2019-2020学年江苏省南通市海安市高三上学期期初数学试卷及答案解析(9月份)

江苏省海安中学2020届高三数学上学期阶段测试试题三（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1U A =ð，2，4}，则集合A = ． 解：全集{1U =，2，3，4，5}， 若{1U A =ð，2，4}， 则集合{3A =，5}． 故答案为：{3，5}．2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ． 解：Q 复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），21()(1)22i i i z i i +-+∴=+=+- 213i i =+-=-，||9110z ∴=+=，故答案为：10．3．已知一组数据123,,,n a a a a L 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，L 2+1n a 的方差为_____.故答案为：24S4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．解：模拟执行伪代码，可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯．故答案为：1011． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有122312A A =种； 从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有233318C A =种； 故共有121830+=种． 故答案为：30．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ．解：因为22()1()10c ba a =+=，所以3b a =，所以渐近线方程为3y x =±．故答案为：3y x =±． 7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．解：由将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象， 可得把函数4sin(2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位后得函数()f x 的图象，故()4sin(2)4sin 233f x x x ππ=+-=，则()4sin 442f ππ==，故答案为：4．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ．解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数()f x ，且在区间[0，)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0])-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，2(3)f x x f -+（2）20(3)f x x f >⇒->-（2）22(3)(2)32f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)；故答案为：(1,2)．9．在锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，则3tan C的值为．解：锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，A B∴<，4cos5A=，sin3tancos4AAA==．3tan1tan tan4tan()331tan tan1tan4BA BA BA B B---=-==++Qg，13tan9B∴=．则tan tan3tan3tan()3791tan tanA BC A BA B+=-+=-=-g，故答案为：79．10．设nS为数列{}na的前n项和，若*3(1)()n nS na n n n N=--∈，且211a=，则20S的值为．解：由2122232(21)S a a a=+=-⨯-，211a=，可得15a=．解法1：当2n…时，由1n n na S S-=-，得13(1)[(1)3(1)(2)]n n na na n n n a n n-=-------，1(1)(1)6(1)n nn a n a n-∴---=-，即*16(2,)n na a n n N--=∈…，∴数列{}na是首项15a=，公差为6的等差数列，202019205612402S⨯∴=⨯+⨯=．解法2：当2n…时，由13(1)()3(1)n n n nS na n n n S S n n-=--=---，可得1(1)3(1)n nn S nS n n---=-，∴131n nS Sn n--=-，∴数列{}nSn是首项151S=，公差为3的等差数列，∴2053196220S=+⨯=，201240S∴=．11.设正实数x，y满足x yxyx y+=-，则实数x的最小值为．解：由正实数x，y满足x yxyx y+=-，化为22(1)0xy x y x +-+=，∴22221212(1)401010xx x y y x y y ⎧=--⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩V …，化为426101x x x ⎧-+⎨>⎩…， 解得21x +…．因此实数x 的最小值为21+． 故答案为：21+．12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．解：连接DE ，Q 正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， ∴11A AED A FED V V --=，∴11113A AED E A AD A AD V V S AB --==V g111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -===g ， ∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9．13．已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c r rg 的值为 ．解：可设AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，CA c =u u u r r，由题意可得1tan 2B =，1tan 3C =， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A =︒，又B ，C 为锐角，22sin cos 1B B +=，sin 1cos 2B B =， 可得5sin B =， 同理可得10sin C =， 由正弦定理可得2sin135510==︒r r， 即有210||c =r ，25||a =r ，则2102524||||cos455a c c a =︒==r r r rg g g g g ．故答案为：45．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．解：对于①()22x g x =-Q ，当1x <时，()0g x <， 又Q ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x …时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又Q ②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x < ∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可，()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， ()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-． 故答案为：(4,2)--．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积为93()18AC AB CB -=u u u r u u u r u u u r g ，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量．（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c ．解：（1）Q //m n r r，(tan tan )cos cos sin 2A B A B C ∴+=，即sin cos cos sin sin2A B A B C +=，sin()sin 2A B C ∴+=，sin 2sin cos C C C ∴= sin 0C ≠Q ，∴1cos 2C =，(0,)C π∈Q ∴3C π=（2）由()18AC AB CB -=u u u r u u u r u u u rg 得：2()18AC AB BC AC +==u u u r u u u r u u u r u u u r g ，∴11332sin 329322b S ab C a ====V g g ， ∴62a =，2222cos 54c a b ab C ∴=+-=，∴36c =16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且2AB =，1BC =，E ，F 分别为AB ，PC 中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE ．证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM ．因为F 为PC 的中点，所以//FM CD ，且12FM CD =．因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以//EA CD ，且12EA CD =．所以//FM EA ，且FM EA =． 所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以//EF AM ．又AM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法二：连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC ， 所以BCE ANE ∠=∠，CBE NAE ∠=∠．又AE EB =，所以CEB NEA ∆≅∆．所以CE NE =． 又F 为PC 的中点，所以//EF NP ．⋯（5分）又NP ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法三：取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ ．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE DQ =，且//AE DQ ． 所以四边形AEQD 为平行四边形，所以//EQ AD ．又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊂/平面PAD ，所以//EQ 平面PAD ． 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以//FQ PD ． 又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊂/平面PAD ，所以//FQ 平面PAD ．又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ EQ Q =I ，所以平面//EQF 平面PAD ． 因为EF ⊂平面EQF ，所以//EF 平面PAD ． （2）设AC ，DE 相交于G ．在矩形ABCD 中，因为2AB BC =，E 为AB 的中点．所以2DA CDAE DA==． 又DAE CDA ∠=∠，所以DAE CDA ∆∆∽，所以ADE DCA ∠=∠． 又90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=︒，所以90DCA CDE ∠+∠=︒． 由DGC ∆的内角和为180︒，得90DGC ∠=︒．即DE AC ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ， 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan 3MON ∠=-，6OA km =，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km 610．现要在海岸线ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB 经过小岛Q ．（1）求水上旅游线AB 的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，从水波生成th 时的半径为3(r at a =为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以182/km h 的速度自码头A 开往码头B ，问实数a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，0(Q x ，03)(0)x >． 061010=00x > 得03x =，(3,3)Q ∴． ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得39x y =-⎧⎨=⎩ 即(3,9)B -，∴22(36)992AB =--+即水上旅游线AB 的长为92km ． （2）设试验产生的强水波圆P ，由题意可得(3,9)P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则 182AC t =，102t剟，(618,18)C t t ∴-． 