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高中数学推理知识点总结高中数学推理知识点总结数学作为一门学科，不仅仅是靠记忆和计算来完成的，更需要学生具备一定的推理能力。
在高中数学学习中，数学推理的重要性不言而喻。
本文将总结高中数学中与推理相关的重要知识点，帮助学生加深对数学推理的理解。
一、命题命题是指一个完整、具有独立意义的陈述句，可以被判断为真或假。
高中数学推理中常常涉及到命题，学生需要掌握多个重要概念：1.原命题：指未改变的最初命题。
2.逆命题：原命题的并非真正的否定（即“非p”），而是将原命题的“前件”和“后件”互换位置得到的新命题。
3.反命题：原命题的真正否定，即把原命题中的“p”或“q”都否定，得到的新命题。
4.对偶命题：由两个新命题组成，其中，前一个新命题的“前件”和后一个新命题的“后件”相同，后一个新命题的“前件”和前一个新命题的“后件”相同。
这些概念常在数学证明中出现，学生需要能够灵活应用。
二、命题的联结词命题的联结词指的是联接两个或多个命题的词语，常见的联结词有“而且”、“或者”、“如果……，则……”等。
学生需要注意联结词的用法和含义，例如，“而且”表示两个条件都必须满足，“或者”表示两个条件任意一个满足即可，“如果……，则……”表示前件成立必然导致后件成立，其中前件为“条件”，后件为“结论”。
三、充分必要条件充分必要条件是一种重要的数学推理方法，指的是一个命题成立的充分条件，也是其必要条件。
例如，对于一个数是偶数的命题，则该命题成立的必要条件是这个数能够被2整除，同时根据奇偶性的定义，该命题成立的充分条件是这个数不能被2整除。
四、数学归纳法数学归纳法是数学中常用的证明方法之一，主要用于对于自然数集合中一类命题的证明。
其基本原理是：先证明这类命题对于最小的自然数成立，再证明对于任意一个自然数k成立的前提下，都可以推出k+1成立，即可得出该命题对于所有自然数成立。
五、构造法构造法常用于解决一些存在性问题，其思想是通过构造一个满足命题的例子来证明命题的存在性。
九年级上册数学推理知识点数学是一门需要推理能力的学科，通过推理可以解决各种数学问题。
在九年级上册数学教学中，我们会涉及到一些重要的推理知识点。
本文将就这些知识点进行详细的介绍和解析，以帮助同学们更好地理解和掌握。
一、命题与命题联结词在数学推理中，命题是表述一个陈述真假的句子，比如：“2是一个偶数。
”、“2+2=4。
”等等。
命题联结词是用来连接命题的词语，常见的有“与”、“或”、“非”等。
1. 与命题：使用“与”连接的命题需要同时满足两个条件才能为真。
比如：“一个数是偶数与它能被2整除是等价的。
”2. 或命题：使用“或”连接的命题只需要满足其中之一即可为真。
比如：“一个正数能被3或5整除。
”3. 非命题：使用“非”表示取反，将命题的真假颠倒。
比如：“一个数不是负数。
”二、命题的复合与析取命题的复合是指通过命题联结词将两个或多个命题连接在一起形成一个新的命题。
1. 合取命题：使用“且”连接的命题，表示多个命题同时成立。
比如：“昨天天气既晴朗且温暖。
”2. 析取命题：使用“或”连接的命题，表示多个命题中至少有一个成立。
比如：“这个数是偶数或者它能被3整除。
”三、推理方法在数学推理中，我们常常需要使用一些推理方法来进行证明和解题。
以下是一些常见的推理方法：1. 直接证明法：通过逻辑推理直接证明一个命题成立。
比如：“若a、b是两个正数，则a+b也是正数。
”2. 间接证明法：通过反证法证明一个命题成立。
反证法是通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的论断，从而证明原命题成立。
比如：“证明根号2是无理数。
”3. 数学归纳法：用于证明对于所有自然数都成立的命题。
首先证明命题对于初始值成立，然后假设命题对于某个自然数成立，再证明对于该数加1之后的自然数也成立。
