也消去了，得到恒等式0=0（若常数项不能消去，就将得到矛盾方程0= 1，则说明方程组无解）.至此消元完毕.（B4）是4个未知数3个有效方程的方程组，应有一个自由未知数，由于方程组（B4）呈阶梯形，可把每个台阶的第一个未知数（即x1，x2，x4）选为非自由未知数，剩下的x3选为自由未知数.这样，就只需用“回代”的方法便能求出解：由③得x4=-3；将x4=-3代入②，得x2 = x3 +3；以x4=-3， x2 =x3+3代入①，得x1=x3+4.于是解得其中x3可任意取值.或令x3=c，方程组的解可记作即其中c为任意常数.在上述消元过程中，始终把方程组看作一个整体，即不是着眼于某一个方程的变形，而是着眼于整个方程组变成另一个方程组.其中用到三种变换，即：　（i）交换方程次序（ⓘ与ⓙ相互替换）；　（i i）以不等于0的数乘某个方程（以ⓘ×k替换ⓘ）；　（i i i）一个方程加上另一个方程的k倍（以ⓘ+kⓙ替换ⓘ）.由于这三种变换都是可逆的，即因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，这三种变换都是方程组的同解变换，所以最后求得的解（2）是方程组（1）的全部解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算.因此，如果记方程组（1）的增广矩阵为那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B的变换.把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换.定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i）对换两行（对换i，j两行，记作r i↔r j）；（i i）以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记作r i×k）；（i i i）把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i+k r j）.把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）.矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换.显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换；变换r i↔r j的逆变换就是其本身；变换r i×k的逆变换为变换r i+kr j的逆变换为r i+（-k）r j（或记作r i-k r j）.如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A～B.矩阵之间的等价关系具有下列性质：（i）反身性A～A；（i i）对称性　若A～B，则B～A；（i i i）传递性　若A～B，B～C，则A～C.下面用矩阵的初等行变换来解方程组（1），其过程可与方程组（1）的消元过程一一对照：由方程组（B4）得到解（2）的回代过程，也可用矩阵的初等行变换来完成，即B5对应方程组取x3为自由未知数，并令x3=c，即得其中c为任意常数.矩阵B4和B5的特点是：都可画出一条从第一行某元左方的竖线开始到最后一列某元下方的横线结束的阶梯线，它的左下方的元全为0；每段竖线的高度为一行，竖线的右方的第一个元为非零元，称为该非零行的首非零元.具有这样特点的矩阵称为行阶梯形矩阵.为明确起见给出如下定义：定义2 （1）非零矩阵若满足（i）非零行在零行的上面；　（i i）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵；（2）进一步，若A是行阶梯形矩阵，并且还满足：　（i）非零行的首非零元为1；（i i）首非零元所在的列的其他元均为0，则称A为行最简形矩阵.于是B4和B5都是行阶梯形矩阵，且B5还是行最简形矩阵.用归纳法不难证明（这里不证）：对于任何非零矩阵A m×n，总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.利用初等行变换，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种很重要的运算.由引例可知，要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵.由行最简形矩阵B5，即可写出方程组的解（2）；反之，由方程组的解（2）也可写出矩阵B5.由此可猜想到一个矩阵的行最简形矩阵是惟一确定的（行阶梯形矩阵中非零行的行数也是惟一确定的）.对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形.例如矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元全为0.对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与A等价的矩阵组成一个集合，标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，为探讨它的应用，需要研究它的性质，下面介绍它的一个最基本的性质.定理1设A与B为m×n矩阵，那么（i）的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA =B；（i i） A～B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使A Q=B；（i i i）A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PA Q=B.为证明定理1，我们引进初等矩阵的知识.定义3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应有三种初等矩阵.（i）把单位矩阵中第i，j两行对换（或第i，j两列对换），得初等矩阵用m阶初等矩阵E m（i，j）左乘矩阵A=（a i j）m×n，得其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i行与第j行对换（r i↔r j）.类似地，以民阶初等矩阵E n（i，j）右乘矩阵A，其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换：把A的第i列与第j列对换（　c i↔c j）.（i i）以数k≠0乘单位矩阵的第i行（或第i列），得初等矩阵可以验知：以E m（i（k））左乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i行（r i×k）；以E n（i（k））右乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i列（c i×k）.（i i i）以k乘单位矩阵的第j行加到第i行上或以k乘单位矩阵的第i列加到第j列上，得初等矩阵可以验知：以E m（i j（k））左乘矩阵A，其结果相当于把A的第j行乘k加到第i行上（r i+kr j）；以E n（i j（k））右乘矩阵A，其结果相当于把A的第i列乘k加到第j 列上（c j+kc i）.归纳上面的讨论，可得性质1设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵.显然初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵：性质2方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…，P l，使A =P1P2…P l.证　先证充分性.设A=P1P2…P l，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆.故A可逆.再证必要性.设n阶方阵A可逆，它经有限次初等行变换成为行最简形矩阵B.由性质1，知有初等矩阵Q1，…，Q l使Q l…Q1A=B.因A，Q1，…，Q l均可逆，故B也可逆，从而B的非零行数为n，即B有n个首非零元1，但B总共只有n个列，故B=E.于是这里为初等矩阵，即A是若干个初等矩阵的乘积. 证毕下面应用初等矩阵的知识来证明定理1.定理1的证明：（i）依据A～B的定义和初等矩阵的性质，有A～B ⇔A经有限次初等行变换变成B⇔存在有限个m阶初等矩阵P1，P2，…， P l，使P l… P2P1A=B⇔存在m阶可逆矩阵P，使PA=B.类似可证明（i i）和（i i i）.证毕定理1把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换去研究矩阵的乘法.下面先给出定理1的一个推论，然后介绍一种利用初等变换求逆阵的方法.推论　方阵A可逆的充分必要条件是证A可逆⇔存在可逆矩阵P，使PA=E定理1表明，如果，即A经一系列初等行变换变为B，则有可逆矩阵P，使PA=B.那么，如何去求出这个可逆矩阵P？由于因此，如果对矩阵（A，E）作初等行变换，那么，当把A变为B时，E就变为P.于是就得到所求的可逆矩阵P.例1设的行最简形矩阵为F，求F，并求一个可逆矩阵P，使PA=F.解　把A用初等行变换化成行最简形矩阵，即为F.但需求出P，故按上段所述，对（A，E）作初等行变换把A化成行最简形矩阵，便同时得到F和P.运算如下：故为A的行最简形矩阵，而使PA=F的可逆矩阵注　上述解中所得（F，P），可继续作初等行变换r3×k，r1+kr3，r2+kr3，则F不变而P变.由此可知本例中使PA=F的可逆矩阵P不是惟一的.例2设证明A可逆，并求A-1.解　如同例1，初等行变换把（A，E）化成（F，P），其中F为A的行最简形矩阵.如果F=E，由定理1之推论知A可逆，并由PA=E，知P=A-1.运算如下：例3求解矩阵方程A X=B，其中解　设可逆矩阵P使PA =F为行最简形矩阵，则P（A，B）=（F，P B），因此对矩阵（A，B）作初等行变换把A变为F，同时把B变为PB.若F=E，则A 可逆，且P=A-1，这时所给方程有惟一解X=PB=A-1B.由可见因此A可逆，且即为所给方程的惟一解.例2和例3是一种用初等行变换求A-1或A-1B的方法，当A为3阶或更高阶的矩阵时，求A-1或A-1B通常都用此方法.这是当A为可逆矩阵时，求解方程A X=B的方法（求A-1也就是求方程A X=E的解）.这方法就是把方程A X=B 的增广矩阵（A，B）化为行最简形矩阵，从而求得方程的解.特别地，求解线性方程组Ax=b （A为可逆矩阵）时把增广矩阵（A，b）化为行最简形矩阵，其最后一列就是解向量，从而得到了一个求解线性方程组的新途径.例4求解线性方程组解　记此方程组为Ax=b，则增广矩阵因故　A可逆，于是方程组有解，且解为此方程组我们已在第2章例16中分别用克拉默法则和逆矩阵求解过.比较这三种方法，显然这里介绍的方法最为方便和快捷.§2矩阵的秩为了更好地理解矩阵的秩的概念，重新讨论上节引例中增广矩阵B及其行阶梯形矩阵B4和B5：我们发现B4和B5都恰好有3个非零行.自然要问：每一个与B行等价的行阶梯形矩阵是否都恰好有3个非零行？回答是肯定的.为阐明这一问题先引入矩阵子式的概念.定义4在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.m×n矩阵A的k阶子式共有个.现在来观察行阶梯形矩阵B4的子式.取B4的第1、第2、第3行和第1、第2、第4列，得到三阶非零子式而它的任一四阶子式都将因含有零行而成为0.换言之，B4中非零子式的最高阶数是3.同样B5中非零子式的最高阶数也是3.非零子式在矩阵的初等行变换中的意义可以表述成如下的引理.引理　设，则A与B中非零子式的最高阶数相等.证　先证B是A经过一次初等行变换而得的情形.设D是A中的r阶非零子式.当或对，在B中总能找到与D相对应的r阶子式D1，由于D1=D或D1=-D或D1=kD，因此D1≠0.当时，因为对于作变换r i↔　r j时结论成立，所以只需考虑这一特殊情形.分两种情形讨论：　（①　D不包含A的第1行，这时D也是B的r阶非零子式；②　D包含A 的第1行，这时把B中与D对应的r阶子式D1记作若p=2，则D1=D≠0；若p≠2，则D2也是B的r阶子式，由D1-kD2=D≠0，知D1与D2不同时为0.总之，B中存在r阶非零子式D1或D2.记A和B中非零子式的最高阶数分别为s和t，那么上述表明s≤　t.因A经一次初等行变换成为B，B也就可经一次初等行变换成为A，故又有t≤　s，于是s=t.经一次初等行变换结论成立，即可知经有限次初等行变换结论也成立. 证毕现在可以回答本节一开始提出的问题了.设C是任一与B行等价的行阶梯形矩阵，由引理，C中非零子式的最高阶数应与B4中非零子式的最高阶数相同，即C有且仅有3个非零行.值得注意的是上面的讨论中，关心的并不是非零子式（作为行列式）本身，而是它的阶数，尤其是非零子式的最高阶数.由此给出矩阵的秩的定义：定义5设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）.并规定零矩阵的秩等于0.