强水波不会波及游轮的航行即2210,2PC r t ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦对恒成立．2222(183)(189)9PC t t r at =-+->=，当0t = 时，上式恒成立，当10,0,2t t ⎛⎤≠∈ ⎥⎝⎦时即时，()101017248.7248,0,2a t g t t t t t ⎛⎤<+-=+-∈ ⎥⎝⎦令，10()724824548g t t t=+-…，当且仅当51(0,]2t 时等号成立， 所以，在024548a << 时r PC < 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点6)，其左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为22． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ()i 求证：OP OM u u u r u u u u rg为定值； ()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由． 解：（1）由题意可得22131222ab c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c -=，解得2a =，2b =，即有椭圆方程为22142x y +=； （2）()i 证明：由(2,0)A -，(2,0)B ，MB AB ⊥， 设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， 可得00:42y yMA y x =+， 代入椭圆方程可得，2222000(1)40822y y y x x +++-=，由201204(8)28y x y --=+，可得201202(8)8y x y -=-+，00011208428y y yy x y ==+=+， 则200022004(8)8488y y OP OM y y y -=-+=++u u u r u u u u r gg 为定值；()ii 直线MQ 过定点(0,0)O ．理由如下：由题意可得2001222100088282(8)2(8)PBy y y k x y y y +==-+---+g 02y =-， 由PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ， 可得MQ PB ⊥，即有02MQ y k =． 则直线0:0(2)2y MQ y y x -=-， 即02y y x =， 故直线MQ 过定点(0,0)O ． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．解：（1）由已知可知：41a k =+，52a k =+，624a k k=++． 把数列{}n a 的项代入21n n n n a a b a +++=，求得132b b ==，2421k b b k+==；（2）由*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…，可知：121n n n n a a k a a +--=+．⋯① 则：211n n n n a a k a a +-+=+．⋯② ①-②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -= ∴132123122n n a a b b b a --+==⋯===，242222321n n a a k b b b a k -++==⋯===． ∴41(1)22nn k b k k+-=+；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122212221n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，⋯③ 由1a k Z =∈，624a k Z k =++∈，可知1k =，2．当1k =时，213k k+=为整数，利用1a ，2a ，3a Z ∈，结合③式，可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122212252n n n n n n a a a a a a +-++=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，⋯④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数．1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立． 故数列{}n a 是整数列．综上所述，k 为1，2时，数列{}n a 是整数列． 20．（本小题满分16分）设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当0a =时，()f x xlnx x =-，()f x lnx '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞．（2）()()f x x a lnx x a =--+，()af x lnx x'=-，其中0x >，令()g x xlnx a =-，分析()g x 的零点情况．()1g x lnx '=+，令()0g x '=，1x e=，列表分析11()()min g x g a e e==--，而11()1f ln ae ae e e '=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+，221()2(2)22a f e e a e e '=-=-，①若1a e -„，则()0a f x lnx x '=-…，故()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；②若122a e e -<<-，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+>，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有两个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点； ③若202a e -<„，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+„，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有一个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点；综上所述，当(a ∈-∞，1]e-时，()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；当1(a e ∈-，2)2e -时，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点；当2[2a e ∈-，0)时，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点． （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立． 证明如下：由（2）得()g x 在1(e ，)+∞上单调递增，且g （1）0a =-<，(1)(1)(1)g a a ln a a +=++-．因为当1x >时，11(*)lnx x >-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+．故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x ． 由知，(1,1)x a ∈+，(){f x max f <（1），(1)}f a +．又(1)(1)1f a ln a +=+-，而1x >时，1(**)lnx x <-， 所以(1)(1)111f a a a f +<+--=-=（1）． 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-．所以对任意的正数a ，都存在实数1t =，使对任意的(,)x t t a ∈+，使()1f x a <-． 补充证明(*): 令1()1F x lnx x =+-，1x …．111()022x F x x x x -'=-=…，所以()F x 在[1，)+∞上单调递增．所以1x >时，()F x F >（1）0=，即11lnx x>-． 补充证明(**)令()1G x lnx x =-+，1x …．1()10G x x'=-„， 所以()G x 在[1，)+∞上单调递减．所以1x >时，()G x G <（1）0=，即1lnx x <-．海安中学2020届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答]A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．解：由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=， 即1111111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=-⎧⎨-=⎩同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩ 解得2a =，3b =，2c =，1d =．因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积． 解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 23π⨯-⨯⨯=22．已知实数a ，b 满足||2a b +„，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++„． 证明：由||||||2b a a b -+剟，可得||||2b a +„，22|22||()()2()|a a b b a b a b a b +-+=+-++|||2|2|2|a b a b a b =+-+-+g „，要证22|22|4(||2)a a b b a +-++„， 即证|2|2(||2)a b a -++„， 由于|2|||||2a b a b -+++„， 即证||||22(||2)a b a +++„， 即为||||2b a +„，显然成立． 故原不等式成立．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC AB λ=u u u r u u u r ，且向量PC u u u r 与BD u u u r 夹角的余弦值为15．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 则：(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)；DC AB λ=u u u r u u u r ，可得(C λ，2，0)．（1）(PC λ=u u u r ，2，2)-，(1BD =-u u u r ，2，0)，向量PC u u u r 与BD u u u r 15．215814λ=++g 10λ=（舍去）或2λ=．实数λ的值为2．；（2）(2PC =u u u r ，2，2)-，(0PD =u u u r ，2，2)-，平面PCD 的法向量(n x =r，y ，)z ．则0n PC =u u u r r g 且0n PD =u u ur r g ，即：0x y z +-=，0y z -=，0x ∴=，不妨去1y z ==， 平面PCD 的法向量(0n =r，1，1)．又(1PB =u u u r ，0，2)．故10cos ,||||n PB n PB n PB <>==u u u r r u u ur g r u u u r r ．直线PB 与平面PCD 10．24．已知数列{}n a 的通项公式为1515[(()]5n nn a +--，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．解：（1）1212nn nn n n S C a C a C a =++⋯+ 122151515()()5nn n n n C C C +++=+⋯+-g g122151515((()]nn n n n C C C ---++⋯+g g1515(1]5n n+-=+-+ 3535[()(]5n n +-=-， 即有1515S ==g ；23535S =g ；（2）3535[((]5n nn S +-=-， 22235353535[((][()(]55n n n n n S ++++-+-=-=-g 135353535()[()(]3n nn n S S ++-+---=-，即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1n S +，n S 除以8的余数确定， 因为11a =，21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=， 432324321S S S =-=-=，543363855S S S =-=-=， 654316521144S S S =-=-=，765343255377S S S =-=-=， 87631131144987S S S =-=-=，987329613772584S S S =-=-=，由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，⋯，它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3n k =，*k N ∈，即所求集合为：{|3n n k =，*}k N ∈．。

