45.2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二(上)期末数学试卷(学生版)

2018年学年第一学期浙南名校联盟期末联考高二年级数学学科试题选择题部分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则使成立的的值是（）A. -1B. 0C. 1D. -1或1【答案】A【解析】【分析】根据集合A，B，以及B⊆A即可得出，从而求出a＝﹣1．【详解】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{a，a2}，且B⊆A；∴∴a＝﹣1．故选：A．【点睛】本题考查列举法的定义，集合元素的互异性，以及子集的定义．2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把z＝﹣2+i代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由z＝﹣2+i，得．故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.若为实数，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由得0＜a＜1，则“a＜1”是“”的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．4.若实数，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. 0 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，可得当x，y时，z取得最大值．【详解】解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（，），B（，﹣1），C（2，﹣1）设z＝F（x，y）＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（，）．故选：C．【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．【详解】解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM＝1∴∴故选：B．【点睛】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．6.设函数，将的图像向平移个单位后，所得的函数为偶函数，则的值可以是（）A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性，求得ω的值．【详解】解：将函数f（x）＝2sin（ωx）的图象向右平移个单位后，可得y＝2sin（ωx）的图象．∵所得的函数为偶函数，∴kπ，k∈Z．令k＝﹣1，可得ω，故选：D．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．7.函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可．【详解】解：f（﹣x）f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，由f（x）＝0得sin x＝0，得距离原点最近的零点为π，则f（）0，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．8.设等差数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法错误．．的是（）A. 若有最大值，则也有最大值B. 若有最大值，则也有最大值C. 若数列不单调，则数列也不单调D. 若数列不单调，则数列也不单调【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质知数列{a2n﹣1}的首项是a1，公差为2d，结合等差数列的前n项和公式以及数列的单调性和最值性与首项公差的关系进行判断即可．【详解】解：数列{a2n﹣1}的首项是a1，公差为2d，A．若S n有最大值，则满足a1＞0，d＜0，则2d＜0，即T n也有最大值，故A正确，B．若T n有最大值，则满足a1＞0，2d＜0，则d＜0，即S n也有最大值，故B正确，C．S n＝na1•d n2+（a1）n，对称轴为n，T n＝na1•2d＝dn2+（a1﹣d）n，对称轴为n•，不妨假设d＞0，若数列{S n}不单调，此时对称轴n，即1，此时T n的对称轴n•1，则对称轴•有可能成立，此时数列{T n}有可能单调递增，故C错误，D．不妨假设d＞0，若数列{T n}不单调，此时对称轴n•，即2，此时{S n}的对称轴n2，即此时{S n}不单调，故D正确则错误是C，故选：C．【点睛】本题主要考查与等差数列有关的命题的真假关系，涉及等差数列前n项和公式的应用以及数列单调性的判断，综合性较强，难度较大．9.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，点是，的交点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设∠F1PF2＝θ，则，得出，利用椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式可得出，结合c＝2，可得出，然后将椭圆和双曲线的方程联立，求出交点P的横坐标，利用该点的横坐标位于区间（﹣c，c），得出，可得出，从而得出椭圆C1的离心率e的取值范围．【详解】解：设∠F1PF2＝θ，则，所以，，则，由焦点三角形的面积公式可得，所以，，双曲线的焦距为4，椭圆的半焦距为c＝2，则b2＝a2﹣c2＝a2﹣4＞3，得，所以，椭圆C1的离心率．联立椭圆C1和双曲线C2的方程，得，得，由于△PF1F2为锐角三角形，则点P的横坐标，则，所以，．因此，椭圆C1离心率e的取值范围是．故选：C．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，解决本题的关键在于焦点三角形面积公式的应用，起到了化简的作用，同时也考查了计算能力，属于中等题．10.如图，在棱长为1正方体中，点，分别为边，的中点，将沿所在的直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是（）A. 无论旋转到什么位置，、两点都不可能重合B. 存在某个位置，使得直线与直线所成的角为C. 存在某个位置，使得直线与直线所成的角为D. 存在某个位置，使得直线与直线所成的角为【答案】D【解析】【分析】利用圆锥的几何特征逐一判断即可.【详解】解：过A点作AM⊥BF于M，过C作CN⊥DE于N点在翻折过程中，AF是以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的母线，同理，AB，EC，DC也可以看成圆锥的母线；在A中，A点轨迹为圆周，C点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A正确；在B中，能否使得直线AF与直线CE所成的角为60°，又AF，EC分别可看成是圆锥的母线，只需看以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B正确；在C中，能否使得直线AF与直线CE所成的角为90°，只需看以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C正确；在D中，能否使得直线与直线所成的角为，只需看以B为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D不成立；故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力，考查数形结合思想，是中档题．非选择题部分二、填空题.11.双曲线的渐近线方程是____；焦点坐标____.【答案】(1). (2).【解析】【分析】直接根据双曲线的简单性质即可求出．【详解】解：在双曲线1中，a2＝2，b2＝1，则c2＝a2+b2＝3，则a，b＝1，c，故双曲线1的渐近线方程是y＝±x，焦点坐标（，0），故答案为：y＝±x，（，0）【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．12.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则___；的面积是___【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】由余弦定理可求c，利用同角三角函数的基本关系式求出sin C，然后由△ABC的面积公式求解即可．【详解】解：在△ABC中，a＝b，cos C，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C4，则c＝2；在△ABC中，∵cos C，∴sin C，∴S△ABC ab•sin C．故答案为：2；．【点睛】本题考查余弦定理，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查三角形的面积公式，是基础题．13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____；表面积为____.【答案】(1). 3(2). 9+【解析】【分析】根据三视图知该几何体是直三棱柱，结合图中数据求出它的体积和表面积．【详解】解：根据三视图知该几何体是直三棱柱，如图所示；则该几何体的体积为V＝S△ABC•AA13×1×2＝3；表面积为S＝2S△ABC＝23×1+3×2+22＝9+22．故答案为：3，9+22．【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积和表面积的应用问题，是基础题．14.若实数，满足，则的最小值为____.【答案】4【解析】【分析】由已知可知，2（a﹣1）+b﹣2＝2，从而有（）[2（a﹣1）+b﹣2）]，利用基本不等式可求最小值.【详解】解：∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，则（）[2（a﹣1）+b﹣2）]，（4），当且仅当且2a+b﹣6＝0即a，b＝3时取得最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的应用，解题的关键是配凑基本不等式的应用条件．15.已知直线，曲线，若直线与曲线相交于、两点，则的取值范围是____；的最小值是___.【答案】(1). (2).【解析】【分析】因为过定点的直线与半圆C的图象有两个交点，结合图象知：k PE≤k≤k PO，求出直线PO和PE的斜率即可；当PC⊥AB 时，|AB|最小．【详解】解：直线l：kx﹣y k＝0过定点（1，），曲线C为半圆：（x﹣2）2+y2＝4（y≥0）如图：由图可知：k OP，k PE，∴；要使弦长AB最小，只需CP⊥AB，此时|AB|＝22，故答案为：[，]；．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了垂径定理，考查了数形结合思想，属于中档题.16.点是边长为2的正方形的内部一点，，若，则的取值范围为___.【答案】(]【解析】【分析】根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对λμ两边平方，进行数量积的运算化简，利用三角代换以及两角和与差的三角函数，从而便可得出λμ的最大值．【详解】解：如图，依题意知，λ＞0，μ＞0；根据条件，12＝λ22+2λμ•μ22＝4λ2+4μ2．令λ，μ＝sinθ,．∴λμ＝cosθsinθ＝sin（θ）；θ, sin（θ）(]∴的取值范围为(]故答案为（]．【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及辅助角公式，三角代换的应用，考查转化思想以及计算能力．17.函数，若此函数图像上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】根据函数图象上存在关于原点对称的点，转化为f（﹣x）＝﹣f（x）有解，利用参数分离法进行转化求解即可．【详解】解：若函数图象上存在关于原点对称的点，即f（﹣x）＝﹣f（x）有解，即a﹣2x﹣ma﹣x＝﹣（a2x﹣ma x）＝﹣a2x+ma x，即a2x+a﹣2x＝m（a x+a﹣x），即m（a x+a﹣x），设t＝a x+a﹣x，则t≥22，则（a x+a﹣x）t在[2，+∞）为增函数，∴h（t）＝t h（2）＝2﹣1＝1，则要使m＝h（t）＝t有解，则m≥1，即实数m的取值范围是[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为f（﹣x）＝﹣f（x）有解，利用参数分离法进行转化是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数.（Ⅰ）若为锐角，且，求的值；（Ⅱ）若函数，当时，求的单调递减区间.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可计算得解；（Ⅱ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求g（x）＝2sin（2x），根据正弦函数的单调性即可求解．【详解】（Ⅰ）为锐角，,,,，（Ⅱ）,,,所以单调递减区间是【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．19.如图，在四棱锥中，平面，，，，，.（Ⅰ）求证平面；（Ⅱ）求直线与平面所成线面角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）推导出AC⊥PC，AC⊥CD，由此能证明AC⊥平面PCD；（Ⅱ）过D作直线DH⊥PC，AC⊥DH，DH⊥平面P AC，从而∠DCH为直线CD与平面P AC所成线面角，由此能求出直线CD与平面P AC所成线面角的正弦值．【详解】（Ⅰ）,,,,,,,,有公共点，,（Ⅱ）方法1:过作直线垂直于，为垂足，，，，为所求线面角，,,方法2:如图建立空间直角坐标系,，,,直线与所成线面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知数列满足：，.（Ⅰ）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）令，设数列的前项和为，若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）运用等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得b n＝log2（a n+1）＝2n﹣1，（），由裂项相消求和，可得S n，再由参数分离和基本不等式可得所求范围．【详解】（Ⅰ）由得且是以4为公比的等比数列，，（Ⅱ），,,,且,当且仅当n=2时取等号，,【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．21.已知椭圆过点，且离心率为.过抛物线上一点作的切线交椭圆于，两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线，使得，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）椭圆（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据已知条件列有关a、b、c的方程组，求出a和b的值，即可得出椭圆C1的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+t，先利用导数写出直线l的方程，于是得到k＝2x0，，将直线l的方程与椭圆C1的方程联立，列出韦达定理，由并代入韦达定理，通过计算得出t的值，可得出x0的值，从而可得出直线l的方程．【详解】（Ⅰ）由题知，得,所以椭圆,（Ⅱ）设的方程：,由（1）知，的方程：,故 . 由，得.所以,即(4t2-4)(k2+1)-8k2t(t-1)+(t-1)2(4k2+1)=0,化简有5t2-2t-3=0，所以t=1或t=,，，【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法的应用，同时也考查了计算能力，属于中等题．22.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，求证：.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见证明【解析】【分析】（Ⅰ）利用导数与函数单调性的关系求解；（Ⅱ）af（x）＞lnx⇔．令F（x），F′（x）（x＞0）．①当∈（0，1]时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，F（x）≥F（1）＝ae＞0；②当＞1时，令G（x），利用导数求得最小值大于0即可．【详解】解．（1）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵，∴x∈（﹣∞，0），（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0∴函数f（x）的单调增区间为：（1，+∞），减区间为（﹣∞，0），（0，1）．（2）af（x）＞lnx⇔．令F（x），F′（x）．（x＞0）．①当∈（0，1]时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，F（x）≥F（1）＝ae＞0；②当＞1时，令G（x），G．∴G（x）在（1，+∞）单调递增，∵x→1时，G（x）→﹣∞，G（2）＝e20，∴G（x）存在唯一零点0∈（1，2），F（x）min＝F（x0）∵G（x0）＝0，．综上所述，当时，af（x）＞lnx成立．【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

