2022学年度学生学习能力诊断练习初三数学（满分150分，时间100分钟）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（）A.30° B.45°C.60°D.90°【答案】A 【解析】【分析】根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．【详解】设这个斜坡的坡角为α，由题意得：.= 3.3，∴α=30°；故选A.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.2.如图，在Rt ABC △中，9012C AC BC ∠︒==，，，那么cos A 的值为（）A.12B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】先利用勾股定理求解AB ，再利用余弦的定义直接求解即可．【详解】解：∵9012C AC BC ∠=︒==，，，∴AB ==，∴5cos5AC A AB ===，故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．3.已知抛物线()221y a x =-+有最低点，那么a 的取值范围是（）A.0a >B.a<0C.2a > D.2a <【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到20a ->，由此即可得到a 的取值范围．【详解】解：∵二次函数()221y a x =-+的图像有最低点，∴函数图象开口向上，则20a ->，解得2a <．故选D ．4.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（）A.a<0B.0b < C.0c > D.0abc <【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可．【详解】解：A 、图象的开口向下，则0a <，此选项不符合题意；B 、对称轴在y 轴右边且0a <，则0b >，此选项符合题意；C 、图象与y 轴正半轴相交，则0c >，此选项不符合题意；D 、0abc <，此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关系是解答的关键．5.如果点()12,A y -与点()23,B y -都在抛物线2y x k =+上，那么1y 和2y 的大小关系是（）A.12y y >B.12y y < C.12y y = D.不能确定【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数图像与性质，对于比较二次函数的y 值大小，只需要比较相应点到对称轴距离即可得到答案．【详解】解： 点()12,A y -与点()23,B y -都在抛物线2y x k =+上，∴抛物线对称轴为0y =，∴()12,A y -到对称轴距离为2；()23,B y -到对称轴距离为3，抛物线2y x k =+中二次项系数为正，开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越近y 值越小，即12y y <，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数y 值大小比较，熟练掌握二次函数图形与性质、掌握二次函数y 值大小比较的方法步骤是解决问题的关键．6.如图，点D E 、分别在ΔABC 边AB AC 、上，3AB AE AD CE==，且AED B ∠=∠，那么ADAC 的值为（）A.12B.13C.14D.23【答案】A 【解析】【分析】根据AED B ∠=∠与A A ∠=∠，即可得到ΔADE ∽ΔACB ，即可得到AD AEAC AB=，结合3AB AE AD CE==即可得到ADAC 的值；【详解】解：∵AED B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ΔADE ∽ΔACB ，∴AD AEAC AB =，∵3AB AEAD CE ==，∴343AD CECE AD=，∴224AD CE =，∴142AD AD AC CE ==，故选A ．【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据分式的性质得到AD 与CE 的关系．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且2a =，8c =，那么b =________．【答案】4【解析】【分析】根据比例中项的概念，可得a bb c=，可得216b ac ==，即可得到b 的值，注意线段的长为正数．【详解】解：∵线段b 是线段a 、c 的比例中项，且2a =，8c =，∴a b b c=，∴216b ac ==，解得4b =±，又∵线段的长度是正数，∴4b =．故答案为：4【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键．8.计算：()12622b a b --=__________．【答案】33b a-【解析】【分析】按照向量线性运算法则计算即可．【详解】解：()12622b a b --，1126222b a b =-⨯+⨯ ，23b a b =-+ ，33b a =- ，故答案为：33b a -．【点睛】本题考查了向量的线性运算，掌握向量的运算法则是解题关键．9.抛物线243y x x =-+与y 轴的交点坐标是___________．【答案】()0,3【解析】【分析】令0x =得出y 的值，从而得出与y 轴的交点坐标．【详解】令0x =，得3y =，∴抛物线243y x x =-+与y 轴的交点坐标是()0,3，故答案为：()0,3．【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y 轴交点的求法是解题的关键．10.沿着x 轴正方向看，抛物线22y x x =-+在其对称轴右侧的部分是___________的．（填“上升”或“下降”）【答案】下降【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：因为10a =-<，所以抛物线22y x x =-+在对称轴右侧部分是下降的，故答案为：下降．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．11.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x x =+沿着y 轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为__________________．【答案】222y x x =+-【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行计算即可．【详解】解：将抛物线22y x x =+沿着y 轴向下平移2个单位长度所得抛物线解析式为：222y x x =+-；故答案为：222y x x =+-．【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规律，是解题的关键．12.已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x…1-0234…y…522510…如果点()2,m -在此抛物线上，那么m =___________．【答案】10【解析】【分析】根据题目表中数据，利用待定系数法确定函数关系式，再由点()2,m -在此抛物线上，代值求解即可得到答案．【详解】解：由题意可得，52242a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩，解得122a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为222y x x -=+，点()2,m -在此抛物线上，()()2222210m ∴=--⨯-+=，故答案为：10．【点睛】本题考查二次函数求值，涉及待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数解析式的求法是解决问题的关键．13.已知111ABC A B C ∽△△，顶点、、A B C 分别与111A B C 、、对应，1112,9AC A C ==，1A ∠的平分线的长为6，那么A ∠的平分线的长为________．【答案】8【解析】【分析】根据题意，作出图形，根据111ABC A B C ∽△△，由三角形相似的性质得到111ABD A B D △∽△，再由三角形相似的性质即可得到答案．【详解】解：如图所示：111ABC A B C ∽△△，1112,9AC A C ==，1111B B BAC B A C ∴∠=∠∠=∠，，111112493AB AC A B A C ===，AD 是BAC ∠的角平分线，11A D 是111B A C ∠的角平分线，111BAD B A D ∴∠=∠，∴111ABD A B D △∽△，∴111143AD AB A D A B ==， 1A ∠的平分线的长为6，∴A ∠的平分线的长为11114683AB AD A D A B =⋅=⨯=，故答案为：8．【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，熟练掌握两个三角形相似对应角相等、对应边成比例是解决问题的关键．14.如图，在ABC 中，点D 在边AC 上，已知ABD △和BCD △的面积比是12：，AB a =，DB b =，那么用向量、a b 表示向量AC 为________．【答案】33a b-【解析】【分析】由题中ABD △和BCD △的面积比是12：，根据三角形“等高”的面积表示即可知道12AD DC =，根据平面向量的加法运算可知()33AC AD AB BD ==+，从而得到答案．【详解】解：过B 作BE AC ⊥，如图所示：ABD △和BCD △的面积比是12：，∴112122ABDCBDAD BES AD S DC DC BE ⋅===⋅△△，∴AC 3AD =，AB a =，DB b =，∴用向量、a b 表示向量AC 为AC3AD= ()3AB BD=+ ()3AB DB =- ()3a b =- 33a b =- ，故答案为：33a b -．【点睛】本题考查向量运算，涉及三角形面积、向量加法运算及向量共线等知识，熟练掌握向量的相关表示是解决问题的关键．15.