【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：单元评估检测(六)(含答案解析)

综合测试卷一(时间：120分钟 满分：150分)一、 选择题(每小题5分，共60分) 1. (2013·北大附中月考)设a 是实数，且1＋ai 1＋i∈R，则实数a ＝(B)A. －1B. 1C. 2D. －2∵1＋ai 1＋i ∈R，∴不妨设1＋ai 1＋i ＝x ，x ∈R ，则1＋ai ＝(1＋i)x ＝x ＋xi ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，∴a ＝1.2. (2013·保定一模)已知集合A ＝{x|x≥2或x ＜－1}，B ＝{x|a≤x≤b}，若A∪B＝R ，A ∩B ＝{x|2≤x≤4}，则ba＝(A)A. －4B. －3C. 4D. 3∵A＝{x|x≥2，或x ＜－1}，B ＝{x|a≤x≤b}，A ∪B ＝R ，∴a ≤－1，b ≥2，∵A ∩B ＝{x|2≤x≤4}，∴a ＝－1，b ＝4，∴ba＝－4.3. (2013·郑州二模)若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边一定落在直线(D)A. 7x ＋24y ＝0B. 7x －24y ＝0C. 24x ＋7y ＝0D. 24x －7y ＝0由题意知tan θ2＝－43，∴tan θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－431－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－432＝247，∴角θ的终边一定落在直线24x －7y ＝0上．4. 设α，β为两个不同的平面，直线l∥α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(A) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．∵直线l∥α，且l⊥β，∴由判断定理得α⊥β.∴由直线l∥α，且l⊥β可得α⊥β.若α⊥β，直线l∥α，则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内．∴“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．5. (2013·温州一模)记a ，b 分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的概率为(B)A. 518 B. 14 C.310 D. 910 所有的(a ，b)共有6×6＝36(个)，方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根，等价于Δ＝a 2－8b ＞0，故满足条件的(a ，b)有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，共9个，故方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的概率为936＝14. 6. (2013·郑州二模)若x∈(e －1，1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ln x ，c ＝e ln x ，则a ，b ，c的大小关系为(B)A. c ＞b ＞aB. b ＞c ＞aC. a ＞b ＞cD. b ＞a ＞c∵x∈(e －1，1)，a ＝ln x ，∴a ∈(－1，0)，即a ＜0；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ln x 为减函数，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ln x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ln 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120＝1，即b ＞1；又c ＝e ln x ＝x∈(e －1，1)，∴b ＞c ＞a. 7. (2013·天津南开二模)执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为([x]表示不超过x 的最大整数)(C)A. 4B. 5C. 7D. 9n ＝0不满足判断框中的条件，n ＝1，S ＝1；n ＝1不满足判断框中的条件，n ＝2，S ＝2；n ＝2不满足判断框中的条件，n ＝3，S ＝3；n ＝3不满足判断框中的条件，n ＝4，S ＝5；n ＝4不满足判断框中的条件，n ＝5，S ＝7；n ＝5满足判断框中的条件，输出的结果为7.8. (2013·汕头质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(B)A. 8B. 6＋25＋2 2C. 6＋45 D.453 考查了由三视图还原成立体图形并求其表面积，如图，几何体的表面积由5个面积组成，S 表＝12×2×2＋2×2＋2×12×2×5＋12×2×22＝6＋25＋22.9. 已知a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，－2)，若(a ＋2b)⊥c，则k 等于(C) A. 2 B. －2 C. 8 D. －8∵a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，a ＋2b ＝(1，4)，∴(a ＋2b )·c ＝k －8＝0，解得k ＝8. 10. (2013·牡丹江一模)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为(B)A. 2＋1B. 3＋1C.2＋12D.3＋12连接AF 1，可得∠AF 2F 1＝30°，∠F 1AF 2＝90°，由焦距的意义可知|F 2F 1|＝2c ，|AF 1|＝c ，由勾股定理可知|AF 2|＝3c ，由双曲线的定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，即3c －c ＝2a ，变形可得双曲线的离心率ca＝23－1＝3＋1.11. (2013·汕头二模)在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类“，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下三个结论：①2 013∈[3]；②－2∈[2]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]．其中正确结论的个数为(C)A. 0B. 1C. 2D. 3∵2 013＝402×5＋3，∴2 013∈[3]，则①正确；－2＝－1×5＋3，∴－2∈[3]，∴②不正确；∵整数集中的数被5除可以且只可以分成五类，∴③正确．∴正确结论的个数为2.12. (2013·郑州二模)设f(x)是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立．如果实数m ，n满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （m 2－6m ＋23）＋f （n 2－8n ）＜0，m ＞3，那么m 2＋n 2的取值范围是(C) A. (3，7) B. (9，25)C. (13，49)D. (9，49)∵对于任意的x 都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立， ∴f(1－x)＝－f(1＋x)．∵f(m 2－6m ＋23)＋f(n 2－8n)＜0，∴f(m 2－6m ＋23)＜－f [1＋(n 2－8n －1)]，∴f(m 2－6m ＋23)＜f [1－(n 2－8n －1)]＝f(2－n 2＋8n)，∵f(x)是定义在R 上的增函数，∴m 2－6m ＋23＜2－n 2＋8n ，∴(m －3)2＋(n －4)2＜4，∵(m －3)2＋(n －4)2＝4的圆心坐标为(3，4)，半径为2，∴(m －3)2＋(n －4)2＝4(m ＞3)内的点到原点距离的取值范围为(32＋22，5＋2)，即(13，7)，∵m 2＋n 2表示(m －3)2＋(n －4)2＝4内的点到原点距离的平方，∴m 2＋n 2 的取值范围是(13，49)．二、 填空题(每小题5分，共20分)13. 等差数列{a n }的前7项和等于前2项和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝__6__． 设等差数列的公差为d ，设其前n 项和为S n .由S 7＝S 2，得7a 1＋7×（7－1）d2＝2a 1＋d ，即7＋21d ＝2＋d ，解得d ＝－14.再由a 1＋(k －1)d ＋a 1＋3d ＝1－14(k －1)＋1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14＝0.解得k ＝6.14. (2013·保定一模)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x ＋y≥2，x ≤2，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为__2__．约束条件对应的平面区域如图所示．当直线z ＝2x ＋y 过A(2，2)时，z 取得最大值6.当直线z ＝2x ＋y 过B(1，1)时，z 取得最小值3，故z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为2.15. (2013·揭阳期末)在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2b －c)cos A ＝acos C ，则cos A ＝__12__．在△ABC 中，∵(2b －c)cos A ＝acos C ，由正弦定理可得 2sin Bcos A －sin Ccos A ＝sin Acos C.化简可得2sin Bcos A ＝sin (A ＋C)，化简求得cos A ＝12.16. 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0且a≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny ＋2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n 的最小值为__3＋222__.∵函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0且a≠1)的图像恒过定点A(－2，－1)，点A 在mx＋ny ＋2＝0上，其中mn ＞0，∴－2m －n ＋2＝0，即 2m ＋n ＝2.∴m＞0，n ＞0. ∴1m ＋1n ＝m ＋n 2m ＋m ＋n 2n ＝1＋n2m ＋12＋mn ＝32＋n2m ＋mn ≥ 32＋2n 2m ·m n ＝3＋222，当且仅当n 2m＝m n时取等号，故1m ＋1n 的最小值为3＋222.三、 解答题(共70分)17. (12分)(2013·江西师大附中期中)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为10，a na 3n是一个与n 无关的常数，数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和T n ；(2)若a 1，a 2，a 4恰为等比数列{b n }的前三项，记数列c n ＝a n (cos n π＋b n )，求{c n }的前n 项和K n .(1)a n a 3n 是一个与n 无关的常数，∴a 1＝d. ∵S 4＝4a 1＋12×4×3×d＝10a 1＝10，∴a 1＝1，∴a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2，(3分)∴1S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.(6分) (2)∵b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝2，b 3＝a 4＝22是等比数列{b n }的前三项，∴b n ＝2n －1. ∴c n ＝n(－1)n ＋n×2n －1，(8分) 记A n ＝－1＋2－3＋…＋n(－1)n ，则A n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋12，当n 为奇数时，n2，当n 为偶数时，B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n －1＝(n －1)2n ＋1.∴K n＝⎩⎪⎨⎪⎧（n －1）·2n －n －12，当n 为奇数时，（n －1）·2n＋n ＋22，当n 为偶数时.(12分)18. (12分)(2013·汕头二模)某网站体育版块足球栏目组发起了“选手的上场时间与进球有关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“没关系”“不知道”态度的人数如表所示：(1)态度的人中抽取45人，求n的值；(2)在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率；(3)在接受调查的人中，有8人给这项活动打出分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8个人打出的分数看做一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．(1)由题意得800＋10045＝800＋450＋200＋100＋150＋300n，(2分)∴n＝100.(3分)(2)设所选取的人中，40岁以下的有m人，则200200＋300＝m5，解得m＝2.(5分)也就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2，B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)，共10个．(7分) 其中至少有1人在40岁以下的基本事件有7个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，(8分)∴从中任意抽取2人，至少有1人在40岁以下的概率为710.(9分)(3)总体的平均数为x＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.0，(10分)那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2，∴该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为18.(12分)19. (12分)(2013·郑州二模)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D 为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)设点O 为AB 1上的动点，当OD∥平面ABC 时，求AOOB 1的值．(1)取BC 中点为M ，连接AM ，B 1M ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC⊥平面BB 1C 1C ，△ABC 为正三角形，∴AM ⊥BC ，(2分)故AM⊥平面BB 1C 1C ，又BD ⊂平面BB 1C 1C ，∴AM ⊥BD. 又正方形BCC 1B 1中，tan∠BB 1M ＝tan∠CBD＝12，∴∠BB 1M ＝∠CBD，∴BD ⊥B 1M ，又B 1M ∩AM ＝M ， ∴BD ⊥平面AB 1M ，故AB 1⊥BD ，(4分) 又正方形BAA 1B 1中，AB 1⊥A 1B ，A 1B ∩BD ＝B ， ∴AB 1⊥平面A 1BD.(6分)(2)取AA 1的中点为N ，连接ND ，OD ，ON.∵N ，D 分别为AA 1，CC 1的中点，∴ND ∥平面ABC ，又OD∥平面ABC ，ND ∩OD ＝D ，∴平面NOD∥平面ABC ，(8分)∴ON ∥平面ABC ，又ON ⊂平面BAA 1B 1，平面BAA 1B 1∩平面ABC ＝AB ，∴ON ∥AB ，注意到AB∥A 1B 1，∴ON ∥A 1B 1，又N 为AA 1的中点，∴O 为AB 1的中点，即AO OB 1＝1为所求．(12分)20. (12分)(2013·天津和平二模)已知点A ，B 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴的左、右端点，点C 是椭圆短轴的一个端点，且离心率e ＝22.△ABC 的面积为2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆交于M ，N 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆上存在点P ，满足OM →＋ON →＝λOP →(O 为坐标原点)，求λ的取值范围；(3)在(2)的条件下，当λ＝2时，求△MNO 的面积．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝22，12×2a ×b ＝2，∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(3分)(2)y ＝kx ＋m 代入椭圆方程整理可得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 设点M ，N ，P 的坐标分别为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.∴y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k 2.(ⅰ)当m ＝0时，点M ，N 关于原点对称，则λ＝0.(4分) (ⅱ)当m≠0时，点M ，N 不关于原点对称，则λ≠0， ∵OM→＋ON →＝λOP →， ∴(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝λ(x 0，y 0)，∴x 1＋x 2＝λx 0，y 1＋y 2＝λy 0， ∴x 0＝－4kmλ（1＋2k 2），y 0＝2m λ（1＋2k 2）.(6分)∵P 在椭圆上，∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4km λ（1＋2k 2）22＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2m λ（1＋2k 2）2＝1. 化简，得4m 2(1＋2k 2)＝λ2(1＋2k 2)2. ∵1＋2k 2≠0，∴4m 2＝λ2(1＋2k 2)． ①又Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝8(1＋2k 2－m 2)， ∴由Δ＞0，得1＋2k 2＞m 2. ②(8分)∵m ≠0，∴由①②得λ2＜4，∴－2＜λ＜2且λ≠0.综合(ⅰ)(ⅱ)两种情况，得实数λ的取值范围是(－2，2)．(8分) (3)由题意，|MN|＝1＋k 2|x 1－x 2|，点O 到直线MN 的距离d ＝|m|1＋k 2，∴S △MNO ＝12|m|·|x 1－x 2|＝2|m|1＋2k 2－m 21＋2k 2.当λ＝2时，由4m 2＝λ2(1＋2k 2)可得2m 2＝1＋2k 2，∴S △MNO ＝22.(12分)21. (12分)已知函数f(x)＝ln x 与g(x)＝kx ＋b(k ，b ∈R)的图像交于P ，Q 两点，曲线y ＝f(x)在P ，Q 两点处的切线交于点A.(1)当k ＝e ，b ＝－3时，求f(x)－g(x)的最大值(e 为自然常数)； (2)若A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e e －1，1e －1，求实数k ，b 的值． (1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x －ex ＋3(x ＞0)， 则h′(x)＝1x －e ＝－e x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1e ，当0＜x ＜1e 时，h ′(x)＞0，此时函数h(x)为增函数；当x ＞1e时，h ′(x)＜0，此时函数h(x)为减函数．∴函数h(x)的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1e ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，＋∞.∴当x ＝1e 时，f(x)－g(x)的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＝－1－1＋3＝1.(6分)(2)设过点A 的直线l 与函数f(x)＝ln x 切于点(x 0，ln x 0)，则其斜率k ＝1x 0，故切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e e －1，1e －1代入直线l 方程得1e －1－ln x 0＝1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e e －1－x 0， 即e －1e ln x 0＋1x 0－1＝0，(8分)设v(x)＝e －1e ln x ＋1x －1(x ＞0)，则v′(x)＝e －1ex －1x 2＝e －1ex 2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －e e －1， 当0＜x ＜ee －1时，v ′(x)＜0，函数v(x)为减函数；当x ＞ee －1时，v ′(x)＞0，函数v(x)为增函数. (10分) 故方程v(x)＝0至多有两个实根，又v(1)＝v(e)＝0，∴方程v(x)＝0的两个实根为1和e ，故P(1，0)，Q(e ，1)，∴k ＝1e －1，b ＝11－e 为所求．(12分) 22. (10分)(2013·徐州三模)如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连接CD 并延长交圆A 于点E ，连接AE.求证：DE·DC＝2AD·DB.∵BC 是⊙A 的切线，∴AC ⊥BC ，∵∠ACD ＋∠BCD＝90°，AC ＝AE ，BC ＝BD ，∴∠ACD ＝∠E，∠BCD ＝∠BDC，∵∠ADE ＝∠BDC，∴∠E ＋∠ADE＝90°，∴AE ⊥AB.(6分) 延长DB 交⊙B 于点F ，连接FC ，则DF ＝2DB ，∠DCF ＝90°， ∴∠ACD ＝∠F，∴∠E ＝∠F，∴Rt △ADE Rt△CDF，∴AD CD ＝DE DF，∴DE ·DC ＝AD·DF， ∵DF ＝2DB ，∴DE ·DC ＝2AD·DB.(10分)23. (10分)(2013·南阳模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－32.(5分) (2)C 1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－sin αcos α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α， P 点轨迹的普通方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －142＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0，半径为14的圆．(10分) 24. (10分)已知函数f(x)＝|x －a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．(1)由f(x)≤3得|x －a|≤3，解得a －3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. (5分) (2)当a ＝2时，f(x)＝|x －2|.设g(x)＝f(x)＋f(x ＋5)，于是g(x)＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3，5，－3≤x≤2，2x ＋1，x ＞2，∴当x ＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x ＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x ＋5)≥m，即g(x)≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]. (10分)。