浙江省名校协作体2018-2019学年高二上学期9月联考数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．【详解】∵集合，，∴．故选：A．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.设(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c【答案】D【解析】试题分析：由对数函数的性质，所以，b<a<c，故选D。

考点：本题主要考查对数函数的性质。

点评：简单题，涉及比较函数值的大小问题，首先考虑函数的单调性，必要时引入“-1,0,1”等作为“媒介”。

3.将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用图像平移规律直接写出平移后的函数解析式，整理即可。

【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到的图象，故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于基础题．4.函数为自然对数的底数的图象可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】为自然对数的底数是偶函数，由此排除B和D，，由此排除A．由此能求出结果．【详解】∵（e为自然对数的底数）是偶函数，∴函数（e为自然对数的底数）的图象关于y轴对称，由此排除B和D，∴，由此排除A．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5.设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解即可。

【详解】解：根据实数x，y满足约束条件画出可行域，由，．由图得当过点时，Z最小为．当过点时，Z最大为1．故所求的取值范围是故选：C．【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求最值，属于基础题。

2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合U N =，{}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<，则()U A B =（ ） A ．{2,3,4,5,6} B ．{2,4,6}C ．{1,3,5}D ．{3,5}【答案】D【解析】按照补集、交集的定义，即可求解. 【详解】{}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<，()UA B ={3,5}.故选:D. 【点睛】本题考查集合的混合计算，属于基础题.2．双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为y =，则其离心率为（ ）A ．32B ．2C ．3 D【答案】B【解析】根据渐近线得到a =，得到离心率.【详解】双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为y =，则a =，=c ，62c ea . 故选：B . 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.3．如图，某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．72B ．73C ．76D ．7【答案】C【解析】根据三视图知几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为1的三棱台，计算体积得到答案. 【详解】根据三视图知：几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为1的三棱台，故111117111221122322226V ⎛=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= ⎝. 故选：C . 【点睛】本题考查了三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 4．若复数2(1)ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．1± B ．1-C ．0D ．1【答案】A【解析】因为22(1)12ai a ai +=-+是纯虚数，210, 1.a a ∴-==± 5．已知平面α，β，直线a ，满足αβ⊥，l αβ=，则下列是a β⊥的充分条件是（ ） A ．//a α B ．a α⊂C ．a l ⊥D ．,a l a α⊥⊂【答案】D【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项的充分性和必要性，判断得到答案. 【详解】当//a α时，可以a β⊥，//a β或a β⊂，或,a β相交，不充分，A 错误； 当a α⊂时，可以a β⊥，//a β或a β⊂，或,a β相交，不充分，B 错误； 当a l ⊥时，不能得到a β⊥，C 错误；当a l ⊥，a α⊂时，则a β⊥，充分性；当a β⊥时，l β⊂，故a l ⊥，a 与α关系不确定，故不必要，D 正确；故选：D . 【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，充分条件，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.6．已知实数,a b 满足cos cos a b a b ->-，则下列说法错误．．的是（ ） A ． cos cos a b a b +>+ B ．cos cos a b b a ->- C ．sin sin a b a b ->- D ．sin sin a b b a ->-【答案】A【解析】设()cos f x x x =-，证明()f x 单调递增，得到a b >，构造函数根据单调性到BCD 正确，取1a =，1b =-，则 cos cos a b a b +>+不成立，A 错误，得到答案. 【详解】设()cos f x x x =-，则()'1sin 0f x x =+≥恒成立，故()f x 单调递增，cos cos a b a b ->-，即cos cos a a b b ->-，即()()f a f b >，a b >.取1a =，1b =-，则 cos cos a b a b +>+不成立，A 错误；设()cos g x x x =+，则()'1sin 0g x x =-≥恒成立，()g x 单调递增， 故()()g a g b >，就cos cos a b b a ->-，B 正确； 同理可得：CD 正确. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据函数的单调性比较式子大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 7．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη= D ．E E ξη=，D D ξη=【答案】C【解析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236=⨯+⨯+⨯=，D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．8．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，AB BC E F ⊥,、是SC 上两个三等分点，记二面角E AB F --的平面角为α，则tan α（ ）A ．有最大值43B ．有最大值34C ．有最小值43D ．有最小值34【答案】B【解析】将三棱锥放入长方体中，设AB a ，BC b =，AS c =，计算1tan 2c bα=，2tan 2b c α=，则123tan tan 24πααα⎛⎫=--≤⎪⎝⎭，得到答案. 【详解】将三棱锥放入长方体中，设AB a ，BC b =，AS c =，如图所示： 过E 作EN ⊥平面ABC 与N ，NM AB ⊥与M ，连接ME ， 则EMN ∠为二面角E AB C --的平面角，设为1α，则13NE c =，23MN b =，故1tan 2cbα=. 同理可得：设二面角F AB S --的平面角为2α，2tan 2b cα=. 12121231tan tan 34tan tan 2tan tan 422c b b cααπααααα-⎛⎫=--==≤ ⎪+⎝⎭+，当22c bb c=，即b c =时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力.9．已知2a b a b ==⋅=，c tb -的最小值为c a -，则4ba c c a +-+-的最小值为（ ） A ．31 B ．2C 3D 31【答案】C【解析】如图所示：在直角坐标系中，取点3,02F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,12A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得到C 的轨迹方程为223y x =，故4ba c c a CD CF CD CM DN +-+-=+=+≤，得到答案. 【详解】如图所示：在直角坐标系中，取点3,02F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,12A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则()3,1a AF ==，()0,2b AB ==，满足2a b a b ==⋅=，设c AC =，过点C 作CM 垂直于AB 所在的直线与M ，则c tb -的最小值为MC ， 即MC CF =，根据抛物线的定义知C 的轨迹方程为：223y x =.取33,42b a AD ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故31,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 即34ba c c a CD CF CD CM DN +-+-=+=+≥=， 当DC 垂直于准线时等号成立. 故选：C .【点睛】本题考查了向量和抛物线的综合应用，根据抛物线的定义得到C 的轨迹方程是解题的关键.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21n n n a S a -=，则下列结论中（ ）①数列{}2n S 是等差数列；②n a <11n n a a +<A ．仅有①②正确B ．仅有①③正确C ．仅有②③正确D ．①②③均正确【答案】D【解析】由条件求得2211n n S S --=，可判断①，由①得n a ，可判断②；由n a 判断③，可知①②③均正确，可选出结果． 【详解】①由条件知，对任意正整数n ，有1＝a n （2S n ﹣a n ）＝（S n ﹣S n ﹣1）（S n +S n ﹣1）221n n S S -=-，又()2111111,211,1n a S a a S =±==∴=-所以{2n S }是等差数列．②由①知n S =或显然，当1n n n n S a S S -==-≤n S =，n a =<②正确③仅需考虑a n ，a n +1同号的情况，不失一般性，可设a n ，a n +1均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），由②故有n S =，1n S +=，此时n a =1n a +=从而1n n a a +＜=＜1．故选：D ． 【点睛】本题考查数列递推式，不等式的证明，属于一般综合题．二、填空题11．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有__________个． 【答案】23【解析】除以3 余2 且除以7 余2的数是除以21 余2的数. 3和7的最小公倍数是21.21的倍数有21,42,63,82...... 除以3 余2 且除以7 余2的数有23,45,65,85，… 其中除以5 余3 的数最小数为23 ，这些东西有23个，故答案为23 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力，属于难题.弘扬传统文化与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过中国古代数学名著及现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.12．若,x y 满足约束条件220,240,330,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值为___________，最大值为___________. 【答案】4513 【解析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，22z x y =+表示点(),x y 到原点距离的平方.根据图像知：当取B 点，即2,3x y ==时，22z x y =+有最大值为13. 原点到直线220x y +-=的距离为d =22z x y =+有最小值为245d =. 故答案为：45；13.【点睛】本题考查了线性规划问题，将22z x y =+转化为点(),x y 到原点距离的平方是解题的关键.13．从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作___________个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作___________个四面体. 【答案】12 58【解析】根据题意，共有正方体的6个面和6个对角面，共12个不同平面，可作4812C -个四面体，得到答案. 【详解】正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，共有正方体的6个面和6个对角面，共12个不同平面，故可作481258C -=个四面体.故答案为：12；58. 【点睛】本题考查了不同平面和四面体的个数，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 14．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边,,a b c 依次成等差数列，且() cos cos b C k B c =-，则k 的取值范围___________，若2k=，则cos B 的值为___________. 【答案】1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭1116【解析】根据正弦定理得到a k c =，根据等差数列和余弦定理到2332cos 8k kB k+-=，根据三角函数的有界性解得答案. 【详解】()cos cos b C k B c =-，故cos sin cos cos sin sin cos sin sin b C B C B C A ak B c C C c+=+===， 边,,a b c 依次成等差数列，故2b a c =+，且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0cos 1B <<. 根据余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，化简整理得到：222332332cos 88a c ac k k B ac k +-+-==，故2332018k kk+-<<，解得1,33k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.