比如：“证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2”。
四、谓词逻辑谓词逻辑是一种用符号表示思维过程和推理规则的逻辑方法。
在数学推理中，我们可以使用谓词逻辑中的量词对命题进行描述和推理。
数学中的数学逻辑推理数学作为一门严谨的学科，离不开逻辑推理。
数学逻辑推理是指通过一系列的推理步骤，从已知的前提出发，得出新的结论。
这种推理过程既有严密的逻辑性，又有一定的创造性，是数学研究的核心方法之一。
一、命题逻辑推理命题逻辑是数学中最基础的逻辑系统之一。
在命题逻辑中，命题是指能够判断真假的陈述句。
通过对命题进行逻辑运算，可以得到新的命题，从而推导出新的结论。
例如，假设有两个命题P和Q，分别表示“今天下雨”和“明天晴天”。
通过逻辑运算，可以得到以下几种结论：1. 否定：非P表示“今天不下雨”，非Q表示“明天不晴天”。
2. 合取：P且Q表示“今天下雨且明天晴天”。
3. 析取：P或Q表示“今天下雨或明天晴天”。
4. 条件：如果P，则Q表示“如果今天下雨，明天晴天”。
通过这种方式，我们可以根据已知的命题得出新的结论，进一步推进数学的发展。
二、谓词逻辑推理谓词逻辑是命题逻辑的扩展，引入了谓词和量词的概念。
谓词是指带有变量的命题，而量词则表示对变量的范围进行全称或存在的限定。
在谓词逻辑中，我们可以通过量词的运用，对命题进行更精确的描述和推理。
例如，假设有一个谓词P(x)表示“x是一个偶数”。
通过量词的运用，可以得到以下几种结论：1. 全称量词：∀x P(x)表示“对于任意一个x，x都是一个偶数”。
2. 存在量词：∃x P(x)表示“存在一个x，使得x是一个偶数”。
通过这种方式，我们可以更加准确地描述和推理数学中的概念和问题。
三、数学归纳法数学归纳法是一种重要的推理方法，常用于证明数学中的命题和定理。
数学归纳法分为弱归纳法和强归纳法两种形式。
弱归纳法是指通过证明当n=k时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立，从而得出当n为任意正整数时命题成立的结论。
强归纳法则是在弱归纳法的基础上，进一步假设当n=k时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立。
数学归纳法的基本思想是通过递推的方式，从特例出发，逐步推导出一般情况，从而证明命题的普遍性。
了解小学数学中的逻辑思维认识命题与推理数学是一门严谨而又充满逻辑的学科，它要求学生在解题过程中运用正确的逻辑思维。
逻辑思维是指通过分析、推理、判断等方式，进行合理的思考和论证的能力。
在小学数学的学习中，了解逻辑思维、认识命题与推理，对培养学生的思维能力和解决问题的能力具有重要的作用。
一、逻辑思维与数学思维逻辑思维是一种思考方式，是指按照一定的规则和逻辑关系对事物进行分析、推理和判断的能力。
而数学思维是在数学学习中运用逻辑思维对问题进行分析和解决的思维方式。
逻辑思维与数学思维有着密不可分的联系，只有具备良好的逻辑思维能力，才能更好地理解数学问题、推理数学命题。
二、认识命题在数学中，命题是指陈述一个明确的数学性质或者关系的语句。
命题可以是真命题，也可以是假命题。
通过判断命题的真假，可以进一步推理出其他结论。
在小学数学中，学生需要学会正确理解并判断命题的真假。
例如：命题“2+2=4”是一个真命题，而命题“2+3=10”是一个假命题。
学生在解题过程中，需要根据给定条件判断命题真假，从而进行下一步的推理。
三、推理与证明推理是根据已知条件和已有命题，运用逻辑思维从中推出新的结论或者判断的过程。
在数学学习中，推理是解题的重要手段之一。
学生通过观察已有的命题和条件，运用逻辑推理的方法，不断推导出新的结论，进而解决问题。
推理有直接推理和间接推理两种形式。