课时提升作业十四利用导数研究函数的单调性(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为()A.(0,1)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选A.函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)<0,解得0<x<1,所以单调递减区间是(0,1).2.(2016·聊城模拟)若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.a≥1B.a=1C.a≤1D.0<a<1 【解析】选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1,又f(x)在(0,1)内单调递减,所以不等式3x2-2ax-1<0在(0,1)内恒成立,所以f′(0)≤0,且f′(1)≤0,所以a≥1.3.对于实数集R上的可导函数f(x),若满足(x2-3x+2)f′(x)<0,则在区间[1,2]上必有()A.f(1)≤f(x)≤f(2)B.f(x)≤f(1)C.f(x)≥f(2)D.f(x)≤f(1)或f(x)≥f(2)【解析】选A.由(x2-3x+2)f′(x)<0知,当x2-3x+2<0,即1<x<2时,f′(x)>0,所以f(x)是区间[1,2]上的单调递增函数,所以f(1)≤f(x)≤f(2).4.(2016·青岛模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是()A.f(x)=-x3B.f(x)=+x3C.f(x)=-x3D.f(x)=--x3【解析】选A.根据函数的定义域可以排除选项C,D,对于选项B:f′(x)=+3x2,当x>时,f′(x)不可能恒小于0,即函数不可能恒为减函数,故不符合. 5.已知f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf′(x),则不等式f(x+1)>(x-1)·f(x2-1)的解集是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)【解析】选D.因为f(x)+xf′(x)<0,所以(xf(x))′<0,xf(x)在(0,+∞)上为减函数,又因为(x+1)f(x+1)>(x2-1)·f(x2-1),所以0<x+1<x2-1,得x>2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=的单调递减区间是.【解析】f′(x)=,令f′(x)<0得所以0<x<1或1<x<e,故函数的单调递减区间是(0,1)和(1,e).答案:(0,1)和(1,e)7.(2016·济南模拟)若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是.【解析】因为y′=-4x2+a,且y有三个单调区间,所以方程y′=-4x2+a=0有两个不等的实根,所以Δ=02-4×(-4)×a>0,所以a>0.答案:(0,+∞)8.(2015·济宁模拟)已知函数f(x)=-2x2+lnx(a>0).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a的取值范围是.【解析】f′(x)=-4x+,若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,即f′(x)=-4x+≥0或f′(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立,即≥4x-或≤4x-在[1,2]上恒成立.令h(x)=4x-,则h(x)在[1,2]上单调递增,所以≥h(2)或≤h(1),即≥或≤3,又a>0,所以0<a≤或a≥1.答案:∪[1,+∞)【加固训练】已知函数f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是. 【解析】由题意知f′(x)=-x+4-==-,由f′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.答案:(0,1)∪(2,3)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·菏泽模拟)已知函数f(x)=a(x-1)2+lnx,a∈R.(1)当a=-时,求函数y=f(x)的单调区间.(2)当a=时,令h(x)=f(x)-3lnx+x-.求h(x)在[1,e]上的最大值和最小值.【解析】(1)当a=-时,f(x)=-(x-1)2+lnx(x>0),f′(x)=-x++=-,①当0<x<2时,f′(x)>0,f(x)在(0,2)上单调递增;②当x>2时,f′(x)<0,f(x)在(2,+∞)上单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).(2)当a=时,h(x)=f(x)-3lnx+x-=x2-2lnx,所以h′(x)=x-,令h′(x)=0,解得x=,当x∈[1,]时,h′(x)≤0,当x∈[,e)时,h′(x)≥0,故x=是函数h(x)在[1,e]上唯一的极小值点,故h(x)min=h()=1-ln2,又h(1)=,h(e)=e2-2>,所以h(x)max=e2-2.10.设函数f(x)=alnx+,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)讨论函数f(x)的单调性.【解题提示】(1)当a=0时,求出函数f(x)的导函数f′(x),进而求出切线的斜率,即可求出切线方程.(2)结合函数的导函数,对a进行分情况讨论,判断导函数的符号,进而确定其单调性.【解析】(1)由题意知a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞),此时f′(x)=,可得f′(1)=,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=+=.当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).①当a=-时,Δ=0,f′(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.③当-<a<0时,Δ>0,设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,则x1=,x2=.由于x1==>0,所以当x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.综上可得:当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-<a<0时,f(x)在,上单调递减,在上单调递增.(20分钟40分)1.(5分)(2016·南昌模拟)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞) 【解题提示】构造函数F(x)=f(x)-(2x+4),利用导数求解.【解析】选B.设F(x)=f(x)-(2x+4),则F(-1)=f(-1)-(-2+4)=2-2=0,对任意x∈R,f′(x)>2,所以F′(x)=f′(x)-2>0,即F(x)在R上单调递增,则F(x)>0的解集为(-1,+∞),即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).2.(5分)已知函数f(x)=x3-x2-x,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为()A.f(-a2)≤f(-1)B.f(-a2)<f(-1)C.f(-a2)≥f(-1)D.f(-a2)与f(-1)的大小关系不确定【解析】选A.由题意可得f′(x)=x2-2x-,令f′(x)=(3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x=.当x<-1时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当-1<x<0时,f′(x)<0,f(x)为减函数.所以f(-1)是函数f(x)在(-∞,0]上的最大值,又因为-a2≤0,所以f(-a2)≤f(-1).【加固训练】若f(x)=xsinx+cosx,则f(-3),f,f(2)的大小关系为.【解析】函数f(x)为偶函数,因此f(-3)=f(3).又f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当x∈时,f′(x)<0.所以f(x)在区间上是减函数,所以f>f(2)>f(3)=f(-3).答案:f(-3)<f(2)<f3.(5分)(2016·济宁模拟)已知向量a=,b=(1,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上存在增区间,则t的取值范围为.【解析】f(x)=e x+-tx,x∈(-1,1),f′(x)=e x+x-t,函数在(-1,1)上存在增区间,则f′(x)>0在(-1,1)上能成立,故e x+x>t在(-1,1)上能成立,故e+1>t.答案:(-∞,e+1)4.(12分)设函数f(x)=x2+e x-xe x.(1)求f(x)的单调区间.(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=x+e x-(e x+xe x)=x(1-e x).若x<0,则1-e x>0,所以f′(x)<0;若x>0,则1-e x<0,所以f′(x)<0;若x=0,则f′(x)=0.所以f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,即f(x)的单调减区间为(-∞,+∞).(2)由(1)知f(x)在[-2,2]上单调递减,所以[f(x)]min=f(2)=2-e2.所以当m<2-e2时,不等式f(x)>m恒成立.即实数m的取值范围是(-∞,2-e2).5.(13分)(2016·青岛模拟)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数).(1)若a<1,求函数f(x)的单调区间.(2)若a=1,函数φ(x)=xf(x)+t f ′(x)+,存在实数x1,x2∈[0,1],使2φ(x1)<φ(x2)成立,求实数t 的取值范围.【解析】(1)因为函数的定义域为R,f′(x)=.①当a=0时,f′(x)<0,f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞);②当a<0时,由f′(x)=0,得x=.所以f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是;③当0<a<1时,由f′(x)=0,得x=;所以f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)假设存在x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立,则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.因为φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x=,所以φ′(x)==-.①当t≥1时,φ′(x)≤0,φ(x)在[0,1]上单调递减,所以2φ(1)<φ(0),即t>3->1.②当t≤0时,φ′(x)≥0,φ(x)在[0,1]上单调递增,所以2φ(0)<φ(1),即t<3-2e<0,③当0<t<1时,若x∈[0,t),则φ′(x)<0,φ(x)在[0,t)上单调递减;若x∈(t,1],φ′(x)≥0,φ(x)在(t,1]上单调递增,所以2φ(t)<max{φ(0),φ(1)},即2<max,(*),又g(t)=2在[0,1]上单调递减,故≤2·≤2,而<<,所以不等式(*)无解.综上所述,存在t∈(-∞,3-2e)∪,使得命题成立.。

