2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第3章 第6节 简单的三角恒等变换

又
3π 2α＋β∈0， 2 .∴2α＋β＝π.
答案 π
[规律方法]
三角函数求值有三类 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上 来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系， 解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并
且消除非特殊角的三角函数而得解．
－x，则
π f 12等于
(
)
1 B．－ 2 3 D．－ 2

4
π 2 － sin ＋x x＋ 4 ＝－sin
2 x，
π π 1 ∴f ＝－sin ＝－ .] 6 2 12
cos 2α ＋sin 2α ＋1 1 3．已知 tan α ＝ ，则 等于 2 2 cos α A．3 C．12 B．6 3 D. 2
(2)由 f(α)＝1，得 又 α∈[0，π]，
π 2sin2α＋ ＝1， 3
π π 7π 所以 2α＋ 3 ∈ ， ， 3 3
π 5π π 13π 所以 2α＋ 3 ＝ 6 或 2α＋ 3 ＝ 6 ， π 11π 故 α＝ 4 或 α＝ 12 .
α 3．用 sin α ，cos α 表示 tan 2 . α sin α 1－cos α tan ＝ ＝ . 2 1＋cos α sin α
[基础自测自评] α 1 1．(教材习题改编)已知 cos α ＝3，α∈(π ，2π )，则 cos 2 等于 ( 6 A. 3 3 C. 3 6 B．－ 3 3 D．－ 3 )
质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思 想解决相关问题．
[跟踪训练] 3．已知函数 f(x)＝2cos
π xcosx－ 6 －
3sin2x＋sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)当 α∈[0，π ]时，若 f(α)＝1，求 α 的值．
[跟踪训练] α 1 α α －tan 2 1．化简 · . 1 ＋ tan α · tan 2 tan 2
解析
α α α cos 2 sin 2 sin α sin 2 ·1＋ － · 解法一：原式＝ α α cos α α sin cos cos 2 2 2
(
)
cos 2α＋sin 2α＋1 2cos2α＋2sin α·cos α A [ ＝ 2 cos α cos2α ＝2＋2tan α＝3.]
sin 20°cos 20° 4. ＝________． cos 50° 1 1 sin 20°cos 20° 2sin 40° 2sin 40° 1 ＝ ＝ ＝ . cos 50° cos 50° sin 40° 2 1 2
π 3 4 ∵sin α＝5，α∈0，2，∴cos α＝5，
4 3 ∵cos(α＋β)＝－ ，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝ ， 5 5
3 ∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝5
4 4 3 － ＋ × ＝0. × 5 5 5
解析 答案
1＋tan α 1 5．若 ＝2 014，则 ＋tan 2α ＝________． 1－tan α cos 2α 解析
2 1 ＋ sin 2 α （ cos α ＋ sin α ） 1 ＋tan 2α＝ ＝ cos 2α cos 2α cos2α－sin2α
cos α＋sin α 1＋tan α ＝ ＝ ＝2 014. cos α－sin α 1－tan α 答案 2 014
[规律方法] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与
联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使 用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变 形的方向，如“遇到分式要通分”等．
【创新探究】 三角函数的综合应用
(2012· 湖北高考)已知向量 a＝(cos ω x－sin ω x，sin ω x) ， b＝(－cos ω x－sin ω x， 2 3cos ω x)， 设函数 f(x)＝a· b＋λ(x ∈R)的图象关于直线 x＝π 对称， 其中 ω， λ 为常数， 且
α 1 π B [∵cos α＝3，α∈(π，2π)，∴ 2 ∈ ，π ， 2
∴cos 2 ＝－
α
1＋cos α ＝－ 2
1 1＋3 6 2 ＝－ 3 .]
2．已 知函数 f(x)＝cos 1 A. 2 3 C. 2 B [f(x)＝cos
2π
2π