直接推理是根据已有命题和条件直接得出结论，而间接推理是通过一系列的推理步骤，最终得出结论。
学生需要在解题过程中，进行推理和证明，培养他们的逻辑思维能力。
四、数学中的逻辑思维培养方法为了培养小学生的逻辑思维能力，教师可以采取一些有效的方法。
1. 启发式教学法：通过引导学生发散思维，自主探究，培养他们的观察、分析和推理能力。
2. 集体合作学习法：在小组合作学习中，学生可以相互讨论，交流思路，共同解决问题，培养他们合作与思考的能力。
3. 运用逻辑思维工具：教师可以在数学教学中引导学生运用逻辑思维工具，如概念分类、推理图表等，有助于学生整理思路，理清逻辑关系。
初中数学推理知识点梳理数学是一门需要学生进行推理的学科，它不仅注重计算和运算技巧，更重要的是培养学生的逻辑思维和推理能力。
在初中数学中，有许多重要的推理知识点，本文将对这些知识点进行梳理和总结。
1. 命题与命题联结词命题是陈述性句子，可以判断其真假的陈述。
在数学推理中，我们常常使用命题进行推理。
常见的命题联结词有“与”、“或”、“非”、“蕴含”等。
例如，“若p，则q”表示命题p蕴含q，“p与q”表示p和q同时成立。
2. 否定与肯定否定是指对一个命题的否定，即把一个真命题变为假命题。
在数学推理中，否定常常与证明方法相结合。
通过对一个命题的否定进行反证法的推理，可以得出该命题的真值。
3. 充分条件与必要条件充分条件指的是一种命题关系，即如果p成立，则q一定成立。
必要条件则是另一种命题关系，即如果q成立，则p一定成立。
在数学推理中，充分条件和必要条件的关系常常被用来进行推理和证明。
4. 数类和数集在数学中，数可以分为有理数和无理数。
有理数包括整数、分数和小数，可以表示为有限小数或循环小数。
无理数是不能表示为分数形式的数，如π和根号2。
在数集中，我们将数按照一定的规律进行分类和归纳，常见的数集有整数集、有理数集、无理数集和实数集等。
5. 分类和判断在数学推理中，分类和判断是非常重要的技巧。
通过对问题进行分类，我们可以找到问题的共性和差异，从而得出一般性的结论。
判断则是根据已知条件和问题的要求，进行逻辑推理和选择，得出正确的结论。
6. 推理方法在数学推理中，有许多常用的推理方法。
例如，直接证明法是通过给出前提和推理步骤，直接得出结论的一种方法。
间接证明法是通过否定结论或对立命题的方法，来得出前提条件的一种方法。
数学归纳法是一种证明一般性结论的方法，通过证明初始条件和归纳步骤，得出结论的方法等。
7. 等价命题等价命题是指两个命题在真值上完全一样。
在数学推理中，利用等价关系可以简化推理过程，对于复杂的命题进行转化和替代。
数学与逻辑学数学逻辑和推理的基本原理数学与逻辑学数学逻辑和推理的基本原理在日常生活中，我们经常会遇到各种问题和决策，为了正确地解决问题和做出明智的决策，数学逻辑和推理的基本原理起着重要的作用。
本文将介绍数学逻辑和推理的基本原理以及它们在不同领域中的应用。
一、数学逻辑的基本原理1. 命题逻辑命题逻辑是研究命题之间的关系的数学分支。
在命题逻辑中，我们通过使用真值表和逻辑运算符（如否定、合取、析取、条件、双条件）来研究命题的逻辑关系。
命题逻辑为我们提供了一种用严密的符号表示来分析和推理命题的方法。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是研究量化、限定和关系的数学分支。
谓词逻辑通过使用量词（如全称量词和存在量词）来描述谓词的逻辑关系。
谓词逻辑扩展了命题逻辑，使我们能够分析更复杂的命题和推理形式。
3. 集合论集合论是研究集合及其性质的数学分支。
在集合论中，我们通过使用集合运算（如并、交、差）和关系运算（如包含、相等）来描述和分析集合之间的逻辑关系。
集合论为我们提供了一种分析和推理集合的数学语言。
二、数学逻辑和推理的应用1. 数学证明数学证明是数学学科中最基本和重要的活动之一。
数学证明是通过逻辑推理来建立和验证数学命题的过程。