由行列式的性质可知，在A中当所有r+1阶子式全等于0时，所有高于r+1阶的子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，而A的秩R（A）就是A的非零子式的最高阶数.由于R（A）是A的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵A中有某个s阶子式不为0，则R（A）≥s；若A中所有t阶子式全为0，则R（A）＜t.显然，若A为m×n矩阵，则0≤R（A）≤mi n｛m，n｝.由于行列式与其转置行列式相等，因此A T的子式与A的子式对应相等，从而R（A T）=R（A）.对于n阶矩阵A，由于A的n阶子式只有一个︳A ︳，故当︳A ︳≠0时R（A）= n，当︳A ︳=0时R（A）＜n.可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数.因此，可逆矩阵又称满秩矩.阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵.矩阵的初等变换作为一种运算，其深刻意义在于它不改变矩阵的秩，即有定理2若A～B，则R（A）=R（B）.证　由引理，只须证明A经初等列变换变成B的情形，这时A T经初等行变换变为B T，由引理知R（A T）=R（B T），又R（A）=R（A T），R（B）=R（B T），因此R（A）= R（B）.总之，若A经有限次初等变换变为B（即A～B），则R（A）=R（B）. 证毕由于A～B的充分必要条件是有可逆矩阵P、Q，使PA Q=B，因此可得推论　若可逆矩阵P、Q使PA Q=B，则R（A）=R（B）.对于一般的矩阵，当行数与列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.然而对于行阶梯形矩阵，如前所示，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算.因此依据定理2把矩阵化为行阶梯形矩阵来求秩是方便而有效的方法.例5求矩阵A和B的秩，其中解　在A中，容易看出一个2阶子式A的3阶子式只有一个经计算可知因此R（A）= 2.对B作初等行变换变成行阶梯形矩阵因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以R（B）= 3.例6设求矩阵A及矩阵B=（A，b）的秩.解　对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B的行阶梯形矩阵为，则就是A的行阶梯形矩阵，故从中可同时看出R（A）及R（B）.因此R（A）=2，R（B）= 3.从矩阵B的行阶梯形矩阵可知，本例中的A与b所对应的线性方程组Ax=b是无解的，这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程0=1.例7设已知R（A）=2，求λ与μ的值.解因R（A）=2，故下面讨论矩阵的秩的性质.前面我们已经提出了矩阵秩的一些最基本的性质，归纳起来有①0≤R（A m×n）≤　min｛ m，n｝.②R（A T）=R（A）.③若A～B，则R（A）= R（B）.④若P、Q可逆，则R（PA Q）=R（A）.下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质：⑤ma x｛R（A），R（B）｝≤R（A，B）≤R（A）+R（B），特别地，当B=b为非零列向量量时，有R（A）≤R（A，b）≤R（A）+1.证　因为A的最高阶非零子式总是（A，B）的非零子式，所以R（A）≤R（A，B）.同理有R（B）≤R（A，B）.两式合起来，即为max｛R（A），R（B）｝≤R（A，B）.设R（A）=r，R（B）=t.把A T和B T分别作初等行变换化为行阶梯形矩阵和.因由性质2，R（A T）=r，R（B T）=t，故和中分别含r个和t个非零行，从而中只含r+t个非零行，并且.于是证毕例如令则⑥　R（A+B）≤R（A）+R（B）.证　无妨设A，B为m×n矩阵.对矩阵作初等行变换ri-r n+i（i=1，2，…，n）即得于是证毕后面我们还要介绍两条常用的性质，现先罗列于下：⑦　R（A B）≤mi n｛R（A），R（B）｝（见下节定理7）.⑧若A m×n B n×l=O，则R（A）+R（B）≤　n（见下章例13）例8设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥　n.证　因（A+E）+（E-A）=2E，由性质⑥，有R（A+E）+R（E-A）≥R（2E）= n，而R（E-A）= R（A-E），所以R（A+E）+R（A-E）≥≥n.例9证明：若A m×n B n×l=C，且R（A）= n，则R（B）=R（C）.证　因R（A）=n，知A的行最简形矩阵为，并有m阶可逆矩阵P，使于是由矩阵秩的性质④，知R（C）=R（PC），而故R（C）=R（B）.本例中的矩阵A的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵.当A为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵.因此，本例的结论当A 为方阵这一特殊情形时就是矩阵秩的性质④.本例另一种重要的特殊情形是C=O，这时结论为设A B=O，若A为列满秩矩阵，则B=O.这是因为，按本例的结论，这时有R（B）=0，故B=O.这一结论通常称为矩阵乘法的消去律.§3线性方程组的解设有n个未知数m个方程的线性方程组（3）式可以写成以向量x为未知元的向量方程A x=b，（4）第二章中已经说明，线性方程组（3）与向量方程（4）将混同使用而不加区分，解与解向量的名称亦不加区别.线性方程组（3）如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它不相容.利用系数矩阵A和增广矩阵B=（A，b）的秩，可以方便地讨论线性方程组是否有解（即是否相容）以及有解时解是否惟一等问题，其结论是定理3 n元线性方程组Ax=b（i）无解的充分必要条件是R（A）＜R（A，b）；（i i）有惟一解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）=n；（i i i）有无限多解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）＜n.证　只需证明条件的充分性，因为（i），（i i），（i i i）中条件的必要性依次是（i i）（i i i），（i）（i i i），（i）（i i）中条件的充分性的逆否命题.设R（A）=r.为叙述方便，无妨设B=（A，b）的行最简形矩阵为（i）若R（A）＜R（B），则中的d r+1=1，于是的第r+1行对应矛盾方程0= 1，故方程（4）无解.（i i）若R（A）=R（B），则进一步把B化成行最简形矩阵，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形矩阵.（i i i）设R（A）=R（B）=r，把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数，其余n-r个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于c1，c2，…，c n-r，由B（或A）是行最简形矩阵，即可写出含n-r个参数的通解.例10求解齐次线性方程组解　对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵即得与原方程组同解的方程组由此即得令x3 =c1，x4=c2，把它写成通常的参数形式其中c1，c2为任意实数，或写成向量形式例11求解非齐次线性方程组解　对增广矩阵B施行初等行变换可见R（A）=2，R（B）=3，故方程组无解.例12求解非齐次线性方程组解　对增广矩阵B施行初等行变换即得亦即例13 设有线性方程组问λ取何值时，此方程组（1）有惟一解；　（2）无解；　（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.解法1对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有（1）当λ≠0且λ≠-3时，R（A）= R（B）=3，方程组有惟一解；（2）当λ=0时，R（A）=1，R（B）= 2，方程组无解；（3）当λ=-3时，R（A）=R（B）= 2，方程组有无限多个解，这时由此便得通解即解法2因系数矩阵A为3阶方阵，故有R（A）≤　R（A，b）3×4≤　3.于是由定理3，知方程有惟一解的充分必要条件是A的秩R（A）=3，即︳A ︳≠0.而因此，当λ≠0且λ≠-3时，方程组有惟一解.当λ=0时知R（A）=1，R（B）=2，故方程组无解.当λ=-3时知R（A）=R（B）=2，故方程组有无限多个解，且通解为比较解法1与解法2，显见解法2较简单.但解法2的方法只适用于系数矩阵为方阵的情形.对含参数的矩阵作初等变换时，例如在本例中对矩阵B作初等变换时，由于λ+1，λ+3等因式可以等于0，故不宜作诸如这样的变换.如果作了这种变换，则需对λ+1=0（或λ+3=0）的情形另作讨论.因此，对含参数的矩阵作初等变换较不方便.由定理3容易得出线性方程组理论中两个最基本的定理，这就是定理4 n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R（A）＜n.定理5线性方程组A x=b有解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）.显然，定理4是定理3（i i i）的特殊情形，而定理5就是定理3（i）.为了下一章论述的需要，下面把定理5推广到矩阵方程.定理6矩阵方程A X=B有解的充分必要条件是R（A）= R（A，B）.证　设A为m×n矩阵，B为m×l矩阵，则X为n×l矩阵.把X和B按列分块，记为X=（x1，x2，…，x l）， B=（b1，b2，…，b l），则矩阵方程A X=B等价于l个向量方程A x i=b i（i=1，2，…，l）.又，设R（A）=r，且A的行最简形矩阵为，则有r个非零行，且的后m-r行全为零行.再设从而由上述讨论并依据定理5，可得A X=B有解⇔Ax i=b i有解（i=1，2，…，l）⇔R（A，b i）=R（A） （i=1，2，…，l）⇔b i的后m-r个元全为零（i=1，2，…，l）⇔（b1，b2，…，b l）的后m-r行全为零行⇔R（A，B）=r=R（A）. 证毕利用定理6，容易得出矩阵的秩的性质7，即定理7设A B=C，则R（C）≤min｛ R（A），R（B）｝.证　因A B=C，知矩阵方程A X=C有解X=B，于是据定理6有R（A）= R（A，C）.而R（C）≤R（A，C），因此R（C）≤R（A）.又B T A T=C T，由上段证明知有R（C T）≤R（B T），即R（C）≤　R（B）.综合便得R（C）≤min｛R（A），R（B）｝.证毕定理6和定理7的应用，我们在下一章中讨论.习　题　三1.用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：2.设求一个可逆矩阵P，使PA为行最简形矩阵.3.设（1）求可逆矩阵P，使PA为行最简形矩阵；（2）求一个可逆矩阵Q，使QA T为行最简形矩阵.4.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：5.试利用矩阵的初等行变换，求解第2章习题二第15题之（2）.6. （1）设求X使A X=B；（2）设　求X使XA=B；（3）设A A X=2X+A，求X.7.在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r-1阶子式？有没有等于0的r阶子式？8.从矩阵A中划去一行得到矩阵B，问A，B的秩的关系怎样？9.求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是（1，0，1，0，0），（1，-1，0，0，0）.10.求下列矩阵的秩：11.设A、B都是m×n矩阵，证明A～B的充分必要条件是R（A）=R（B）.12.设，问k为何值，可使（1）R（A）= 1；（2）R（A）=2；（3）R（A）=3.13.求解下列齐次线性方程组：14.求解下列非齐次线性方程组：15.写出一个以为通解的齐次线性方程组.16.设有线性方程组问λ为何值时（1）有惟一解；（2）无解；　（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.17.λ取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解；　（2）无解；　（3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.18.非齐次线性方程组当λ取何值时有解？并求出它的通解.19.设问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其通解.20.证明R（A）=1的充分必要条件是存在非零列向量　a及非零行向量　b T，使A=ab T.21.设A为列满秩矩阵，A B=C，证明线性方程Bx=0与Cx=0同解.22.设A为m×n矩阵，证明方程A X=E m有解的充分必要条件是R（A）=m.。