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E F 、分别在边AB CD 、上且EF AD ∥，已知:1:2AE EB =，3,4AD EF ==，那么BC 的长是________．【答案】6【解析】【分析】由题中AD BC ∥，EF AD ∥，得到AD BC ∥EF ∥，从而利用平行线分线段成比例定理得到12DF AE FC EB ==，连接AC ，如图所示，由相似三角形的判定得到∽CFH CDA △△、AEH ABC ∽△△，利用相似比即可得到答案．【详解】解：连接AC在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EF AD ∥，AD EF BC ∴∥∥，:1:2AE EB =，12DF AE FC EB ∴==， EF AD ∥，D HFC ∴∠=∠，FCH DCA ∠=∠ ，∽CFH CDA ∴△△，23HF CF AD CD ∴==， 3,4AD EF ==，24323EH EF HF ∴=-=-⨯=， EF BC ∥，B AEH ∴∠=∠，EAH BAC ∠=∠ ，∽AEH ABC ∴△△，13EH AE BC AB ∴==，3326BC EH ∴==⨯=，故答案为：6．【点睛】本题考查相似比求线段长，涉及平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解决问题的关键．16.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点G 为ABC 的重心，过点G 作GD BC ∥交AB 于点D ．已知310sin 5AB B ==，，那么GD 的长为________．【答案】83【解析】【分析】如图所示，连接CG 并延长交AB 于O ，过点O 作OH GD ⊥于H ，先由重心的定义得到O 为AB 的中点，则152OC OB AB ===，得到OCB OBC ∠=∠，再由平行线的性质推出OGD ODG ∠=∠，得到OG OD =，则2GD GH =，由重心的性质求出53OG =，解Rt OGH 求出43GH =，则823GD GH ==．【详解】解：如图所示，连接CG 并延长交AB 于O ，过点O 作OH GD ⊥于H ，∵点G 为ABC 的重心，90ACB ∠=︒∴O 为AB 的中点，∴152OC OB AB ===，∴OCB OBC ∠=∠，∵GD BC ∥，∴OGD OCB ODG OBC ==∠∠，∠∠，∴OGD ODG ∠=∠，∴OG OD =，∵OH GD ⊥，∴2GD GH =，由重心的性质可知1533OG OC ==，在Rt OGH 中，3sin sin 5OGH B ==∠，∴sin 1OH OG OGH =⋅=∠，∴43GH ==，∴823GD GH ==，故答案为：83．【点睛】本题主要考查了重心的性质与定义，直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17.魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD 、四边形EFGD 和四边形EAIH 都是正方形．如果图中EMH ∆与DMI ∆的面积比为169，那么tan GDC ∠的值为_________________．【答案】47【解析】【分析】先判定EMH 和DMI △相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，容易得到相似比为43，多次运用正方形的四条边相等，勾股定理，可分别求出CG 、CD ，即可求解．【详解】解：在EMH 和DMI △中，EMH DMI ∠=∠，EHM DIM ∠=，EMH DMI∴ EMH 面积：DMI △面积169=43EH DI ∴= 四边形EAIH 为正方形EH AI ∴=，即43AI DI =则7AD AI DI =+=在ADE V 中，根据勾股定理：DE =四边形EFGD 、ABCD 为正方形DG DE ∴==7CD AD ==根据勾股定理：CG =4tan 7CG GDC CD ∴∠==．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定、勾股定理．18.我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线12l l ∥，1l 与2l 之间的距离是3，“等高底”ABC ∆的“等底”BC 在直线1l 上（点B 在点C 的左侧），点A 在直线2l 上，AB =，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，点A C 、的对应点分别为点11A C 、，那么1AC 的长为____________．【答案】3-【解析】【分析】根据题意分情况画出相应图，然后根据旋转性质找到线段对应关系求解即可．【详解】解：当如下图所示时，3BC =，AB ==，点A 到直线1l 的距离为3，∴=45ABC ∠︒，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，113AC A B BC =-=-；当如下图所示时，3BC =，AB ==，点A 到直线1l 的距离为3，∴45ABD ∠=︒，135ABC ∠=︒，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，145ABA ∠=︒，1A B AB ==∴190A BC ∠=︒，∴在1Rt A BC △中，1A C ==故答案为：3-．【点睛】本题考查了旋转性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，分情况讨论并画出相应图像是解题关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：cos 245°tan302sin60︒-︒＋cot 230°.【答案】196.【解析】【分析】把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．【详解】原式＝22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭23332＋)2＝1123-＋3＝196.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记各特殊角度的三角函数值．20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A 和()5,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）将此抛物线沿x 轴向左平移()0m m >个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点C ，求m 的值．【答案】（1）265y x x =-+，点C 的坐标是()0,5（2）6【解析】【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C 的坐标；（2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可．【小问1详解】解：把()1,0A 和()5,0B 代入2y x bx c=++010255b c b c =++⎧⎨=++⎩，解得65b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为265y x x =-+∴当0x =时，5y =∴点C 的坐标是()0,5【小问2详解】()226534y x x x =-+=--设平移后的抛物线表达式为()234y x m =-+-把()0,5C 代入得()25034m =-+-解得126,0m m ==∵0m >，∴6m =【点睛】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．21.如图，在Rt ABC 中，290,9,sin 3BAC BC B ∠=︒==，点E 在边AC 上，且2AE EC =，过点E 作DE BC ∥交边AB 于点D ，ACB ∠的平分线CF 交线段DE 于点F ，求DF 的长．【答案】4【解析】【分析】在Rt ABC △中，得出AC ，由DE BC ∥得出ADE ABC △△∽，根据相似三角形的性质得出23DE AE BC AC ==，得出6DE =，由CF 平分ACB ∠，得出ACF BCF ∠=∠，继而得出2EF EC ==，即可求解．【详解】解：∵29,sin 3BC B ==在Rt ABC △中，2sin 963AC BC B =⋅=⨯=∵2AE EC =，∴2EC =，∵DE BC ∥，∴ADE ABC△△∽∴23DE AE BC AC ==∵9BC =，∴6DE =，∵DE BC ∥，∴EFC BCF ∠=∠，∵CF 平分ACB ∠，∴ACF BCF ∠=∠，∴EFC ACF∠=∠∴2EF EC ==，∴4DF =【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明ADE ABC △△∽是解题的关键．22.如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．AB 是缓降器的底板，压柄BC 可以绕着点B 旋转，液压伸缩连接杆DE 的端点D E 、分别固定在压柄BC 与底板AB 上，已知12cm BE =．（1）如图2，当压柄BC 与底座AB 垂直时，DEB ∠约为22.6︒，求BD 的长；（2）现将压柄BC 从图2的位置旋转到与AB 成37︒角（即37ABC ∠=︒），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆DE 的长．（结果保留根号）（参考数据：5125sin 22.6,cos 22.6tan 22.6131312︒≈︒≈︒≈；343sin37,cos37,tan37554︒≈︒≈︒≈）【答案】（1）5cm（2【解析】【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案；（2）过点D 作DH BE ⊥，垂足为H ，在Rt BDH △中，根据三角函数解直角三角形求出,BH DH 的值，根据EH BE BH =-求出EH 的长度，然后根据勾股定理可得DE 的长度．【小问1详解】解：在Rt BDE △中，5tan 12tan 22.612512BD BE BED =⋅∠=⨯︒≈⨯=，答：此时BD 的长约为5cm ；【小问2详解】过点D 作DH BE ⊥，垂足为H ，在Rt BDH △中，cos 5cos374BH BD DBE =⋅∠=︒≈，sin 5sin 373DH BD DBE =⋅∠=︒≈，∴1248EH BE BH =-=-=，在Rt DEH △中，DE ==，答：此时液压伸缩连接杆DE ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键．