江苏省海安县2019届高三期中学业质量监测试题数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知全集U＝{0，2，4，6，8}，集合A＝{0，4，6}，则∁U A＝．2．已知复数z满足(1i)43iz+=-（i为虚数单位），则复数z的模为．3．已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为．4．设实数x，y满足123xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则x＋y的最小值为．5．有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是．6．运行如图所示的流程图，则输出的结果S为．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2214xy-=的右焦点与抛物线22(0)y px p=>的焦点重合，则p的值为．8．已知函数()Asin()f x xωϕ=+（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在R上的部分图象如图所示，则(36)f的值为．9．如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O—A1BC1的体积为．10．设等比数列{}n a的公比为q（0＜q＜1），前n项和为n S．若存在m N*∈，使得2m ma a++=152ma+，且11022m mS a+=，则m的值为．第8题第9题第11题第6题11．已知AB 为圆的直径，点C ，D 为圆上两点（在AB 两侧），且AC ＝1，AD ＝2，AB ＝3，则AD BC ⋅u u u r u u u r的值为 ．12．已知函数21()log ()1kxf x k R x -=∈-为奇函数，则不等式()1f x <的解集为 ． 13．已知正数x ，y ，z 满足11(2)()4x y y z++=，且z ≤3x ，则P ＝22323x y xy +的取值范围是 ．14．设命题p ：“存在0x ∈[1，2]，使得200x ax b c ++≥，其中a ，b ，c ∈R ．”若无论a ，b 取何值时，命题p 都是真命题，则c 的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若平面向量(27x b c =-r，cosC)，(y a =u r ，cos A)，且x r ∥y ur ．（1）求cosA 的值； （2）若tanB ＝32，求角C 的大小． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ，PB ＝PD ＝2AC ，E 是PD 的中点，求证：（1）PB ∥平面ACE ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．17．（本小题满分14分）如图，已知AB 为椭圆E ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，过坐标原点O 且倾斜角为135°的直线交椭圆E 于C ，D 两点，且D 在x 轴上的射影D'恰为椭圆E 的长半轴OB 的中点．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若AB ＝8，不过第四象限的直线l 与椭圆E 和以CD 为直径的圆均相切，求直线l 的方程．18．（本小题满分16分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或骑单车方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而骑单车群体的人均通勤时间为331,070()1052,70100x x g x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪<<⎩（单位：分钟）．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）试确定x 的取值范围，使得自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间；（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()p x 的表达式，讨论()p x 的单调性，并说明其实际意义． 19．（本小题满分16分）已知函数()xf x xe =，()(ln )g x a x x =+，a R ∈． （1）求函数()f x 的极值点；（2）已知T(0x ，0y )为函数()f x ，()g x 的公共点，且函数()f x ，()g x 在点T 处的切线相同，求a 的值；（3）若函数()()y f x g x =-在(0，+∞)上的零点个数为2，求a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）如果数列1a ，2a ，…，m a （m ≥3，m N *∈）满足：①1a ＜2a ＜…＜m a ；②存在实数0x ，1x ，2x ，…，m x 和d ，使得0x ≤1a ＜1x ≤2a ＜2x ≤3a ＜…≤m a ＜m x ，且对任意0≤i ≤m ﹣1（i N ∈），均有i 1i x x d +-=，那么称数列1a ，2a ，…，m a 是“Q 数列”．（1）判断数列1，3，6，10是不是“Q 数列”，并说明理由；（2）已知k ，t 均为常数，且k ＞0，求证：对任意给定的不小于3的正整数m ，数列{k }n t +（n ＝1，2，…，m ）都是“Q 数列”；（3）若数列{}2n （n ＝1，2，…，m ）是“Q 数列”，求m 的所有可能值．参考答案15．16．17．18．19．20．。

江苏省南通市海安高中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，则∁U M═______．【答案】{3，4}【解析】【分析】根据集合的补集定义进行计算即可．【详解】∵U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，∴∁U M={3，4}，故答案为：{3，4}【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题．2.若函数f（x）=（m-3）x m为幂函数，则实数m的值为______．【答案】4【解析】【分析】根据幂函数的定义，写出实数m的值即可．【详解】函数f（x）=（m-3）x m为幂函数，∴m-3=1，m=4，∴实数m的值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了幂函数的定义，属于基础题．3.已知f（x）=，则f（-2）=______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，f（x）=，则.故答案为：．【点睛】本题考查函数值的计算，关键是掌握分段函数解析式的形式，属于基础题．4.设函数f（x）满足f（x-1）=4x-4，则f（x）=______．【答案】4x【解析】【分析】变形f（x-1）得出f（x-1）=4（x-1），从而得出f（x）=4x．【详解】由题意得，f（x-1）=4x-4=4（x-1），∴f（x）=4x．故答案为：4x．【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，属于基础题。

5.设函数g（x）=e x+ae-x（x∈R）是奇函数，则实数a=______．【答案】-1【解析】【分析】根据条件知g（x）在原点有定义，从而有g（0）=0，这样即可求出a的值．【详解】由于g（x）在R上为奇函数；∴g（0）=0；即1+a•1=0；∴a=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查奇函数的概念，以及奇函数g（x）在原点有定义时，g（0）=0，属于基础题。

6.=______．【答案】【解析】【分析】应用对数运算法则计算即可．【详解】原式=.【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.已知三个数a=2m，b=m2，c=，其中0＜m＜1，则a，b，c的大小关系是______．（用“＜”或者“＞”表示）【答案】c＜b＜a【解析】【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出答案．【详解】∵0＜m＜1，∴a=2m＞1，b=m2∈（0，1），c=＜0，故a，b，c的大小关系是c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.已知函数f（x）=|x+n|+|x-n|（n为常数），则f（x）的奇偶性为______．（填“奇函数”、“偶函数”或“既不是奇函数也不是偶函数”）【答案】偶函数【解析】【分析】由f（-x）=|-x+n|+|-x-n|=|x-n|+|x+n|= f（x）可以判断函数的奇偶性。

江苏省海安高级中学2020届高三阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若UA ={1，2，5}，则集合A = ▲ ．2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ．4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．（第4题）10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为18AC AB CB ，向量(tan tan sin 2)A B C ,m 和(1cos cos )A B ,n是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PDE ．C1（第12题）C（第16题）AOBPQMN （第17题）17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y abab 过点(1，其离心率．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】10115. 【答案】35 6. 【答案】y ＝±3x 7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】7910. 【答案】1 24011. 【答案112. 【答案】913．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)AB C ，m和(1cos cos )A B ，n 是共线向量， 所以cos cos tan tan sin 20A B ABC， ……2分即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC ，所以sin C >0，从而1cos 2C，π.3C……6分 （2）218AC AB CB AC BCBAAC ，于是AC 32. ……8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ，即1π32sin 23CB ，解得6 2.CB …… 11分在△ABC 中，由余弦定理得2222212cos 32622326254.2AB CA CB CA CB C所以3 6.AB…… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，故EF //平面P A D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33．所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面P A C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，．03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故AB == …… 5分答：水上旅游线AB 的长为． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y ； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y y y x =+， 代入椭圆22142x y 得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()02020208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02y y x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+，所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+． 因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x(0，1)1(1，＋∞)故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e，列表分析g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e－a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0，f ’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分（3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分。