第三章 向量组与矩阵的秩§１ n 维向量在平面几何中，坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述，点的坐标是一个有序数对(,)x y .一个n 元方程1122n n a x a x a x b +++=可以用一个1n -元有序数组12(,,,,)n a a a b来表示.1n ⨯矩阵和1n ⨯矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从1月到12月每月的产值也可用一个有序数组1212(,,,)a a a 来表示.有序数组的应用非常广泛，有必要对它们进行深入的讨论.定义 1 n 个数组成的有序数组12(,,,)n a a a （３.１）或12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（３.２）称为一个n 维向量，简称向量.一般，我们用小写的粗黑体字母，如,α,β,γ等来表示向量，(3.1)式称为一个行向量，(3.2)式称为一个列向量.数12,,,n a a a 称为这个向量的分量.i a 称为这个向量的第i 个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量.实际上，n 维行向量可以看成1n ⨯矩阵，n 维列向量也常看成1n ⨯矩阵.下面我们只讨论实向量.设k 和l 为两个任意的常数.α，β和γ为三个任意的n 维向量，其中12(,,,)n a a a =α， 12(,,,)n b b b =β.定义 2 如果α和β对应的分量都相等，即,1,2,,i i a b i n ==就称这两个向量相等，记为α＝β.定义 3 向量(a 1+b 1，a 2+b 2，…，a n +b n )称为α与β的和，记为α＋β.称向量(ka 1，ka 2，…，ka n )为α与k 的数量乘积，简称数乘，记为k α.定义 4 分量全为零的向量(0， 0， …， 0)称为零向量，记为0.α与-1的数乘(-1)α＝(-a 1，-a 2，…，-a n )称为α的负向量，记为-α.向量的减法定义为α－β＝α＋（－β）.向量的加法与数乘具有下列性质： （１） α＋β＝β＋α；（交换律) （２） （α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（结合律） （３） α＋0＝α；（４） α＋（－α）＝0； （５） k (α+β)=k α+k β； （６） （k +l )α=k α+l α； （７） k (l α)=(kl )α； （８） １α＝α； （９） ０α＝0； （１０） k 0＝0.在数学中，满足(１)-(８)的运算称为线性运算.我们还可以证明：（１１） 如果k ≠0且α≠0， 那么k α≠0.显然n 维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义，与把它们看作1×n 矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地，我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算，这些运算与把它们看成矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的，并且同样具有性质(１)-(１１).§2线性相关与线性无关通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n 维行量组α１，α２，…，αs 可以排列 成一个s ×n 分块矩阵12s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a a A a ，其中αi 为由A 的第i 行形成的子块，α１，α２，…，αs 称为Ａ的行向量组.n 维列向量组β１，β２，…，βs 可以排成一个n ×s 矩阵Ｂ＝（β１，β２，…，βs ），其中βj 为Ｂ的第j 列形成的子块，β１，β２，…，βs 称为B 的列向量组.很多情况下，对矩阵的讨论都归结于对它们的行向量组或列向量组的讨论.定义 5 向量组α１，α２，…，αs 称为线性相关的，如果有不全为零的数k １，k ２，…，k s ， 使1si ii k =∑a=k １α１+k ２α２+…+k s αs ＝0. （3.3）反之，如果只有在k １= k ２ = … =k s =0时(3.3)才成立，就称α１，α２，…，αs 线性无关. 换言之，当α１，α２，…，αs 是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1×s 矩阵 (k １，k ２，…，k s )使1212(,,,)s s k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0a a a .当α１，α２，…，αs 为列向量组时，它们线性相关就是指有非零的s ×1矩阵(k １，k ２，…，k s )′使1212(,,,)s s k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0a a a .显然单个零向量构成的向量组是成性的相关的. 例1 判断向量组12(1,0,,0),(0,1,,0),(0,0,,1)n =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩εεε 的线性相关性.解 对任意的常数k １，k ２，…，k n 都有k １ε1+k ２ε2+…+k n εn ＝(k １，k ２，…，k n ).所以k １ε1+k ２ε2+…+k n εn =0当且仅当k 1=k 2=…=k n =0.因此ε1，ε2，…，εn 线性无关.ε1，ε2，…，εn 称为基本单位向量. 例2 判断向量组α１＝（１，１，１）， α２＝（０，２，５）， α3＝（１，３，６）的线性相关性.解 对任意的常数k １，k ２， k 3都有k １α１+k ２α２+ k 3α3=(k １+k 3，k １+2k ２+3k 3，k １+5k ２+6k 3).所以k １α１+k ２α２+ k 3α3=0当且仅当131231230,230,560.k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于k 1=1，k 2=1，k 3=-1满足上述的方程组，因此１α１+1α２+(-1)α3=α１+α２-α3=0.所以α１，α２，α3线性相关.例3 设向量组α１，α２，α3线性无关，β１＝α１+α２，β２＝α２+α3，β3＝α3+α１， 试证向量组β１，β２，β3也线性无关.证 对任意的常数都有k １β１+k ２β２+k 3β3=(k １+k 3)α１＋（k １+k ２)α２+(k ２+k 3)α3 .设有k １，k ２，k 3使k １β１+k ２β２+k 3β3=0.由α１，α２，α3线性无关， 故有1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 由于满足此方程组的k １，k ２，k 3的取值只有k １=k ２=k 3=0,所以β１，β２，β3线性无关.定义 6 向量α称为向量组β１，β２，…，βt 的一个线性组合，或者说α可由向量组β１，β２，…，βt 线性表出(示)，如果有常数k １，k ２,…，k t 使α＝k １β１＋k ２β２+…＋k t βt . 此时，也记1ti ii k ==∑a β.例4 设α１=(1,1,1,1),α２=(1,1,-1,-1),α3=(1,-1,1,-1),α4=(1,-1,-1,1), β=(1,2,1,1).试问β能否由α１,α２,α3,α4线性表出？若能，写出具体表达式.解 令β=k １α１+k ２α２+k 3α3+k 4α4于是得线性方程组12341234123412341211k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪+--=⎪⎨-+-=⎪⎪--+=⎩ 因为1111111116011111111D ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==-≠⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦, 由克莱姆法则求出1234511,,444k k k k ====-所以12345111,4444=+--βαααα即β能由α１，α２，α3,α4线性表出.例5 设α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问γ能否由α,β线性表出? 解 设 γ=k １α+k ２β 于是得方程组1122203724k k k k =⎧⎪--=-⎨⎪=-⎩由第一个方程得k １=0，代入第二个方程得k ２=7，但k ２不满足第三个方程，故方程组无解.所以γ不能由α,β线性表出.定理 1 向量组α１，α２，…，αs (s ≥2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出.证 设α１，α２，…，αs 中有一个向量能由其他向量线性表出，不妨设α１=k ２α２+k 3α3+…+k s αs ，那么-α１+k ２α２+…+k s αs =0，所以α１，α２，…，αs 线性相关.反过来，如果α１，α２，…，αs 线性相关，就有不全为零的数k １，k ２，…，k s ， 使k １α１＋k ２α２＋…＋k s αs =0.不妨设k １≠０， 那么32123111.ss k k k k k k =----αααα 即α１能由α２，α3，…，αs 线性表出.例如，向量组α１＝（２，－１，３，１），α２＝（４，－２，５，４），α3＝（２，－１，４，－１） 是线性相关的，因为α3＝３α１-α２.显然，向量组α１，α２线性相关就表示α１＝k α２或者α２＝k α１(这两个式子不一定能同时成立）.此时，两向量的分量成正比例.在三维的情形，这就表示向量α１与α２共线.三个向量α１，α２，α3线性相关的几何意义就是它们共面.定理 2 设向量组β１，β２，…，βt 线性无关，而向量组β１，β２，…，βt ，α线性相关，则α能由向量组β１，β２，…，βt 线性表出，且表示式是惟一的.证 由于β１，β２，…，βt ，α线性相关，就有不全为零的数k １，k ２，…，k t ，k 使k １β１+k ２β２+…+k t βt +k α=0.由β１，β２，…，βt 线性无关可以知道k ≠0. 因此1212tt k k kk kk=----αβββ， 即α可由β１，β２，…，βt 线性表出.