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4.3.1 对数的概念【引入】1．庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭．(1)取5次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？2．细胞分裂问题，经过几次分裂后细胞的个数为4 096个？2x＝4 096．【新课】一、对数的概念一般地，如果a (a＞0且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么幂指数b叫做以a为底N的对数．“以a为底N的对数b”记作b＝log a N (a＞0且a≠1)，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注意：(1) 底数的限制：a＞0且a≠1；(2)对数的书写格式；(3)对数的真数大于零．二、对数式与指数式的关系由对数的定义可知，a b＝N与b＝log a N两个等式所表示的是a，b，N三个量之间的同一关系的两种不同表示形式．例如：32＝9⇔2＝log39．对数式与指数式的互化：a b＝N ⇔b＝log a N练习1(1) 将下列指数式写成对数式：22＝4；62＝36；7.60＝1；34＝81．(2) 将下列对数式写成指数式：log39＝2；log416＝2；log5125＝3；log749＝2．练习2 将下列指数式写成对数式 ( 其中 a ＞0且 a ≠1)：21＝2； a 1＝a ；60＝1； a 0＝1．三、对数的性质(1) log a a ＝1，即底数的对数等于1；(2) log a 1＝0，即1的对数等于零；(3) 0和负数没有对数．例1 求log 22，log 21，log 216，log 212． 解 (1) 因为 21＝2，所以 log 22＝1；(2) 因为 20＝1，所以 log 21＝0；(3) 因为 24＝16，所以 log 216＝4；(4) 因为 2－1＝12，所以 log 212＝－1． 四、常用对数以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，log 10N 简记作 lg N ． 例2 求lg 10，lg 100，lg 0.01．解 (1) 因为 101＝10，所以 lg10＝1；(2) 因为 102＝100，所以 lg100＝2；(3) 因为 10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2．例 3 利用计算器求对数(精确到0.000 1)．lg2 001； lg0.618；lg0.004； lg396.5．练习3 求下列各式的值(1) lg1＋lg10＋lg100；(2) lg0.1＋lg0.01＋lg0.001．【小结】一、对数二、指数式与对数式的关系式a b ＝N b ＝log a N三、常用对数以10为底的对数叫做常用对数，简记作 lg N ．。
4．3.1 对数的概念(一)教材梳理填空 (1)对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)对数的基本性质①当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N . ②负数和0没有对数．③特殊值：1的对数是0，即log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；底数的对数是1，即log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)．(3)常用对数与自然对数名称 定义记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数lg_N 自然对数 以无理数e ＝2.718 28…为底的对数称为自然对数ln_N(二)基本知能小试 1．判断正误(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log (－2)4.( ) (2)log a N 是log a 与N 的乘积( )(3)使对数log 2(－2a ＋1)有意义的a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12.( ) 2．若a 2＝M (a ＞0且a ≠1)，则有( ) A ．log 2M ＝a B ．log a M ＝2 C ．log a 2＝MD ．log 2a ＝M3．log 21＋log 22＝( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0 4．已知log 32x －15＝0，则x ＝________.题型一指数式与对数式的互化[学透用活](1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分的“去向”：(2)定义中规定a＞0，且a≠1.理由：①当a＜0且N为某些数值时，x不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，因此，规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.②当a＝0，且N≠0时，log a N不存在；当a＝0，且N＝0时，x可取无数个值，因此规定a≠0.③当a＝1，且N不为1时，x不存在；而a＝1且N＝1时，x可以为任何实数，因此规定a≠1.[典例1]将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)33＝27；(2)log128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；(4)lg 1 000＝3.[对点练清]1．3b＝5化为对数式是()A．log b3＝5B．log35＝b C．log5b＝3 D．log53＝b 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是() A．100＝1与lg 1＝0B．27-13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3D．log55＝1与51＝5题型二对数的计算[学透用活][典例2]求下列各式的值．(1)log1381；(2)lg 0.000 1；(3)log(5－2)(5＋2)．求对数式log a N的值的步骤[对点练清]1．求下列对数的值：(1)log 28；(2)log 919；(3)ln e ；(4)lg 1.2．求下列各式中x 的值：(1)⎝⎛⎭⎫13x ＝5；(2)log 64x ＝－23；(3)log x 8＝6；(4)lg 100＝x .题型三 对数的性质及对数恒等式[学透用活][典例3] 求下列各式中x 的值： (1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.[对点练清]1．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？2．[变设问]在本例(3)条件下，计算625log x 3的值．3．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“3log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．4B ．±4C ．256D ．22．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝183．求值：lg 1 000＝________；lg 0.001＝________. 4．已知log 2x ＝3，则x -12＝________.二、创新应用题5．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝aD ．log c a ＝b2．若对数log (2a －1)(6－2a )有意义，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,3)3．若log x 7y ＝z ，则x ，y ，z 之间满足( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x4．对于a ＞0，且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①③ B ．②④ C ．②D ．①②③④5．(2018·河北辛集中学高一期中)若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．52D ．126．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 7．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则1002b a 的值为________．8．给出下列各式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④由log 25x ＝12，得x ＝±5. 其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116； (3)log 3127＝－3. 10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．B 级——高考水平高分练1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x -12等于( ) A.13 B.36 C.24D.332．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(x ＋1)，x ≥0，2x －1，x ＜0，则f (f (3))＝________.3．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34的值．4．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5 帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？。