江苏省南通市海安县2020届上学期期中质量监测高三数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知全集U＝{0，2，4，6，8}，集合A＝{0，4，6}，则∁U A＝_______．2.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模为_______．3.已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为_______．4.设实数x，y满足，则x＋y的最小值为_______5.有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是_______．6.运行如图所示的流程图，则输出的结果S为_______．7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则p的值为_______．8.已知函数（A＞0，＞0，0＜＜）在R上的部分图象如图所示，则的值为_______．9.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O—A1BC1的体积为_______．10.设等比数列的公比为q（0＜q＜1），前n项和为．若存在，使得，且，则m的值为_______．11.已知AB为圆的直径，点C，D为圆上两点（在AB两侧），且AC＝1，AD＝2， AB＝3，则的值为_______．12.已知函数为奇函数，则不等式的解集为_______．13.已知正数x，y，z满足，且z≤3x，则P＝的取值范围是_______．14.设命题p：“存在[1，2]，使得，其中a，b，c R．”若无论a，b取何值时，命题p 都是真命题，则c的最大值为_______．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若平面向量，，，，且∥．（1）求cos A的值；（2）若tan B＝，求角C的大小．16.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝AC，PB＝PD＝AC，E是PD的中点，求证：（1）PB∥平面ACE；（2）平面PAC⊥平面ABCD．17.如图，已知AB为椭圆E：（a＞b＞0）的长轴，过坐标原点O且倾斜角为135°的直线交椭圆E于C，D两点，且D在x轴上的射影D'恰为椭圆E的长半轴OB的中点．（1）求椭圆E的离心率；（2）若AB＝8，不过第四象限的直线l与椭圆E和以CD为直径的圆均相切，求直线l的方程．18.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．19.已知函数，，．（1）求函数的极值点；（2）已知T(，)为函数，的公共点，且函数，在点T处的切线相同，求a的值；（3）若函数在(0，)上的零点个数为2，求a的取值范围．20.如果数列，，…，（m ≥ 3，）满足：①＜＜…＜；②存在实数，，，…，和d，使得≤＜≤＜≤＜…≤＜，且对任意0 ≤ i ≤m﹣1（I ），均有，那么称数列，，…，是“Q数列”．（1）判断数列1，3，6，10是不是“Q数列”，并说明理由；（2）已知k，t均为常数，且k＞0，求证：对任意给定的不小于3的正整数m，数列（n＝1，2，…，m）都是“Q数列”；（3）若数列（n＝1，2，…，m）是“Q数列”，求m的所有可能值．江苏省南通市海安县2020届上学期期中质量监测高三数学试题参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知全集U＝{0，2，4，6，8}，集合A＝{0，4，6}，则∁U A＝_______．【答案】{2，8}【解析】【分析】根据集合的补集的概念得到结果即可.【详解】在全集U中找出集合A中没有的元素就是答案，所以，∁U A＝{2，8}故答案为：{2，8}【点睛】这个题目考查了集合的补集的运算，较为简单.2.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模为_______．【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算得到，再由模长公式得到结果.【详解】z＝，所以，复数z的模为：故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为_______．【答案】7【解析】【分析】根据分层抽样的比例计算得到结果.【详解】抽取的比例为：，所以，抽取B型号台数为：＝7故答案为：7.【点睛】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．4.设实数x，y满足，则x＋y的最小值为_______【答案】2【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，由图像得到目标函数经过B点时取得最值.【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示，当目标函数z＝x+y经过点B（1,1）时，x+y有最小值为：1+1＝2，故答案为：2.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

江西省海安县2019届高三期中学业质量监测试题数学2018．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知全集U＝{0，2，4，6，8}，集合A＝{0，4，6}，则∁U A＝_______．【答案】{2，8}【解析】【分析】根据集合的补集的概念得到结果即可.【详解】在全集U中找出集合A中没有的元素就是答案，所以，∁U A＝{2，8}故答案为：{2，8}【点睛】这个题目考查了集合的补集的运算，较为简单.2.已知复数z满足(1i)43iz+=-（i为虚数单位），则复数z的模为_______．【解析】【分析】根据复数的除法运算得到1722z i=-，再由模长公式得到结果.【详解】Z＝43(43)(1)17 1222i i ii i---==-+，所以，复数z【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B 型号的新能源汽车的台数为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据分层抽样的比例计算得到结果. 【详解】抽取的比例为：16112021015030=++，所以，抽取B 型号台数为：121030´＝7 故答案为：7.【点睛】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．4.设实数x ，y 满足1023x y x y ì³ïï³íï+?ïî，则x ＋y 的最小值为_______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据不等式组画出可行域，由图像得到目标函数经过B 点时取得最值.【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示，当目标函数z ＝x+y 经过点B （1,1）时， x+y 有最小值为：1+1＝2，故答案为：2.【点睛】利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x ay b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

海安中学2020届高三阶段测试三数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1U A =ð，2，4}，则集合A = ． 解：全集{1U =，2，3，4，5}， 若{1U A =ð，2，4}， 则集合{3A =，5}． 故答案为：{3，5}．2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ． 解：Q 复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），21()(1)22i i i z i i +-+∴=+=+- 213i i =+-=-，||9110z ∴=+=，故答案为：10．3．已知一组数据123,,,n a a a a L 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，L 2+1n a 的方差为_____.故答案为：24S4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．解：模拟执行伪代码，可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯．故答案为：1011． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有122312A A =种； 从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有233318C A =种； 故共有121830+=种． 故答案为：30．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ．解：因为22()1()10c ba a =+=，所以3b a =，所以渐近线方程为3y x =±．故答案为：3y x =±． 7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．解：由将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象， 可得把函数4sin(2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位后得函数()f x 的图象，故()4sin(2)4sin 233f x x x ππ=+-=，则()4sin 442f ππ==，故答案为：4．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ．解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数()f x ，且在区间[0，)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0])-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，2(3)f x x f -+（2）20(3)f x x f >⇒->-（2）22(3)(2)32f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)；故答案为：(1,2)．9．在锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，则3tan C的值为．解：锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，A B∴<，4cos5A=，sin3tancos4AAA==．3tan1tan tan4tan()331tan tan1tan4BA BA BA B B---=-==++Qg，13tan9B∴=．则tan tan3tan3tan()3791tan tanA BC A BA B+=-+=-=-g，故答案为：79．10．设nS为数列{}na的前n项和，若*3(1)()n nS na n n n N=--∈，且211a=，则20S的值为．解：由2122232(21)S a a a=+=-⨯-，211a=，可得15a=．解法1：当2n…时，由1n n na S S-=-，得13(1)[(1)3(1)(2)]n n na na n n n a n n-=-------，1(1)(1)6(1)n nn a n a n-∴---=-，即*16(2,)n na a n n N--=∈…，∴数列{}na是首项15a=，公差为6的等差数列，202019205612402S⨯∴=⨯+⨯=．解法2：当2n…时，由13(1)()3(1)n n n nS na n n n S S n n-=--=---，可得1(1)3(1)n nn S nS n n---=-，∴131n nS Sn n--=-，∴数列{}nSn是首项151S=，公差为3的等差数列，∴2053196220S=+⨯=，201240S∴=．11.设正实数x，y满足x yxyx y+=-，则实数x的最小值为．解：由正实数x，y满足x yxyx y+=-，化为22(1)0xy x y x +-+=，∴22221212(1)401010xx x y y x y y ⎧=--⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩V …，化为426101x x x ⎧-+⎨>⎩…， 解得21x +…．因此实数x 的最小值为21+． 故答案为：21+．12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．解：连接DE ，Q 正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， ∴11A AED A FED V V --=，∴11113A AED E A AD A AD V V S AB --==V g111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -===g ， ∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9．13．已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c r rg 的值为 ．解：可设AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，CA c =u u u r r，由题意可得1tan 2B =，1tan 3C =， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A =︒，又B ，C 为锐角，22sin cos 1B B +=，sin 1cos 2B B =， 可得5sin B =， 同理可得10sin C =， 由正弦定理可得2sin135510==︒r r， 即有210||c =r ，25||a =r ，则2102524||||cos455a c c a =︒==r r r rg g g g g ．故答案为：45．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．解：对于①()22x g x =-Q ，当1x <时，()0g x <， 又Q ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x …时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又Q ②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x < ∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可，()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， ()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-． 