当2k =时，233211cos 816k k B k +-==.故答案为：1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭；1116. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.15．在444x x ⎛-⎫⎪⎝⎭+的展开式中，各项系数和为_______，其中含2x 的项是________.【答案】1 2112x【解析】取1x =，各项系数和为1，8444xx +-=⎫ ⎪⎝⎛⎭，展开式的通项为：4182r r r r T C x -+=⋅，计算得到答案.【详解】444x x ⎛-⎫⎪⎝⎭+的展开式中，取1x =，则各项系数和为1；8444xx +-=⎫ ⎪⎝⎛⎭，则展开式的通项为：()8418822rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭. 取2r，则含2x 的项是：222282112C x x ⋅=.故答案为：1；2112x . 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，P是椭圆C 上一点（不在坐标轴上），Q 是12F PF ∠的平分线与x 轴的交点，若22QF OQ =，则椭圆离心率的范围是___________．【答案】1,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由已知结合三角形内角平分线定理可得|PF 1|＝2|PF 2|，再由椭圆定义可得|PF 2|23a=，得到a ﹣c 23a a c +＜＜，从而得到e 13c a =＞，再与椭圆离心率的范围取交集得答案． 【详解】∵22QF OQ =，∴223QF c =，143QF c =，∵PQ 是12F PF ∠的角平分线， ∴1243223c PF PF c ==，则122PF PF =，由12232PF PF PF a +==，得223a PF =， 由23a a c a c -<<+，可得13c e a =>，由01e <<，∴椭圆离心率的范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了角平分线定理的应用及椭圆定义的应用，是中档题． 17．对于任意的实数b ，总存在[]0,1x ∈，使得21x ax b ++≥成立，则实数a 的取值范围为_____.【答案】1a ≥或3a ≤-【解析】当1b ≥时，取0x =，满足21x ax b ++≥，考虑11b -<<的情况，讨论02a-≤，1022a <-≤，1122a <-<，12a -≥四种情况，分别计算得到答案. 【详解】当1b ≥时，取0x =，满足21x ax b ++≥，成立； 现在考虑11b -<<的情况： 当02a-≤，即0a ≥时，[]2,1x ax b b b a ++∈++，只需满足11b a ++≥恒成立，1a ≥；当1022a <-≤，即10a -≤<时，22,14a x ax b b b a ⎡⎤++∈-++⎢⎥⎣⎦，只需满足11b a ++≥恒成立，或214a b -≤-恒成立，无解；当1122a <-<，即21a -<<-时，22,4a x ax b b b ⎡⎤++∈-⎢⎥⎣⎦，只需满足214a b -≤-恒成立， 无解； 当12a-≥，即2a ≤-时，[]21,x ax b b a b ++∈++，只需满足11b a ++≤-恒成立，3a ≤-；综上所述：1a ≥或3a ≤-. 故答案为：1a ≥或3a ≤-. 【点睛】本题考查了恒成立问题，意在考查学生的分类讨论的能力，计算能力和应用能力.三、解答题18．已知函数()30,22f x x πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+><⎪⎪⎝⎭⎝⎭对任意实数x 满足()566f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）当()f x 的周期最大值时，求函数()f x 的解析式，并求出()f x 单调的递增区间；（2）在（1）的条件下，若,0,26a a f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈=，求()2f a 的值.【答案】（1）()3f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭，()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2 【解析】（1）计算周期最大值为2π，从而min 23ω=，3πϕ=，得到函数解析式，取22232kx x k ππππ-+≤+≤+，解得答案.（2）化简得到3cos 5a =，4sin 5a =，代入计算得到答案. 【详解】（1）由题意知周期最大满足5266T πππ=+=，故周期最大值为2π，从而min 23ω=，又函数()f x 图象的一条对称轴为6x π=，所以62()kx k Z ππϕ+=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()3f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭. 当()f x 单调递增时，22232kx x k ππππ-+≤+≤+，因此()f x 单调的递增区间为()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()3f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭，又6f a π⎛⎫ ⎪=⎝⎭+63a a ππ⎛⎫=⎪⎭=⎝++，即3cos 5a =， 因为0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5a =，4324sin 22sin cos 25525a a a ==⨯⨯=，27cos22cos 125a x =-=-，所以()3222cos 232f a a a a π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭243725225=-⨯=. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数周期，三角函数单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点.(1)求证：AE //平面PDC ；(2)若BC ＝CD ＝PD ，求直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155【解析】（1）取PC 的中点F ，连结DF 、EF ，推导出四边形ADFE 是平行四边形，从而//AE DF ，由此能证明//AE 平面PDC ．（2）推导出DF PC ⊥，由//AE DF ，得AE PC ⊥，再推导出PD BC ⊥，BC CD ⊥，从而BC ⊥平面PDC ，BC DF ⊥，BC AE ⊥，AE PC ⊥，进而AE ⊥平面PBC ，连结EC ，AC ，则AEC ∠就是直线AC 与平面PBC 所成角，由此能求出直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值． 【详解】解：（1）证明：取PC 的中点F ，连结DF 、EF ，E 是PB 的中点，//EF BC ∴，且2BC EF =，//AD BC ，2BC AD =，//AD EF ∴，且AD EF =，∴四边形ADFE 是平行四边形，//AE DF ∴，又DF ⊂平面PDC ，//AE ∴平面PDC ．（2）解：PD DC =，PDC ∴∆是等腰三角形，DF PC ∴⊥，又//AE DF ，AE PC ∴⊥，PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，BC ∴⊥平面PDC ，DF ⊂平面PDC ，BC DF ∴⊥，BC AE ∴⊥，又AE PC ⊥，AE ∴⊥平面PBC ，连结EC ，AC ，则AEC ∠就是直线AC 与平面PBC 所成角， 设2PD CD BC ===，在Rt PCB ∆中，解得22=PC ，23PB =，3EC =，在Rt ADC ∆中，解得5AC =，∴在Rt AEC ∆中，315cos 55EC ECA AC ∠===， ∴直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值为155．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知数列{}n a 满足12a =，()1*121222n n n n a a a na n N -+++⋅⋅⋅+=∈.（1）求n a ；（2）求证：()*122311113261112n n a a a n n n N a a a +----<++⋅⋅⋅+<∈---. 【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析【解析】（1）根据题意变换得到数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，得到通项公式.（2）11112n n n a b a +-=<-，11111232n n nn a b a +-=≥--⋅，代入计算得到答案.【详解】（1）由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得3121212222n n n na a na a a +-+++⋅⋅⋅+=， 所以当2n ≥时 ()312122112222n n n n n a a a a a ----+++⋅⋅⋅+=， 因此有()()112112222nn n n n n a a na n +---=-≥，即()1221n n n a na n a +=--， 整理得12(2)n n a a n +=≥，又12a =，212a a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求得2nn a =.（2）记1111212112121212n nn n n n n a b a +++---==<=---， 故122311111111112222n n a a a na a a +---++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=---，又112111212111111122121212222422232nnn nn n n n nn a b a ++++----====-=-≥-----⋅-⋅， 所以122311111111111326211112233223612n n n n a a a n n n n a a a +⎛⎫- ⎪----⎝⎭++⋅⋅⋅+≥-=-+⋅>-=----. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生对于数列的放缩能力和应用能力.21．已知点M 为抛物线2:4C y x =上异于原点O 的任意一点，F 为抛物线的焦点，连接MF 并延长交抛物线C 于点N ，点N 关于x 轴的对称点为A . （1）证明：直线MA 恒过定点；（2）如果FM OM λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2λ≥【解析】（1）设()()2211()4,404,4M t t t N t t ≠，，计算得到114t t=-，直线AM 的方程为()24141ty x t =++，得到答案. （2）计算()224218116t t tλ-=++，设2181m t =-<，讨论0m =，0m <，01m <<三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）设()()2211()4,404,4M t t t N t t ≠，，因为()1,0F ，所以()()2211,14,441,4MF t t FN t t =--=-，由M F N ，，三点共线得()()22111444140t t t t -⋅+-⋅=，化简得114t t=-， 即211,4N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此可得211,4A t t ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线AM 的方程为()2244441t y t x t t -=-+， 即()24141ty x t =++，因此直线MA 恒过定点()1,0-.（2）()()222222422424116181161616FM t t t t t t tOMλ-+-===+++，0λ≥，令2181m t =-<， 如果0m =，则1λ=； 如果0m ≠，则2114910m mλ=+⋅+-， 当0m <时，96m m +≤-，3m =-时等号成立，从而2314λ≤<，即12λ≤<； 当01m <<时，函数910y m m=+-在()0,1上单调递减，当1m =时，0y =，故0y >， 故10910m m>+-，所以21λ>，故1λ>. 综上，实数λ的取值范围为λ≥. 【点睛】本题考查了抛物线中直线过定点问题，求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．已知函数()ln f x x a x =-.（1）若()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，()f x m =有两个不同的零点12,x x ，求证：121x x m +>+. 【答案】（1）1；（2）证明见解析 【解析】（1）求导得到()af x x x'-=，讨论0a ≤和0a >两种情况，根据函数单调性得到()ln 1f a a a a =-=，解得答案.（2）要证明121x x m +>+，只需要证明()111ln 1ln 0x x ---<，设()()()1ln 1ln 01h x x x x =---<<，求导得到单调性，得到()()10hx h <=，得到证明.【详解】（1）由已知得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1a x a f x x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增， 且当0x →时，()f x →-∞，不合题意； 当0a >时，由()0f x '=得x a =，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，()f x 在x a =处取到极小值，也是最小值()ln f a a a a =-，由题意，()ln 1f a a a a =-≥恒成立，令()ln g x x x x =-，()ln g x x '=-，()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()()ln 11g x x x x g =-≤=，所以()ln 1f a a a a =-=，即1a =. （2）()ln f x x x =-，且()f x 在1x =处取到极小值1，又0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，故1m 且1201x x <<<， 要证明：121x x m +>+，只需证明211x m x >+-，又2111x m x >+->， 故只需证明：()()211f x f m x >+-，即证：()11m f m x >+-， 即证：()111ln 1m m x m x >+--+-，即证：()111ln 1ln 0x x ---<，设()()()1ln 1ln 01h x x x x =---<<，则()()()11ln 11ln 1ln x x xh x x x x x -+'=-+=--，因为01x <<，所以()1ln 0x x ->，由（1）知ln 1x x ≤-恒成立， 所以11ln1,ln 1x x x x x≤-∴-≤-，即1ln 0x x x -+≥， 所以()h x 在01x <<上为增函数，所以()()10h x h <=，即命题成立. 【点睛】本题考查了不等式恒成立，零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.。

浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二数学上学期期末联考试题（含解析）选择题部分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则使成立的的值是（）A. -1B. 0C. 1D. -1或1【答案】A【解析】【分析】根据集合A，B，以及B⊆A即可得出，从而求出a＝﹣1．【详解】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{a，a2}，且B⊆A；∴∴a＝﹣1．故选：A．【点睛】本题考查列举法的定义，集合元素的互异性，以及子集的定义．2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把z＝﹣2+i代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由z＝﹣2+i，得．故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.若为实数，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由得0＜a＜1，则“a＜1”是“”的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．4.若实数，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. 0 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，可得当x，y时，z取得最大值．【详解】解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（，），B（，﹣1），C（2，﹣1）设z＝F（x，y）＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（，）．故选：C．【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．【详解】解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM＝1∴∴【点睛】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．6.设函数，将的图像向平移个单位后，所得的函数为偶函数，则的值可以是（）A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性，求得ω的值．【详解】解：将函数f（x）＝2sin（ωx）的图象向右平移个单位后，可得y＝2sin（ωx）的图象．∵所得的函数为偶函数，∴kπ，k∈Z．令k＝﹣1，可得ω，故选：D．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．7.函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可．【详解】解：f（﹣x）f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，由f（x）＝0得 sin x＝0，得距离原点最近的零点为π，则f（）0，排除C，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．8.设等差数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法错误．．的是（）A. 若有最大值，则也有最大值B. 若有最大值，则也有最大值C. 若数列不单调，则数列也不单调D. 若数列不单调，则数列也不单调【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质知数列{a2n﹣1}的首项是a1，公差为2d，结合等差数列的前n项和公式以及数列的单调性和最值性与首项公差的关系进行判断即可．【详解】解：数列{a2n﹣1}的首项是a1，公差为2d，A．若S n有最大值，则满足a1＞0，d＜0，则2d＜0，即T n也有最大值，故A正确，B．若T n有最大值，则满足a1＞0，2d＜0，则d＜0，即S n也有最大值，故B正确，C．S n＝na1•d n2+（a1）n，对称轴为n，T n＝na1•2d＝dn2+（a1﹣d）n，对称轴为n•，不妨假设d＞0，若数列{S n}不单调，此时对称轴n，即1，此时T n的对称轴n•1，则对称轴•有可能成立，此时数列{T n}有可能单调递增，故C错误，D．不妨假设d＞0，若数列{T n}不单调，此时对称轴n•，即2，此时{S n}的对称轴n2，即此时{S n}不单调，故D正确则错误是C，故选：C．【点睛】本题主要考查与等差数列有关的命题的真假关系，涉及等差数列前n项和公式的应用以及数列单调性的判断，综合性较强，难度较大．9.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，点是，的交点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设∠F1PF2＝θ，则，得出，利用椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式可得出，结合c＝2，可得出，然后将椭圆和双曲线的方程联立，求出交点P的横坐标，利用该点的横坐标位于区间（﹣c，c），得出，可得出，从而得出椭圆C1的离心率e 的取值范围．【详解】解：设∠F1PF2＝θ，则，所以，，则，由焦点三角形的面积公式可得，所以，，双曲线的焦距为4，椭圆的半焦距为c＝2，则b2＝a2﹣c2＝a2﹣4＞3，得，所以，椭圆C1的离心率．联立椭圆C1和双曲线C2的方程，得，得，由于△PF1F2为锐角三角形，则点P的横坐标，则，所以，．因此，椭圆C1离心率e的取值范围是．故选：C．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，解决本题的关键在于焦点三角形面积公式的应用，起到了化简的作用，同时也考查了计算能力，属于中等题．10.如图，在棱长为1正方体中，点，分别为边，的中点，将沿所在的直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是（）A. 无论旋转到什么位置，、两点都不可能重合B. 存在某个位置，使得直线与直线所成的角为C. 存在某个位置，使得直线与直线所成的角为D. 存在某个位置，使得直线与直线所成的角为【答案】D【解析】【分析】利用圆锥的几何特征逐一判断即可.【详解】解：过A点作AM⊥BF于M，过C作CN⊥DE于N点在翻折过程中，AF是以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的母线，同理，AB，EC，DC也可以看成圆锥的母线；在A中，A点轨迹为圆周，C点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A正确；在B中，能否使得直线AF与直线CE所成的角为60°，又AF，EC分别可看成是圆锥的母线，只需看以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B正确；在C中，能否使得直线AF与直线CE所成的角为90°，只需看以F为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C正确；在D中，能否使得直线与直线所成的角为，只需看以B为顶点，AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D不成立；故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力，考查数形结合思想，是中档题．非选择题部分二、填空题.11.双曲线的渐近线方程是____；焦点坐标____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】直接根据双曲线的简单性质即可求出．【详解】解：在双曲线1中，a2＝2，b2＝1，则c2＝a2+b2＝3，则a，b＝1，c，故双曲线1的渐近线方程是y＝±x，焦点坐标（，0），故答案为：y＝±x，（，0）【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．12.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则___；的面积是___【答案】 (1). 2 (2).【解析】【分析】由余弦定理可求c，利用同角三角函数的基本关系式求出sin C，然后由△ABC的面积公式求解即可．【详解】解：在△ABC中，a＝b，cos C，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C4，则c＝2；在△ABC中，∵cos C，∴sin C，∴S△ABC ab•sin C．故答案为：2；．【点睛】本题考查余弦定理，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查三角形的面积公式，是基础题．13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____；表面积为____.【答案】 (1). 3 (2). 9+【解析】【分析】根据三视图知该几何体是直三棱柱，结合图中数据求出它的体积和表面积．【详解】解：根据三视图知该几何体是直三棱柱，如图所示；则该几何体的体积为V＝S△ABC•AA13×1×2＝3；表面积为S＝2S△ABC＝23×1+3×2+22＝9+22．故答案为：3，9+22．【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积和表面积的应用问题，是基础题．14.若实数，满足，则的最小值为____.【答案】4【解析】【分析】由已知可知，2（a﹣1）+b﹣2＝2，从而有（）[2（a﹣1）+b﹣2）]，利用基本不等式可求最小值.【详解】解：∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，则（）[2（a﹣1）+b﹣2）]，（4），当且仅当且2a+b﹣6＝0即a，b＝3时取得最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的应用，解题的关键是配凑基本不等式的应用条件．15.已知直线，曲线，若直线与曲线相交于、两点，则的取值范围是____；的最小值是___.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】因为过定点的直线与半圆C的图象有两个交点，结合图象知：k PE≤k≤k PO，求出直线PO和PE 的斜率即可；当PC⊥AB时，|AB|最小．【详解】解：直线l：kx﹣y k＝0过定点（1，），曲线C为半圆：（x﹣2）2+y2＝4（y≥0）如图：由图可知：k OP，k PE，∴；要使弦长AB最小，只需CP⊥AB，此时|AB|＝22，故答案为：[，]；．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了垂径定理，考查了数形结合思想，属于中档题.16.点是边长为2的正方形的内部一点，，若，则的取值范围为___.【答案】(]【解析】【分析】根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对λμ两边平方，进行数量积的运算化简，利用三角代换以及两角和与差的三角函数，从而便可得出λμ的最大值．【详解】解：如图，依题意知，λ＞0，μ＞0；根据条件，12＝λ22+2λμ•μ22＝4λ2+4μ2．令λ，μ＝sinθ,．∴λμ＝cosθsinθ＝sin（θ）；θ, sin（θ）(]∴的取值范围为(]故答案为（]．【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及辅助角公式，三角代换的应用，考查转化思想以及计算能力．17.函数，若此函数图像上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】根据函数图象上存在关于原点对称的点，转化为f（﹣x）＝﹣f（x）有解，利用参数分离法进行转化求解即可．【详解】解：若函数图象上存在关于原点对称的点，即f（﹣x）＝﹣f（x）有解，即a﹣2x﹣ma﹣x＝﹣（a2x﹣ma x）＝﹣a2x+ma x，即a2x+a﹣2x＝m（a x+a﹣x），即m（a x+a﹣x），设t＝a x+a﹣x，则t≥22，则（a x+a﹣x）t在[2，+∞）为增函数，∴h（t）＝t h（2）＝2﹣1＝1，则要使m＝h（t）＝t有解，则m≥1，即实数m的取值范围是[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为f（﹣x）＝﹣f（x）有解，利用参数分离法进行转化是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数.（Ⅰ）若为锐角，且，求的值；（Ⅱ）若函数，当时，求的单调递减区间.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可计算得解；（Ⅱ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求g（x）＝2sin（2x），根据正弦函数的单调性即可求解．【详解】（Ⅰ）为锐角，,,,，（Ⅱ）,,,所以单调递减区间是【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．19.如图，在四棱锥中，平面，，，，，.（Ⅰ）求证平面；（Ⅱ）求直线与平面所成线面角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）推导出AC⊥PC，AC⊥CD，由此能证明AC⊥平面PCD；（Ⅱ）过D作直线DH⊥PC，AC⊥DH，DH⊥平面PAC，从而∠DCH为直线CD与平面PAC所成线面角，由此能求出直线CD与平面PAC所成线面角的正弦值．【详解】（Ⅰ）,,,,,,,,有公共点，,（Ⅱ）方法1:过作直线垂直于，为垂足，，，，为所求线面角，,,方法2:如图建立空间直角坐标系,，,,直线与所成线面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知数列满足：，.（Ⅰ）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）令，设数列的前项和为，若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）运用等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得b n＝log2（a n+1）＝2n﹣1，（），由裂项相消求和，可得S n，再由参数分离和基本不等式可得所求范围．【详解】（Ⅰ）由得且是以4为公比的等比数列，，（Ⅱ），,,,且,当且仅当n=2时取等号，,【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．21.已知椭圆过点，且离心率为.过抛物线上一点作的切线交椭圆于，两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线，使得，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）椭圆（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据已知条件列有关a、b、c的方程组，求出a和b的值，即可得出椭圆C1的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+t，先利用导数写出直线l的方程，于是得到k＝2x0，，将直线l的方程与椭圆C1的方程联立，列出韦达定理，由并代入韦达定理，通过计算得出t的值，可得出x0的值，从而可得出直线l的方程．【详解】（Ⅰ）由题知，得,所以椭圆,（Ⅱ）设的方程：,由（1）知，的方程：,故 . 由，得.所以,即(4t2-4)(k2+1)-8k2t(t-1)+(t-1)2(4k2+1)=0,化简有5t2-2t-3=0，所以t=1或t=,，，【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法的应用，同时也考查了计算能力，属于中等题．22.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，求证：.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）利用导数与函数单调性的关系求解；（Ⅱ）af（x）＞lnx⇔．令F（x），F′（x）（x＞0）．①当∈（0，1]时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，F（x）≥F（1）＝ae＞0；②当＞1时，令G（x），利用导数求得最小值大于0即可．【详解】解．（1）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵，∴x∈（﹣∞，0），（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0∴函数f（x）的单调增区间为：（1，+∞），减区间为（﹣∞，0），（0，1）．（2）af（x）＞lnx⇔．令F（x），F′（x）．（x＞0）．①当∈（0，1]时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，F（x）≥F（1）＝ae＞0；②当＞1时，令G（x），G．∴G（x）在（1，+∞）单调递增，∵x→1时，G（x）→﹣∞，G（2）＝e20，∴G（x）存在唯一零点0∈（1，2），F（x）min＝F（x0）∵G（x0）＝0，．综上所述，当时，af（x）＞lnx成立．【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