课时提升作业十二函数模型及其应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·聊城模拟)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如表:则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x【解析】选D.根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.【加固训练】(2016·阜阳模拟)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100【解析】选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可得,应选C.2.(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.C. D.-1【解析】选D.设该市这两年生产总值的年平均增长率为x,则由已知,列得=,解得x=-1.3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]【解题提示】利用三角形相似求出矩形的另一边长,再利用面积关系求解自变量的取值范围. 【解析】选C.设矩形的另一边长为ym,则由三角形相似知,=,所以y=40-x.因为xy≥300,所以x(40-x)≥300,所以x2-40x+300≤0,所以10≤x≤30.4.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况【解析】选B.设该股民购这只股票的价格为a,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.5.(2016·威海模拟)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如下表所示:则下列说法中正确的是()①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖3小包比卖1大包盈利多;④卖1大包比卖3小包盈利多.A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】选D.买小包装时每克费用为元,买大包装每克费用为=元,而>,所以买大包装实惠,卖3小包的利润为3×(3-1.8-0.5)=2.1(元),卖1大包的利润是8.4-1.8×3-0.7=2.3(元).而2.3>2.1,卖1大包盈利多,故选D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,书的一页的面积为600cm2,设计要求书面上方空出2cm的边,下、左、右方都空出1cm 的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为.【解析】设长为acm,宽为bcm,则ab=600cm2,则中间文字部分的面积S=(a-2-1)(b-2)=606-(2a+3b)≤606-2=486,当且仅当2a=3b,即a=30,b=20时,S最大=486cm2.答案:30cm,20cm7.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771) 【解析】设过滤n次才能达到市场要求,则2%≤0.1%,即≤,所以nlg≤-1-lg2,所以n≥7.39,所以n=8.答案:88.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是.【解析】七月份的销售额为500(1+x%),八月份的销售额为500(1+x%)2,则一月份到十月份的销售总额是3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2],根据题意有3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,即25(1+x%)+25(1+x%)2≥66,令t=1+x%,则25t2+25t-66≥0,解得t≥或者t≤-(舍去),故1+x%≥,解得x≥20.答案:20三、解答题9.(10分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30人或30人以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数.(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?【解析】(1)设旅行团人数为x人,由题得0<x≤75,飞机票价格为y元,则y=即y=(2)设旅行社获利S元,则S=即S=因为S=900x-15000在区间(0,30]上为单调增函数,故当x=30时,S取最大值12000元,又S=-10(x-60)2+21000在区间(30,75]上当x=60时,取得最大值21000.故当x=60时,即每团人数为60人时,旅行社可获得最大利润.【加固训练】(2016·青岛模拟)我县某企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位是万元)(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元).【解析】(1)投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,由题设f(x)=k1x,g(x)=k2,由图知f(1)=,所以k1=,又g(4)=,所以k2=.从而f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)设A产品投入x万元,则B产品投入(10-x)万元,设企业的利润为y万元,y=f(x)+g(10-x)=+(0≤x≤10),令=t,则y=+t=-(t-)2+(0≤t≤),当t=时,y max≈4,此时x=10-=3.75,10-x=6.25.所以投入A产品3.75万元,投入B产品6.25万元时,能使企业获得最大利润,且最大利润约为4万元.(20分钟40分)1.(5分)(2016·临沂模拟)为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中都需要对文件加密,有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem),其加密、解密原理为:发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).现在加密密钥为y=kx3,如“4”通过加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“”,则解密后得到的明文是()A. B. C.2D.【解析】选A.由题目可知加密密钥y=kx3是一个幂函数型,由已知可得,当x=4时,y=2,即2=k×43,解得k==.故y=x3,显然令y=,则=x3,即x3=,解得x=.2.(5分)图形M(如图所示)是由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成,函数S=S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y=0及y=a之间的那一部分面积,则函数S(a)的图象大致是()【解析】选C.依题意,当0≤a≤1时,S(a)=+2a=-a2+3a;当1<a≤2时,S(a)=+2a;当2<a≤3时,S(a)=+2+a=a+;当a>3时,S(a)=+2+3=,于是S(a)=由解析式可知选C.3.(5分)A,B两只船分别从在东西方向上相距145km的甲乙两地开出.A从甲地自东向西行驶.B从乙地自北向南行驶,A的速度是40km/h,B的速度是16km/h,经过小时,A,B间的距离最短.【解析】设经过xh,A,B相距为ykm,则y=,求得函数取最小值时x的值为. 答案:4.(12分)已知某物体的温度θ(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律是θ=m·2t+21-t(t ≥0,并且m>0).(1)如果m=2,求经过多长时间,物体的温度为5摄氏度.(2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.【解析】(1)若m=2,则θ=2·2t+21-t=2,当θ=5时,2t+=,令2t=x(x≥1),则x+=,即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=(舍去),此时t=1.所以经过1分钟,物体的温度为5摄氏度.(2)物体的温度总不低于2摄氏度,即θ≥2恒成立,亦m·2t+≥2恒成立,亦即m≥2恒成立.令=y,则0<y≤1,所以m≥2(y-y2)恒成立,由于y-y2≤,所以m≥.因此,当物体的温度总不低于2摄氏度时,m的取值范围是.5.(13分)(2016·青岛模拟)在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支2000元.(1)当商品的销售价格为每件多少元时,月利润余额最大?并求最大余额.(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?【解析】设该店月利润余额为L,则由题设得L=Q(P-14)×100-3600-2000,①由销量图易得Q=代入①式得L=此时P=19.5元;当20<P≤26时,L max=元,此时P=元.故当P=19.5元时,月利润余额最大,为450元.(2)设可在n年后脱贫,依题意有12n×450-50000-58000≥0,解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫.。