数学证明不仅仅是找到一个特例或者通过示例来验证，而是通过使用数学推理的基本原则来确保数学命题的正确性。
2. 计算机科学计算机科学是应用数学逻辑和推理的重要领域之一。
在计算机科学中，逻辑推理被广泛用于设计和验证计算系统。
例如，基于谓词逻辑的形式化方法被用于编写和验证软件系统。
数学逻辑还被用于构建和分析算法的正确性。
3. 哲学逻辑学是哲学的一个重要分支，研究推理和思维的基本规律。
逻辑学家运用数学逻辑的原理和方法来探究哲学问题，如真理、存在和认识论等。
逻辑学在哲学思考和分析中起着重要的作用，帮助我们理性地思考和辩证地分析问题。
4. 法律法律是一个涉及推理和逻辑的领域。
在法律中，逻辑推理被用于解释和分析法律条文、推导和评估证据、构建法律论证等。
数学中的推理与证明解开谜题的逻辑数学是一门既具有理论性又具有实践性的学科，它通过推理和证明来解开谜题。
推理和证明在数学中起着至关重要的作用，正是通过合理的推理和严密的证明，数学家们能够揭示事物之间的关联和规律，解答各种问题。
本文将探讨数学中的推理与证明，以及它们在解开谜题中的逻辑。
一、数学中的推理推理是通过已知信息来得出合理结论的过程，它是数学思维的核心。
在数学中，推理有两种基本形式，即归纳和演绎。
归纳推理是从具体的例子或特殊情况出发，通过观察和总结，找出普遍的规律。
例如，观察一系列等差数列，我们可以发现其中的通项公式，从而推理出任意项的值。
归纳推理在解决问题时具有广泛的应用，帮助数学家们发现并验证规律。
演绎推理则是从一般原理或定理出发，通过逻辑推演得出特定的结论。
演绎推理是一种严密的推理方式，它通过逐步的逻辑推导，使得我们可以确切地得出结论。
在证明定理时，数学家们常常运用演绎推理的方法，从已知的公理或已证明的定理出发，逐步推导得出所要证明的结论。
二、数学中的证明证明是通过逻辑推理来验证一个命题的真实性的过程。
在数学中，证明扮演着至关重要的角色，因为只有通过严格的证明，我们才能确信所得出的结论是正确的。
数学证明有多种形式，例如直接证明、间接证明、反证法等。
直接证明是最常见的一种证明方法，它通过运用逻辑推理，从已知的前提出发，推导出所要证明的命题。
例如，要证明某个三角形是等边三角形，我们可以通过计算三个角度相等来直接证明。
间接证明则是通过对否定命题的推导来得出结论。
例如，要证明某个数是素数，我们可以采用间接证明的方法，假设该数不是素数，然后通过推导得出矛盾，从而确认它是素数。
反证法则是假设所证明的命题为假，然后推导出矛盾，从而得出结论为真。
例如，要证明在一个无向图中存在哈密顿回路，我们可以采用反证法，假设不存在哈密顿回路，然后通过推导得出矛盾的结论，从而得出存在哈密顿回路的结论。
三、推理与证明在解开谜题中的逻辑推理与证明在解开数学谜题中发挥着重要的作用。
学习重点数学逻辑推理学习重点：数学逻辑推理数学逻辑推理是一门基础的数学学科，它帮助我们理清思维，提升解决问题的能力。
在学习数学逻辑推理时，我们需要掌握一些关键的知识点和技巧。
本文将介绍数学逻辑推理的学习重点，并提供一些学习方法和实践建议。
一、命题和命题连接词在数学逻辑推理中，命题是解答问题的基本单位。
命题可以是一个陈述句，要么是真，要么是假。
命题连接词用于连接多个命题，常见的有“与”、“或”、“非”等。
1. 与运算：“与”连接的命题同时成立。
例如，如果命题A为“今天是晴天”，命题B为“我去游泳”，那么“A与B”表示“今天是晴天且我去游泳”。
2. 或运算：“或”连接的命题至少有一个成立。
例如，如果命题A为“明天下雨”，命题B为“我去游泳”，那么“A或B”表示“明天下雨或我去游泳”。
3. 非运算：“非”用于否定一个命题。
例如，如果命题A为“今天是晴天”，那么“非A”表示“今天不是晴天”。
二、推理和推理规则推理是通过一系列已知命题来得出结论的过程。
在数学逻辑推理中，我们使用一些推理规则来进行推理。