绝密★启用前【校级联考】浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二上学期期末联考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合 ， ，则使 成立的 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．-1或1 2．已知复数 ，则（ ）A ．B ．C ．D ． 3．若 为实数，则“ ”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若变量 ， 满足约束条件，则 的最大值是A ．B ．C ．0D ．5．在 中， 是 的中点， ，点 在 上且满足 ，则 等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．设函数，将 的图象向右平移个单位后，所得的函数为偶函数，则 的值可以是 A ．1 B ．C ．2D ．…………○…………○…………线…………○※※请※※不※※…………○…………○…………线…………○7．函数的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设等差数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，下列说法错误．．的是（ ） A ．若 有最大值，则 也有最大值 B ．若 有最大值，则 也有最大值 C ．若数列 不单调，则数列 也不单调 D ．若数列 不单调，则数列 也不单调 9．已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，点是 ， 的交点，若 是锐角三角形，则椭圆 离心率 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10．如图，在棱长为1正方体 中，点 ， 分别为边 ， 的中点，将 沿 所在的直线进行翻折，将 沿 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是（ ）A ．无论旋转到什么位置， 、 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线 与直线 所成的角为C ．存在某个位置，使得直线 与直线 所成的角为D ．存在某个位置，使得直线 与直线 所成的角为………外…………○……订…………○________考号：___________………内…………○……订…………○第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．双曲线的渐近线方程是____；焦点坐标____.12．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，，则 ___； 的面积是___13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______；表面积为______．14．若实数 ， 满足 ，则的最小值为____.15．已知直线，曲线 若直线 与曲线 相交于 、 两点，则 的取值范围是____； 的最小值是___.16．点 是边长为2的正方形 的内部一点， ，若 ，则 的取值范围为___.17．函数 且 ，若此函数图像上存在关于原点对称的点，则实数 的取值范围是____.18．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， .（Ⅰ）求证 平面 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成线面角的正弦值.………○…………订在※※装※※订※※线※※内………○…………订三、解答题19．已知函数 . （Ⅰ）若 为锐角，且，求 的值； （Ⅱ）若函数 ，当 时，求 的单调递减区间. 20．已知数列 满足： ， . （Ⅰ）求证： 是等比数列，并求数列 的通项公式； （Ⅱ）令 ，设数列的前 项和为 ，若 对一切正整数 恒成立，求实数 的取值范围. 21．已知椭圆过点 ，且离心率为.过抛物线上一点 作 的切线 交椭圆 于 ， 两点.（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由. 22．已知函数.（Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若，求证： .参考答案1．A【解析】【分析】根据集合A，B，以及B A即可得出，从而求出a＝﹣1．【详解】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{a，a2}，且B A；∴∴a＝﹣1．故选：A．【点睛】本题考查列举法的定义，集合元素的互异性，以及子集的定义．2．A【解析】【分析】把z＝﹣2+i代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由z＝﹣2+i，得．故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．B【解析】【分析】求出不等式＞的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由＞得0＜a＜1，则“a＜1”是“＞”的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．4．B【解析】【分析】画出变量，满足的可行域，目标函数经过点时，取得最大值，求出即可。

2018年学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二年级数学学科试题参考公式:球的表面积公式 24S R π=球的体积公式243V R π= 其中R 表示球的半径 柱体的体积公式 V Sh = 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高锥体的体积公式 13V Sh = 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高台体的体积公式 ()13a ab b V h S S S S =+⋅+ 其中,a b S S 分别表示台体的上、下底面积 h 表示台体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U N =，{}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<„，则()UA B =Ið（ ）A. {2,3,4,5,6}B. {2,4,6}C. {1,3,5}D. {3,5}2.双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（ ）A.32B.6 C. 3D.33.如图，某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A.72B.73C.76D. 74.若复数2(1)ai +（i 为虚数单位）纯虚数，则实数a =（ ） A. 1±B. 1-C. 0D. 15.已知平面α，β，直线a ，满足αβ⊥，l αβ=I ，则下列是a β⊥的充分条件是（ ）A. //a αB. a α⊂C. a l ⊥D. ,a l a α⊥⊂6.已知实数,a b 满足cos cos a b a b ->-，则下列说法错误．．的是（ ） A. cos cos a b a b +>+ B. cos cos a b b a ->- C. sin sin a b a b ->-D. sin sin a b b a ->-7.已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）ξ1 2 3P13 12 16η1 2 3P16 12 13A. E E ξη<，D D ξη<B. E E ξη<，D D ξη>C. E E ξη<，D D ξη=D. E E ξη=，D D ξη=8.如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，AB BC E F ⊥,、是SC 上两个三等分点，记二面角E AB F --的平面角为α，则tan α（ ）A .有最大值43B. 有最大值34C. 有最小值43D. 有最小值349.已知2a b a b ==⋅=v v v v ，c tb -v v 的最小值为c a -v v，则4b ac c a +-+-vv v v v 的最小值为（ ）1 B. 2110.已知数列{}n a前n 项和为n S ，且满足()21n n n a S a -=，则下列结论中（ ）①数列{}2n S 是等差数列；②n a <；③11n n a a +<A. 仅有①②正确B. 仅有①③正确C. 仅有②③正确D. ①②③均正确二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有__________个．12.若,x y 满足约束条件220,240,330,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值为___________，最大值为___________.13.从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作___________个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作___________个四面体.14.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边,,a b c 依次成等差数列，且()cos cos b C k B c =-，则k 的取值范围___________，若2k =，则cos B 的值为___________.15.在444x x ⎛-⎫⎪⎝⎭+的展开式中，各项系数和为_______，其中含2x 的项是________.16.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，P 是椭圆C 上一点（不在坐标轴上），Q 是12F PF ∠的平分线与x 轴的交点，若22QF OQ =，则椭圆离心率的范围是___________．17.对于任意的实数b ，总存在[]0,1x ∈，使得21x ax b ++≥成立，则实数a 的取值范围为_____.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数()30,22f x x πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对任意实数x 满足()566f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）当()f x 的周期最大值时，求函数()f x 的解析式，并求出()f x 单调的递增区间；（2）在（1）的条件下，若,0,3236a a f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈=，求()2f a 的值.19.如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点.(1)求证：AE //平面PDC ；(2)若BC ＝CD ＝PD ，求直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值.20.已知数列{}n a 满足12a =，()1*121222n n n n a a a na n N -+++⋅⋅⋅+=∈.（1）求n a ； （2）求证：()*122311113261112n n a a a n n n N a a a +----<++⋅⋅⋅+<∈---. 21.已知点M 为抛物线2:4C y x =上异于原点O 的任意一点，F 为抛物线的焦点，连接MF 并延长交抛物线C 于点N ，点N 关于x 轴的对称点为A . （1）证明：直线MA 恒过定点；（2）如果FM OM λ=，求实数λ的取值范围. 22.已知函数()ln f x x a x =-.（1）若()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，()f x m =有两个不同的零点12,x x ，求证：121x x m +>+.。

2018年学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二年级数学学科试题参考公式:球的表面积公式 24S R π=球的体积公式243V R π= 其中R 表示球的半径 柱体的体积公式 V Sh = 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高锥体的体积公式 13V Sh = 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高台体的体积公式 ()13a b V h S S = 其中,a b S S 分别表示台体的上、下底面积 h 表示台体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U N =，{}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<„，则()UA B =Ið（ ）A. {2,3,4,5,6}B. {2,4,6}C. {1,3,5}D. {3,5}【答案】D 【解析】 【分析】按照补集、交集的定义，即可求解. 【详解】{}*|2,A x x n n N==∈，{|16}B x x =<„，()UA B =Ið{3,5}.故选:D.【点睛】本题考查集合混合计算，属于基础题.2.双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为y =，则其离心率为（ ）A.32B.C. 3D.【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线得到2a b =，得到离心率.【详解】双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为2y x =±，则2a b =，3=c b ，6c e a ==. 故选：B .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.3.如图，某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A.72B.73C.76D. 7【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图知几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为1的三棱台，计算体积得到答案. 【详解】根据三视图知：几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为1的三棱台， 故111117111221122322226V ⎛=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= ⎝. 故选：C .【点睛】本题考查了三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 4.若复数2(1)ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ）A. 1±B. 1-C. 0D. 1【答案】A 【解析】因为22(1)12ai a ai +=-+是纯虚数，210, 1.a a ∴-==±5.已知平面α，β，直线a ，满足αβ⊥，l αβ=I ，则下列是a β⊥的充分条件是（ ）A. //a αB. a α⊂C. a l ⊥D. ,a l a α⊥⊂【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项的充分性和必要性，判断得到答案. 【详解】当//a α时，可以a β⊥，//a β或a β⊂，或,a β相交，不充分，A 错误； 当a α⊂时，可以a β⊥，//a β或a β⊂，或,a β相交，不充分，B 错误； 当a l ⊥时，不能得到a β⊥，C 错误；当a l ⊥，a α⊂时，则a β⊥，充分性；当a β⊥时，l β⊂，故a l ⊥，a 与α关系不确定，故不必要，D 正确；故选：D .