课时提升作业三十七合情推理与演绎推理(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·枣庄模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数均超过50人C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列{a n}中,a1=1,a n=(n≥2),由此归纳出{a n}的通项公式【解析】选A.A项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提),∠A+∠B=180°(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D是归纳推理,C是类比推理.2.(2014·北京高考)有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B同学,且至少有一科成绩比B高,则称“A同学比B同学成绩好”.现有若干同学,他们之中没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.用D,E,F分别表示优秀、合格和不合格.显然语文成绩得D的学生最多只有1个,语文成绩得E的也最多只有1个,得F的也最多只有1个,因此学生最多只有3个.显然,(DF),(EE),(FD)满足条件,故学生最多3个.3.下列推理是归纳推理的是()A.若A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1,a n=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和S n,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.选项A是演绎推理,选项C,D是类比推理.4.(2016·十堰模拟)依次写出数列a1=1,a2,a3,…,a n(n∈N*)的法则如下:如果a n-2为自然数且未写过,则写a n+1=a n-2,否则就写a n+1=a n+3,则a6=()A.4B.5C.6D.7【解析】选C.根据题中法则,依次逐个代入,得a2=4,a3=2,a4=0,a5=3,a6=6.5.(2016·济宁模拟)对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2016次操作后得到的数是()A.25B.250C.55D.133【解析】选B.由题意知,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133,第5次操作为13+33+33=55,….因此每次操作后的得数呈周期排列,且周期为3,又2016=672×3,故第2016次操作后得到的数是250.【加固训练】(2015·揭阳模拟)对于正实数a,M a为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:∀x1,x2∈R且x2>x1,有-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),下列结论中正确的是()A.若f(x)∈,g(x)∈,则f(x)·g(x)∈B.若f(x)∈,g(x)∈,且g(x)≠0,则∈C.若f(x)∈,g(x)∈,则f(x)+g(x)∈D.若f(x)∈,g(x)∈,且a1>a2,则f(x)-g(x)∈【解题提示】对于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1).变形有-a<<a,令k=,又f(x)∈,g(x)∈,利用不等式的性质可得f(x)+g(x)∈.从而得出正确答案. 【解析】选C.对于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),即有-a<<a,令k=,有-a<k<a,又f(x)∈,g(x)∈,即有-a1<k f<a1,-a2<k g<a2,因此有-a1-a2<k f+k g<a1+a2,因此有f(x)+g(x)∈.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·青岛模拟)观察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第n个等式为.【解析】观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13+23+…+n3==.答案:13+23+…+n3=【加固训练】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289B.1024C.1225D.1378【解析】选C.观察三角形数:1,3,6,10,…,记该数列为{a n},则a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,…a n=a n-1+n.所以a1+a2+…+a n=(a1+a2+…+a n-1)+(1+2+3+…+n)⇒a n=1+2+3+…+n=,观察正方形数:1,4,9,16,…,记该数列为{b n},则b n=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得n都为正整数的只有1225.7.(2016·南昌模拟)观察下列等式:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,53=21+23+25+27+29,……,若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109,则正整数m等于.【解析】依题意,注意到从23到m3(m≥2,m∈N)的分拆中共含有2+3+…+m=个正整数,且最大的正整数为2×+1=(m-1)(m+2)+1,且109=(10-1)×(10+2)+1,因此所求的正整数m=10.答案:10【加固训练】观察下列几个三角恒等式:①tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°=1;②tan 5°tan 100°+tan 100°tan(-15°)+tan(-15°)tan 5°=1;③tan 13°tan 35°+tan 35°tan 42°+tan 42°tan 13°=1.一般地,若tanα,tanβ,tanγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为.【解析】所给三角恒等式都为tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1的结构形式,且α,β,γ之间满足α+β+γ=90°,所以可猜想当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.答案:当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=18.已知数列{a n}为等差数列,若a m=a,a n=b(n-m≥1,m,n∈N*),则a m+n=.类比等差数列{a n}的上述结论,对于等比数列{b n}(b n>0,n∈N*),若b m=c,b n=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到b m+n=.【解析】设数列{a n}的公差为d1,则d1==.所以a m+n=a m+nd1=a+n·=.类比推导方法可知:设数列{b n}的公比为q,由b n=b m q n-m,可知d=cq n-m,所以q=,所以b m+n=b m q n=c·=.答案:【一题多解】本题还可以采用如下解法:(直接类比)设数列{a n}的公差为d1,数列{b n}的公比为q,因为等差数列中a n=a1+(n-1)d1,等比数列中b n=b1q n-1,因为a m+n=,所以b m+n=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.【解析】(1)选择②式,计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.10.(1)设x是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3.(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.【解析】(1)x是正实数,由基本不等式,得x+1≥2,x2+1≥2x,x3+1≥2.故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2·2x·2=8x3(当且仅当x=1时等号成立).(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3仍然成立.由(1)知,当x>0时,不等式成立;当x≤0时,8x3≤0,而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)≥0,此时不等式仍然成立.(20分钟40分)1.(5分)观察下式:1+3=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=52…据此你可归纳猜想出一般结论为()A.1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)B.1+3+5+…+(2n+1)=n2(n∈N*)C.1+3+5+…+(2n-1)=(n+1)2(n∈N*)D.1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2(n∈N*)【解析】选D.观察可见第n行左边有n+1个奇数,右边是(n+1)2.2.(5分)命题p:已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作∠F1PF2补角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,在双曲线中也有命题q:已知双曲线-=1(a>0,b>0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作∠F1PF2的的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.【解析】对于椭圆,延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知,M为F2Q的中点,且|PF2|=|PQ|,从而OM∥F1Q且|OM|=|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,所以|OM|=a.对于双曲线,过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线,垂足为点M,类比可得OM=a.答案:内角平分线【加固训练】(2015·重庆模拟)在等差数列{a n}中,若公差为d,且a1=d,那么有a m+a n=a m+n,类比上述性质,写出在等比数列{a n}中类似的性质:.【解析】等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积,故在等比数列中,类似的性质是“在等比数列{a n}中,若公比为q,且a1=q,则a m·a n=a m+n.”答案:在等比数列{a n}中,若公比为q,且a1=q,则a m·a n=a m+n3.(5分)(2016·武汉模拟)在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法: 先改写第k项:k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得1×2=(1×2×3-0×1×2),2×3=(2×3×4-1×2×3),……n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2).类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果是(结果写成关于n的一次因式的积的形式).【解析】先改写第k项:k(k+1)(k+2)=[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)],由此得1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4),……,n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)·(n+2)],相加得1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3).答案:n(n+1)(n+2)(n+3)4.(12分)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,在P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时求导,得:2yy′=2p,则y′=,所以在点P处的切线的斜率:k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在点P(,)处的切线方程.【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy′=2x,所以y′=,所以在点P处的切线斜率k===2,所以切线方程为y-=2(x-),所以2x-y-=0.5.(13分)设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:(1)a>0且-2<<-1.(2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.【证明】(1)因为f(0)>0,f(1)>0,所以c>0,3a+2b+c>0.因为a+b+c=0,消去b得a>c>0;再由条件a+b+c=0,消去c得a+b<0且2a+b>0,所以-2<<-1.(2)因为抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为,又因为-2<<-1,所以<-<,因为f(0)>0,f(1)>0,而f=-<0,所以方程f(x)=0在区间与内分别有一实根,故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.。

课时提升作业三十五二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·青岛模拟)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为()A.6B.7C.8D.23【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域,得到如图所示的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5).将直线l:z=2x+3y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值,所以z最小值=7.2.(2014·全国卷Ⅱ)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为()A.10B.8C.3D.2【解析】选B.作出可行域如图中阴影部分所示,由z=2x -y,得y=2x-z,作出直线y=2x,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点B(5,2)时,对应的z值最大.故z max=2×5-2=8.3.已知不等式组表示的平面区域S的面积为4,则z=ax+y的最大值为()A.4B.6C.8D.12【解析】选B.由题意知a>0,如图,不等式组对应的平面区域为△OBC,其中B(a,a),C(a,-a),所以|BC|=2a,所以△OBC的面积为·a·2a=a2=4,所以a=2.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时,直线截距最大,此时z也最大,把B(2,2)代入z=2x+y得z=2×2+2=6.4.(2016·滨州模拟)已知z=2x+y,x,y满足且z的最大值是最小值的4倍,则m 的值是()A. B.C. D.【解析】选A.因为z=2x+y既存在最大值,又存在最小值,所以不等式组表示的平面区域为一个有界区域,可得m<1,作出不等式组表示的平面区域,得到如图所示的△ABC及其内部,其中A(1,1),B(m,m),C(m,2-m).将直线l:z=2x+y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最大值;当l经过点B时,目标函数z达到最小值,所以z最大值=3;z最小值=3m,因为z的最大值是最小值的4倍,所以3=4×3m,解得m=.5.(2015·枣庄模拟)若关于x,y的不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为()A.1B.2C.3D.-1【解析】选C.当a≤0时,显然不合题意;当a>0时,不等式组所围成的区域如图所示.因为其面积为2,所以|AC|=4,所以C的坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,解得a=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·日照模拟)若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为.【解析】平面区域A如图所示,所求面积为S=×2×2-××=2-=.答案:7.(2016·东营模拟)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,则m的取值范围是.【解析】不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示:要使平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,必须使点A位于直线x-2y-2=0的右下侧,即m-2(-m)-2>0,所以m>.答案:【加固训练】设D为不等式组所表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为.【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点B(1,0)到直线2x-y=0的距离最小,d==,故最小距离为.答案:8.某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为元.【解析】设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则目标函数z=450x+350y,画出可行域如图阴影部分的整点,当目标函数所在直线经过A(7,5)时,利润最大,为4900元.答案:4900三、解答题(每小题10分,共20分)9.当x,y满足约束条件(k为负常数)时,能使z=x+3y的最大值为12,试求k的值.【解析】在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示).当直线y=-x+z经过区域中的点A时,截距最大.由得x=y=-.所以点A的坐标为.则z的最大值为-+3=-k.令-=12,得k=-9.所以所求实数k的值为-9.10.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,求公司共可获得的最大利润.【解析】设某公司生产甲产品x桶,生产乙产品y桶,获利为z元,则x,y满足的线性约束条件为目标函数z=300x+400y.作出可行域,如图中四边形OABC的边界及其内部整点.作直线l0:3x+4y=0,平移直线l0经可行域内点B时,z取最大值,由得B(4,4),满足题意,所以z max=4×300+4×400=2800(元).(20分钟40分)1.(5分)(2015·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为()A.3B.4C.18D.40【解析】选 C.如图所示,x+2=0与x-y+3=0的交点为(-2,1),x+2=0与2x+y-3=0的交点为(-2,7),x-y+3=0和2x+y-3=0与y轴的交点为(0,3).所以当动直线z=x+6y经过(0,3)时,z取到最大值.z max=0+6×3=18.2.(5分)(2016·德州模拟)在平面直角坐标系中,点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点,Q是直线2x+y=0上任意一点,O为坐标原点,则|+|的最小值为()A. B.C. D.1【解析】选A.在直线2x+y=0上取一点Q′,使得=,则|+|=|+|=||≥||≥||,其中P′,B分别为点P,A在直线2x+y=0上的投影,如图:因为||==,因此|+|min=.3.(5分)(2016·聊城模拟)设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为.【解析】因为=1+,而表示过点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a>0,所以作出可行域,如图,由题意可知的最小值是,即===,解得a=1.答案:14.(12分)铁矿石A和B的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表.某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,求购买铁矿石的最少费用为多少百万元?【解析】设购买铁矿石A为x万吨,购买铁矿石B为y万吨,总费用为z百万元.根据题意,得整理,得线性目标函数为z=3x+6y,画出可行域如图中阴影部分所示.当x=1,y=2时,z取得最小值.所以z min=3×1+6×2=15(百万元).故购买铁矿石的最少费用为15百万元.5.(13分)变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值.(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.【解析】由约束条件作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)因为z==,所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min=|OC|=,d max=|OB|=.故z的取值范围是[2,29].(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,d min=1-(-3)=4,d max==8.故z的取值范围是[16,64].。