23.如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点F ，ADB ACB ∠=∠．（1）求证：ABD ACD ∠=∠；（2）过点A 作AE DC ∥交BD 于点E ，求证：EF BC AD AF = ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先证明AFD BFC ，再证明ABF DCF V :V ，即可求证；（2）先证明FAE FBA △△ ，再证明AFD BFC ，即可求证．【小问1详解】证明：∵,ADB ACB AFD BFC ∠=∠∠=∠，∴AFD BFC∴AF DF BF CF =，即AF BF DF CF=，∵AFB DFC ∠=∠，∴ABF DCF V :V ，∴ABD ACD ∠=∠．【小问2详解】证明：∵AE DC ∥，∴FAE ACD ∠=∠，∵ACD ABF ∠=∠，∴FAE ABF ∠=∠，∵AFE AFB Ð=Ð，∴FAE FBA △△ ，∴EF AF AF BF=∵AFD BFC ，∴AF AD BF BC =∴EF AD AF BC =即EF BC AD AF = ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2240y x kx k k =-+-<的顶点为P ，抛物线与y 轴交于点A ．（1）如果点A 的坐标为()0,4，点()3,B m -在抛物线上，连接AB ．①求顶点P 和点B 的坐标；②过抛物线上点D 作DM x ⊥轴，垂足为M ，DM 交线段AB 于点E ，如果DE EM =，求点D 的坐标；（2）连接OP ，如果OP 与x 轴负半轴的夹角等于APO ∠与POA ∠的和，求k 的值．【答案】（1）①顶点()15P -，；点()31B -，；②点()24D -，；（2）2k =【解析】【分析】（1）①把()0,4A 代入224y x kx k =-+-求出解析式，化为一般式，即可求出顶点坐标；把B （3，m ）代入求出m 的值即可得点B 坐标；②先求出AB 的解析式，根据DE EM =，列出等式即可求点D 的坐标．（2）过点P 分别作PQ x ⊥轴，PN y ⊥轴，垂足为Q 、N ，构建直角三角形，从而得到POQ PAN ∠=∠，tan tan POQ PAN ∠=∠，即可建立等式求出k 的值．【小问1详解】解：如图1，①把()0A ，4代入224y x kx k =-+-，∴44k -=，解得1k =-，∴抛物线的表达式为()222415y x x x =--+=-++∴顶点()15P -，把()3B m -，代入224y x x =--+，得1m =，∴点()31B -，，②∵()0A ，4，()31B -，可得直线AB 的解析式为4y x =+，设()224D t t t --+，，则()()4,0E t t M t +，，，∵DE EM =，∴234t t t --=+，解得122t t ==-∴点()24D -，．【小问2详解】解：如图2，过点P 分别作PQ x ⊥轴，PN y ⊥轴，垂足为Q 、N ，由题意可得，点()04A k -，，∵()222244y x kx k x k k k =-+-=--+-，∴()24P k k k -，，由题意可得POQ APO POA ∠=∠+∠，∵PAN APO POA ∠=∠+∠，∴POQ PAN ∠=∠，即tan tan POQ PAN ∠=∠，∴22444k k k k k k k--=--+，解得1222k k ==，∵0k <，∴2k =的关键．25.如图，在ABC 中，310,sin 5AB AC B ===，点D E 、分别在边AB BC 、上，满足CDE B ∠=∠．点F 是DE 延长线上一点，且ECF ACD ∠=∠．（1）当点D 是AB 的中点时，求tan BCD ∠的值；（2）如果3AD =，求CF DE的值；（3）如果BDE △是等腰三角形，求CF 的长．【答案】（1）1tan 4BCD ∠=（2）107CF DE =（3）CF =【解析】【分析】（1）过点A 作AG BC ⊥，过点D 作DH BC ⊥，垂足分别为G H 、，利用310,sin 5AB AC B ===求出BG 、BH 、DH 的长，即可得出结论；（2）证明DCE BCD ∽和CFD CAB △∽△，得出CF CA DE BD=，代入数值即可得出结论；（3）分三种情况讨论，DEB B ∠=∠，BDE B ∠=∠，BDE DEB ∠=∠，进而得出结论．【小问1详解】过点A 作AG BC ⊥，过点D 作DH BC ⊥，垂足分别为G H 、，∵310,sin 5AB AC B ===，∴在Rt ABG △中，cos 8BG AB B == ，∵AB AC =，∴216BC BG ==，∵点D 是AB 的中点，∴5BD =，在Rt BDH △中，cos 4BH BD B == ，sin 3DH BD B == ，∴16412CH =-=，在Rt CDH △中，31tan 124DH BCD CH ∠===；【小问2详解】∵,CDE B DCE BCD ∠=∠∠=∠，∴DCE BCD ∽，∴DE CD BD BC =，∵ECF ACD ∠=∠，∴ACB DCF ∠=∠，∵CDE B ∠=∠，∴CFD CAB △∽△，∴CF CD CA CB =，∴CF DE CA BD =，即CF CA DE BD=，∵3AD =，∴7BD =，∴107CF DE =；【小问3详解】∵BDE △是等腰三角形，①DEB B ∠=∠，∵CDE B ∠=∠，∴CDE DEB ∠=∠，∴CD BC ∥，∴舍去；②BDE B ∠=∠，∵CDE B ∠=∠，∴290CDB B ∠=∠<︒，∵90CDB A ∠>∠>︒，∴舍去；③BDE DEB ∠=∠，∴BD BE =，过点E 作EP BD ⊥，垂足为P ，可得44331,,55555BP BE BD EP BE BD DP BD =====，105DE BD ==∴，由DCE BCD ∽得DE CD BD BC=，即10516BD CD BD =，∴CD =由（2）可得，CFD CAB △∽△，CF CD CA CB =，∴161051016CF =，可得CF =综合①②③，CF =【点睛】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．第25页/共25页。
2022届虹口区中考数学一模一、选择题1. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）A . 两个等腰三角形B . 两个矩形C . 两个菱形D . 两个正方形2. 在Rt ABC 中，∠C =90°，BC =12，AC =5，那么cotB 等于（ ）A . 513B . 1213C . 125D . 512 3. 已知7a b =，下列说法中不正确的是（ ）A . 70a b −=B . a 与b 方向相同C . a //bD . 7a b =4. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）A . y =B . ()221y x x =−−C . 25y x =D . 22y x =5. 在ABC 中，点E 、D 、F 分别在边AB 、BC 、AC 上，联结DE 、DF ，如果DE //AC ，DF //AB ，AE :EB =3:2，那么AF :FC 的值是（ ）A . 32B . 23C . 25D . 356. 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米，如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A .B . 10米C .D . 12米二、填空题7. 如果56m n =，那么m n n−=____________8. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >PB ），如果AB =2，那么线段AP =____________9. 如果向量,,a b x 满足()1322x a a b +=−，那么x =____________（用向量,a b 表示） 10. 如果二次函数()2211y m x x m =−++−的图像经过原点，那么m =____________ 11. 如果抛物线()222y a x =−+开口向下，那么a 的取值范围是____________12. 如果抛物线过点()2,3−，且与y 轴的交点是（0,3），那么抛物线的对称轴是直线____________13. 已知点()()1122,,,A x y B x y 为函数()2213y x =−−+的图像上的两点，若120x x <<，则1y ____________2y （填“>”、“=”或“<”）14. 如果一个斜坡的坡度1:3i =，那么该斜坡的坡角度数是____________° 15. 已知Rt ABC 的两直角边之比为3:4，若DEF 与ABC 相似，且DEF 最长的边长为20，则DEF 的周长为____________16. 如图，过ABC 的重心G 作ED //AB 分别交边AC 、BC 于点E 、D ，联结AD ，如果AD 平分∠BAC ，AB =6，那么EC =____________17. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”，如图，在44⨯网格中，ABC 是一个格点三角形，如果DEF 也是该网格中的一个格点三角形，它与ABC 相似且面积最大，那么DEF 与ABC 相似比的值是____________18. 如图，在ABC 中，AB =AC =15，4sin 5A ∠=，点D 、E 分别在AB 和AC 边上，AD =2DB ，把ADE 沿着直线DE 翻折得DEF ，如果射线EF BC ⊥，那么AE =____________三、解答题19. 计算：2sin 603tan 30cot 30cot 45︒+︒︒−︒20. 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：（1）求该抛物线的表达式； （2）将抛物线2y ax bx c =++沿x 轴向右平移m （m >0）个单位，使得新抛物线经过原点O ，求m 的值以及新抛物线的表达式.21. 如图，在平行四边形ABCD 中，延长BC 到点E ，使CE =BC ，联结AE 交DC 于点F ，设,AB a AD b ==.