1. 假言推理：如果一个命题的前件成立，那么可以得出结论命题的后件也成立。
例如，如果命题A为“如果下雨，那么地面湿润”，命题B为“地面湿润”，那么从命题A可以推出命题B。
2. 拒取式推理：如果一个命题的否定后件成立，那么可以得出结论命题的否定前件也成立。
例如，如果命题A为“如果下雨，那么地面湿润”，命题B为“地面不湿润”，那么从命题B可以推出命题的“下雨”为假。
3. 假设推理：在推理过程中，可以假设某个命题为真，通过推理得出结论。
如果基于假设得出的结论符合已知条件，那么假设成立。
否则，假设不成立。
假设推理在数学证明中常常使用。
三、真值表和逻辑等价真值表是一种用来列出命题在不同情况下真值的表格。
通过真值表，我们可以判断命题之间的逻辑等价关系。
逻辑等价表示两个命题在所有情况下的真值相同。
例如，命题A为“如果下雨，那么地面湿润”，命题B为“地面不湿润或者不下雨”，那么A与B在所有情况下的真值相同，它们是逻辑等价的。
数学的逻辑之道高中数学中的命题与逻辑推理在高中数学中，命题与逻辑推理是一门非常重要的内容。
数学的逻辑之道可以帮助我们理解和解决各种问题，培养我们的思维能力和分析能力。
本文将从命题的基础概念开始，介绍高中数学中命题与逻辑推理的相关知识。
一、命题的基本概念命题是陈述句，可以判断为真或者假。
在数学中，我们经常使用符号来表示命题。
常见的命题符号有p、q、r等，我们可以通过连接词来组合命题，如“与”、“或”、“非”等。
例如，p表示“今天是星期一”，q表示“明天下雨”，则“p与q”表示“今天是星期一并且明天下雨”。
二、逻辑联结词逻辑联结词用于连接命题，常见的有“与”、“或”、“非”、“蕴含”等。
这些联结词遵循一定的逻辑规律，通过它们的运算，我们可以得到复合命题的真值。
1. 与（∧）：当且仅当所有命题都为真时，复合命题才为真。
例如，p为真，q为真，则“p∧q”为真。
2. 或（∨）：当至少有一个命题为真时，复合命题为真。
例如，p为真，q为假，则“p∨q”为真。
3. 非（¬）：表示取反，当命题为真时，取反后为假；当命题为假时，取反后为真。
如¬p表示“不是今天是星期一”。
4. 蕴含（→）：表示“如果...，那么...”的关系。
当假设命题为真时，结论命题为真。
例如，p表示“上午下雨”，q表示“我带伞”，则“p→q”表示“如果上午下雨，那么我带伞”。
三、命题的逻辑关系在数学中，我们还常常关注命题之间的逻辑关系，例如充分条件、必要条件、等价命题等。
1. 充分条件：如果p → q为真，则q是p的充分条件。
例如，上午下雨是我带伞的充分条件。
2. 必要条件：如果p → q为真，则p是q的必要条件。
例如，我带伞是上午下雨的必要条件。
3. 等价命题：如果p → q为真且q → p为真，则称p与q是等价命题。
例如，上午下雨是我带伞的充分必要条件。
四、命题的推理方法在数学中，我们常常使用推理来解决问题。
推理是基于已知命题通过逻辑规律得出新的命题的过程。
小学数学重点认识简单的数学逻辑和推理方法数学是一门理性的学科，其核心是逻辑和推理。
在小学阶段，培养学生的数学逻辑和推理能力是至关重要的。
本文将介绍小学数学中的重点内容，帮助学生简单认识数学逻辑和推理方法。
一、认识数学逻辑在数学中，逻辑是指正确的思维方式和论证方法。
通过学习数学，学生可以培养严密的逻辑思维能力。
1. 数学定义的逻辑数学中的定义是数学知识的基础，也是逻辑推理的起点。
学生应该学会理解和应用数学定义，并能够举一反三，在解题过程中灵活运用。
2. 数学命题的逻辑关系在数学中，命题是陈述句，可以判断为真或假。
有一些常见的命题关系需要学生认识和理解，例如：与、或、非等。
通过学习命题关系，学生可以分析和解决问题。
3. 数学推理的逻辑数学推理是基于已知条件，经过逻辑推导得出结论的过程。
学生应该学会运用逻辑推理方法，进行问题分析和解决。