单元评估检测(一)第一章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知下列结论:①-2∈Z;②π∉Q;③N⊆N*;④Q R.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为Z,Q,N,N*,R分别表示整数集、有理数集、自然数集(包括0),正整数集,实数集,又因为-2是整数,π是无理数,所以①正确;②正确;③不正确;④正确.2.(2016·济宁模拟)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x(x-2)<0},则A∩B=()A.{0}B.{-1}C.{1}D.{0,-1,1}【解析】选C.因为B={x|0<x<2},所以A∩B={1}.【一题多解】解答本题还可用如下方法:选C.验证法:当x=0时,x(x-2)=0<0不成立;当x=-1时,x(x-2)=3<0不成立;当x=1时,x(x-2)=-1<0成立.结合答案选项可知选C.3.命题“∃x0∈∁R Q,∈Q”的否定是()A.∃x0∉∁R Q,∈QB.∃x0∈∁R Q,∉QC.∀x∉∁R Q,x2∈QD.∀x∈∁R Q,x2∉Q 【解析】选D.“∃x0∈∁R Q”的否定为“∀x∈∁R Q”,“∈Q”的否定为“x2∉Q”.【加固训练】已知命题p:∃x 0>1,-1>0,那么p是()A.∀x>1,x2-1>0B.∀x>1,x2-1≤0C.∃x0>1,-1≤0D.∃x0≤1,-1≤0【解析】选B.“∃x0>1,-1>0”的否定为“∀x>1,x2-1≤0”.4.(2016·青岛模拟)设A=,B={x|x≥a}.若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.a<B.a≤C.a≤1D.a<1【解析】选C.A={1,2,3,4},由A⊆B得a≤1.【误区警示】本题易误选A或B,出现错误的原因是忽视了集合A中“x∈Z”这一条件及对端点值的验证.5.(2016·临沂模拟)使x2>4成立的充分不必要条件是()A.2<x<4B.-2<x<2C.x<0D.x>2或x<-2 【解题提示】要分清谁是谁成立的充分不必要条件.【解析】选A.因为x2>4的解集为{x|x>2或x<-2},故A选项正确.6.已知集合M=,N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}=()A.M∩NB.M∪NC.∁R(M∩N)D.∁R(M∪N)【解题提示】先解不等式,化简集合M,再数形结合求解.【解析】选D.<0⇔(x+3)(x-1)<0⇔-3<x<1,即M={x|-3<x<1},由图易知{x|x≥1}=∁R(M∪N).7.(2016·聊城模拟)p:x>1,y>1,q:x+y>2,xy>1,则p是q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的结论可得p⇒q,但x=100,y=0.1,满足x+y>2,xy>1,但不满足p,故p是q的充分而不必要条件.8.设等差数列{a n}的公差为d,则a1d>0是数列{}为递增数列的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.数列{}为递增数列⇔>⇔>1⇔>1⇔>1⇔a1d>0.【加固训练】“sinα≠sinβ”是“α≠β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.α=β⇒sinα=sinβ,但sinα=sinβα=β.因此α=β是sinα=sinβ的充分不必要条件,从而“sinα≠sinβ”是“α≠β”的充分不必要条件.9.已知命题p:∃x 0∈R,x0<+1,命题q:∀x∈R,sin4x-cos4x≤1,则p∨q,p∧q,p∨q,p∧(q)中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为x2-x+1>0对∀x∈R恒成立,即x<x2+1恒成立,所以p真;因为sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x≤1恒成立,所以q真.故p假,q假,所以p∨q真,p∧q真,p∨q真,p∧(q)假.10.(2016·淄博模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】把问题转化为方程x2+bx+c=0有根的情况解答.【解析】选A.若c<0,则Δ=b2-4c>0,所以∃x0∈R,使f(x0)<0成立.若∃x0∈R,使f(x0)<0,则有Δ=b2-4c>0,即b2-4c>0即可,所以当c=1,b=3时,满足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要条件.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因就是不能进行合理转化,尤其反推时,不知道举反例,而导致误选C.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·合肥模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},则A⊕B等于__________.【解题提示】先化简集合A,B,再按新定义计算.【解析】因为A=,B={y|y<0},所以A-B={y|y≥0},B-A=,A⊕B=(A-B)∪(B-A)=.答案:∪[0,+∞)12.命题:已知x∈R,若x<1,则x2<1的逆否命题是__________________________.【解析】已知x∈R是大前提,所以原命题的逆否命题是:已知x∈R,若x2≥1,则x≥1.答案:已知x∈R,若x2≥1,则x≥113.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},集合A×B中属于集合{(x,y)|log x y∈N}的元素的个数是________.【解析】由定义可知A×B中的元素为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8).其中使log x y∈N的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4)共4个.答案:414.(2016·枣庄模拟)下列3个命题:①“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”;②“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;③在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件.其中真命题的序号是________.【解析】当φ=时,f(x)=tan==(x≠kπ,k∈Z),f(-x)===-f(x),即f(x)为奇函数,所以①为假命题;命题“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题是“若x2+x-6<0,则x≤2”,因为x2+x-6<0⇔-3<x<2,所以②为真命题;在△ABC 中,当A=160°时,sinA=sin160°=sin20°<sin30°=.所以③为假命题.答案:②15.(2016·北京模拟)设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是____________.【解题提示】先化简集合A,再结合二次函数的图象求解.【解析】A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数为2,所以有f(2)≤0且f(3)>0,即所以即≤a<.答案:【加固训练】(2015·大连模拟)若命题“∀x∈R,ax2-a2x-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】当a=0时,-2≤0成立,当a≠0时,由题意,得解得-2≤a<0,综上所述,a∈[-2,0].答案:[-2,0]三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={x|x2-1<0},B={x|x+a>0}.(1)若a=-,求A∩B.(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-1<x<1}.(1)当a=-时,B==,所以A∩B=.(2)若A∩B=A,则A⊆B,因为B={x|x>-a},所以-a≤-1,即a≥1.17.(12分)设集合A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-3,4},A∩B={-3},求a,b,c的值.【解析】因为A∩B={-3},所以-3∈A,且-3∈B,所以(-3)2-3a-12=0,解得a=-1,A={x|x2-x-12=0}={-3,4}.因为A∪B={-3,4},且A≠B,所以B={-3},即方程x2+bx+c=0有两个等根为-3,所以即b=6,c=9.综上a,b,c的值分别为-1,6,9.18.(12分)(2016·临沂模拟)已知命题p:函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R,命题q:函数y=-(5-2a)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【解析】由函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R得x2+2x+a>0恒成立,所以Δ=4-4a<0,a>1,由函数y=-(5-2a)x是减函数,得5-2a>1,所以a<2.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p,q必为一真一假,当p真q假时,所以a≥2.当p假q真时,所以a≤1.综上所述,a的取值范围是a≥2或a≤1.【加固训练】已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.【解析】命题p为真时,实数m满足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;命题q为真时,实数m满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.p∨q为真命题,p∧q为假命题,等价于p真q假或者p假q真.若p真q假,则实数m满足解得m≥3;若p假q真,则实数m满足解得1<m≤2.综上可知,所求m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).19.(12分)(2016·青岛模拟)已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0.(1)求p中对应x的取值范围.(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.【解析】(1)因为x2≤5x-4,所以x2-5x+4≤0,即(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4,即p中对应x的取值范围为1≤x≤4.(2)设p对应的集合为A={x|1≤x≤4}.由x2-(a+2)x+2a≤0,得(x-2)(x-a)≤0.当a=2时,不等式的解为x=2,对应的解集为B={2};当a>2时,不等式的解为2≤x≤a,对应的解集为B={x|2≤x≤a};当a<2时,不等式的解为a≤x≤2,对应的解集为B={x|a≤x≤2}.若p是q的必要不充分条件,则B A,当a=2时,满足条件;当a>2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|2≤x≤a},要使B A,则满足2<a≤4;当a<2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤2},要使B A,则满足1≤a<2.综上,1≤a≤4.20.(13分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B=.(1)若A∩B=∅,求a的取值范围.ðA)∩B.(2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时,求(R【解题提示】(1)先化简集合A,B,再由题意列关于a的不等式组求解.(2)先由题意确定a的值,再求解.【解析】A={y|y<a或y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.(1)当A∩B=∅时,解得≤a≤2或a≤-.即a∈(-∞,-]∪[,2].(2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0,依题意Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2.所以a的最小值为-2.当a=-2时,A={y|y<-2或y>5}.所以∁R A={y|-2≤y≤5},故(∁R A)∩B={y|2≤y≤4}.21.(14分)求证:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.【解题提示】充分性与必要性分两步证明→充分性:a≤0或a=1作为条件,必要性:ax2+2x+1=0有且只有一个负数根作为条件.【证明】充分性:当a=0时,方程为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根.当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1,方程只有一负根.当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且<0,方程有一正一负两个根.所以充分性得证.必要性:若方程ax2+2x+1=0有且只有一负根.当a=0时,符合条件.当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,则Δ=4-4a≥0,所以a≤1,当a=1时,方程有一负根x=-1.当a<1时,若方程有且只有一负根,则所以a<0.所以必要性得证.综上,方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.。