（1）用向量,a b 表示DE ；（2）求作：向量AF 分别在,a b 方向上的分向量（不要求写作法，但要写明结论）22. 图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB 长200mm ，支撑板CB 长80mm ，当∠ABC =130°，∠BCD =70°时，求托板顶点A 到底座CD 所在平面的距离（结果精确到1mm ）（参考数据：sin 700.94,cos700.34,tan 70 1.41 1.73︒≈︒≈︒≈≈≈）23. 如图，在梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD //BC ，BC =2AD ，对角线AC 与BD 交于点E ，点F 是线段EC 上一点，且∠BDF =∠BAC .（1）求证：2EB EF EC =⋅；（2）如果BC =6，2sin 3BAC ∠=，求FC 的长.24. 已知开口向上的抛物线243y ax ax =−+与y 轴的交点为A ，顶点为B ，点A 与点C 关于对称轴对称，直线AB 与OC 交于点D .（1）求点C 的坐标，并用含a 的代数式表示点B 的坐标；（2）当∠ABC =90°时，求抛物线243y ax ax =−+的表达式；（3）当∠ABC =2∠BCD 时，求OD 的长.25. 已知：如图，在ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，3tan 4B =，点D 是边BC 延长线上的一点，在射线 AB 上取一点E ，使得∠ADE =∠ABC ，过点A 作AF DE ⊥于点F .（1）当点E 在线段AB 上时，求证：AF DE AC BD=； （2）在（1）题的条件下，设,CD x DE y ==，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）记DE 交射线AC 于点G ，当AEF AGF 时，求CD 的长.参考答案一、选择题1. D2. C3. A4. C5. B6. B二、填空题7. 16− 8. 1 9. 3a b − 10.1− 11. 2a > 12. 1x =−13. < 14. 60° 15. 48 16. 8 17.18. 10三、解答题19. 3+20.（1）()214y x =−++ （2）3，新抛物线的表达式为()224y x =−−+21.（1）DE a b =+ （2）如图所示：向量,AD AG 分别是向量AF 在,a b 上的分向量22. 约248mm23.（1）证明略（2）224.（1）()()2,34,4,3B a C −；（2）21232y x x =−+；（3）151125.（1）证明略 （2）()80810x y x +=<≤ （3）18。
2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题08 平面向量的线性运算一．选择题（共12小题）1．（青浦区）如果（、均为非零向量），那么下列结论错误的是（）A．B．∥C．D．与方向相同【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵，∴||＝2||；；＝；与的方向相反，故A，B，C正确，D错误，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．2．（金山区）点G是△ABC的重心，设＝，＝，那么关于和的分解式是（）A．+B．﹣C．+D．﹣【分析】根据向量加法的平行四边形法则得出＝（+），再根据重心的性质得出＝，即可求解．【解答】解：∵＝，＝，∴＝（+）＝（+），∵点G是△ABC的重心，∴＝＝×（+）＝（+）．故选：C．【点评】本题考查三角形的重心，平面向量，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（崇明区）如果向量与向量方向相反，且3||＝||，那么向量用向量表示为（）A．B．C．D．【分析】由向量与向量方向相反，且3||＝||，可得，继而求得答案．【解答】解：∵向量与向量方向相反，且3||＝||，∴3＝﹣，∴．故选：D．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意根据题意得到3＝﹣是解此题的关键．4．（徐汇区）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（）A．＝B．+＝0C．＝D．||＝||【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴；；；||＝||，∴A，B，C错误，D正确，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．5．（黄浦区）已知，，是非零问量，下列条件中不能判定∥的是（）A．∥，∥B．＝3C．||＝||D．＝，＝﹣2【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵，，∴，故A能；∵，∴，故B能；∵||＝||，不能判断与方向是否相同，故C不能；∵，，∴＝﹣，∴，故D能，故选：C．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．6．（嘉定区）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据单位向量的性质逐一判断即可．【解答】解：∵是单位向量，∴||＝1，∴||＝，∴A正确；∵||与的大小相同，但方向不一定相同，∴B错误；∵与大小相同，但方向不一定相同，∴C错误；∵与方向不一定相同，∴不一定等于，∴D错误，故选：A．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量的性质是解题的关键．7．（宝山区）已知为非零向量，＝2，＝﹣3，那么下列结论中，不正确的是（）A．||＝||B．C．D．∥【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵＝2，＝﹣3，∴||＝||，＝﹣，故A正确，B错误；∵＝2，＝﹣3，∴3＝6﹣6＝，故C正确；∵＝2，＝﹣3，∴＝﹣，∴，故D正确，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．8．（杨浦区）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（）A．＝B．﹣＝C．||+||＝2D．+＝2【分析】根据单位向量的定义逐一判断即可．【解答】解：根据单位向量的定义可知：和都是单位向量，但是这两个向量并没有明确方向，∴A，B，D错误，C正确，故选：C．【点评】本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关键．9．（虹口区）已知＝7，下列说法中不正确的是（）A．﹣7＝0B．与方向相同C．∥D．||＝7||【分析】根据平面向量的定理逐一判断即可．【解答】解：∵＝7，∴＝；与方向相同；；||＝7||，故A不正确；B、C、D正确，故选：A．【点评】本题考查了平面向量的定理，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键．10．（浦东新区）已知||＝3，||＝2，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A．3＝2B．2＝3C．3＝﹣2D．2＝﹣3【分析】根据平行向量的性质即可解决问题．【解答】解：∵||＝3，||＝2，且和的方向相反，∴＝﹣，∴2＝﹣3，故选：D．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．（普陀区）已知与是非零向量，且||＝|3|，那么下列说法中正确的是（）A．B．C．D．||＝3【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案【解答】解：A、由与是非零向量，且||＝|3|知，与3只是模相等，方向不一定相同，不一定成立，故不符合题意；B、由与是非零向量，且||＝|3|知，与3只是模相等，方向不一定相反，即不一定成立，故不符合题意；C、由与是非零向量，且||＝|3|知，与3只是模相等，不一定共线，故不符合题意；D、由与是非零向量，且||＝|3|知，||＝3，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．12．（松江区）已知＝2，那么下列判断错误的是（）A．﹣2＝0B．C．||＝2||D．∥【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案．【解答】解：A、由＝2知，﹣2＝，符合题意；B、由＝2知，，不符合题意；C、由＝2知，||＝2||，不符合题意；D、由＝2知，∥，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．二．填空题（共14小题）13．（崇明区）计算：2（3+2）﹣5＝．【分析】根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：原式＝6＝，故答案为：，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．14．（杨浦区）已知的长度为2，的长度为4，且和方向相反，用向量表示向量＝﹣2．【分析】根据与的长度与方向即可得出结果．【解答】解：∵的长度为2，的长度为4，且和方向相反，∴，故答案为：﹣2【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义和性质是解题的关键．15．（虹口区）如果向量、、满足（+）＝﹣，那么＝（用向量、表示）．【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可．【解答】解：∵（+）＝﹣，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．16．（浦东新区）计算：3（2﹣）﹣2（2﹣3）＝2+3．【分析】根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：3（2﹣）﹣2（2﹣3）＝6﹣3﹣4+6＝2+3，故答案为：2+3．【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．17．（浦东新区）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O．