二、认识数学推理方法数学推理是数学解题的关键环节，也是培养学生思维能力的重要途径。
以下是小学数学中常见的推理方法。
1. 归纳法归纳法是通过观察和总结特殊情况，得出一般规律的推理方法。
学生可以通过具体问题的归纳，发现问题的规律，并应用到其他类似的问题中。
2. 逆向推理逆向推理是从已知结论出发，逆向思考求解问题的推理方法。
学生可以通过倒推的方式，从所求的结果出发，逆向思考解题步骤，找到符合条件的解。
3. 证明法证明法是通过逻辑推理和论证，证明数学命题的正确性。
通过学习一些简单的证明方法，如直接证明、间接证明等，可以培养学生的逻辑思维和证明能力。
三、数学逻辑和推理的培养方法为了培养学生的数学逻辑和推理能力，学校和家长应采取以下措施。
1. 培养思维习惯学校和家长可以引导学生养成良好的思维习惯，如观察问题细节、分析问题本质、善于思考等，培养学生逻辑思维的基础。
2. 引导讨论和合作学校可以组织学生进行小组讨论和合作解题，激发学生思维的碰撞和交流，培养学生团队合作和逻辑思维能力。
3. 鼓励探索和实践学校和家长可以鼓励学生主动探索和实践，让他们通过实际操作和经验总结，培养逻辑思维和推理能力。
数学推理的再认识——数学推理与数学命题之间的关系推理也是数学最为显著的特征。
人们通过抽象，得到数学的研究对象和研究对象之间的关系。
数学的研究对象最终以定义的形式出现，可以是基于对应的定义，也可以是基于内涵的定义，如自然数、实数、点、线、面等。
数学研究对象之间的关系包括两方面的内容，一方面的内容是研究对象的度量与运算，包括长度、面积、角度的度量。
以及加、减、乘、除、极限这五种运算；另一方面的内容是表示关系的逻辑术语，这些术语具有因果、转折、递进、对比、补充、选择等功能，如存在、相等、属于、介于、平行、垂直、因为、所以等。
数学的推理，就是把表示关系的运算方法、逻辑术语运用于研究对象，得到数学的结论或者验证数学的结论。
因为数学的结论最终可以归结为数学命题。
因此，数学推理就是得到数学命题或者验证数学命题的思维过程。
在这个意义上，就数学思想而言，数学研究对象的确立依赖的是抽象，数学内部自身的发展依赖的是推理。
那么，关于数学推理，应该关注什么是数学的推理、数学推理方法本身的合理性，以便最终目的是实现数学推理过程的条理化。
数学的结论各式各样，得到结论的思维过程和验证结论的思维过程更是百花齐放，那么，应当如何在这些错综复杂的思绪中抓住事物本质、理清思维脉络呢？先回顾一下笛卡儿的建议，笛卡儿在《探求真理的指导原则》的第六个原则中说：要从错综复杂的事物中区别出最简单事物，然后进行有秩序的研究。
这就要求我们在那些已经通过演绎得到真理的推理过程中，观察哪一个事物是最简单项，以及观察这个项与其他项之间关系的远近，或者相等。
笛卡儿认为这个原则是他这部著作中最有用的，是揭示科学奥秘的基本方法。
笛卡儿所说的研究方法的实质就是，把要进行推理的事物排成一个系列，然后找出系列中的最简单项进行逐项判断。
对于数学的论证，笛卡儿所说的系列就是由条件出发，最后得到结论的整个过程，这个过程是由一些最简单项首尾连接而成的。
因此，讨论数学的推理，就是要认清推理过程中的最简单项是什么，然后从这些最简单项入手，讨论最简单项的特征，讨论推理过程中最简单项之间是如何首尾连接的，进而讨论数学的推理是如何作为的。
许多人会把数学的推理等同于数学的证明，因为数学证明的思维过程依赖的是演绎推理，于是认为数学推理就是演绎推理，甚至认为逻辑推理就是演绎推理。
这种认识不仅是不全面的，甚至对于数学教育还是有害的。
数学的推理是一种有逻辑的推理，其中的逻辑性就表现在上面所说的推理过程中最简单项之间的首尾相接。
逻辑推理既包括演绎推理也包括归纳推理在一般情况下，人们借助归纳推理“推断”数学的结果，借助演绎推理“验证”数学结果。
在这个意义上，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。