故答案为：(4,2)--．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积为93()18AC AB CB -=u u u r u u u r u u u r g ，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量．（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c ．解：（1）Q //m n r r，(tan tan )cos cos sin 2A B A B C ∴+=，即sin cos cos sin sin2A B A B C +=，sin()sin 2A B C ∴+=，sin 2sin cos C C C ∴= sin 0C ≠Q ，∴1cos 2C =，(0,)C π∈Q ∴3C π=（2）由()18AC AB CB -=u u u r u u u r u u u rg 得：2()18AC AB BC AC +==u u u r u u u r u u u r u u u r g ，∴11332sin 329322b S ab C a ====V g g ， ∴62a =，2222cos 54c a b ab C ∴=+-=，∴36c =16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且2AB =，1BC =，E ，F 分别为AB ，PC 中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE ．证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM ．因为F 为PC 的中点，所以//FM CD ，且12FM CD =．因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以//EA CD ，且12EA CD =．所以//FM EA ，且FM EA =． 所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以//EF AM ．又AM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法二：连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC ， 所以BCE ANE ∠=∠，CBE NAE ∠=∠．又AE EB =，所以CEB NEA ∆≅∆．所以CE NE =． 又F 为PC 的中点，所以//EF NP ．⋯（5分）又NP ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法三：取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ ．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE DQ =，且//AE DQ ． 所以四边形AEQD 为平行四边形，所以//EQ AD ．又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊂/平面PAD ，所以//EQ 平面PAD ． 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以//FQ PD ． 又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊂/平面PAD ，所以//FQ 平面PAD ．又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ EQ Q =I ，所以平面//EQF 平面PAD ． 因为EF ⊂平面EQF ，所以//EF 平面PAD ． （2）设AC ，DE 相交于G ．在矩形ABCD 中，因为2AB BC =，E 为AB 的中点．所以2DA CDAE DA==． 又DAE CDA ∠=∠，所以DAE CDA ∆∆∽，所以ADE DCA ∠=∠． 又90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=︒，所以90DCA CDE ∠+∠=︒． 由DGC ∆的内角和为180︒，得90DGC ∠=︒．即DE AC ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ， 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan 3MON ∠=-，6OA km =，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km 610．现要在海岸线ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB 经过小岛Q ．（1）求水上旅游线AB 的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，从水波生成th 时的半径为3(r at a =为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以182/km h 的速度自码头A 开往码头B ，问实数a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，0(Q x ，03)(0)x >． 061010=00x > 得03x =，(3,3)Q ∴． ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得39x y =-⎧⎨=⎩ 即(3,9)B -，∴22(36)992AB =--+即水上旅游线AB 的长为92km ． （2）设试验产生的强水波圆P ，由题意可得(3,9)P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则 182AC t =，102t剟，(618,18)C t t ∴-． 强水波不会波及游轮的航行即2210,2PC r t ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦对恒成立．2222(183)(189)9PC t t r at =-+->=，当0t = 时，上式恒成立，当10,0,2t t ⎛⎤≠∈ ⎥⎝⎦时即时，()101017248.7248,0,2a t g t t t t t ⎛⎤<+-=+-∈ ⎥⎝⎦令，10()724824548g t t t=+-…，当且仅当51(0,]2t 时等号成立， 所以，在024548a << 时r PC < 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点6)，其左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为22． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ()i 求证：OP OM u u u r u u u u rg为定值； ()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由． 解：（1）由题意可得22131222ab c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c -=，解得2a =，2b =，即有椭圆方程为22142x y +=； （2）()i 证明：由(2,0)A -，(2,0)B ，MB AB ⊥， 设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， 可得00:42y yMA y x =+， 代入椭圆方程可得，2222000(1)40822y y y x x +++-=，由201204(8)28y x y --=+，可得201202(8)8y x y -=-+，00011208428y y yy x y ==+=+， 则200022004(8)8488y y OP OM y y y -=-+=++u u u r u u u u r gg 为定值；()ii 直线MQ 过定点(0,0)O ．理由如下：由题意可得2001222100088282(8)2(8)PBy y y k x y y y +==-+---+g 02y =-， 由PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ， 可得MQ PB ⊥，即有02MQ y k =． 则直线0:0(2)2y MQ y y x -=-， 即02y y x =， 故直线MQ 过定点(0,0)O ． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．解：（1）由已知可知：41a k =+，52a k =+，624a k k=++． 把数列{}n a 的项代入21n n n n a a b a +++=，求得132b b ==，2421k b b k+==；（2）由*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…，可知：121n n n n a a k a a +--=+．⋯① 则：211n n n n a a k a a +-+=+．⋯② ①-②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -= ∴132123122n n a a b b b a --+==⋯===，242222321n n a a k b b b a k -++==⋯===． ∴41(1)22nn k b k k+-=+；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122212221n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，⋯③ 由1a k Z =∈，624a k Z k =++∈，可知1k =，2．当1k =时，213k k+=为整数，利用1a ，2a ，3a Z ∈，结合③式，可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122212252n n n n n n a a a a a a +-++=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，⋯④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数．1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立． 故数列{}n a 是整数列．综上所述，k 为1，2时，数列{}n a 是整数列． 20．（本小题满分16分）设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当0a =时，()f x xlnx x =-，()f x lnx '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞．（2）()()f x x a lnx x a =--+，()af x lnx x'=-，其中0x >，令()g x xlnx a =-，分析()g x 的零点情况．()1g x lnx '=+，令()0g x '=，1x e=，列表分析11()()min g x g a e e==--，而11()1f ln ae ae e e '=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+，221()2(2)22a f e e a e e '=-=-，①若1a e -„，则()0a f x lnx x '=-…，故()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；②若122a e e -<<-，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+>，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有两个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点； ③若202a e -<„，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+„，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有一个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点；综上所述，当(a ∈-∞，1]e-时，()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；当1(a e ∈-，2)2e -时，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点；当2[2a e ∈-，0)时，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点． （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立． 证明如下：由（2）得()g x 在1(e ，)+∞上单调递增，且g （1）0a =-<，(1)(1)(1)g a a ln a a +=++-．因为当1x >时，11(*)lnx x >-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+．故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x ． 由知，(1,1)x a ∈+，(){f x max f <（1），(1)}f a +．又(1)(1)1f a ln a +=+-，而1x >时，1(**)lnx x <-， 所以(1)(1)111f a a a f +<+--=-=（1）． 