4
2π ＋x－cos 4
(2)(2014· 石家庄质检)计算
π tan 4
cos 2α ＋α· 2π 2cos －α 4
的值为
(
)
A．－2 C．－1
B．2 D．1
D
π π tan ＋α· cos 2α sin ＋α · cos 2α 4 4 [ ＝ π π 2 2π 2cos －α 2sin ＋αcos ＋α 4 4 4
第六节
简单的三角恒等变换
[主干知识梳理] 半角公式(不要求记忆) 1．用 cos α 表示 sin
2α 2α
2
，cos
2α
2
，tan
2α
2
.
1－cos α 1＋cos α 1－cos α 2α 2α sin 2 ＝ ；cos 2 ＝ ；tan 2 ＝ . 2 2 1＋cos α
α α α 2．用 cos α 表示 sin 2 ，cos 2 ，tan 2 . α sin 2 ＝± α cos ＝± 2 α tan 2 ＝± 1－cos α ； 2 1＋cos α ； 2 1－cos α . 1＋cos α
2
＝
cos 2 －sin 2 sin
α
2
α
·
α
2
·cos
α
2
cos αcos ＋sin αsin 2 2 cos αcos 2 2cos α ＝ · sin α
α
α
α α
cos 2 2cos α 2 ＝ · ＝ . α sin α α sin α cos αcos cos αcos 2 2
α cosα－2
π ∴sin(2x－ )＝0 6 π ∴2x－ ＝kπ(k∈Z) 6 π k x＝2π＋12(k∈Z)， kπ π ∴函数 f(x)的零点的集合为{x|x＝ 2 ＋12，k∈Z}．
[规律方法] 三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相
结合，通过变换把函数化为 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的形式再研究性
[典题导入] 1 (2013· 陕西高考)已知向量 a＝(cos x，－2)，b＝ ( 3sin x，cos 2x)，x∈R，设函数 f(x)＝a· b. (1)求 f(x)的最小正周期； π (2)求 f(x)在[0， 2 ]上的最大值和最小值．
[听课记录]
1 f(x)＝(cos x，－2)· ( 3sin x，cos 2x)
sin 30° cos 17° ＋cos 30° sin 17° －sin 17° cos 30° ＝ cos 17° sin 30° cos 17° 1 ＝ cos 17° ＝sin 30° ＝2. 答案 C
3 4 α ＋ β (2)已知 α、β 为锐角，sin α ＝5，cos ＝－ ，则 2α ＋β＝ 5 ________. [听课记录]
2
α
α
α
α
α
2
三角函数式的求值
[典题导入] sin 47°－sin 17°cos 30° (1)(2012· 重庆高考) ＝ cos 17° 3 A．－ 2 1 C.2 1 B．－2 3 D. 2 . ( )
[听课记录]
sin（30° ＋17° ）－sin17° cos 30° 原式＝ cos 17°
1 ＝ 3cos xsin x－2cos 2x 3 1 ＝ sin 2x－ cos 2x 2 2 π π ＝cos sin 2x－sin cos 2x 6 6 π ＝sin(2x－ )． 6
2π 2π (1)f(x)的最小正周期为 T＝ ω ＝ 2 ＝π， 即函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π 5π (2)∵0≤x≤2，∴－6≤2x－6≤ 6 . π π 由正弦函数的性质，知当 2x－6＝2， π 即 x＝3时，f(x)取得最大值 1.
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一 些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或
具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某 一函数值，再求角的范围，确定角．
[跟踪训练] sin 20° 1＋cos 40° 2．(1)(2014· 太原模拟) ＝ cos 50° 1 A.2 C. 2
[关键要点点拨] 三角恒等变换的常见形式 三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三
是三角恒等式的证明．
(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同 角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．
(2)三角函数求值分为给值求值 (条件求值)与给角求值，对条
件求值问题要充分利用条件进行转化求解．
a
(
)
2 B. 2 D．2
sin 20° 1＋cos 40° sin 20° 2cos2 20° B [ ＝ cos 50° cos 50° 2 2 2sin 20°cos 20° 2 sin 40° 2 sin 40° 2 ＝ ＝ ＝ ＝ ，选 B.] 2 cos 50° cos 50° sin 40°