设＝，＝，那么向量关于向量、的分解式是﹣+．【分析】根据向量的加减计算法则即可得出结果．【解答】解：∵＝，＝，∴＝＝﹣+，故答案为：﹣+．【点评】本题考查了向量的加减计算法则，熟练掌握向量的加减计算法则是解题的关键．18．（普陀区）已知是单位向量，与方向相反，且长度为6，那么＝﹣6.（用向量表示）【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵是单位向量，与方向相反，且长度为6，∴＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．（徐汇区）计算：2﹣（﹣4）＝+2．【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：2＝2﹣+2＝+2，故答案为：+2，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．20．（徐汇区）如图，已知点G是△ABC的重心，记向量＝，＝，则向量＝+．．（用向量x+y的形式表示，其中x，y为实数）【分析】如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．求出，证明AG＝AH即可解决问题．【解答】解：如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．∵AE＝EH，BE＝EC，∴四边形ABHC是平行四边形，∴AC＝BH，AC∥BH，∵＝+＝+，∵G是重心，∴AG＝AE，∵AE＝EH，∴AG＝AH，∴＝（+）＝+．故答案为：+．【点评】本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（嘉定区）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么＝．【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：∵，∴2﹣2＝3﹣3，∴＝3﹣2，故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．22．（静安区）如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，如果＝，＝，那么＝+．（用含向量、的式子表示）【分析】由重心的性质可得，，利用三角形法则，即可求得的长，又由中线的性质，即可求得答案．【解答】解：在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴＝＝，＝＝，∴＝+＝+，∴＝2＝+．故答案为：+．【点评】此题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．23．（崇明区）如图，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC的中点，设＝，＝，那么可用、表示为．【分析】先根据中位线定理求出，再根据平面向量的加减运算法则求出即可求解．【解答】解：如图，连接BD，∵点M是边CD中点，点N是边BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴MN∥BD，且MN＝，∴，∵＝，＝，∴，∴，∴，故答案为：【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．24．（奉贤区）计算：2（﹣2）+3（+）＝5﹣．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：2（﹣2）+3（+）＝2﹣4+3+3＝5﹣，故答案为5﹣．【点评】本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（金山区）计算：（﹣2）+2＝+．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：（﹣2）+2＝﹣+2＝+．故答案为：+．【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．26．（青浦区）计算：3﹣2（﹣2）＝．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：3﹣2（﹣2）＝3﹣2+4＝+4，故答案为：+4．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．三．解答题（共9小题）27．（浦东新区）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设＝，＝，求向量（用向量、表示）．【分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；（2）利用平面向量的三角形法则解答．【解答】解：（1）如图，∵DE∥BC，且DE＝BC，∴＝＝．又AC＝6，∴AE＝4．（2）∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．又DE∥BC，DE＝BC，∴＝＝（﹣）．【点评】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．28．（杨浦区）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设＝，＝，试用、的线性组合表示向量．【分析】（1）根据相似三角形的性质得出等式求解即可；（2）根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DE＝，∴AE＝4；（2）由（1）知，，∴DE＝，∵，∴＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．29．（宝山区）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝．（1）设＝，＝，用向量、表示向量＝，＝．（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．【分析】（1）根据平面向量的加减运算法则即可求解；（2）先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵AF＝2DF，∴AF＝，∵，∴，∴＝，∵＝，∴，∴＝，故答案为：，；（2）∵＝，∴AF∥BC，AF＝，∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，∵AD＝3，AF＝2DF，∴AF＝2，∴BC＝8，在Rt△ABF中，BF＝＝2，又∵，∴△ABF∽△BCA，∴∠ABF＝∠BCA，∴△ABF∽△ECB，∴，∴，∴BE＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABF∽△ECB是解第（2）问的关键．30．（虹口区）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使CE＝BC，联结AE交DC于点F，设＝，＝．（1）用向量、表示；（2）求作：向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）【分析】（1）利用三角形法则解决问题即可；（2）利用平行四边形法则解决问题即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD时平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∴＝＝，＝＝，∵CE＝BC，∴＝，∴＝+＝+；（2）如图，过点F作FM∥AD交AB于点M，，即为向量分别在、方向上的分向量．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则解决问题．31．（奉贤区）如图，在△ABC中，AC＝5，cot A＝2，cot B＝3，D是AB边上的一点，∠BDC ＝45°．（1）求线段BD的长；（2）如果设＝，＝，那么＝，＝，＝（含、的式子表示）．【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，AE＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解方程即可解决问题；（2）先求出AD的长，再求出AD与AB的数量关系，根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，∵cot A＝，∴AE＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解得x＝±，∵x＞0，∴x＝，∴CE＝，∵∠CDE＝45°，∴CE＝DE＝，∵cot B＝3，∴BE＝3CE＝3，∴BD＝BE+DE＝3+＝4；（2）∵DE＝，AE＝2，∴AD＝，∵BD＝4，∴，即AD＝，∵＝，＝，∴＝，∴，∴＝＝，故答案为：；；．【点评】本题考查了平面向量，三角函数的定义勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义，平面向量的加减运算法则是解题的关键．32．（长宁区）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，若＝，＝．（1）用、表示、；（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）【分析】（1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可．（2）利用平行四边形法则作出图形即可．【解答】解：（1）∵AB：CD＝3：2，∴CD＝AB，∴＝，∴＝+＝+，∴DE＝EC，CE∥AB，∴＝＝，∴AF＝AC，∴＝（+）＝+．（2）如图，在、方向上的分向量分别为，．【点评】本题考查平面向量，梯形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．33．（金山区）如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，＝＝2，设＝，＝．求向量关于、的分解式．【分析】连接BD，先由得到MN∥BD、MN：BD＝2：3，然后得到3＝2，再结合平面向量的减法运算得到与和的关系，最后即可用含有和的式子表示．【解答】解：连接BD，∵，∴MN∥BD，，∴，∵，，∴，∴．【点评】本题考查了平行线的判定、平面向量的减法运算，熟练应用三角形法则是解题的关键．