设α＝l １β１+l ２β２+…＋l t βt ＝h １β１+h ２β２＋…＋h t βt为两个表示式.由α－α＝（l １β１+β２+…＋l t βt )-(h １β１+h ２β２＋…＋h t βt )=（l １-h １）β１＋（l ２-h ２）β２＋…＋（l t -h t ）βt ＝0和β１，β２，…，βt 线性无关可以得到l １=h １， l ２=h ２， …， l t =h t .因此表示式是惟一的.定义 7 如果向量组α１，α２，…，αs 中每个向量都可由β１，β２，…，βt 线性表出，就称向量组α１，α２，…，αs 可由β１，β２，…，βt 线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，就称它们等价.显然，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组α１，α２，…，αt 可以经向量组β１，β２，…，βs 线性表出，向量组β１，β２，…，βs 可以经向量组12,,,p γγγ线性表出，那么向量组α１，α２，…，αt 可以经向量组12,,,p γγγ线性表出.事实上，如果1,1,2,,,si ij j j k i t ===∑αβ1,1,2,,,pj jmm m lj s ===∑βγ那么111111pppsss i ij jm m ij jm m ij jm m j m j m m j k l k l k l ======⎡⎤===⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑αγγγ.这就是说，向量组α１，α２，…，αt 中每一个向量都可以经向量组12,,,p γγγ线性表出.因而，向量组α１，α２，…，αs 可以经向量组12,,,p γγγ线性表出.由上述结论，得到向量组的等价具有下述性质：(1) 反身性：向量组α１，α２，…，αs 与它自己等价.(2) 对称性：如果向量组α１，α２，…，αs 与β１，β２，…，βt 等价，那么β１，β２，…，βt 也与α１，α２，…，αs 等价.(3) 传递性：如果向量组α１，α２，…，αs 与β１，β２，…，βt 等价，而向量组β１，β２，…，βt 又与12,,,p γγγ等价，那么α１，α２，…，αs 与12,,,p γγγ等价.§ 3线性相关性的判别定理利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂，我们有时可以直接利用向量组的特点来判断它的线性相关性，通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组.定理 3 有一个部分组线性相关的向量组线性相关. 证 设向量组α１，α２，…，αs 有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为α１，α２，…，αr .则有不全为零的数k １，k ２，…，k r 使1110,s r si ii iji i j r k k ===+=+=∑∑∑0ααα因此α１，α２，…，αs 也线性相关.推论 含有零向量的向量组必线性相关. 定理 4 设p 1，p 2，…，p n 为1， 2， …，n 的一个排列，α１，α２，…，αs 和β１，β２，…，βs 为两向量组，其中1212n ip i ip i i i in ip ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ααααα=,βαα， 即β１，β２，…，βs 是对α１，α２，…，αs 各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性.证 对任意的常数k １，k ２，…，k s 注意到列向量111221*********1122s s ss s i i i n n s sn k k k k k k k k k k =+++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦∑αααααααααα和1112221122112211122n n n p p s sp sp p s sp i i i p p s sp k k k k k k k k k k =+++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦∑ααααααβααα 只是各分量的排列顺序不同，因此k １β１+k ２β２+…+k s βs =0当且仅当k １α１+k ２α２+…+k s αs =0.所以α１，α２，…，αs 和β１，β２，…，βs 有相同的线性相关性.定理4 是对列向量叙述的.对行向量也有相同的结论.类似这样的情形，今后不再说明.定理 5 在r 维向量组α１，α２，…，αs 的各向量添上n -r 个分量变成n 维向量组β１，β２，…，βt .（1）如果β１，β２，…，βs t 线性相关，那么α１，α２，…，αs 也线性相关. (2) 如果α１，α２，…，αs 线性无关，那么β１，β２，…，βs 也线性无关. 证 我们对列向量来证明定理，设（α１，α２，…，αs ）＝Ａ１，(β１，β２，…，βs ）＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A ，如果β１，β２，…，βs 线性相关，就有一个非零的s ×1矩阵Ｘ使（β１，β２，…，βs ）Ｘ＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A Ｘ＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦X X A A ＝０. 从而（α１，α２，…，αs ）X ＝Ａ１Ｘ＝０.因此α１，α２，…，αs 也线性相关，即(1)成立.利用(1)，用反证法容易证明(2)也成立.引理 1 如果n 阶方阵A 的行列式等于零，那么A 的行(列)向量组线性相关.证 因｜A ｜＝０，由上章内容，用初等行变换把A 化成上三角矩阵D ，主对角线上至少有一个元素为零，即11121222000n n nn d d d dd d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦D中至少有一个d ij ＝０.如果d nn =0，那么D 最后一行元素全为零，可见A 中有一行可由其余行线性表出，因此，A 的行向量组线性相关.如果d nn ≠0,设D 的主对角线上元素d 11,d 22,…,d nn 中从后起第一个等于零的数为d jj .易见，对D 再施行几次初等行变换后，可得到第j 行全为零的矩阵.同样得出A 中有一行可由其余行线性表出.因此，A 的行向量组线性相关.当｜Ａ｜＝０时，｜Ａ′｜＝０，A 的列向量组可看成A ′的行向量组，得A 的列向量组也线性相关.定理 6 n 维向量组α１，α２，…，αn 线性无关的充要条件是矩阵11112122122212n n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ααα 的行列式不为零(A 可逆).此时，矩阵A 的n 个列向量也线性无关.证 如果｜Ａ｜≠０，（k 1，k 2，…，k n ）A ＝０，两边同时右乘Ａ－１得（k 1，k 2，…，k n ）=0，所以α１，α２，…，αn 线性无关.反过来，如果α１，α２，…，αn 线性无关.反设｜Ａ｜＝０，由引理1，A 的行向量组α１，α２，…，αn 线性相关，矛盾.由上面证明可以看出，当｜Ａ｜≠0时，｜Ａ′｜≠０，可见A 的n 个列向量也线性无关.例6 试证明n 维列向量组α１，α２，…，αn 线性无关的充分必要条件是行列式1112121222120n n nn nn '''⎡⎤⎢⎥'''⎢⎥=≠⎢⎥⎢⎥'''⎣⎦D αααααααααααααααααα证 令矩阵A ={α１，α２，…，αn }则向量组α１，α２，…，αn 线性无关⇔行列式|A |≠0.由于[]1111212212221212n n n nnn nn ''''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥''''⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''''⎣⎦⎣⎦A ααααααααααααααA αααααααααα在上式两端取行列式，得|A |2=|A ′||A |=D故|A |≠0⇔D ≠0,所以α１，α２，…，αn 线性无关⇔D ≠0.定理 7 n +1个n 维向量α１，α２，…，αn +1必线性相关.证 对每个αs 添加等于零的第n +1个分量，得到n +1维向量β１，β２，…，βn +1.易见，由β１，β２，…，βn +1构成的方阵的行列式等于零，因而β１，β２，…，βn +1线性相关，由αi 与βi 的关系，易知α１，α２，…，αn +1也线性相关.推论 当m ＞n 时，m 个n 维向量线性相关. 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性：123132221;021.343201-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B C由于｜Ｂ｜＝２≠０，因此Ｂ的行(列)向量组线性无关； 由于｜Ｃ｜＝０，所以C 的行(列)向量组线性相关.定理 8 如果向量组α１，α２，…，αs 可由β１，β２，…，βt 线性表出且s ＞t ，那么α１，α２，…，αs 线性相关.证 我们不妨假定讨论的是列向量，如果α１，α２，…，αs 可由β１，β２，…，βt 线 性表出，那么()()121212i i i n n i it p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦αββββββγ.令Ａ＝（γ１，γ２，…，γs )，有(α１，α２，…，αs )＝（β１，β２，…，βt ）Ａ，这里γ１，γ２，…，γs 为由s 个向量组成的t 维向量组.注意到s ＞t ，根据推论，它们必线性相关.因此有非零s ×1矩阵（k 1，k 2，…，k s ）′使112212(,,,)s s s k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0A γγγ.从而()11221212(,,,)s s s s k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0αααβββA .即有α１，α２，…，αs 线性相关.推论 1 如果向量组α１，α２，…，αs ，可由向量组β１，β２，…，βt 线性表出，且α１，α２，…，αs 线性无关，那么s ≤t .