【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，充分条件，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.6.已知实数,a b 满足cos cos a b a b ->-，则下列说法错误．．的是（ ） A. cos cos a b a b +>+ B. cos cos a b b a ->- C. sin sin a b a b ->- D. sin sin a b b a ->-【答案】A 【解析】 【分析】设()cos f x x x =-，证明()f x 单调递增，得到a b >，构造函数根据单调性到BCD 正确，取1a =，1b =-，则 cos cos a b a b +>+不成立，A 错误，得到答案.【详解】设()cos f x x x =-，则()'1sin 0f x x =+≥恒成立，故()f x 单调递增，cos cos a b a b ->-，即cos cos a a b b ->-，即()()f a f b >，a b >. 取1a =，1b =-，则 cos cos a b a b +>+不成立，A 错误；设()cos g x x x =+，则()'1sin 0g x x =-≥恒成立，()g x 单调递增， 故()()g a g b >，就cos cos a b b a ->-，B 正确；同理可得：CD 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了根据函数的单调性比较式子大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 7.已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）A. E E ξη<，D D ξη<B. E E ξη<，D D ξη>C. E E ξη<，D D ξη=D. E E ξη=，D D ξη=【答案】C 【解析】 【分析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】由题意得：E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116 ， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=．E η111131236236=⨯+⨯+⨯=，D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=，∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题． 8.如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，AB BC E F ⊥,、是SC 上两个三等分点，记二面角E AB F --的平面角为α，则tan α（ ）A. 有最大值43B. 有最大值34C. 有最小值43D. 有最小值34【答案】B 【解析】 【分析】将三棱锥放入长方体中，设AB a =，BC b =，AS c =，计算1tan 2c b α=，2tan 2b cα=，则123tan tan 24πααα⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】将三棱锥放入长方体中，设AB a =，BC b =，AS c =，如图所示： 过E 作EN ⊥平面ABC 与N ，NM AB ⊥与M ，连接ME ， 则EMN ∠为二面角E AB C --的平面角，设为1α，则13NE c =，23MN b =，故1tan 2cbα=. 同理可得：设二面角F AB S --的平面角为2α，2tan 2b cα=. 12121231tan tan 34tan tan 2tan tan 422c b b cααπααααα-⎛⎫=--==≤ ⎪+⎝⎭+，当22c bb c=，即b c =时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力.9.已知2a b a b ==⋅=v v v v ，c tb -v v 的最小值为c a -v v，则4b ac c a +-+-vv v v v 的最小值为（ ）A.31 B. 2C.3D.31【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：在直角坐标系中，取点3,02F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,12A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得到C 的轨迹方程为223y x =，故4b a c c a CD CF CD CM DN +-+-=+=+≤vu u u v u u u v u u u v u u u u v v v v v ，得到答案.【详解】如图所示：在直角坐标系中，取点32F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，312A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，32B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 则)3,1a AF ==r u u u r ，()0,2b AB ==r u u u r ，满足2a b a b ==⋅=v vv v ，设c AC =r u u u r ，过点C 作CM 垂直于AB 所在的直线与M ，则c tb -vv 的最小值为MC u u u u r ， 即MC CF =u u u u r u u u r，根据抛物线的定义知C 的轨迹方程为：223y x =.取33,42b a AD ⎫+==⎪⎭rr u u u r ，故31,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即34b ac c a CD CF CD CM DN +-+-=+=+≥=vu u uv u u u v u u u v u u u u v v v v v ， 当DC 垂直于准线时等号成立. 故选：C .【点睛】本题考查了向量和抛物线的综合应用，根据抛物线的定义得到C 的轨迹方程是解题的关键. 10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21n n n a S a -=，则下列结论中（ ） ①数列{}2nS 是等差数列；②2n a n <；③11n n a a +<A. 仅有①②正确B. 仅有①③正确C. 仅有②③正确D. ①②③均正确【答案】D 【解析】 【分析】由条件求得2211n n S S --=，可判断①，由①得n a ，可判断②；由n a 判断③，可知①②③均正确，可选出结果．【详解】①由条件知，对任意正整数n ，有1＝a n （2S n ﹣a n ）＝（S n ﹣S n ﹣1）（S n +S n ﹣1）221n n S S -=-，又()2111111,211,1n a S a a S =±==∴=-所以{2n S }是等差数列．②由①知n S =或显然，当1n n n n S a S S -==-n S =，n a =<③仅需考虑a n ，a n +1同号的情况，不失一般性，可设a n ，a n +1均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），由②故有n S，1n S +=此时n a =1n a +从而1n n a a +＜-=＜1．故选：D ．【点睛】本题考查数列递推式，不等式的证明，属于一般综合题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有__________个． 【答案】23 【解析】除以3 余2 且除以7 余2的数是除以21 余2的数. 3和7的最小公倍数是21.21的倍数有21,42,63,82...... 除以3 余2 且除以7 余2的数有23,45,65,85，… 其中除以5 余3 的数最小数为23 ，这些东西有23个，故答案为23 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力，属于难题.弘扬传统文化与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过中国古代数学名著及现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.12.若,x y 满足约束条件220,240,330,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值为___________，最大值为___________.【答案】 (1). 45(2). 13 【解析】【分析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，22z x y =+表示点(),x y 到原点距离的平方.根据图像知：当取B 点，即2,3x y ==时，22z x y =+有最大值为13. 原点到直线220x y +-=的距离为5d =，故22z x y =+有最小值为245d =. 故答案为：45；13.【点睛】本题考查了线性规划问题，将22z x y =+转化为点(),x y 到原点距离的平方是解题的关键.13.从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作___________个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作___________个四面体. 【答案】 (1). 12 (2). 58 【解析】 【分析】根据题意，共有正方体6个面和6个对角面，共12个不同平面，可作4812C -个四面体，得到答案.【详解】正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，共有正方体的6个面和6个对角面，共12个不同平面，故可作481258C -=个四面体.故答案为：12；58.【点睛】本题考查了不同平面和四面体的个数，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边,,a b c 依次成等差数列，且()cos cos b C k B c =-，则k 的取值范围___________，若2k =，则cos B 的值为___________.【答案】 (1). 1,33⎛⎫⎪⎝⎭(2). 1116【解析】 【分析】根据正弦定理得到a k c =，根据等差数列和余弦定理到2332cos 8k kB k+-=，根据三角函数的有界性解得答案.【详解】()cos cos b C k B c =-，故cos sin cos cos sin sin cos sin sin b C B C B C A ak B c C C c+=+===， 边,,a b c 依次成等差数列，故2b a c =+，且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0cos 1B <<.根据余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，化简整理得到：222332332cos 88a c ac k k B ac k +-+-==，故2332018k kk+-<<，解得1,33k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.当2k =时，233211cos 816k k B k +-==.故答案为：1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭；1116.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.15.在444x x ⎛-⎫⎪⎝⎭+的展开式中，各项系数和为_______，其中含2x 的项是________.【答案】 (1). 1 (2). 2112x 【解析】【分析】取1x =，各项系数和为1，8444x x +-=⎫ ⎪⎝⎛⎭，展开式的通项为：4182r r rr T C x -+=⋅，计算得到答案.【详解】444x x ⎛-⎫⎪⎝⎭+的展开式中，取1x =，则各项系数和为1；8444x x +-=⎫ ⎪⎝⎛⎭，则展开式的通项为：841882rrrr r r r T C C x --+=⋅⋅=⋅. 取2r =，则含2x 的项是：222282112C x x ⋅=.故答案为：1；2112x .【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，P 是椭圆C 上一点（不在坐标轴上），Q 是12F PF ∠的平分线与x 轴的交点，若22QF OQ =，则椭圆离心率的范围是___________．【答案】1,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知结合三角形内角平分线定理可得|PF 1|＝2|PF 2|，再由椭圆定义可得|PF 2|23a=，得到a ﹣c 23a a c +＜＜，从而得到e 13c a =＞，再与椭圆离心率的范围取交集得答案． 【详解】∵22QF OQ =，∴223QF c =，143QF c =，∵PQ 是12F PF ∠的角平分线，∴1243223c PF PF c ==，则122PF PF =，由12232PF PF PF a +==，得223a PF =， 由23a a c a c -<<+，可得13c e a =>，由01e <<，∴椭圆离心率的范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：1,13⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了角平分线定理的应用及椭圆定义的应用，是中档题． 17.对于任意的实数b ，总存在[]0,1x ∈，使得21x ax b ++≥成立，则实数a 的取值范围为_____.【答案】1a ≥或3a ≤- 【解析】 【分析】当1b ≥时，取0x =，满足21x ax b ++≥，考虑11b -<<的情况，讨论02a -≤，1022a <-≤，1122a<-<，12a -≥四种情况，分别计算得到答案.【详解】当1b ≥时，取0x =，满足21x ax b ++≥，成立； 现在考虑11b -<<的情况： 当02a-≤，即0a ≥时，[]2,1x ax b b b a ++∈++，只需满足11b a ++≥恒成立，1a ≥； 当1022a <-≤，即10a -≤<时，22,14a x ax b b b a ⎡⎤++∈-++⎢⎥⎣⎦，只需满足11b a ++≥恒成立，或214a b -≤-恒成立，无解；当1122a <-<，即21a -<<-时，22,4a x ax b b b ⎡⎤++∈-⎢⎥⎣⎦，只需满足214a b -≤-恒成立， 无解； 当12a-≥，即2a ≤-时，[]21,x ax b b a b ++∈++，只需满足11b a ++≤-恒成立，3a ≤-； 综上所述：1a ≥或3a ≤-. 故答案为：1a ≥或3a ≤-.【点睛】本题考查了恒成立问题，意在考查学生的分类讨论的能力，计算能力和应用能力.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数()30,22f x x πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+><⎪⎪⎝⎭⎝⎭对任意实数x 满足()566f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）当()f x 的周期最大值时，求函数()f x 的解析式，并求出()f x 单调的递增区间；（2）在（1）的条件下，若,0,26a a f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈=，求()2f a 的值.【答案】（1）()3f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭，()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2【解析】 【分析】（1）计算周期最大值为2π，从而min 23ω=，3πϕ=，得到函数解析式，取22232kx x k ππππ-+≤+≤+，解得答案.（2）化简得到3cos 5a =，4sin 5a =，代入计算得到答案. 【详解】（1）由题意知周期最大满足5266T πππ=+=，故周期最大值为2π，从而min 23ω=， 又函数()f x 图象的一条对称轴为6x π=，所以62()kx k Z ππϕ+=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()3f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭.当()f x 单调递增时，22232kx x k ππππ-+≤+≤+，因此()f x 单调的递增区间为()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()3f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭，又6f a π⎛⎫⎪=⎝⎭+63a a ππ⎛⎫=⎪⎭=⎝++，即3cos 5a =， 因为0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5a =， 4324sin 22sin cos 25525a a a ==⨯⨯=，27cos22cos 125a x =-=-，所以()3222cos 232f a a a a π⎛⎫++ ⎪⎝⎭243725225-⨯=. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数周期，三角函数单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19.如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点.(1)求证：AE //平面PDC ；(2)若BC ＝CD ＝PD ，求直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（215【解析】 【分析】（1）取PC 的中点F ，连结DF 、EF ，推导出四边形ADFE 是平行四边形，从而//AE DF ，由此能证明//AE 平面PDC ．（2）推导出DF PC ⊥，由//AE DF ，得AE PC ⊥，再推导出PD BC ⊥，BC CD ⊥，从而BC ⊥平面PDC ，BC DF ⊥，BC AE ⊥，AE PC ⊥，进而AE ⊥平面PBC ，连结EC ，AC ，则AEC ∠就是直线AC 与平面PBC 所成角，由此能求出直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值． 【详解】解：（1）证明：取PC 的中点F ，连结DF 、EF ，E Q 是PB 的中点，//EF BC ∴，且2BC EF =，//AD BC Q ，2BC AD =，//AD EF ∴，且AD EF =，∴四边形ADFE 是平行四边形，//AE DF ∴，又DF ⊂平面PDC ，//AE ∴平面PDC ．（2）解：PD DC =Q ，PDC ∴∆是等腰三角形， DF PC ∴⊥，又//AE DF ，AE PC ∴⊥，PD ⊥Q 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，BC ∴⊥平面PDC ，DF ⊂Q 平面PDC ，BC DF ∴⊥，BC AE ∴⊥，又AE PC ⊥，AE ∴⊥平面PBC ，连结EC ，AC ，则AEC ∠就是直线AC 与平面PBC 所成角， 设2PD CD BC ===，在Rt PCB ∆中，解得22=PC ，23PB =，3EC =，在Rt ADC ∆中，解得5AC =，∴在Rt AEC ∆中，315cos 5EC ECA AC ∠===， ∴直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值为155．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知数列{}n a 满足12a =，()1*121222n n n n a a a na n N -+++⋅⋅⋅+=∈.（1）求n a ； （2）求证：()*122311113261112n n a a a n n n N a a a +----<++⋅⋅⋅+<∈---. 【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意变换得到数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，得到通项公式. （2）11112n n n a b a +-=<-，11111232n n nn a b a +-=≥--⋅，代入计算得到答案.【详解】（1）由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得3121212222n n n na a na a a +-+++⋅⋅⋅+=， 所以当2n ≥时 ()312122112222n n n n n a a a a a ----+++⋅⋅⋅+=， 因此有()()112112222nn n n n n a a na n +---=-≥，即()1221n n n a na n a +=--， 整理得12(2)n n a a n +=≥，又12a =，212a a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求得2nn a =.（2）记1111212112121212n nn nn n n a b a +++---==<=---， 故122311111111112222n n a a a na a a +---++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=---，又112111212111111122121212222422232nnn nn n n n nn a b a ++++----====-=-≥-----⋅-⋅， 所以122311111111111326211112233223612n n n n a a a n n n n a a a +⎛⎫- ⎪----⎝⎭++⋅⋅⋅+≥-=-+⋅>-=----. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生对于数列的放缩能力和应用能力. 21.已知点M 为抛物线2:4C y x =上异于原点O 的任意一点，F 为抛物线的焦点，连接MF 并延长交抛物线C 于点N ，点N 关于x 轴的对称点为A . （1）证明：直线MA 恒过定点；（2）如果FM OM λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）λ≥ 【解析】 【分析】（1）设()()2211()4,404,4M t t t N t t ≠，，计算得到114t t =-，直线AM 的方程为()24141t y x t =++，得到答案. （2）计算()224218116t t tλ-=++，设2181m t =-<，讨论0m =，0m <，01m <<三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）设()()2211()4,404,4M t t t N t t ≠，，因为()1,0F ，所以()()2211,14,441,4MF t t FN t t =--=-u u u u r u u u r，由M F N ，，三点共线得()()22111444140t t t t -⋅+-⋅=，化简得114t t=-， 即211,4N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此可得211,4A t t ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线AM 的方程为()2244441t y t x t t -=-+， 即()24141ty x t =++，因此直线MA 恒过定点()1,0-.（2）()()222222422424116181161616FM t t t t t t tOMλ-+-===+++，0λ≥，令2181m t =-<， 如果0m =，则1λ=； 如果0m ≠，则2114910m mλ=+⋅+-， 当0m <时，96m m +≤-，3m =-时等号成立，从而2314λ≤<，即12λ≤<；当01m <<时，函数910y m m=+-在()0,1上单调递减，当1m =时，0y =，故0y >， 故10910m m>+-，所以21λ>，故1λ>. 综上，实数λ的取值范围为λ≥【点睛】本题考查了抛物线中直线过定点问题，求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22.已知函数()ln f x x a x =-.（1）若()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，()f x m =有两个不同的零点12,x x ，求证：121x x m +>+. 【答案】（1）1；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到()af x x x'-=，讨论0a ≤和0a >两种情况，根据函数单调性得到()ln 1f a a a a =-=，解得答案.（2）要证明121x x m +>+，只需要证明()111ln 1ln 0x x ---<，设()()()1ln 1ln 01h x x x x =---<<，求导得到单调性，得到()()10h x h <=，得到证明.【详解】（1）由已知得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1a x a f x x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增， 且当0x →时，()f x →-∞，不合题意； 当0a >时，由()0f x '=得x a =，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，()f x 在x a =处取到极小值，也是最小值()ln f a a a a =-，由题意，()ln 1f a a a a =-≥恒成立，令()ln g x x x x =-，()ln g x x '=-，()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以()()ln 11g x x x x g =-≤=，所以()ln 1f a a a a =-=，即1a =. （2）()ln f x x x =-，且()f x 在1x =处取到极小值1，又0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，故1m >且1201x x <<<， 要证明：121x x m +>+，只需证明211x m x >+-，又2111x m x >+->， 故只需证明：()()211f x f m x >+-，即证：()11m f m x >+-， 即证：()111ln 1m m x m x >+--+-，即证：()111ln 1ln 0x x ---<，设()()()1ln 1ln 01h x x x x =---<<，则()()()11ln 11ln 1ln x x xh x x x x x -+'=-+=--，因为01x <<，所以()1ln 0x x ->，由（1）知ln 1x x ≤-恒成立， 所以11ln1,ln 1x x x x x≤-∴-≤-，即1ln 0x x x -+≥， 所以()h x 在01x <<上为增函数，所以()()10h x h <=，即命题成立.【点睛】本题考查了不等式恒成立，零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力。

绝密★考试结束前2024学年第一学期浙南名校联盟返校联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{}101,2A x x By y=<<=>，则A B = （ ） A ．1,12B ．1,2+∞C ．()0,+∞D ．10,22．“21x >”是“1x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若直线a 不平行于平面α，且a α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与a 是异面直线 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内存在唯一一条直线与a 平行 D ．α内所有直线与a 都相交4．已知关于x 的函数()ln y x a =−在[]1,2上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．2a <C ．1a >D ．2a >5．已知点()3,1P 是角α终边上的一点，则cos2α的值为（ ） A ．35B ．45C ．35−D ．45−6．已知1,2a b a b ==+=a 在b上的投影向量为（ ）AB ．C ．34bD ．34b −7．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）A ．甲：平均数为3，中位数为2B ．乙：中位数为3，众数为2C ．丙：平均数为2，方差为2.4D ．丁：中位数为3，方差为2.88．设函数()()1(0)f x x ωϕω=+−>，若对于任意实数(),f x ϕ在区间π3π,44上至少有2个零点，至多3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．8,53B ．[)4,5C ．204,3D ．820,33二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．下列选项中说法正确的是（ ） A ．必然事件和不可能事件相互独立B ．若数据12,,,n x x x 的方差20s =，则所有的()1,2,,i x i n = 都相同C ．若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与,A B 互斥不能同时成立D ．数据12,,,n x x x 的方差是2x s ，数据12,,,n y y y 的方差是2y s ，若21n n y x =+，则2221yx s s =+ 10．已知,,a b c R ∈，且2223a b c ++=，以下说法正确的是（ ） A ．,,a b c 中至少有一个不大于1B ．3ab bc ca ++≤C ．max ()2ac bc +=D ．若0a b c ++=，则c ≤11．已知平行六面体1111ABCD A B C D −的棱长均为1，1160,,DAB A AB A AD E F ∠=∠=∠=°分别是棱11B C 和11C D 的中点，P 是1AC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．1A C =B ．若112AP PC =，则1A P ∥面EFC C ．若13AP PC =，则1AC ⊥面EFPD ．若M 是线段1A D 的中点，N 是线段EF 上的动点，则MP PN +非选择题部分三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知2(1i)1z =+−，则复数z 在复平面内对应的点位于第____________象限．13．甲乙丙三位同学之间相互踢建子．假设他们相互间传递建子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，建子仍回到甲处的概率为____________．14．已知函数()f x x =−，若对于(){}(),21,2,,i y y y f x x i n ∀∈=≥= ∣，不等式高二数学112024n in i yy −=≥∑恒成立，则正整数n 的最小值为____________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤）15．（本题满分13分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin cos B c b A =− （1）求角B 的大小；（2）若1cb ，求ABC △的面积．16．（本题满分15分）已知函数()()22f x x xax b =++的图像关于直线1x =对称．（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的最小值．17．（本题满分15分）今年6月我校进行了一次数学竞赛选拔考试．从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如下图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级．若从成绩在[]80,100的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率．18．（本题满分17分）如图，三棱锥,90,,,P ABC C AC BC E F −∠=°=分别是,AB BC 的中点，且4,3P ABC PEF V S −==△．（1）求点B 到平面PEF 的距离；（2）若面PEF ⊥面ABC ，求平面PAC 与平面PEF 夹角的余弦值．19．（本题满分17分）已知正实数集{}12,,,n A a a a = ，定义：{}2,iji j Aa aa a A =∈称为A 的平方集．