34．（普陀区）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，AB：CD＝1：3．（1）求的值；（2）设＝，＝，那么＝，＝+（用向量，表示）【分析】（1）根据平行线的性质和相似三角形的判定证明△ABE∽△DCE和△BEF∽△BCD即可得出结论；（2）根据（1）中结论和平面向量的加、减运算即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EDC，∠ABE＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴CE＝3BE，∵EF∥CD，∴∠BEF＝∠BCD，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCD，∴＝，∵BC＝BE+CE＝BE+3BE＝4BE，∴＝；（2）由（1）知：EF＝CD，∴＝＝，∵+＝，∴＝﹣，∵＝，∴，∵AB：CD＝1：3，∴AB＝CD，∴＝，＝+﹣＝．故答案为：，．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及平面向量，熟练掌握平行线的性质和平面向量的加、减运算是解题的关键．35．（青浦区）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交于点F，BF＝3DF．（1）求AE：ED的值；（2）如果，，试用、表示向量．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，从而△BCF∽△DEF，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得AE：ED的值；（2）先求出．再利用向量的加法可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BCF∽△DEF，∴，∵BF＝3DF，∴．∴，∴．∴AE：ED＝2；（2）∵AE：ED＝2：1，∴．∵，∴，∵，∴，∵AD∥BC，∴，∵BF＝3DF，∴．∴．∴，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平面向量，解决本题的关键是理解平面向量．。
上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．1．已知α为锐角，如果sinα=，那么α等于( )A．30°B．45°C．60°D．不确定2．把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是( )A．y=（x﹣2）2+1B．y=（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x﹣2）2﹣33．若将抛物线平移，得到新抛物线y=（x+3）2，则下列平移方法中，正确的是( ) A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位4．若坡面与水平面的夹角为α，则坡度i与坡角α之间的关系是( )A．i=cosαB．i=sinαC．i=cotαD．i=tanα5．如图，▱ABCD对角线AC与BD相交于点O，如果=，=，那么下列选项中，与向量（+）相等的向量是( )A．B．C．D．6．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），若▱CDE与▱ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A．（4，2）B．（6，0）C．（6，4）D．（6，5）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．若x：y=5：2，则（x+y）：y的值是__________．8．计算：﹣3（﹣2）=__________．9．二次函数y=x2﹣2x的图象的对称轴是直线__________．10．如果抛物线y=﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m=__________．11．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数y=（x﹣1）2图象上的两点，若x1＜x2＜1，则y1__________y2．（填“＞”、“＜”或“=”）12．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x (2)101…y…﹣11﹣21﹣2…根据表格上的信息回答问题：当x=2时，y=__________．13．如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为__________．14．如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别联结AE、BD相交于点O，若AD=5，=，则EC=__________．15．如图，正方形DEFG的边EF在▱ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC 上．若▱ABC的边BC长为40厘米，高AH为30厘米，则正方形DEFG的边长为__________厘米．16．如图，在▱ABC中，▱ACB=90°，若点G是▱ABC的重心，cos▱BCG=，BC=4，则CG=__________．17．如图，在四边形ABCD中，▱B=▱D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=__________．18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E是边BC的中点，联结AE，若将▱ABE沿AE翻折，点B落在点F处，联结FC，则cos▱ECF=__________．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：cos245°+tan60°•cos30°﹣3cot260°．20．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（﹣1，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图象平移，使顶点移到点P（0，﹣3）的位置，求所得新抛物线的表达式．21．如图，DC▱EF▱GH▱AB，AB=12，CD=6，DE：EG：GA=3：4：5．求EF和GH的长．22．如图，已知楼AB高36米，从楼顶A处测得旗杆顶C的俯角为60°，又从该楼离地面6米的一窗口E处测得旗杆顶C的仰角为45°，求该旗杆CD的高．（结果保留根号）23．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，▱BAE=▱CBD=▱DAC．（1）求证：DE•AB=BC•AE；（2）求证：▱AED+▱ADC=180°．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A 的右侧），与轴交于点C，tan▱CBA=．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；（3）设抛物线上的点E在第一象限，▱BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．25．（14分）如图，在▱ABCD中，E为边BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H．设==x．（1）当x=1时，求AG：AB的值；（2）设=y，求关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当DH=3HC时，求x的值．上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．1．已知α为锐角，如果sinα=，那么α等于( )A．30°B．45°C．60°D．不确定【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：▱α为锐角，sinα=，▱α=45°．故选B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．2．把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是( )A．y=（x﹣2）2+1B．y=（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x﹣2）2﹣3【考点】二次函数的三种形式．【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．【解答】解：y=x2﹣4x+1=x2﹣4x+4﹣3=（x﹣2）2﹣3，故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．3．若将抛物线平移，得到新抛物线y=（x+3）2，则下列平移方法中，正确的是( ) A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（﹣3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（﹣3，0），因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（﹣3，0），所以把抛物线y=x2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4．若坡面与水平面的夹角为α，则坡度i与坡角α之间的关系是( )A．i=cosαB．i=sinαC．i=cotαD．i=tanα【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】利用把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i==tanα．【解答】解：如图所示：i=tanα．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角的定义，正确把握坡角的定义是解题关键．5．如图，▱ABCD对角线AC与BD相交于点O，如果=，=，那么下列选项中，与向量（+）相等的向量是( )A．B．C．D．【考点】*平面向量．【分析】由四边形ABCD是平行四边形根据平行四边形法则，可求得==，然后由三角形法则，求得与，继而求得答案．