推论 2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量.§ 4向量组的秩与矩阵的秩定义 8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分组都线性相关.例7 在向量组α１＝（２，－１，３，１），α２＝（４，－２，５，４），α３＝（２，－１，４，－１）中，α1，α2为它的一个极大线性无关组.首先，由α１与α２的分量不成比例，所以α1，α2线性无关，再添入α3以后，由α3＝3α1-α2可知所得部分组线性相关，不难验证α2，α3也为一个极大线性无关组.我们容易证明定义8与下列定义8′等价.定义 8′ 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出.向量组的极大线性无关组具有以下性质：性质 1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价. 性质 2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价.性质 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.性质3表明向量组的极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它反映了向量组本身的特征.定义 9 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 例如，例7中向量组α1，α2，α3的秩为2. 线性无关向量组本身就是它的极大线性无关组，所以我们有：一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同.我们知道每个向量组都与它的极大线性无关组等价，由等价的传递性可知任意两个等价的向量组的极大线性无关组也等价，根据定理8的推论1就有等价的向量组必有相同的秩.如果向量组α1，α2，…，αs 能由向量组β１，β２，…，βt 线性表出，那么α1，α2，…，αs的极大线性无关组可由β１，β２，…，βt 的极大线性无关组线性表出.因此α1，α2，…，αs 的秩不超过β１，β２，…，βt 的秩.定理 9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组.证 设,i i i 12καα,,α是向量组α1，α2，…，αs 中的一个线性无关的部分组，如果α1，α2，…，αs 中每个向量都可由这个部分组线性表出，那么这个部分组就是一个极大线性无关组，如果还有某向量αik +1不能被这个部分组线性表出，那么由121121i i k i l l l κ+++++ααα＝０就有l k +1=0.再由原部分组线性无关就可得l １＝l ２＝…＝l k =l k +1=0.这样，我们就得到了一个含k +1个向量的线性无关的部分组121,i i i κ+αα,,α.重复这个过程，最后必可得到α1，α2，…，αs 的一个线性无关的部分组使向量组中每个向量都可由这个部分组线性表出，这个部分组就是一个极大线性无关组.推论 秩为r 的向量组中任意含r 个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组. 例8 求向量组α1＝(1，-1，0，3)，α2＝(0,1,-1,2),α3＝(1,0,-1,5),α4＝(0,0,0,2)的一个极大线性无关组及秩.解 α1是α1，α2，α3，α4的一个线性无关的部分组，显然α2不能由α1线性表示，所以α1可以扩充为一个线性无关的部分组α1，α2，容易证明α3＝α1+α2,但α4不能由α1，α2线性表出，所以α1，α2又可扩充为一个线性无关的部分组α1，α2，α4，从而α1，α2，α3，α4的秩为3，α1，α2，α4是它的一个极大线性无关组. 定义 10 矩阵的行秩是指它的行向量组的秩，矩阵的列秩是指它的列向量组的秩.为了证明一个矩阵的行秩等于列秩，我们引入矩阵的子式的概念.定义 11 在一个s ×n 矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行和列的交点上的k ２个元素按原来的次序所组成的k ×k 级矩阵的行列式，称为A 的一个k 级子式.在定义中，当然有k ≤m in （s ,n ）(s ,n 中较小的一个). 例9 在矩阵11361012400005301102⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 中，选第1，第3行和第3，第4列，它们交点上的元素所组成的二级行列式361505⎡⎤=⎢⎥⎣⎦就是一个2级子式，易见，A 共有2级子式的个数为2245C C 60=.引理 2 设r ≤n .n 维向量组α１，α２，…，αr 线性无关的充要条件是：矩阵111212122212n n r r rn r a a a a a a a a a 12⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ααA α 中存在一个不为零的r 级子式.证 充分性 当A 中存在一个不为零的r 级子式时，由定理6，定理5易知，A 的r 个行向量α１，α２，…，αr 线性无关.必要性 对向量的个数r 用数学归纳法证明.当r ＝１时，因α1线性无关，故α1≠０，A 中有一个不为零的1级子式. 假设当r =k 时，结论成立.当r ＝k +1≤n 时，因α1，α2，…，αk +1线性无关，其部分组也线性无关.由归纳假设，矩阵111212122212n n k k k kn a a a a a a a a a 12⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ααB α 中存在不为零的k 级子式，不妨设1112121222120k k k k kk a a a aa a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 令γi =(a i 1,a i 2,…,a ik ),k 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦γγγC 是一个k 阶可逆矩阵,i =1,2,…,k+1.显然，γi 是由αi 的前k 个分量构成，设()11,,,k κc c c -2+1=γC ，易见()1,,,k c c c 2是一组确定的数，且()()111,,,,,,κk k k c c c c c c 2+122⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦γγγγC ，即()11,,,κk k c c c +122-=0γγγγ.（3.4） 令()()111,,,κk k n c c c b b b +1222=-+++=βαααα,即有b j ＝a k +1,j -(c 1a 1j +c 2a 2j +…+c k a kj ), j =1,2,…,n .由于γ１，γ２，…，γk ，γk +1分别由α１，α２，…，αk ,αk +1的前k 个分量构成，根据(3.4)式，β的前k 个分量应为零，即b 1=b 2=…=b k =0.又因为α１，α２，…，αk ,αk +1线性无关，所以β≠0. 因此，必有某b j ≠0(k ＜j ≤n ).于是有k +1级子式11121111121121222221222212121,11,21,1,0000k j kj k j k j j k k kk kj k k kk kj k k k kk j j a a a a a a a a a a a a a a a a b a a a a a a a a a a a a b ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C . 由定理6及引理2，可以看出，如果A 有一个k 级子式不为零，那么这个k 级子式所在的行向量组线性无关，所在的列向量组也线性无关.定理 10 矩阵的行秩等于列秩.证 设矩阵A 的行秩为r 1,A 的列秩为r 2，那么，A 中有r 1个行向量线性无关，由引理2，A 中有一个r 1级子式D 不为零，那么A 中子式D 所在的r 1个列向量也线性无关；因而，r 1≤r 2.这说明，任意矩阵的列秩大于或等于行秩，由此，A ′的列秩(A 的行秩r 1)≥A ′的行秩(A 的列秩r 2)，即有r 1≥r 2.因此r 1＝r 2.下面统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩.矩阵A 的秩一般记为R (Ａ).规定零矩阵的秩为0，由引理2，可得定理 11 矩阵A 的秩为r 的充要条件是它有一个不为零的r 阶子式，而所有r +1阶子式全为零，这时，这个非零的r 级子式所在的行和列就分别为A 的行向量组和列向量组的极大线性无关组.例10 已知矩阵111111111111αa a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的秩为3，求a 的值. 解 R （A ）=3，即A 中非零子式的最高阶数为3，故有1111111111111(3)111111111111αa a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 11110100(3)00100001a a a a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=+⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦=(a +3)(a -1)2=0 由此得a =-3或a =1.当a =1时，显然有R （A ）=1；而当a =-3时，A 的左上角的3阶子式为311131160113-⎡⎤⎢⎥-=-≠⎢⎥⎢⎥-⎣⎦即A 中存在非零的3阶子式，且不存在更高阶的非零子式，故当且仅当a =-3时，R （A ）=3.§5 矩阵的初等变换由上节介绍的方法求阶数较高的矩阵的秩的计算量很大，本节来介绍一种简单有效的求矩阵的秩的方法，即利用矩阵的初等变换求出矩阵的等价标准型，矩阵的秩就等于它的等价标准型的秩.下面我们回顾一下矩阵的初等行变换.定义 12 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换：(1) 对换矩阵两行的位置（对换第i 行和第j 行的位置记为r (i ,j )）.（2）矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数（第i 行乘以k 记为r (i (k ))）.