课时提升作业八对数函数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=的定义域为()A. B.C. D.(0,+∞) 【解析】选A.由得-<x<0.2.(2016·莱芜模拟)已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是()A.a=b<cB.a=b>cC.a<b<cD.a>b>c 【解析】选B.a=log23+log2=log23>1,b=log2=log23,所以a=b>1,而c=log32<1,所以a=b>c.3.函数y=lg|x-1|的图象是()【解析】选A.因为y=lg|x-1|=当x=1时,函数无意义,故排除B,D.又当x=2或0时,y=0,所以A项符合题意.【加固训练】在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x≥0),g(x)=log a x的图象可能是()【解析】选D.方法一:分a>1,0<a<1两种情形讨论.当a>1时,f(x)=x a(x≥0)与g(x)=log a x均为增函数,但f(x)=x a递增较快,排除C;当0<a<1时,f(x)=x a(x≥0)为增函数,g(x)=log a x为减函数,排除A,由于f(x)=x a递增较慢,所以选D.方法二:幂函数f(x)=x a的图象不过(0,1)点,排除A;B项中由对数函数g(x)=log a x的图象知0<a<1,而此时幂函数f(x)=x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势,故B错,D对;C项中由对数函数g(x)=log a x的图象知a>1,而此时幂函数f(x)=x a的图象应是增长越来越快的变化趋势,故C错.4.(2016·济南模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(-x),当x∈时,f(x)=log2(x+1),则f(x)在区间内是()A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0【解析】选B.因为f(x)是R上的奇函数,则有f(x+1)=f(-x)=-f(x).若当x∈,则x-1∈,f(x)=-f(x-1)=-log2x,所以f(x)在区间内是减函数且f(x)<0.5.(2016·聊城模拟)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)【解析】选C.①当a>0时,-a<0,a>lo a,由f(a)>f(-a)得log所以2log2a>0,所以a>1.②当a<0时,-a>0,由f(a)>f(-a)得,(-a),lo(-a)>log所以2log2(-a)<0,所以0<-a<1,即-1<a<0.由①②可知-1<a<0或a>1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.计算:log2(-)=________.【解析】原式=log2(-)2=log2(4-2)=log2(4-2)=log22=.答案:【一题多解】本题还可以采用如下解法:原式=log2=log2=log2=log2=log2=.答案:7.(2016·烟台模拟)已知f(x)=是R上的减函数,则a的取值范围是__________.【解析】因为f(x)是R上的减函数,所以解得≤a<1.答案:8.(2016·南昌模拟)设实数a,b是关于x的方程|lgx|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc的取值范围是________.【解析】由图象可知0<a<1<b<10,又因为|lga|=|lgb|=c,所以lga=-c,lgb=c,即lga=-lgb,lga+lgb=0,所以ab=1,于是abc=c,而0<c<1.故abc的取值范围是(0,1).答案:(0,1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·菏泽模拟)已知函数f(x)=log a(x2+2),若f(5)=3.(1)求a的值.(2)求f()的值.(3)解不等式f(x)<f(x+2).【解析】(1)因为f(5)=3,所以log a(52+2)=3,即log a27=3,解得a=3.(2)由(1)得函数f(x)=log3(x2+2),则f()=log3[()2+2]=log39=2.(3)不等式f(x)<f(x+2)即为log3(x2+2)<log3[(x+2)2+2],化简不等式得log3(x2+2)<log3(x2+4x+6).因为函数y=log3x在(0,+∞)上为增函数,且f(x)=log3(x2+2)的定义域为R,所以x2+2<x2+4x+6,即4x>-4,解得x>-1,所以不等式的解集为:(-1,+∞).10.(2016·德州模拟)已知函数f(x)=log3.(1)求函数f(x)的定义域.(2)判断函数f(x)的奇偶性.(3)当x∈时,函数g(x)=f(x),求函数g(x)的值域.【解析】(1)由>0得-1<x<1,则函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)当x∈(-1,1)时,f(-x)=log3=log3=-log3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.(3)设y=,当x∈时,y′=′=-<0,则函数y=在区间上是减函数,所以函数g(x)在区间上也是减函数,则函数的最大值为g=1,最小值为g=-1,所以函数的值域为[-1,1].(20分钟40分)1.(5分)(2016·滨州模拟)设函数f(x)=|log a x|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1],若n-m 的最小值为,则实数a的值为()A. B.或 C. D.或【解析】选C.作出y=f(x)=|log a x|(0<a<1)的大致图象如图,令|log a x|=1,得x=a或,又1-a-=1-a-=<0,故1-a<-1,所以n-m的最小值为1-a=,a=.2.(5分)(2016·聊城模拟)设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1,x2,则()A.x1x2<0B.x1x2=0C.x1x2>1D.0<x1x2<1【解析】选D.作出y=10x与y=|lg(-x)|的大致图象,如图.显然x1<0,x2<0.不妨设x1<x2,则x1<-1,-1<x2<0,所以1=lg(-x1),1=-lg(-x2),此时1<1,即lg(-x1)<-lg(-x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1.3.(5分)已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则y=f(x)与g(x)=log5x 的图象的交点个数为________.【解题提示】先根据函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),得出f(x)是周期为2的周期函数,再把函数的零点转化为两函数图象的交点,利用图象直接得结论.【解析】因为函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,又x∈[-1,1]时,f(x)=x2.根据函数的周期性画出图形,如图,由图可得y=f(x)与y=log5x的图象有4个交点.答案:44.(12分)已知函数f(x)=log a(x+1)-log a(1-x),a>0且a≠1.(1)求f(x)的定义域.(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明.(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的范围.【解析】(1)要使函数f(x)有意义,则解得-1<x<1.故所求函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=log a(-x+1)-log a(1+x)=-[log a(x+1)-log a(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,所以f(x)>0⇔>1,解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的范围是x∈(0,1).5.(13分)(2016·济宁模拟)已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数.(1)求a的值与函数f(x)的定义域.(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立.求实数m的取值范围.【解题提示】(1)中结合奇函数的定义f(-x)=-f(x),代入整理得到a的值,求函数定义域时需要满足真数为正,解不等式得到自变量的范围.(2)将不等式恒成立问题转化为求函数最值.【解析】(1)因为函数f(x)=log2是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以log2=-log2,即log2=log2, 所以a=1,令>0,解得x<-1或x>1,所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),当x>1时,所以x+1>2,所以log2(1+x)>log22=1.因为x∈(1,+∞),f(x)+log2(x-1)>m恒成立,所以m≤1, 所以m的取值范围是(-∞,1].。

课时提升作业四十三直线、平面垂直的判定及其性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.关于直线l,m及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若l∥α,α∩β=m,则l∥mB.若l∥α,m∥α,则l∥mC.若l⊥α,l∥β,则α⊥βD.若l∥α,m⊥l,则m⊥α【解析】选C.A中,l与m可能平行,异面,B中,l与m可能平行、相交、异面,故A,B错;D中,m 与α也可能平行,斜交,故D错;C中,由l∥β知,平面β中存在直线n∥l,则由l⊥α,可得n⊥α,由面面垂直的判定定理知α⊥β,故C正确.2.(2016·临沂模拟)设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件是()A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,a⊂α,b⊂βC.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α【解析】选C.对于选项C,在平面α内存在m∥b,因为a⊥α,所以a⊥m,故a⊥b;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出a∥b.3.(2016·聊城模拟)在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是()【解析】选A.A选项中,因为CD⊥平面AMB,所以CD⊥AB,B选项中,AB与CD成60°角;C 选项中,AB与CD成45°角;D选项中,AB与CD夹角的正切值为.4.(2016·泰安模拟)已知ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,下列判断中正确的是()A.AB⊥PCB.AC⊥平面PBDC.BC⊥平面PABD.平面PBC⊥平面PDC【解析】选C.由题意画出几何体的图形,如图,显然AB⊥PC不正确;AC不垂直PO,所以AC⊥平面PBD不正确;BC⊥AB,PA⊥平面ABCD,PA⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB正确.5.如图,在正四面体P-ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC【解析】选D.因BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,A成立;易证BC ⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,点E是AC的中点,则下列命题中正确的是(填序号).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABC⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.【解析】由AB=CB,AD=CD,点E为AC中点,知AC⊥DE,AC⊥BE,又因为DE∩BE=E,从而AC⊥平面BDE,故③正确.答案:③7.在多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2AB,F为棱CE上异于点C、E的动点,则下列说法正确的有.①直线DE与平面ABF平行;②当F为CE的中点时,BF⊥平面CDE;③存在点F使得直线BF与AC平行;④存在点F使得DF⊥BC.【解析】①因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以DE∥AB,而DE⊄平面ABF,AB⊂平面ABF,所以直线DE与平面ABF平行,正确;②当F为CE的中点时,取CD的中点M,连接AM,MF,则MF DE,又AB DE,所以AB MF,所以四边形ABFM是平行四边形,BF∥AM.而AM⊥CD,DE⊥AM,CD∩DE=D,所以AM⊥平面CDE.所以BF⊥平面CDE,因此正确;③点C是平面ABF外的一点,因此BF与AC为异面直线,不可能平行,不正确;④由②可得:当F为CE的中点时,BF⊥DF,DF⊥CE,BF∩CE=F,所以DF⊥平面BCE,所以存在点F使得DF⊥BC,正确.综上可得:①②④正确.答案:①②④8.(2016·泉州模拟)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是.【解析】连接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥P-AD1C的体积不变.又因为=,所以①正确.因为平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确.由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正确;由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.答案:①②④三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别为BB1,AC的中点.(1)求证:BF∥平面A1EC.(2)求证:平面A1EC⊥平面ACC1A1.【证明】(1)连接AC1交A1C于点O,连接OE,OF,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,所以OA=OC1,又因为点F为AC中点,所以OF∥CC1且OF=CC1,因为点E为BB1中点,所以BE∥CC1且BE=CC1,所以BE∥OF且BE=OF,所以四边形BEOF是平行四边形,所以BF∥OE,又因为BF⊄平面A1EC,OE⊂平面A1EC,所以BF∥平面A1EC.(2)由(1)知BF∥OE,因为AB=CB,点F为AC中点,所以BF⊥AC,所以OE⊥AC.又因为AA1⊥底面ABC,而BF⊂底面ABC,所以AA1⊥BF.由BF∥OE,得OE⊥AA1,而AA1,AC⊂平面ACC1A1,且AA1∩AC=A,所以OE⊥平面ACC1A1.因为OE⊂平面A1EC,所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.10.(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.(3)证明:DF⊥平面BEG.【解析】(1)由展开图可知,F在B的上方,G在C的上方,H在D的上方,如图(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:连接AH,AC,CH,BE,BG,EG,因为四边形BEHC和四边形ABGH为平行四边形,所以BE∥CH,BG∥AH,又因为BE,BG⊂平面BEG,且CH,AH⊄平面BEG,所以CH∥平面BEG,AH∥平面BEG.又因为CH,AH⊂平面ACH,且CH∩AH=H,所以平面BEG∥平面ACH.(3)连接DF,HF,CF,交点如图,取DH,DC中点分别为J,K,连接EJ,JG,JM,KB,KN,KG,因为J,M,K,N分别为DH,HF,DC,FC的中点,所以DF∥JM∥KN.设正方体棱长为2a,则EJ=GJ=BK=GK=a,所以三角形JEG,KBG为等腰三角形,所以JM⊥EG,KN⊥BG,那么DF⊥EG,DF⊥BG.又因为EG,BG⊂平面BEG,且EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.【加固训练】(2016·秦皇岛模拟)如图所示,△ABC和△BCE是边长为2的正三角形,且平面ABC⊥平面BCE,AD⊥平面ABC,AD=2,(1)证明:DE⊥BC.(2)求三棱锥D-ABE的体积.【解析】(1)取BC的中点F,连接AF,EF,BD,DF,因为△BCE是正三角形,所以EF⊥BC,又因为平面ABC⊥平面BCE,且交线为BC,所以EF⊥平面ABC,又因为AD⊥平面ABC,所以AD∥EF,所以D,A,F,E共面,又易知在正三角形ABC中,AF⊥BC,AF∩EF=F,所以BC⊥平面DAFE,又因为DE⊂平面DAFE,故DE⊥BC.(2)由(1)知EF∥AD,所以V D-ABE=V E-DAB=V F-DAB=V D-ABF,而S△ABF=BF·AF=.所以V D-ABF=S△ABF·AD=1,即V D-ABE=1.(20分钟40分)1.(5分)(2016·枣庄模拟)如图,在斜三棱柱ABC-AB1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部【解析】选A.连接AC1,因为BC1⊥AC,BA⊥AC,BA∩BC1=B,所以AC⊥平面ABC1,所以平面ABC⊥平面ABC1,因为平面ABC∩平面ABC1=AB,所以C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.2.(5分)(2016·滨州模拟)如图,在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC,则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是()【解析】选A.取CD的中点F,连接EF,BD,则AC⊥EF,又因为点S在平面ABCD内的射影在BD上,且AC⊥BD,所以AC⊥SB,取SC的中点Q, 连接EQ,FQ,则EQ∥SB,所以AC⊥EQ,又因为AC⊥EF,EQ∩EF=E,所以AC⊥平面EQF,因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP.3.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=时,CF⊥平面B1DF.【解析】因为B1D⊥平面A1ACC1,所以CF⊥B1D,所以为了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF,设AF=x,则CD2=DF2+FC2,所以x2-3ax+2a2=0,所以x=a或x=2a.答案:a或2a4.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF.(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以PA∥DE,又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以PA∥平面DEF.(2)由(1)知PA∥DE,又因为PA⊥AC,所以DE⊥AC,又因为F是AB的中点,E是AC的中点,所以DE=PA=3,EF=BC=4,又因为DF=5,所以DE2+EF2=DF2,所以DE⊥EF,因为EF,AC是平面ABC内两条相交直线,所以DE⊥平面ABC,又因为DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.5.(13分)(2016·聊城模拟)如图,AB为圆O的直径,E是圆O上不同于A,B的动点,四边形ABCD为矩形,且AB=2,AD=1,平面ABCD⊥平面ABE.(1)求证:BE⊥平面DAE.(2)当点E在的什么位置时,四棱锥E-ABCD的体积为.【解析】(1)因为四边形ABCD为矩形,所以DA⊥AB,又因为平面ABCD⊥平面ABE,且平面ABCD∩平面ABE=AB,所以DA⊥平面ABE,而BE⊂平面ABE,所以DA⊥BE,又因为AB为圆O的直径,E是圆O上不同于A,B的动点,所以AE⊥BE,因为DA∩AE=A,所以BE⊥平面DAE.(2)因为平面ABCD⊥平面ABE,过点E作EH⊥AB交AB于点H,则EH⊥平面ABCD,在Rt△BAE中,记∠BAE=α,因为AB=2,所以AE=2cosα,HE=AE·sinα=2cosαsinα=sin2α,所以V E-ABCD=S矩形ABCD×HE=×2×1×sin2α=sin2α.由已知V E-ABCD=,所以sin2α=,即sin2α=,因为0<α<,所以2α=,即α=或2α=,即α=.于是点E在满足∠EAB=或∠EAB=时,四棱锥E-ABCD的体积为.。