记()n A 为集合A 中的元素个数．（1）若{}1,2,3,4A =，求集合2A 和()2n A ；（2）若()22016n A=，求min()n A ；（3）求证：()()221n An A ≥−，并指出取等条件．2024学年第一学期浙南名校联盟返校联考高二年级数学学科参考答案命题：温州第二高级中学 章筱玮审稿：永嘉中学 陈献娟一、单项选择题：1．C 2．B 3．B 4．A 5．B 6．D 7．C 8．B 二、多项选择题：9．ABC 10．ABD 11．ACD三、填空题：12．二 13．1414．3037四、解答题：15．解：（1）方法一bcos B c A =−sin sin sin cos A B C B A =− ()sin sin sin cos A B A B B A =+−sin sin cos cos sin sin cos A B B A B A B A =+−得：tan B =π6B ∴=方法二：222sin 2b c a B c b bc+−=−⋅得222sin B c a b =+−即cos B B =得：tan B =π6B ∴=（2）由余弦定理得：2132a a +−． 得：2320a a −+=1a ∴=或2a =s ∴或s =．方法二：由正弦定理：1sin30=°sin C ∴π3C ∴=或2π3C =s ∴或s = 16．解：（1）方法一：()()2f x f x =−，代入展开得()()()4324328624124328416x ax bx x a x a b x a b x a b ++=−++++−+++++， 由等式恒成立，则862401243208416a ab a b a b a b =−− ++=−−− =++ ，解得44a b =− = ．方法二：()()221(1)(1)1f x x x a x b +=+++++()()()4324353241x a x a b x a b x a b +++++++++++因为()1f x +为偶函数，则404320a a b += ++=解得44a b =−= ．方法三：()()()()0213f f f f =−=得44a b =−=（2）()()()22244[2]f x xxx x x =−+=−设()2t x x =−，则2(1)11tx =−−≥− 20y t ∴=≥∴函数()f x 取得最小值为0当且仅当0x =或2x =的时候取到． 17．（1）73（2）第5组[)80,90的人数为：500.008104××=人， 第6组[]90,100的人数为：500.006103××=人， 则从中任取2人，共21种情况；其中至少1人成绩优秀的情况共15种情况；∴至少1人成绩优秀的概率155217p ==． 18．（1）由44P ABC P EFB V V −−==，解得：1P EFB V −=由13P EFB B EFPEFP B V V S h −−==⋅ ，解得：1B h = 所以，点B 到平面PEF 的距离为1． （2）解法一：（几何法）由PEF ABCPEF ABC EF BC EF BC ABC⊥ = ⊥ ⊂ 面面面面面，BC ⇒⊥面PEF ．结合第1问，可得：1BF =．由,AC EF EF PEF AC AC PEF⊂⇒ ⊄∥面∥面面PEF 记面PEF 面PAC l =，由 ,,AC PEF PEF PAC l AC l EF AC l AC PAC=⇒⇒⊂ ∥面面面∥∥面 作,PM EF PN AC ⊥⊥，则,PM l PN l ⊥⊥．可知：MPN ∠是平面PAC 与平面PEF 所成的一个平面角．在RT PMN △中，解得：6,1,PM MN PN ===cos PM MPN PN ∠=． 所以，平面PAC 与平面PEF． （2）解法二：（向量法）如图，建立空间直角坐标系．()()()0,,6,1,2,0,1,0,0P a A C −−． 设面PAC 的法向量为(),,n x y z =．由00n AC n PC ⋅= ⋅=，解得：()6,0,1n =−易得，平面PEF 的法向量()1,0,0m =．由cos cos,n m θ==所以，平面PAC 与平面PEF． 19．（1）{}21,2,3,4,6,8,9,12,16A =（多写或少写扣1分）()29n A =（2）()22016n A= ，要使得()n A 最小，就得使i a 和ja 全都互质，∴当A 中所有元素互质的时候，()()()()()()()22122n A n A n A n A n A n A ⋅−+=+= 即()()220162n A n A +=解得：()63n A =就是所求的最小值． （3）当1n =时，()()221n A n A ≥−取等号当2n =时，()()221n An A ≥−取等号当3n ≥时不妨令12n a a a <<< ，则有22222112223311n n n n a a a a a a a a a a a −−<<<<<<<<其中2222222112223311,,,,,,,,n n n n a a a a a a a a a a a A A −−∈∴ 中元素的个数为()21n A −个，即()()221n An A ≥−当且仅当2221322415321,,,n n n a a a a a a a a a a a −−==== ，此时()2n A 中只有()21n A −个元素．（或指出{}na 为等比数列）。

2018学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合},032{},0{2R x x x x B y y A ∈<--=>=,那么AB = （ ▲ ）A ．)3,0(B ．),1(+∞-C ．)1,0(D ．),3(+∞2.设2554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则 （ ▲ ） A ．b c a <<B ．a c b << C ．c b a << D ．c a b <<3.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位得到)(x f 的图象，则 （ ▲ ） A ．x x f 2sin )(= B ．x x f 2cos )(=C ．x x f 2sin )(-=D ．x x f 2cos )(-=4.函数4cos xy e x =-(e 为自然对数的底数)的图象可能是 （ ▲ ）5．设实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-,1,032,02x y x y x 则y x z -=的取值范围是（ ▲ ）A ．[2,1]--B ．]0,1[-C ．]1,1[-D ．[2,1]-6.已知1234{,,,}x x x x {0|(3)sin 1}x x x π⊆>-⋅=,则1234x x x x +++的最小值为 ( ▲ ) A.12 B.15 C.12π D.15πA. ()f x 的周期为4B. ()f x 是奇函数C. (4)0f =D. (1)f x +是奇函数 7.已知函数()tan cos f x x x =⋅，则下列说法正确的是 （▲ ）A. ()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于(,0)2π中心对称C.()f x 在区间(,)2ππ上单调递减 D.()f x 的值域为[1,1]-8.记min{,,}a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，令12min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则M 的最大值是（ ▲ ）A.3B.2239.平面向量,a b 满足，()240aa b -⋅-=，3b =，则a 最大值是 （ ▲ ）A.3B. 4C. 5D. 6 10.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3341S S S -=．若11a >，则 （ ▲ ） A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a <>C ．1324,a a a a >< D ．1324,a a a a >>第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11.已知向量，若 ，则 ▲，若则 ▲．12.已知3sin()45πα+=，则3sin()4πα-=____▲____；sin2α=___▲___. 13.已知函数()1f x x x a =---，若()f x 为奇函数且非偶函数，则a =__▲___； 若()1f x >的解集为空集，则a 的取值范围为__▲____.14.已知数列{}n a 中，2111,1(2),n n a a a n -==+≥，则数列{}n a 的通项公式为___▲___； 若1223111110n n a a a a a a ++++<+++，则n 的最大值___▲___.15.已知,a b 都是正数，满足23a b +=，则2a b ab+的最小值为 ▲ .16.已知2()1,f x x x =+若()()1,(,),f a f b a b R ⋅≤∈其中则a b +的最大值为__▲___. 17.已知函数222()|2|(21)22f x x x x m x m =+---+-+有三个不同的零点，则实数m 的 取值范围是 ▲ .三、解答题（本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )m x n x x ==, 记()f x m n =⋅． (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)若3(),[,]10312f x x ππ=-∈--，求cos2x 的值； 19.（15分）如图所示， ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b ccb=．(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)点D 为边AB 的中点， 2BD =，求ABC ∆面积的最大值．20.（15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且555, 5.S a ==数列{}n b 满足12,b =-且113n n nnb b a ++-=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的通项公式.21.（15分）已知函数：),()(2R n m n mx x x f ∈++=.(Ⅰ)若0=+n m ，解关于x 的不等式x x f ≥)(（结果用含m 式子表示）； (Ⅱ)若存在实数m ，使得当[]2,1∈x 时，不等式x x f x 4)(≤≤恒成立，求负数．．n 的最小值.22.已知函数,21)(2xx x f +=b a ,均为正数. (Ⅰ)若2=+b a ，求证：;3)()(≥+b f a f (Ⅱ)若)()(b f a f =-，求：b a +的最小值.2018学年第一学期浙江省名校协作体高二数学参考答案AD1-5 ADCCD 6-10 ABDBC11.4； 12. 37,525-； 13. 1,[0,2]- ；14.n a =，119； 15.3； 16.0；17.127,13⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- 17、解：函数()y f x =有三个不同的零点即()()()222()-2-2,,21,22224,2,1f x mx m x x m x m x ⎧⎤⎡⎦⎣⎪⎨⎪⎩∈-∞-+∞=--+-+∈-有三个不同零点 则必有2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解，且()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解．由2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解得2m -≤-或1m -≥，即2m ≥或1m ≤-．由()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解转化为2222422x x mx m ++=+有两解即二次函数与一次函数相切的临界状态由()()22228420m m ∆=++-=解得127m ±127127,13m ⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-∈-18. （1）31cos 21()2sin(2)262x f x x x π+=+=++． ——————2分 若()f x 单调递增，则2[2,2],622x k k k Z πππππ+∈-++∈ ————————4分解得 ()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈ ———————5分（2）由7()10f x =-知4sin(2),65x π+=- 又∵[,]312x ππ∈--，即 2[,0]62x ππ+∈-———————8分∴3cos(2)65x π+=， ——————11分 ∴334cos 2cos[(2)]66x x ππ-=+-==； —————14分19.（1sin sin BC=,所以tan 3C =故3C π=——————— 5分(2)在BCD ∆中，设BC=,,x CD y =由余弦定理知224x y xy xy +-=≥ , ———10分所以，2sin ABC BCD S S xy C xy ∆∆==⋅=≤此时 2x y == -----------15分20. ()25n a n =-Ⅰ -------------5分 （Ⅱ）当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+ 232(3)3(1)3(27)3n n =-+-⋅+-⋅+-⋅记23(3)3(1)3(27)3n t n =-⋅+-⋅++-⋅则3413(3)3(1)3(29)3(27)3n n t n n +=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅23412(3)32[333](27)3n n t n +-=-⋅+⋅++⋅--⋅ --------10分所以32123(13)227(27)313n n t n -+⋅--=-+--⋅-154(28)3n n +=---⋅所以127(4)3n t n +=+-⋅ 所以 ()12543n n b n +=+- ----------14分 当1n =时也满足 所以 ()12543n n b n +=+- ----------15分21.2()x x mx m ≤+-Ⅰ()(1)0x m x ∴+-≥ ------------------2分()()(){}21211.21101,-.11.m x R m x m x m x x m m x x x m =-∈≠-+--===>-≥≤-时，时，解得：①时，原不等式的解集为或{}11.m x x m x <-≥-≤②时，原不等式的解集为或 --- -- 7分 [][][]21,24141,2,141,2x x x mx n x nx m x xn nm x m x x x x∈≤++≤≤++≤∈-+≤≤--+∈（Ⅱ）时，恒成立，等价于对恒成立.即存在实数使得-对时恒成立.--------------11分 max min14n n x x x x ⎛⎫⎛⎫∴--+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,42nn n ∴-≤-≥-即4.n ∴的最小值为- --------------15分（注：其它做法相应给分）22222.1,0121111()()4242421322a b ab t ab t f a f b a b ab t a b ab t+⎛⎫≤==<≤ ⎪⎝⎭+=+++=-+=-+≥-+=令则 ------7分222211()2221,002a ba b a b a b ab a b a b ab+-=+-=>∴-=>Ⅱ由知2222()()4()a b a b ab a b a b+=-+=+-- -----------------10分 设x a b =-，则0x >，可设2()=()0a b g x x +>（）[][)()21222121212121212121212122()0,11,+1222()()21,2,2,()()0.g x x xx x g x g x x x x x x x x x x x x x x x g x g x x x =+∞>≥⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭>≥∴+><∴->下证：在上递减，上递增.设121212()()0()().g x g x x x g x g x ∴>≥>><，同理，当1时， ----------13分()min 3.a b ∴+= 3131a b +-==此时, -------------15分（注：其它做法相应给分）。