(3) 把矩阵一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去［第i 行的k 倍加到第j 行上去记为r (j +i (k ))］.显然，矩阵的初等行变换都是可逆的，且其逆变换也是同类的初等行变换.r (i ,j )的逆变换仍为r (i ,j );r (i (k ))的逆变换为r (i (1/k ));r (j +i (k ))的逆变换为r (j +i (-k )).定理 12 如果矩阵Ａ经过有限次初等行变换变为B ，则A 的行向量组与B 的行向量组等价，而A 的任意k 个列向量与Ｂ中对应的k 个列向量有相同的线性关系.证 当A 经过一次初等行变换变为B 时，B 的行向量组显然可由A 的行向量组线性表出，对A 的任意k 个列向量α1,α2,…,αk ,设它们所对应的B 的列向量依次为12k'''a ,a ,,a ，如果α1,α2,…,αk 线性相关，就有不全为零的常数12,,,k l l l 使1122k k l l l +++a a a =0.由12k'''a ,a ,,a 各分量与α1,α2,…,αk 各分量的关系容易得出 1122k kl l l '''+++a a a ＝０， 因此12k'''a ,a ,,a 也线性相关.由初等行变换的逆变换也是初等行变换可以知道Ａ的行向量组也可由Ｂ的行向量组线性表出，并且由12k'''a ,a ,,a 线性相关也可以导出α1,α2,…,αk 线性相关，此时命题成立.当Ａ要经若干个初等变换变为Ｂ时，用数学归纳法容易证明命题也成立.例11 求下列向量组α1=(1,-2,2,3), α2=(-2,4,-1,3), α3=(-1,2,0,3), α4=(0,6,2,3),α5=(2,-6,3,4) 的一个极大线性无关组与秩.解 作12102242662102333334--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A , 对Ａ作初等行变换得(21(2))(31(2))(2,3)(41(3))(3,4)121212102000620322103021096320933200062r r r r r ++-+-----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A (32(3))12102032210003100062r +---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−−→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(43(2))12102032210003100000r +--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （３.５） 上面最后一个矩阵(３.５)满足：从每一行的第一个元素到第一个非零元素下面全为零，这些零的排列像一个阶梯，每个阶梯都只有一行，它称为一个行阶梯矩阵.易见，行阶梯矩阵(３.５)中有一个3级子式不为零，而所有4级子式全为零，故矩阵(３.５)的秩为3，它的第1、2、4列线性无关，所以R （Ａ）＝３，且R （α１，α２，α３，α４，α５）＝３，α１，α２，α４为该向量组的一个极大线性无关组.对(３.５)继续进行初等行变换还可化为更简单的形式：1(2())31(3())312102221013331000130000r r ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥−−−−→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦矩阵（3.5） (12(2))2(23())311610039210103910001300000r r ++-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（３.６） （３.６）仍是一个行阶梯形矩阵，但它的每一非零行的第一个非零元素为1，且这些元素所在的列的其他元素都为0，这个矩阵称为矩阵Ａ的行最简形.例12 求向量组α1=(1,4,1,0,2),α2=(2,5,-1,-3,2),α3=(0,2,2,-1,0), α4=(-1,2,5,6,2)的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的向量用该极大无关组线性表出.解 把向量组按列排成矩阵A ，利用初等行变换把A 化为行最简形矩阵B .1201120145220326112503260316031622020204⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A1201100301020102001000100000000000000000-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B 易见B 的第1，2，3列线性无关，由于A 的列向量组与B 的对应的列向量组有相同的线性组合关系，故与其对应的矩阵A 的第1，2，3列线性无关，即α1,α2,α3是该向量组成的一个极大无关组.由矩阵B 易得α4=3α1-2α2.求向量组的极大无关组时，不管所给的是行向量组还是列向量组，都要按列排成矩阵再进行初等行变换.对应于矩阵的初等行变换，我们还可以定义矩阵的初等列变换.对矩阵的初等列变换c (i ,j ),c (i (k ))和c (j +i (k ))也有类似于矩阵的初等行变换的结论.所以，我们同样可以通过求矩阵的列阶梯形矩阵和列最简形来求矩阵的秩以及行向量组的极大线性无关组.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.事实上，我们在求矩阵的秩时，经常对矩阵既进行初等行变换也进行初等列变换，使计算过程得到简化.定义 13 如果矩阵A 经有限次初等变换化成B ，就称矩阵A 与B 等价. 我们容易证明，矩阵的等价关系具有下列性质： (1) 反身性： A 与A 等价.(2) 对称性： 如果A 与B 等价，那么B 与A 等价.(3) 传递性： 如果A 与B 等价，B 与C 等价，那么A 与C 等价. 定理 13 如果矩阵A 与B 等价，那么R (A )＝R （Ｂ）. 对矩阵(3.6)再进行初等列变换可得1(31())316(51())92(32())31(52())(3,4)91(54())31000010000010000100000010001000000000000r r r r c r +-+-+-++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦矩阵（3.6）. （３.７）矩阵(3.7)的左上角为一个单位矩阵E ３，它的阶数就是A 的秩，其他各分块矩阵都是零矩阵， 矩阵(3.7)就称为A 的等价标准型.事实上，我们有如下定理定理 14 每个矩阵都有等价标准型，矩阵A 与B 等价，当且仅当它们有相同的等价标准型.推论 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等.当A 为n 阶可逆方阵时，R （Ａ）＝n ，所以A 的等价标准型为n 阶单位矩阵.由于可逆方阵的秩等于阶数，所以可逆方阵又称为满秩方阵，而奇异方阵就称为降秩方阵.§ 6初等矩阵与求矩阵的逆这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在此基础上给出用初等变换求逆矩阵的方法.定义 14由单位矩阵Ｅ经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.显然，初等矩阵都是方阵.互换E 的第i 行与第j 行(或者互换Ｅ的第i 列和第j 列)的位置，得11011(,)11011i i j j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第行第行E ； 用常数k 乘E 的第i 行（或第i 列）得11(())11i k i k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第行E ； 把Ｅ的第j 行的k 倍加到第i 行(或把第i 列的k 倍加到第j 列)得11(())11i k i j k j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第行第行E . 这三类矩阵就是全部的初等矩阵，显然111()(),(())(())i j i j i k i k--==，，E E E E ，1(())(())i j k i j k -+=+-E E .定理15 对一个s ×n 矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s ×s 初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n ×n 初等矩阵.证 我们只看行变换的情形，列变换的情形可同样证明.令Ｂ＝(b ij )s ×s 为任意一个s ×s 矩阵，Ａ１，Ａ２，…，Ａs 为A 的行向量组，由矩阵的分块乘法，得111122121122221122s s s s s s ss s b b b b b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +A ++A A +A ++A BA A +A ++A ，令Ｂ＝E （i ,j ），得1()j i s i j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A A E A A A ，这相当于把A 的i 行与j 行互换；令Ｂ＝E （i (k ))，得1(())i s i k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A E A A A ，这相当于用k 乘A 的第i 行；令Ｂ＝E （i ＋j （k ）），得1(())i j j s k i j k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A +A E A A A ，这相当于把A 的第j 行的k 倍加到第i 行.推论1 矩阵A 与B 等价的充分必要条件是：有初等方阵Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐs ，Ｑ１，…，Ｑｔ使Ａ＝Ｐ１Ｐ２…Ｐs ＢＱ１Ｑ２…Ｑｔ.推论2 ｎ×ｎ矩阵A 可逆的充分必要条件是：它能表成一些初等矩阵的乘积. 