阶段滚动检测（六）（第一～十一章） （120分钟 150分） 第I 卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(滚动交汇考查)设全集U=R ，集合A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )(A){x|x ≥1} (B){x|x ≤1} (C){x|0<x ≤1} (D){x|1≤x<2} 2.(滚动单独考查)已知复数32iz 1i-=+，则z 对应的点所在的象限是 ( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3.(滚动交汇考查)(2012·广州模拟)下列说法错误的是( )(A)命题：“已知f(x)是R 上的增函数，若a ＋b ≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆否命题为真命题(B)“x ＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件 (C)若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题(D)命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，则⌝p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”4.(滚动单独考查)已知()1x 23,x 0f x x 4x 3,x 0-⎧≥⎪=⎨++<⎪⎩，则方程f(x)=2的实数根的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(滚动单独考查)定义在R 上的偶函数f(x)在［0，＋∞)上单调递减，且f(12)＝0，则满足f(14log x )＜0的x 的集合为( )(A)(－∞，12)∪(2，＋∞) (B)(12，1)∪(1,2) (C)(12，1)∪(2，＋∞) (D)(0，12)∪(2，＋∞)6.(滚动单独考查)(2012·杭州模拟)一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该空间几何体的体积是( )(A)73(B)143(C)7 (D)14 7.(滚动单独考查)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝3π对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 ( )(A)y=sin(x 2＋6π) (B)y ＝sin(2x ＋6π)(C)y=sin|x| (D)y ＝sin(2x －6π)8.(滚动单独考查)(2012·福州模拟)若过点A(0，-1)的直线l 与曲线x 2+(y-3)2=12有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )()()()()52A B 663352C 0)D 0,,)6633ππππππππ⋃+∞⋃+∞［，］ ［，］［，］［， ［］［9.(滚动单独考查)如果实数x ，y 满足x 4y 303x 5y 250x 1≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋＋－，目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为( )(A)2 (B)-2 (C)15(D)不存在10.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝9x -m ·3x +m+1对x ∈(0，+∞)的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )≥第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若()11f x d x ⎰－＝2f(a)成立，则a ＝__________.12.（滚动交汇考查）设0<a<2,0<b<1，则双曲线2222x y 1a b－＝的离心率是______.13.(2012·南京模拟)如图是一个算法的程序框图，最后输出的W ＝_________.14.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm 的株数是_________.15.下面给出一个“直角三角形数阵”：1411243334816，，， 满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83＝_________.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(13分)(滚动交汇考查)(2012·长沙模拟)已知a =(cosx+sinx,sinx),b =(cosx-sinx,2cosx)，设f(x)= a b . (1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设三角形ABC 的三个角A 、B 、C 所对边分别是a,b,c ，且满足A ,3π==10,求边c. 17.(13分)(滚动单独考查)已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直，M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点，AB=1,AD=2，(1)证明：直线AM ∥平面NEC ； (2)求二面角N —CE —D 的余弦值．18.(13分)(2012·济南模拟)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率为0.12，至少选修一门的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.(1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率; (3)求ξ的分布列和数学期望.19.(13分)(滚动单独考查)(2012·东城模拟)已知数列{a n }满足a 1=14,a n =()n 1nn 1a 1a 2----(n ≥2,n ∈N).(1)试判断数列{n1a +(-1)n }是否为等比数列，并说明理由; (2)设c n=a nsin ()2n 12-π,数列{c n }的前n 项和为T n .求证：对任意的n ∈N *，T n<23.20.(14分)(滚动交汇考查)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1、C 2的标准方程；(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M 、N ，且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21.(14分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=e x +2x 2-ax.(1)函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，求a 的取值范围.(2)若a=3，当x ≥12时，关于x 的不等式f(x)≥52x 2+(b-3)x+1恒成立，试求实数b 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由2x(x －2)＜1得x(x －2)＜0，故集合A ＝{x|0＜x ＜2}，由1－x ＞0得x ＜1，故B ＝{x|x ＜1}，所以A ∩B ＝{x|0＜x ＜1}，所以ðA (A ∩B)＝{x|1≤x ＜2}，即图中阴影部分表示的集合为{x|1≤x ＜2}.2.【解析】选D.()()()()32i 1i 32i 15i 15z i,1i 1i 1i 222----====-++- ≨z 对应的点(1522-，)所在的象限是第四象限. 3.【解析】选C.A 中,≧a+b ≥0,≨a ≥-b. 又函数f(x)是R 上的增函数，≨f(a)≥f(-b),① 同理可得，f(b)≥f(-a)，②由①＋②，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题.又原命题与其逆否命题是等价命题，≨逆否命题为真.B 中若x>1，则|x|>1成立；若|x|>1，则x>1或x<-1，故B 正确.若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题， 所以C 错误.D 正确.4.【解析】选D.令31－x ＝2，≨1－x ＝log 32.≨x ＝1－log 32.又≧log 32<log 33＝1，≨x ＝1－log 32>0.≨这个实根符合题意.令x 2＋4x ＋3＝2，则x 2＋4x ＋1＝0.解得两根x 1＝－2x 2＝－2x 1和x 2均小于0，符合题意.5.【解题指南】f(x)是偶函数，则有f(x)=f(|x|)，列不等式求解.【解析】选D.≧函数f(x)为偶函数，且在［0，＋≦)上单调递减，f(12)＝0，≨14log x ＞12或14log x ＜－12，≨0＜x ＜12或x ＞2.6.【解题指南】三视图复原几何体是四棱台，一条侧棱垂直底面，底面是正方形，根据三视图数据，求出几何体的体积.【解析】选B.三视图复原几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，一条侧棱长为2，并且垂直底面，上底面是正方形，边长为1.它的体积是：221142(21.33⨯⨯+=故选B. 7.【解题指南】由题知周期易验证，再根据正弦函数与余弦函数在对称轴处取得最值，验证性质②即可.【解析】选D.≧T ＝2πω＝π，≨ω＝2.对于选项D ， 又2〓3π－62ππ＝，所以x ＝3π为对称轴．8.【解析】选A.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=0，符合题意，此时倾斜角为2π，当直线l 的斜率存在时，设过点A(0，-1)的直线l 方程为：y+1=kx, 即kx-y-1=0，当直线l=k=直线l 的倾斜角的取值范围是［6π,2π)∪(2π,56π］,综上得，直线l 的倾斜角的取值范围是［6π,56π］.9.【解析】选A.x 4y 303x 5y 250x 1≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋＋－所表示的平面区域如图，由直线方程联立方程组易得A(1，225)，B(1,1)，C(5,2)，由于3x ＋5y －25＝0在y 轴上的截距为5，故目标函数z ＝kx ＋y 的斜率－k<－35，即k>35.将k ＝2代入，过B 的截距z ＝2〓1＋1＝3，过C 的截距z ＝2〓5＋2＝12，符合题意,故k ＝2，故应选A.10.【解题指南】令t ＝3x ，转化为关于t 的二次函数的图象恒在t 轴的上方处理.或分离参数m ，利用最值处理恒成立问题.【解析】选C.方法一：令t=3x ,则问题转化为函数f(t)=t 2-mt+m+1对t ∈(1,+≦)的图象恒在t 轴的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或0m 121m 1m 0∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪-++≥⎪⎩， 解得m<2+方法二：令t=3x,问题转化为m<2t 1t 1+-,t ∈(1,+≦)，即m 比函数y=2t 1t 1+-,t ∈(1,+≦)的最小值还小，又y=2t 1t 1+-=t-1+2t 1-+2≥22=+所以【方法技巧】不等式恒成立的三种解法(1)转化为求函数的最值.若函数f(x)在区间I 上有最大值和最小值.