虽然数学不是经验科学，也不是实验科学，但数学概念的形成依赖基于经验的抽象，数学推理的过程依赖基于直觉的思维。
因此，经验的积累，特别是思维经验和实践经验的积累对于学习数学是至关重要的，学习数学的要义不仅仅是为了“记住”一些东西，甚至不仅仅是为了掌握一些“会计算”“会证明”的技巧，而是能够“感悟”数学所要研究问题的本质，“理解”命题之间的逻辑关系，在“感悟”和“理解”的基础上学会思考，最终形成数学的直觉和数学的思维。
这也是《标准(2011年版)》中提出“四基”，强调“基本思想”和“基本活动经验”的本意。
一、数学推理的基础是什么？数学最基本的表达方式是定义和命题：数学的定义述说了数学的研究对象，数学的命题述说了数学的研究结果。
如果说数学抽象主要是建立数学定义、关系以及运算法则的思维过程，那么数学推理就是建立数学命题以及验证数学命题的思维过程。
定义和命题都是陈述句，在形式上是很难区别的。
因此，在具体讨论之前，有必要从功能上认识清楚定义与命题的区别是什么。
或许，下面的结论会出乎大多数人的常识：中国古代先哲在这方面有过极为精辟的论述。
许多重要的论述被记录在《墨经》这部经典之中，比如，《墨经·小取》中“以名举实，以辞抒意，以说出故”这段话就阐述了定义、命题、推理之间的关系。
这段话实在是言简意赅，但其中的含义是明确的，寓意是深刻的。
我们用现代语言把这段文字表述如下：通过定义（名）明确所讨论问题的对象（实），通过命题（辞）表述所讨论问题的实质（意），通过论证(说)得到所讨论问题的缘由（故）。
我们可以这样理解上述内容的逻辑关系：“以名举实”的含义是定义（名）是对象 (实)的抽象，可以通过举例(举)说明。
这些抽象了的定义构成了研究的对象；“以辞抒意”的含义是定义本身并没有表述研究对象的实质（意），研究对象的实质是通过命题(辞）表述的；“以说出故”的含义是命题所表述的东西不一定就是正确的，其中的道理(故)是需要论证（说)的。
可以看到，中国古代先哲对定义和命题的功能，以及这二者之间关系的理解是相当深刻的。
根据先哲的论述，定义是命题的用语，或者说命题中所涉及的对象应当是已经定义了的那些东西。
定义本身并不要求必须具有解释对象性质（甚至包括内涵)的功能；命题是一种陈述，命题本身并不具有判断功能。
命题陈述的正确与否是需要论证的。
因为数学推理主要是针对数学命题，并且数学定义的功效主要表现于数学命题，因此在这一讲，我们先讨论什么是数学命题，然后再讨论什么是数学定义。
通过下面的讨论可以看到，这样的流程不仅是可行的，也是必需的。
问题：判断数学命题的基本原则是什么？1.数学命题。
无论是定义还是命题，在本质上都是陈述语句，但命题的功能与定义的功能有本质区别，命题的陈述语句不是为了给一个事物命名，而是为了述说已经命名了的事物的一些事情。
虽然事情的存在与思想无关，是客观的，但对事物的陈述则蕴含着思想，是主观的，人们可以对这样的陈述语句进行判断：或者肯定，或者否定。
命题陈述句为人们提供了一个判断：可以通过逻辑的方法进行分析判断，也可以通过经验的事实进行证实判断。
人们通常称前一种判断方法为分析的，后一种判断方法为综合的。
正因为如此，我们可以认为：命题是一个可供真假判断的陈述语句。
为了更好地理解数学命题，还需要强调下面两件事情。
（1）数学命题必须提供判断。
数学命题陈述句述说的是研究对象的事情，但是，无论是直接判断还是通过一系列的推理进行判断，这个陈述句必须是可以从数学的角度判断“真假”的。
比如，我们分析下面的关于三角形的陈述句：这个三角形是白的。
虽然这个陈述句可以成为一个命题，但不能成为一个数学命题，因为这个陈述句没有提供数学判断的可能性。
一般来说 .具有形容功能的陈述句都不能成为数学命题，这是因为数学概念的抽象过程已经舍去了研究对象的所有物理属性。
（2）数学命题只能提供判断。
虽然数学命题的陈述句必须提供判断，但数学命题本却不承担判断真假的职责，判断真假是数学推理的任务。