推论3 两个ｓ×ｎ矩阵A 、B 等价的充分必要条件是:存在可逆的ｓ×ｓ矩阵P 与可逆的n ×n 矩阵Q 使Ａ＝ＰＢＱ.推论4 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵.证 如果A 是可逆方阵，由推论2知道它可以写成一些初等矩阵的乘积：Ａ＝Ｑ１Ｑ２…Ｑｍ.因此11121m---=Q Q Q A E .由于初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，而A 左乘初等矩阵就相当于对A 施行初等行变换，所以A 可以经初等行变换化为单位矩阵.值得注意的是，如果有初等矩阵Ｐ１，…，Ｐｍ使Ｐｍ…Ｐ１Ａ＝Ｅ，那么Ａ－１＝Ｐｍ…Ｐ１＝Ｐｍ…Ｐ１Ｅ，这说明，如果用一系列初等行变换可把可逆矩阵A 化为单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到A －１.如果我们把A ，E 这两个矩阵凑在一起作成一个n ×2n 矩阵.（Ａ┊Ｅ），按矩阵的分块乘法可得Ｐｍ…Ｐ１（Ａ┊Ｅ）＝（Ｐｍ…Ｐ１Ａ┊Ｐｍ…Ｐ１E )=(E ┊Ａ－１）.这就给我们提供了一个具体的求可逆矩阵A 的逆矩阵的方法：作ｎ×2n 矩阵(A ┊E )，用初等行变换把它的左边一半化成E ，这时，右边的一半就是A －１.例13 设012114210⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，求A－１.解 对(Ａ┊Ｅ）作初等行变换012100()114010210001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A E(1,2)114010012100210001r ⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (31(2))114010012100038021r +-⎡⎤⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ (32(3))114010012100002321r +⎡⎤⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(23(1))(13(2))(12(1))100211010421002321r r r +++--⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1(3())210021101042131001122r -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦.于是121142131122-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦A .当然，同样可以证明，可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵，这就给出了用初等列变换求逆矩阵的方法.§7 向量空间定义15 设V 为n 维向量组成的集合.如果V 非空,且对于向量加法及数乘运算封闭，即对任意的α，β∈V 和常数k 都有α＋β∈Ｖ，ｋα∈Ｖ，就称集合V 为一个向量空间.例14 n 维向量的全体R ｎ构成一个向量空间.特别地，三维向量可以用有向线段来表示，所以R ３也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体.例15 n 维零向量所形成的集合｛０｝构成一个向量空间.例16 集合V ＝｛（０，ｘ２，ｘ３，…，ｘｎ）｝｜ｘ２，ｘ３，…，ｘｎ∈R ｝构成一个向量空间.例17 集合V ＝｛(ｘ1，ｘ2，…，ｘｎ）｜ｘ1+ｘ２＋…＋ｘｎ＝１｝不构成向量空间. 例18 设α１，α２，…，αｍ为一个n 维向量组，它们的线性组合Ｖ＝｛ｋ１α１＋ｋ2α2+…＋k m αm ｜k １，k ２，…，k m ∈R ｝构成一个向量空间.这个向量空间称为由α１，α２，…，αｍ所生成的向量空间，记为L (α１，α２，…，αｍ).例19 证明由等价的向量组生成的向量空间必相等.证 设α１，α２，…，αｍ和β１，β２，…，βs 是两个等价的向量组.任意的α∈L(α１，α２，…，αｍ)都可经α１，α２，…，αｍ线性表出.由向量组α１，α２，…，αｍ又可经β１，β２，…，βs 线性表出可以知道α也能经β１，β２，…，βs 线性表出，即有α∈L(β１，β２，…，βs ).由α的任意性得L (α１，α２，…，αｍ)⊆L (β１，β２，…，βs ).同理可证L (β１，β２，…，βs )⊆L ().于是L (α１，α２，…，αｍ)＝L (β１，β２，…，βs ).定义16 如果V １和Ｖ２都是向量空间且V １⊆Ｖ２，就称Ｖ1是Ｖ２的子空间.任何由n 维向量所组成的向量空间都是R ｎ的子空间.R ｎ和｛０｝称为R ｎ的平凡子空间，其他子空间称为R ｎ的非平凡子空间.定义17 设V 为一个向量空间.如果V 中的向量组α１，α２，…，αr 满足(1)α１，α２，…，αr 线性无关；(2) V 中任意向量都可经α１，α２，…，αr 线性表出，那么，向量组α１，α２，…，αr 就称为V 的一个基，r 称为V 的维数，并称V 为一个r 维向量空间.如果向量空间V 没有基，就说V 的维数为0，0维向量空间只含一个零向量.如果把向量空间V 看作向量组，那么V 的基就是它的极大线性无关组，V 的维数就是它的秩.当V 由n 维向量组成时，它的维数不会超过n .例20 设 ()123221212122-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A a ,a ,a ， ()12140342⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ,ββ， 验证α１，α２，α3是R ３的一个基并将β１，β２用这个基线性表出.解 由｜Ａ｜≠0可以知道α１，α２，α3线性无关，因此α１，α２，α3是R ３的一个基.设β１＝ｘ11α１＋ｘ21α2＋ｘ3１α3，β2＝ｘ12α１＋ｘ22α2＋ｘ32α3，即(β１，β２）＝（α１，α２，α３)111221223132x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 那么 ()1112112122123132x x x x x x --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,=AB ββ.如果P １，Ｐ２，…，Ｐｌ为初等矩阵，使Ｐ１Ｐ２…ＰｌＡ＝Ｅ，则 Ａ－１＝Ｐ１Ｐ２…Ｐｌ且11122122123132l x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P P B .因此只需对矩阵（Ａ┊Ｂ）作初等行变换，当把A 变为E 时，B 就变成了Ａ－１Ｂ.（Ａ┊Ｂ）＝221142*********-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1,3)122422*********r --⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(21(2))(31(2))122420368706378r r ++--⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1(1))(32(2))122420368700996r r -+----⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1(3())9(23(6))(13(2))21202303023200113r r r -+-+⎡⎤--⎢⎥⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1(2())3(12(2))2410033201013200113r r +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以 112321232242,3333--++=a a a =a a a ββ. 习 题 三1. 设α１＝（１，１，０），α2＝（0，１，1），α3＝（3，4，０）.求α１－α２及3α１＋２α２－α３.2. 设3(α１－α）＋２（α２＋α）＝５（α３＋α），其中α１＝（２，５，１，３），α２＝（１０，１，５，１０），α３＝（４，１，－１，１）.求α.3. 判断下列命题是否正确：(1) 若向量组α１，α２，…，αｍ线性相关，那么其中每个向量可经其他向量线性表示.(2) 如果向量β１，β２，…，βs 可经向量组α１，α２，…，αｍ线性表示且α１，α２，…，αm 线性相关，那么β１，β２，…，βs 也线性相关.(3) 如果向量β可经向量组α１，α２，…，αｍ线性表示且表示式是惟一的，那么α１，α２，…，αｍ线性无关.(4) 如果当且仅当λ１＝λ２＝…＝λｍ＝０时才有λ１α１＋λ2α2+…+λm αm +λ１β１＋λ２β２＋…＋λｍβｍ＝０，那么α１，α２，…，αｍ线性无关且β１，β２，…，βm 也线性无关.(5) α１，α２，…，αｍ线性相关，β１，β２，…，βm 也线性相关，就有不全为0的数λ１， λ２，…，λｍ使λ１α１＋λ2α2+…+λm αm ＝λ１β１＋λ２β２＋…＋λｍβｍ.(6) 如果R (A )＝ｒ，则A 的ｒ-1阶子式全为0.(7) 如果R (A )＝ｒ，则A 的ｒ阶子式不为0.(8) 如果由矩阵A 划去一行得到B ，则R (A )＞R (B ).(9) 如果P 为一个可逆ｓ×ｓ方阵，Q 为一个可逆ｎ×ｎ方阵，A 为一个ｓ×ｎ阵，那么R (A )＝R （ＰＡＱ）.4. 判别下列向量组的线性相关性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3);(3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).5. β１＝α１＋α２，β2＝α2＋α3，β3＝α3＋α4，β4＝α4＋α1，证明向量组β１，β２，β３，β４线性相关.6. 设向量组α１，α２，…，αr 线性无关，证明向量组β１，β２，…，βr 也线性无关，这里βｉ＝α１＋α２＋…＋αｉ.7. 作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵.8. αｉ＝（αｉ１，αｉ２，…，αｉｎ），i ＝１，２，…，ｎ.证明：如果｜ａｉｊ｜≠0，那么α１，α２，…，αn 线性无关.。