【解答】解：▱四边形ABCD是平行四边形，▱==，▱=+=+，=﹣=﹣，▱=﹣=﹣（+），==（+），=﹣=﹣（﹣），==（﹣）．故选C．【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．6．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），若▱CDE与▱ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A．（4，2）B．（6，0）C．（6，4）D．（6，5）【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】解：▱ABC中，▱ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、当点E的坐标为（4，2）时，▱CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，▱CDE▱▱ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，0）时，▱CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，▱CDE▱▱ABC，故本选项不符合题意；C、当点E的坐标为（6，4）时，▱CDE=90°，CD=2，DE=3，则AB：BC≠DE：CD，▱EDC与▱ABC不相似，故本选项符合题意；D、当点E的坐标为（6，5）时，▱CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=CD：DE，▱CDE▱▱ABC不相似，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．若x：y=5：2，则（x+y）：y的值是．【考点】比例的性质．【分析】根据合比性质：=⇒=，可得答案．【解答】解：由合比性质，得==，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键．8．计算：﹣3（﹣2）=﹣+6．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：﹣3（﹣2）=﹣3+6=﹣+6．故答案为：﹣+6．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键．9．二次函数y=x2﹣2x的图象的对称轴是直线x=1．【考点】二次函数的性质．【分析】先把二次函数y=x2﹣2x写成顶点坐标式y=（x﹣1）2﹣1，进而写出图象的对称轴方程．【解答】解：▱y=x2﹣2x，▱y=（x﹣1）2﹣1，▱二次函数的图象对称轴为x=1．故答案为x=1．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是把二次函数写出顶点坐标式，此题难度不大．10．如果抛物线y=﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m=1．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】把原点坐标代入y=﹣x2+3x﹣1+m中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．【解答】解：▱抛物线y=﹣x2+3x﹣1+m经过点（0，0），▱﹣1+m=0，▱m=1．故答案为1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．11．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数y=（x﹣1）2图象上的两点，若x1＜x2＜1，则y1＞y2．（填“＞”、“＜”或“=”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】先利用顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=1，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，于是可判断y1与y2的大小．【解答】解：▱二次函数y=（x﹣1）2图象的对称轴为直线x=1，而x1＜x2＜1，▱y1＞y2．故答案为＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是运用二次函数的性质比较y1与y2的大小．12．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x (2)101…y…﹣11﹣21﹣2…根据表格上的信息回答问题：当x=2时，y=﹣11．【考点】二次函数的性质．【分析】首先根据表格数据得到二次函数图象的对称轴为x=0，然后求出当x=2时y的值．【解答】解：由表格数据可知：当x=﹣1，y=﹣2；x=1，y=﹣2，则二次函数的图象对称轴为x=0，又知x=﹣2和x=2关于x=0对称，当x=﹣2时，y=﹣11，即当x=2时，y=﹣11．故答案为﹣11．【点评】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格数据得到二次函数图象的对称轴为x=0，此题难度不大．13．如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1：4．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．【解答】解：▱两个相似三角形的周长的比为1：4，▱两个相似三角形的相似比为1：4，▱周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1：4，故答案为：1：4．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．14．如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别联结AE、BD相交于点O，若AD=5，=，则EC=2．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得到AD▱BC，AD=BC，推出▱BE0▱▱DAO，根据相似三角形的性质得到，求得BE=3，即可得到结论．【解答】解：▱四边形ABCD是平行四边形，▱AD▱BC，AD=BC，▱▱BE0▱▱DAO，▱，▱AD=5，▱BE=3，▱CE=5﹣3=2，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15．如图，正方形DEFG的边EF在▱ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC 上．若▱ABC的边BC长为40厘米，高AH为30厘米，则正方形DEFG的边长为厘米．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由DG▱BC得▱ADG▱▱ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：设正方形的边长为x．由正方形DEFG得，DG▱EF，即DG▱BC，▱AH▱BC，▱AP▱DG．由DG▱BC得▱ADG▱▱ABC▱=．▱PH▱BC，DE▱BC▱PH=ED，AP=AH﹣PH，即，由BC=40，AH=30，DE=DG=x，得，解得x=．故正方形DEFG的边长是．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．16．如图，在▱ABC中，▱ACB=90°，若点G是▱ABC的重心，cos▱BCG=，BC=4，则CG=2．【考点】三角形的重心．【分析】延长CG交AB于D，作DE▱BC于E，根据重心的概念得到点D为AB的中点，根据直角三角形的性质得到DC=DB，根据等腰三角形的三线合一得到CE=2，根据余弦的概念求出CD，根据三角形的重心的概念得到答案．【解答】解：延长CG交AB于D，作DE▱BC于E，▱点G是▱ABC的重心，▱点D为AB的中点，▱DC=DB，又DE▱BC，▱CE=BE=BC=2，又cos▱BCG=，▱CD=3，▱点G是▱ABC的重心，▱CG=CD=2，故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．17．如图，在四边形ABCD中，▱B=▱D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=．【考点】解直角三角形．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角▱ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角▱CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．▱在直角▱ABE中，tanA==，AB=3，▱BE=4，▱EC=BE﹣BC=4﹣2=2，▱▱ABE和▱CDE中，▱B=▱EDC=90°，▱E=▱E，▱▱DCE=▱A，▱直角▱CDE中，tan▱DCE=tanA==，▱设DE=4x，则DC=3x，在直角▱CDE中，EC2=DE2+DC2，▱4=16x2+9x2，解得：x=，则CD=．故答案是：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E是边BC的中点，联结AE，若将▱ABE沿AE翻折，点B落在点F处，联结FC，则cos▱ECF=．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【分析】由矩形的性质得出▱B=90°，BC=AD=10，由勾股定理求出AE，由翻折变换的性质得出▱AFE▱▱ABE，得出▱AEF=▱AEB，EF=BE=5，因此EF=CE，由等腰三角形的性质得出▱EFC=▱ECF，由三角形的外角性质得出▱AEB=▱ECF，cos▱ECF=cos▱AEB=，即可得出结果．【解答】解：如图所示：▱四边形ABCD是矩形，▱▱B=90°，BC=AD=10，▱E是BC的中点，▱BE=CE=BC=5，▱AE===，由翻折变换的性质得：▱AFE▱▱ABE，▱▱AEF=▱AEB，EF=BE=5，▱EF=CE，▱▱EFC=▱ECF，▱▱BEF=▱EFC+▱ECF，▱▱AEB=▱ECF，▱cos▱ECF=cos▱AEB===．