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-．所以对任意的正数a ，都存在实数1t =，使对任意的(,)x t t a ∈+，使()1f x a <-． 补充证明(*): 令1()1F x lnx x =+-，1x …．111()022x F x x x x -'=-=…，所以()F x 在[1，)+∞上单调递增．所以1x >时，()F x F >（1）0=，即11lnx x>-． 补充证明(**)令()1G x lnx x =-+，1x …．1()10G x x'=-„， 所以()G x 在[1，)+∞上单调递减．所以1x >时，()G x G <（1）0=，即1lnx x <-．海安中学2020届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答]A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．解：由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=， 即1111111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=-⎧⎨-=⎩同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩ 解得2a =，3b =，2c =，1d =．因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积． 解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 23π⨯-⨯⨯=22．已知实数a ，b 满足||2a b +„，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++„． 证明：由||||||2b a a b -+剟，可得||||2b a +„，22|22||()()2()|a a b b a b a b a b +-+=+-++|||2|2|2|a b a b a b =+-+-+g „，要证22|22|4(||2)a a b b a +-++„， 即证|2|2(||2)a b a -++„，由于|2|||||2a b a b -+++„， 即证||||22(||2)a b a +++„， 即为||||2b a +„，显然成立． 故原不等式成立．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC AB λ=u u u r u u u r ，且向量PC u u u r 与BD u u u r 夹角的余弦值为15．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 则：(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)；DC AB λ=u u u r u u u r ，可得(C λ，2，0)．（1）(PC λ=u u u r ，2，2)-，(1BD =-u u u r ，2，0)，向量PC u u u r 与BD u u u r 15．215814λ=++g 10λ=（舍去）或2λ=．实数λ的值为2．；（2）(2PC =u u u r ，2，2)-，(0PD =u u u r ，2，2)-，平面PCD 的法向量(n x =r，y ，)z ．则0n PC =u u u r r g 且0n PD =u u ur r g ，即：0x y z +-=，0y z -=，0x ∴=，不妨去1y z ==， 平面PCD 的法向量(0n =r，1，1)．又(1PB =u u u r ，0，2)．故10cos ,||||n PB n PB n PB <>==u u u r r u u u r g ru u u r r ．直线PB 与平面PCD 10．24．已知数列{}n a 的通项公式为1515[(()]5n nn a +--，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．解：（1）1212nn nn n n S C a C a C a =++⋯+ 122151515()()5nn n n n C C C +++=+⋯+-g g122151515((()]nn n n n C C C ---++⋯+g g1515(1]5n n+-=+-+ 3535[()(]5n n +-=-， 即有1515S ==g ；23535S =g ；（2）3535[((]5n nn S +-=-， 22235353535[((][()(]55n n n n n S ++++-+-=-=-g 135353535()[()(]3n nn n S S ++-+---=-，即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1n S +，n S 除以8的余数确定， 因为11a =，21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=， 432324321S S S =-=-=，543363855S S S =-=-=， 654316521144S S S =-=-=，765343255377S S S =-=-=， 87631131144987S S S =-=-=，987329613772584S S S =-=-=，由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，⋯，它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3n k =，*k N ∈，即所求集合为：{|3n n k =，*}k N ∈．。

江苏省海安高级中学2020届高三阶段性测试（三）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ．4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．（第4题）10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ． 11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ． 12. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ．13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC的面积为()18AC AB CB ?=u u u r u u u r u u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和 (1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PDE ．C1（第12题）C（第16题）AOBPQMN（第17题）17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区． （1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，其离心率．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】10115. 【答案】35 6. 【答案】y ＝±3x 7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】7910. 【答案】1 24011. 【答案112. 【答案】913．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC ABCB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，于是AC =. ……8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ?，即1πsin 23CB ，解得CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得((2222212cos 254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，故EF //平面P A D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33．所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ．所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面P A C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，．03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故AB == …… 5分答：水上旅游线AB 的长为． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()02020208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =， 所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+，所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分 ①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+． 因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析x(0，1)1(1，＋∞)故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g’(x )＝ln x ＋1,令g’(x )＝0，x ＝1e，列表分析g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ……5分而f’(1e )＝ln 1e－a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分（3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分。

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =I _____. 答案：{1,2}-解：因为{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，所以{1,2}A B =-I2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______. 答案：2 解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，则22||=1+12z = 3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案：40 解：3535413851405++++=4.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______. 答案：11 解：模拟演示：1,1a i == 2,2a i == 4,3a i == 7,4a i ==11,5a i ==此时输出11a =5.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 答案：1解：由题意得：2214a a a =⋅，则2111()(3)a d a a d +=⋅+，整理得1a d =，所以11a d=6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案：38解：223113()()228P C =⋅⋅=7.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____. 答案：23解：112322332V =⨯⨯⨯⨯=8.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____. 答案：5 解：由题意得：2632k ωππππ-=+，k z ∈，则512k ω=+，k z ∈，因为0ω>，所以当0k =时ω取得最小值，即5ω=9.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a <恒成立，则实数a 的取值范围是____. 答案：1a <10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 分别在双曲线22:1C x y -=的两条渐近线上,且双曲线C 经过线段AB 的中点，若点A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为_____. 答案：1211.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍. 答案：100012.已知ABC∆的面积为3，且AB AC=，若2CD DA=u u u r u u u r，则BD的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆221:8C x y+=与圆222:20C x y x y a+++-=相交于,A B两点，若圆1C上存在点P，使得ABP∆为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x xf x xxx--≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x的方程22()2()10f x af x a++-=有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABCBC AC的中⊥，,D E分别为,-中，PA⊥平面ABC，PC AB点.求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC.16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知4AC =，3BC =，1cos 4B =-. （1）求sin A 的值. （2）求BA BC ⋅u u u r u u u r的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1x yEa b+=(0)a b>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A,B分别为椭圆E的左、右顶点。