《线性代数（经管类）》第三章 向量空间考点28 n 维向量及其线性运算（★三级考点，选择、填空）1.n 维向量 由n 个数a1，a2，…an 组成的有序数组（a1，a2，…an），称为一个n 维向量，数ai 称为该向量的第i 个分量（i=1，2，…，n ）。

注意：向量可以写成一行，也可以写成一列，两种记法无本质区别，通常表为列向量形式，即（a1，a2，…an）T 的形式。

2.向量的线性运算 同矩阵（一行或一列矩阵）的运算。

考点29 向量的线性组合（★★二级考点，选择、填空、计算）1.向量的线性组合 设m ααα,...,,21是一组n 维向量，m k k k ,...,,21是一组常数，则称mm k k k ααα+++...2211为m ααα,...,,21的一个线性组合。

常数m k k k ,...,,21称为该线性组合的组合系数。

2.线性表出与表出系数 若一个n 维向量β可以表示成m m k k k αααβ+++=...2211，则称β是m ααα,...,,21的线性组合，或称β可用m ααα,...,,21线性表出（或线性表示），称mk k k ,...,,21为组合系数，或表出系数。

3.向量组 若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组，m 个向量m ααα,...,,21组成的向量组可以记为R:m ααα,...,,21或R={m ααα,...,,21}。

4.线性表出系数的求法 向量β＝（b1，b2，…an1）T 可用向量组α1＝（a11，a21，…an1）T ，…, αm ＝（a1m ，a2m ，…anm）T 线性表出⇔线性方程组x1α1＋x2α2＋…+xmαm ＝β有解，即Ax ＝β有解，其中A=（α1，α2，…，αm ）。

若方程组有惟一解，则表明β可用α1，α2，…αm 线性表出，且表示法是惟一的；若方程组有无穷多解，则表明β可用α1，α2，…αm 线性表出，且表示法不惟一；若方程组无解，则表明β不能用α1，α2，…αm 线性表出。

线性代数学习笔记——第三章线性代数学习笔记——第三章肝了两个多⼩时，还是肝完了⼀篇笔记，借鉴了很多其他⼤佬的整理。

（不过基本上还是宋浩⽼师的原话），今天的任务算是完成⼀半了，我东某⼈真是可悲！向量的定义n维向量：n个数组成的有序数组。

⾏向量（α1,α2,α3)。

列向量将上述的竖着写。

零向量：分量全部为零。

负向量：取相反数。

向量相等：同维数，元素对应相等。

只有同维向量才能⽐较⼤⼩，以及相加。

kα = 0 ⇔ k = 0 or α = 0 。

矩阵：AB = 0 ⇏ A=0 or B=0。

向量间的线性关系线性关系：零向量可由任意向量组表⽰。

向量组中任⼀向量可由向量组表⽰eg：\alpha1=\alpha1 + 0\alpha2 + 0\alpha3。

任意向量都可由n维单位向量组表⽰。

向量组的等价：①：同维。

②：两个向量组可以相互线性表⽰。

线性组合：β、α1……αn。

若β可以⽤α向量组表⽰出来，那么就叫β是α向量组的线性组合（或者称β可以由α向量组线性表⽰）。

同时在表⽰的过程中系数可以全取零。

反⾝性、对称性、传递性均适⽤。

线性相关：α1、α2……αn是n个m维向量组，若存在⼀组不全为0的k1,k2……k n,使得k1α1 + ……+ k nαn= 0，那么则叫α1……αn是线性相关。

线性⽆关：①：不是线性相关。

②：找不到⼀组不全为0的k1……k n满⾜线性相关的条件。

③：使得k1+k2+……+k n=0的k1，k2……必定全为零。

向量组中两向量成⽐例，向量组必线性相关。

含零向量的向量组必线性相关。

⼀个⾮零向量必⽆关。

⼀个向量α相关\Leftrightarrowα=0 。

部分组线性相关\longrightarrow整体组线性相关。

整体组线性⽆关\longrightarrow部分组线性⽆关。

线性⽆关的向量组，它的接长向量组也线性⽆关。

线性相关的向量组，它的截短向量组也线性相关。

n个n维向量（维数 = 个数）构成的⾏列式D \neq 0,那么线性⽆关，否则相关。