因此，不能清晰地划分数学命题的功能和数学推理的功能，就必然会影响到对命题的理解，会影响到数学的教学活动。
比如，对于构建数学命题而言，下面两个陈述句是等价的：三角形内角和是180°。
三角形内角和是120°而对这两个命题的真假判断则是数学推理的任务。
数学命题的主观性与客观性。
在第一部分的开始，我们曾经讨论了抽象的东西是如何存在的（3）数学命题的主观性和客观性。
所谓数学命题的主观性与客观性是针对思想者而言的：如果命题是思想者正在思想的东西，或者是思想者思想的结果，那么数学命题就是主观的；如果数学命题的存在与思想者无关，数学命题只是思想者要判断的已经存在的东西，那么数学命题就是客观的。
在我国，几乎所有形式逻辑的教科书，关于命题的论述都隐含着“命题就是判断” 的指向，这就意味着命题是主观的，因为只有思想者才能进行判断。
因此，这些教科书中所讨论的命题是思想者应当如何进行思想的东西，而不是思想者应当如何进行判断的东西。
无论如何，这样的认识是不全面的，这样的认识不仅不利于研究数学推理，并且也不利于指导数学教学。
虽然没有说得很清楚，但胡塞尔意识到了其中的差异。
罗素则说得非常明确：“命题就是可以有意义地加以断定或否定的东西。
”这样命题就具有了客观性。
对于数学命题，我们可以做这样的划分：如果是为了得到数学命题，那么数学命题就是主观的，因为这时的数学命题是思想者思想的结果；如果是为了验证数学命题，那么数学命题就是客观的，因此这时的数学命题是思想者思想的对象。
在下面的讨论中，我们将会仔细分析：虽然这两种情况的思维过程都依赖逻辑，但推理形式却有着本质的不同。
正因为如此，分清数学命题的主观性与客观性是必要的。
对于绝大多数的人来讲，数学命题是客观的，因为他们是在求学的过程中才会接触到数学命题，所以对于他们而言，数学命题只是一些数学内容的陈述，他们的任务是理解这样的陈述，或者，论证这样陈述的正确性（比如，他们在写作业的时候或者在考试的时候）。
与此对应的数学教育，就是让学生在数学命题的理解与论证的过程中，提升数学证明的能力和数学解题的技巧。
但是对基于创新的数学教育，仅仅停留在这个层面是不够的，还需要创设出合适的数学教学情境，在这个情境中引导学生自主地得到一些数学的性质、法则，甚至自主地得到一些数学的结论、命题，即便得到的东西对数学本身并没有任何价值。
在这个意义上，得到数学命题的过程就极为重要了，这不仅使数学命题具有了主观性更重要的是让学生在这个过程中感悟：应当如何有逻辑地得到和表达数学的结论。
进一步.如果在数学的教学活动中，能把得到数学结论与证明数学结论有机结合，就可能让学生更好地感悟逻辑推理的形式和道理，在感悟的基础上积累数学思维的经验，逐渐形成自己的、合理的思维模式。
数学推理。
综上所述，明确地说：数学推理就是得到和判断数学命题的思维过程，或者说，数学推理就是从一个数学命题判断到另一个数学命题判断的思维过程。
判断一个数学命题真假的思维范式大体是这样的：判断一个数学命题“为真”需要证明这就是用逻辑的方法进行论证；判断一个数学命题“为假”需要举例，这就是用经验的事实进行证实。
为了讨论得深入，有必要对数学命题进行分类。
（4）数学命题的分类。
基于陈述内容的不同，可以把数学命题分为两类：一类命题的陈述内容只涉及研究对象本身的性质，称之为性质命题；还有一类命题的陈述内容涉及多个研究对象之间的关系，称之为关系命题。
强调这样的区分是非常重要的，因为陈述内容的不同会导致语言表达方式的不同，进而会导致命题表述模式的不同。
罗素非常重视这种区分，有过非常苛刻的论述: 因此，陈述两个事物具有某种关系的命题与主谓式命题具有不同形式，看不到这种区别或者不承认这种区别，一直是传统形而上学中许多谬误的根源。
可以看到，我们所说的性质命题就是罗素所说的主谓式命题，关系命题就是罗素所说的陈述两个或者更多事物具有某种关系的命题。
下面，针对具体的数学内容，我们分別讨论这两类命题的特征以及各自的语言表述模式。