海安中学2020届高三阶段测试三数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1U A =ð，2，4}，则集合A = ． 解：全集{1U =，2，3，4，5}， 若{1U A =ð，2，4}， 则集合{3A =，5}． 故答案为：{3，5}．2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ． 解：Q 复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），21()(1)22i i i z i i +-+∴=+=+- 213i i =+-=-，||9110z ∴=+=，故答案为：10．3．已知一组数据123,,,n a a a a L 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，L 2+1n a 的方差为_____.故答案为：24S4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．解：模拟执行伪代码，可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯．故答案为：1011． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有122312A A =种； 从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有233318C A =种； 故共有121830+=种． 故答案为：30．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ．解：因为22()1()10c ba a =+=，所以3b a =，所以渐近线方程为3y x =±．故答案为：3y x =±． 7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．解：由将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象， 可得把函数4sin(2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位后得函数()f x 的图象，故()4sin(2)4sin 233f x x x ππ=+-=，则()4sin 442f ππ==，故答案为：4．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ．解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数()f x ，且在区间[0，)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0])-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，2(3)f x x f -+（2）20(3)f x x f >⇒->-（2）22(3)(2)32f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)；故答案为：(1,2)．9．在锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，则3tan C的值为．解：锐角三角形ABC中，3sin5A=，1tan()3A B-=-，A B∴<，4cos5A=，sin3tancos4AAA==．3tan1tan tan4tan()331tan tan1tan4BA BA BA B B---=-==++Qg，13tan9B∴=．则tan tan3tan3tan()3791tan tanA BC A BA B+=-+=-=-g，故答案为：79．10．设nS为数列{}na的前n项和，若*3(1)()n nS na n n n N=--∈，且211a=，则20S的值为．解：由2122232(21)S a a a=+=-⨯-，211a=，可得15a=．解法1：当2n…时，由1n n na S S-=-，得13(1)[(1)3(1)(2)]n n na na n n n a n n-=-------，1(1)(1)6(1)n nn a n a n-∴---=-，即*16(2,)n na a n n N--=∈…，∴数列{}na是首项15a=，公差为6的等差数列，202019205612402S⨯∴=⨯+⨯=．解法2：当2n…时，由13(1)()3(1)n n n nS na n n n S S n n-=--=---，可得1(1)3(1)n nn S nS n n---=-，∴131n nS Sn n--=-，∴数列{}nSn是首项151S=，公差为3的等差数列，∴2053196220S=+⨯=，201240S∴=．11.设正实数x，y满足x yxyx y+=-，则实数x的最小值为．解：由正实数x，y满足x yxyx y+=-，化为22(1)0xy x y x +-+=，∴22221212(1)401010xx x y y x y y ⎧=--⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩V …，化为426101x x x ⎧-+⎨>⎩…， 解得21x +…．因此实数x 的最小值为21+． 故答案为：21+．12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．解：连接DE ，Q 正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， ∴11A AED A FED V V --=，∴11113A AED E A AD A AD V V S AB --==V g111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -===g ， ∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9．13．已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c r rg 的值为 ．解：可设AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，CA c =u u u r r，由题意可得1tan 2B =，1tan 3C =， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A =︒，又B ，C 为锐角，22sin cos 1B B +=，sin 1cos 2B B =， 可得5sin B =， 同理可得10sin C =， 由正弦定理可得2sin135510==︒r r， 即有210||c =r ，25||a =r ，则2102524||||cos455a c c a =︒==r r r rg g g g g ．故答案为：45．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．解：对于①()22x g x =-Q ，当1x <时，()0g x <， 又Q ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x …时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又Q ②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x < ∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可，()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， ()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-． 故答案为：(4,2)--．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积为93()18AC AB CB -=u u u r u u u r u u u r g ，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量．（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c ．解：（1）Q //m n r r，(tan tan )cos cos sin 2A B A B C ∴+=，即sin cos cos sin sin2A B A B C +=，sin()sin 2A B C ∴+=，sin 2sin cos C C C ∴= sin 0C ≠Q ，∴1cos 2C =，(0,)C π∈Q ∴3C π=（2）由()18AC AB CB -=u u u r u u u r u u u rg 得：2()18AC AB BC AC +==u u u r u u u r u u u r u u u r g ，∴11332sin 329322b S ab C a ====V g g ， ∴62a =，2222cos 54c a b ab C ∴=+-=，∴36c =16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且2AB =，1BC =，E ，F 分别为AB ，PC 中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE ．证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM ．因为F 为PC 的中点，所以//FM CD ，且12FM CD =．因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以//EA CD ，且12EA CD =．所以//FM EA ，且FM EA =． 所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以//EF AM ．又AM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法二：连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC ， 所以BCE ANE ∠=∠，CBE NAE ∠=∠．又AE EB =，所以CEB NEA ∆≅∆．所以CE NE =． 又F 为PC 的中点，所以//EF NP ．⋯（5分）又NP ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ． 方法三：取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ ．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE DQ =，且//AE DQ ． 所以四边形AEQD 为平行四边形，所以//EQ AD ．又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊂/平面PAD ，所以//EQ 平面PAD ． 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以//FQ PD ． 又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊂/平面PAD ，所以//FQ 平面PAD ．又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ EQ Q =I ，所以平面//EQF 平面PAD ． 因为EF ⊂平面EQF ，所以//EF 平面PAD ． （2）设AC ，DE 相交于G ．在矩形ABCD 中，因为2AB BC =，E 为AB 的中点．所以2DA CDAE DA==． 又DAE CDA ∠=∠，所以DAE CDA ∆∆∽，所以ADE DCA ∠=∠． 又90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=︒，所以90DCA CDE ∠+∠=︒． 由DGC ∆的内角和为180︒，得90DGC ∠=︒．即DE AC ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ， 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan 3MON ∠=-，6OA km =，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km 610．现要在海岸线ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB 经过小岛Q ．（1）求水上旅游线AB 的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，从水波生成th 时的半径为3(r at a =为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以182/km h 的速度自码头A 开往码头B ，问实数a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，0(Q x ，03)(0)x >． 061010=00x > 得03x =，(3,3)Q ∴． ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得39x y =-⎧⎨=⎩ 即(3,9)B -，∴22(36)992AB =--+即水上旅游线AB 的长为92km ． （2）设试验产生的强水波圆P ，由题意可得(3,9)P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则 182AC t =，102t剟，(618,18)C t t ∴-． 强水波不会波及游轮的航行即2210,2PC r t ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦对恒成立．2222(183)(189)9PC t t r at =-+->=，当0t = 时，上式恒成立，当10,0,2t t ⎛⎤≠∈ ⎥⎝⎦时即时，()101017248.7248,0,2a t g t t t t t ⎛⎤<+-=+-∈ ⎥⎝⎦令，10()724824548g t t t=+-…，当且仅当51(0,]2t 时等号成立， 所以，在024548a << 时r PC < 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点6)，其左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为22． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ()i 求证：OP OM u u u r u u u u rg为定值； ()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由． 解：（1）由题意可得22131222ab c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c -=，解得2a =，2b =，即有椭圆方程为22142x y +=； （2）()i 证明：由(2,0)A -，(2,0)B ，MB AB ⊥， 设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， 可得00:42y y MA y x =+， 代入椭圆方程可得，2222000(1)40822y y y x x +++-=，由201204(8)28y x y --=+，可得201202(8)8y x y -=-+，00011208428y y yy x y ==+=+， 则200022004(8)8488y y OP OM y y y -=-+=++u u u r u u u u r gg 为定值；()ii 直线MQ 过定点(0,0)O ．理由如下：由题意可得2001222100088282(8)2(8)PBy y y k x y y y +==-+---+g 02y =-， 由PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ， 可得MQ PB ⊥，即有02MQ y k =． 则直线0:0(2)2y MQ y y x -=-， 即02y y x =， 故直线MQ 过定点(0,0)O ． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．解：（1）由已知可知：41a k =+，52a k =+，624a k k=++． 把数列{}n a 的项代入21n n n n a a b a +++=，求得132b b ==，2421k b b k+==；（2）由*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…，可知：121n n n n a a k a a +--=+．⋯① 则：211n n n n a a k a a +-+=+．⋯② ①-②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -= ∴132123122n n a a b b b a --+==⋯===，242222321n n a a k b b b a k -++==⋯===． ∴41(1)22nn k b k k+-=+；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122212221n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，⋯③ 由1a k Z =∈，624a k Z k =++∈，可知1k =，2．当1k =时，213k k+=为整数，利用1a ，2a ，3a Z ∈，结合③式，可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122212252n n n n n n a a a a a a +-++=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，⋯④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数．1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立． 故数列{}n a 是整数列．综上所述，k 为1，2时，数列{}n a 是整数列． 20．（本小题满分16分）设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-． 解：（1）当0a =时，()f x xlnx x =-，()f x lnx '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞．（2）()()f x x a lnx x a =--+，()af x lnx x'=-，其中0x >，令()g x xlnx a =-，分析()g x 的零点情况．()1g x lnx '=+，令()0g x '=，1x e=，列表分析11()()min g x g a e e==--，而11()1f ln ae ae e e '=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+，221()2(2)22a f e e a e e '=-=-，①若1a e -„，则()0a f x lnx x '=-…，故()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；②若122a e e -<<-，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+>，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有两个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点； ③若202a e -<„，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+„，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有一个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点；综上所述，当(a ∈-∞，1]e-时，()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；当1(a e ∈-，2)2e -时，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点；当2[2a e ∈-，0)时，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点． （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立． 证明如下：由（2）得()g x 在1(e ，)+∞上单调递增，且g （1）0a =-<，(1)(1)(1)g a a ln a a +=++-．因为当1x >时，11(*)lnx x >-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+．故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x ． 由知，(1,1)x a ∈+，(){f x max f <（1），(1)}f a +．又(1)(1)1f a ln a +=+-，而1x >时，1(**)lnx x <-， 所以(1)(1)111f a a a f +<+--=-=（1）． 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-．所以对任意的正数a ，都存在实数1t =，使对任意的(,)x t t a ∈+，使()1f x a <-． 补充证明(*): 令1()1F x lnx x =+-，1x …．111()022x F x x x x -'=-=…，所以()F x 在[1，)+∞上单调递增．所以1x >时，()F x F >（1）0=，即11lnx x>-． 补充证明(**)令()1G x lnx x =-+，1x …．1()10G x x'=-„， 所以()G x 在[1，)+∞上单调递减．所以1x >时，()G x G <（1）0=，即1lnx x <-．海安中学2020届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答]A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．解：由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=， 即1111111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=-⎧⎨-=⎩同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩ 解得2a =，3b =，2c =，1d =．因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积． 解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 23π⨯-⨯⨯=22．已知实数a ，b 满足||2a b +„，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++„． 证明：由||||||2b a a b -+剟，可得||||2b a +„，22|22||()()2()|a a b b a b a b a b +-+=+-++|||2|2|2|a b a b a b =+-+-+g „，要证22|22|4(||2)a a b b a +-++„， 即证|2|2(||2)a b a -++„，由于|2|||||2a b a b -+++„， 即证||||22(||2)a b a +++„， 即为||||2b a +„，显然成立． 故原不等式成立．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC AB λ=u u u r u u u r ，且向量PC u u u r 与BD u u u r 夹角的余弦值为15．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 则：(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)；DC AB λ=u u u r u u u r ，可得(C λ，2，0)．（1）(PC λ=u u u r ，2，2)-，(1BD =-u u u r ，2，0)，向量PC u u u r 与BD u u u r 15．215814λ=++g 10λ=（舍去）或2λ=．实数λ的值为2．；（2）(2PC =u u u r ，2，2)-，(0PD =u u u r ，2，2)-，平面PCD 的法向量(n x =r，y ，)z ．则0n PC =u u u r r g 且0n PD =u u ur r g ，即：0x y z +-=，0y z -=，0x ∴=，不妨去1y z ==， 平面PCD 的法向量(0n =r，1，1)．又(1PB =u u u r ，0，2)．故10cos ,||||n PB n PB n PB <>==u u u r r u u u r g ru u u r r ．直线PB 与平面PCD 10．24．已知数列{}n a 的通项公式为1515[(()]5n nn a +--，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．解：（1）1212nn nn n n S C a C a C a =++⋯+ 122151515()()5nn n n n C C C +++=+⋯+-g g122151515((()]nn n n n C C C ---++⋯+g g1515(1]5n n+-=+-+ 3535[()(]5n n +-=-， 即有1515S ==g ；23535S =g ；（2）3535[((]5n nn S +-=-， 22235353535[((][()(]55n n n n n S ++++-+-=-=-g 135353535()[()(]3n nn n S S ++-+---=-，即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1n S +，n S 除以8的余数确定， 因为11a =，21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=， 432324321S S S =-=-=，543363855S S S =-=-=， 654316521144S S S =-=-=，765343255377S S S =-=-=， 87631131144987S S S =-=-=，987329613772584S S S =-=-=，由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，⋯，它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3n k =，*k N ∈，即所求集合为：{|3n n k =，*}k N ∈．。