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证出▱AEB=▱ECF是解决问题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：cos245°+tan60°•cos30°﹣3cot260°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=（）2+×﹣3×（）2=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（﹣1，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图象平移，使顶点移到点P（0，﹣3）的位置，求所得新抛物线的表达式．【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用顶点式写出所得新抛物线的表达式．【解答】解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，解得．所以这个二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）因为新抛物线是由抛物线y=x2﹣2x﹣3平移得到，而新抛物线的顶点坐标是（0，﹣3），所以新抛物线的解析式为y=x2﹣3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．21．如图，DC▱EF▱GH▱AB，AB=12，CD=6，DE：EG：GA=3：4：5．求EF和GH的长．【考点】平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】过C作CQ▱AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，则可判断四边形AQCD 为平行四边形，所以AQ=CD=6，同理可得EM=EM=CD=6，则BQ=AB﹣AQ=6，再利用平行线分线段成比例定理得到DE：EG：GA=CF：HF：HB=3：4：5，然后根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到MF：BQ=CF：CB=3：（3+4+5），NH：BQ=CH：CB=（3+4）：（3+4+5），则可计算出MF和NH，从而得到GH和EF的长【解答】解：过C作CQ▱AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，如图，▱CD▱AB，▱四边形AQCD为平行四边形，▱AQ=CD=6，同理可得GN=EM=CD=6，▱BQ=AB﹣AQ=6，▱DC▱EF▱GH▱AB，▱DE：EG：GA=CF：HF：HB=3：4：5，▱MF▱NH▱BQ，▱MF：BQ=CF：CB=3：（3+4+5），NH：BQ=CH：CB=（3+4）：（3+4+5），▱MF=×6=1.5，NH=×6=3.5，▱EM=EM+MF=6+1.5=7.5，HG=GN+NH=6+3.5=9.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．22．如图，已知楼AB高36米，从楼顶A处测得旗杆顶C的俯角为60°，又从该楼离地面6米的一窗口E处测得旗杆顶C的仰角为45°，求该旗杆CD的高．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点C作CG▱AE，垂足为点G，由题意得▱CEF=45°=▱CEG，▱ACG=60°，设CG=x，在Rt▱ACG中，AG=CG•tan▱ACG=x，在Rt▱ECG中，EG=CG•cot▱CEG=x，根据AG+EG=AE，列方程=36﹣6，得到CF=EG=15﹣15，于是得到结论．【解答】解：过点C作CG▱AE，垂足为点G，由题意得▱CEF=45°=▱CEG，▱ACG=60°，设CG=x，在Rt▱ACG中，AG=CG•tan▱ACG=x，在Rt▱ECG中，EG=CG•cot▱CEG=x，▱AG+EG=AE，▱=36﹣6，解得：x=15﹣15，▱CF=EG=15﹣15，▱CD=15﹣15+6=15﹣9．答：该旗杆CD的高为（15﹣9）米．【点评】此题主要考查了仰角与俯角问题，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．23．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，▱BAE=▱CBD=▱DAC．（1）求证：DE•AB=BC•AE；（2）求证：▱AED+▱ADC=180°．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据已知条件得到▱BAC=▱EAD，根据三角形额外角的性质得到▱ABC=▱AED，推出▱ABC▱▱AED，根据三角形的外角的性质得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，推出▱ABE▱▱ACD，根据相似三角形的性质得到▱AEB=▱ADC，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）▱▱BAE=▱DAC，▱▱BAE+▱EAC=▱DAC+▱EAC，即▱BAC=▱EAD，▱▱ABC=▱ABE+▱CBD，▱AED=▱ABE+▱BAE，▱▱CBD=▱BAE，▱▱ABC=▱AED，▱▱ABC▱▱AED，▱，▱DE•AB=BC•AE；（2）▱▱ABC▱▱AED，▱，即，▱▱BAE=▱DAC▱▱ABE▱▱ACD，▱▱AEB=▱ADC，▱▱AED+▱AEB=180°，▱▱AED+▱ADC=180°．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，邻补角的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A 的右侧），与轴交于点C，tan▱CBA=．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；（3）设抛物线上的点E在第一象限，▱BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）由抛物线解析式和已知条件得出C和B的坐标，（0，3），OC=3，把A（2，0）、B（6，0）分别代入y=ax2+bx+3得出方程组，解方程即可；（2）把抛物线解析式化成顶点式得出顶点坐标，四边形ACBD的面积=▱ABC的面积+▱ABD的面积，即可得出结果；（3）设点E的坐标为（x，x2﹣2x+3），分两种情况：①当▱CBE=90°时；②当▱BCE=90°时；分别由三角函数得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）▱当x=0时，▱C（0，3），OC=3，在Rt▱COB中，▱tan▱CBA=，▱=，▱OB=2OC=6，▱点B（6，0），把A（2，0）、B（6，0）分别代入y=ax2+bx+3，得：，解得：▱该抛物线表达式为y=x2﹣2x+3；（2）▱y=x2﹣2x+3=（x﹣4）2﹣1▱顶点D（4，﹣1），▱四边形ACBD的面积=▱ABC的面积+▱ABD的面积=×4×3+×4×1=8；（3）设点E的坐标为（x，x2﹣2x+3），分两种情况：①当▱CBE=90°时，作EM▱x轴于M，如图所示：则▱BEM=▱CBA，▱=tan▱BEM=tan▱CBA=，▱EM=2BM，即2（x﹣6）=x2﹣2x+3，解得：x=10，或x=6（不合题意，舍去），▱点E坐标为（10，8）；②当▱BCE=90°时，作EN▱y轴于N，如图2所示：则▱ECN=▱CBA，▱=tan▱ECN=tan▱CBA=，▱CN=2EN，即2x=x2﹣2x+3﹣3，解得：x=16，或x=0（不合题意，舍去），▱点E坐标为（16，35）；综上所述：点E坐标为（10，8）或（16，35）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线解析式的求法、三角函数的应用、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，求出抛物线解析式是解决问题的关键．25．（14分）如图，在▱ABCD中，E为边BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H．设==x．（1）当x=1时，求AG：AB的值；（2）设=y，求关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当DH=3HC时，求x的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；图形的相似．【分析】（1）由平行四边形ABCD，得到AD与BC平行且相等，由两直线平行得到两对内错角相等，进而确定出三角形BEF与三角形AGF相似，由相似得比例，把x=1代入已知等式，结合比例式得到AG=BE，AD=AB，即可求出所求式子的值；（2）设AB=1，根据已知等式表示出AD与BE，由AD与BC平行，得到比例式，表示出AG与DG，利用两角相等的三角形相似得到三角形GDH与三角形ABE相似，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方列出y与x的函数解析式，并求出x的范围即可；（3）分两种情况考虑：①当点H在边DC上时，如图1所示；②当H在DC的延长线上时，如图2所示，分别利用相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：（1）在▱ABCD中，AD=BC，AD▱BC，▱▱BEF=▱GAF，▱EBF=▱AGF，▱▱BEF▱▱GAF，▱=，▱x=1，即==1，▱==1，▱AD=AB，AG=BE，▱E为BC的中点，▱BE=BC，▱AG=AB，则AG：AB=；（2）▱==x，▱不妨设AB=1，则AD=x，BE=x，▱AD▱BC，▱==x，▱AG=，DG=x﹣，▱GH▱AE，▱▱DGH=▱DAE，▱AD▱BC，▱▱DAE=▱AEB，▱▱DGH=▱AEB，在▱ABCD中，▱D=▱ABE，▱▱GDH▱▱EBA，▱=（）2，▱y=（）2=（x＞）；（3）分两种情况考虑：①当点H在边DC上时，如图1所示：▱DH=3HC，▱=，▱=，▱▱GDH▱▱EBA，▱==，即=，解得：x=；②当H在DC的延长线上时，如图2所示：▱DH=3HC，▱=，▱=，▱▱GDH▱▱EBA，▱==，即=，解得：x=2，综上所述，可知x的值为或2．【点评】此题属于相似型综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．。