则不等式f(x)>a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min >a.不等式f(x)≥a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min ≥a.不等式f(x)<a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max <a.不等式f(x)≤a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max ≤a.(2)分离变量——在同一个等式或不等式中，将主元和辅元分离(常用的运算技巧).(3)数形结合——凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可考虑该法.11.【解析】1232111(3x 2x 1)dx (x x x)|4⎰－－＋＋＝＋＋＝， 所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1或a ＝13. 答案：－1或1312.【解析】由22c a>5，即222a b a ＋>5，≨b>2a ，在直角坐标系aOb 内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为1111224⨯⨯＝，图中矩形的面积为2，≨由几何概型概率公式计算得所求的概率为18.答案：1813.【解析】第一次：T ＝1，S ＝12－0＝1； 第二次：T ＝3，S ＝32－1＝8； 第三次：T ＝5，S ＝52－8＝17， 此时满足S ≥10.所以W ＝S ＋T ＝17＋5＝22. 答案：2214.【解析】底部周长小于110 cm 的频率: 10〓0.01+10〓0.02+10〓0.04=0.7.≨底部周长小于110 cm的株数为：100〓0.7=70.答案：7015.【解题指南】先根据第1列成等差数列求出第8行第1个数，再根据第8行成等比数列求出a83.【解析】由题意知，a83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14，每一行的公比都等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)〓14＝2，a83＝2〓(12)2＝12.答案：12【变式备选】把正整数按下表排列：(1)求200在表中的位置(在第几行第几列)；(2)试求从上到下的第m行，从左至右的第n列上的数( 其中m≥n )；(3)求主对角线上的数列：1、3、7、13、21、…的通项公式 .【解析】把表中的各数按下列方式分组：( 1 )，( 2, 3， 4 )，(5, 6，7, 8，9 )，…，(1)由于第n组含有2n-1个数，所以第n组最后一个数是1+3+5+…+(2n-1)=n2.因为不等式n2≥200的最小整数解为n=15 ,这就是说，200在第15组中，由于142=196 ，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数，所以200在表中从上至下的第4行，从左至右的第15列上.(2)因为m≥n ，所以第m行上的数从左至右排成的数列是以 -1为公差的等差数列，这个数列的首项是第m行的第1个数，即分组数列的第m组最后一个数为1+3+5+…+(2m-1)=m2.即从上至下的第m行，从左至右的第n列的数为a mn=m2+(n-1)(-1)=m2-n+1.(3)设主对角线上的数列为{a n}，则易知a n为表中从上至下的第n行，从左至右的第n列的数,故a n=a nn=n2+(n-1)(-1)=n2-n+1.16.【解析】(1)≧f(x)= a b =(cosx+sinx) (cosx-sinx)+sinx 2cosx=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x2(22+cos2x cos sin2x)44).4ππ=+π=+由f(x)递增得-2π+2kπ≤2x+4π≤2π+2kπ,即3k x k,88ππ-+π≤≤+πk∈Z.≨f(x)的单调递增区间是［3k8π-+π,k8π+π］,k∈Z.(2)由f(B)=1⇒sin(2B+4π)=2及0<B<π得B=4π,设a b c k,sinA sinB sinC===510k10k 4.342ππ+=⇒=⇒=所以c=ksinC=4sin(A+B)=4(sin cos cos sin )3434ππππ+=17.【解析】以N 为坐标原点，NE ，ND 所在直线分别为x,y 轴，建立空间右手直角坐标系，所以A(0，-1，0)，B(0，-1，1)，D(0，1，0)，N(0，0，0)，0，0)，C(0，1，1)，M(2，-12，12).(1)设平面NEC 的一个法向量为n =(x,y,1)，因为NC =(0，1，1)，NE0，0)， 所以NCn =y+1=0，NE =n =0；所以n =(0,-1,1)，因为11AM )22=，，，AM n =0，所以AM ⊥ n ， 因为AM ⊄平面NEC ， 所以直线AM ∥平面NEC.(2)设平面DEC 的一个法向量为m =(1,y,z),因为DC=(0,0,1),)DE 1,0=- ,所以DC z 0,DE y 0===；m m所以()=m.cos ,||||4===- 〈〉n m n m n m 因为二面角N —CE —D 的大小为锐角， 所以二面角N —CE —D18.【解析】(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x,y,z ；依题意得()()()()()()x 1y 1z 0.08,xy 1z 0.12,11x 1y 1z 0.88,--=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩解得x 0.4y 0.6,z 0.5=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数，则ξ=0， ≨P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4〓0.6〓0.5+(1-0.4)(1-0.6)(1-0.5)=0.24,≨事件A 的概率为0.24. (3)依题意知ξ=0，2，则ξ的分布列为≨ξ的数学期望为E(ξ)=0〓0.24+2〓0.76=1.52. 19.【解析】(1)由已知()n 1n nn 1a a 1a 2--=--得()()nnn 1n n 1n 11a 2121,a a a -----==-- ()()n nn n 112121a a -+-=--=-2［()n 1n 111a --+-］.又11a -1=3≠0, 故{n1a +(-1)n }为公比为-2的等比数列. (2)由(1)得n1a +(-1)n =3·(-2)n-1， 所以n1a =3·(-2)n-1-(-1)n ,()()n n 1n1a ,321-=---()n n 2n 1c a sin2-π=()()()n 1n 1n n 1n 11111,32132321----=-=<+--- 所以n n n 111()21232T 1().132312-<=-<-［］［］ 20.【解题指南】(1)先设出抛物线方程，代入已知点检验，求出C 2的方程，再利用待定系数法求出椭圆的方程；(2)设直线l 的方程为x-1=my ，再根据OM ON ⊥构造含有m 的方程，最后转化为方程解的问题.【解析】(1)设抛物线C 2:y 2=2px(p ≠0),则有2y 2p x=(x ≠0)，据此验证4个点知(3，-、(4，-4)在抛物线上，易求C 2的标准方程为y 2=4x,设C 1：2222x y 1a b+= (a>b>0),把点(-2,0)，2)代入得： 22241a 211a 2b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22a 4,b 1⎧=⎪⎨=⎪⎩ ≨C 1的标准方程为2x 4+y 2=1.(2)假设存在这样的直线l ，过抛物线焦点F(1,0)，设直线l 的方程为x-1=my ，两交点坐标为M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由22x 1myx y 14-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x,得 (m 2+4)y 2+2my-3=0, ≨y 1+y 2=22m m 4-+,y 1y 2=23,m 4-+ ① x 1x 2=(1+my 1)(1+my 2)=1+m(y 1+y 2)+m 2y 1y 2, ②由OM ON,⊥得OM ON 0= ，即x 1x 2+y 1y 2=0(*)将①②代入(*)式，得22244m 30,m 4m 4--+=++解得m=〒12. 所以假设成立，即存在直线l 满足条件，且l 的方程为y=2x-2或y=-2x+2. 21.【解题指南】(1)函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，即方程 f ′(x)=0在区间［0,1］上存在唯一的根；(2)分离参数b ，利用最值处理恒成立.【解析】(1)f ′(x)=e x +4x-a, ≧f ′(0)=1-a,f ′(1)=e+4-a,又≧函数f(x)在区间［0，1］上存在唯一的极值点， ≨f ′(0)·f ′(1)<0, ≨1<a<e+4.(2)由f(x)≥()25x b 3x 12+-+, 得e x +2x 2-3x ≥()25x b 3x 12+-+, 即bx ≤e x -12x 2-1,≧x ≥12,≨b ≤x21e x 12,x--令g(x)=x21e x12,x--,则g′(x)=()x221e x1x12.x--+令φ(x)=e x(x-1)- 12x2+1,则φ′(x)=x(e x-1).≧x≥12,≨φ′(x)>0,≨φ(x)在［12，+ ≦)上单调递增，≨φ(x)≥φ(12)=70, 8>因此g′(x)>0，故g(x)在［12,+≦)上单调递增，则g(x)≥g(12)=121e198,142--=≨b的取值范围是b≤94.。

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单元质检卷六数列(A)(时间:45分钟满分:100分）一、选择题(本大题共6小题，每小题7分,共42分)1。

已知等差数列｛a n}的前n项和为S n，a4=15,S5=55，则数列｛a n}的公差是(）A。

B。

4C。

—4 D。

-32。

(2018辽宁沈阳交联体期中，6)已知a1=1，a n=n（a n+1-a n)(n∈N+）,则数列{a n}的通项公式是（)A.a n=2n—1B。

a n=2n+3C。

a n=nD。

a n=n23.在等差数列｛a n｝中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{a n｝的前5项的和为（)A。

15 B.20C.25 D。

15或254.（2018河南郑州三模，6）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则“S n〈na n对n≥2恒成立”是“数列｛a n｝为递增数列”的（)A。

充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D。

既不充分也不必要条件5。

(2018全国高考必刷模拟一，5）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=1+2a n （n≥2),且a1=2，则S20=()A.219—1 B。

221-2C。

219+1 D。

221+26.（2018新疆乌鲁木齐三模）已知数列{a n｝、{b n}满足a1=b1=1,a n+1-a n==2(n ∈N+),则数列｛}的前10项的和为（)A。