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江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题03一、选择题1．已知集合}3,2,1,1{-=A ，}11{<--∈=x x R x B ，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为( )A.}1,1{-B.}3{C.}3,2{D. }3,2,1{ 【答案】D 【解析】试题分析：}1{<∈=x R x B ,则AB =}1{-,阴影部分表示的集合为}3,2,1{，选D.【考点定位】1.绝对值不等式的解法；2.集合的运算.2．设R d c b a ∈,,,，则“d c b a >>,”是“bd ac >”成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】4．已知复数21iz i =+，则z 的共轭复数z 是( )A.i -1B.i +1C.iD.i - 【答案】A 【解析】试题分析：∵21i z i =+＝2(1)(1)(1)i i i i -+-＝1i +，∴1z i =-，故选A ． 【考点定位】1、复数的运算；2、共轭复数． 5．在复平面内，复数52iz i=-的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限角 D.第四象限6．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，且B A ∠=∠2，则BB3sin sin 等于（ ） A ．c a B ．b c C ．abD ．c b 【答案】D 【解析】试题分析：3C A B B ππ∠=-∠-∠=-∠，所以sin sin(3)sin3C B B π=-=，sin sin sin 3sin B B b B C c==.【考点定位】三角形的内角和，正弦定理. 7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只需将g(x)=sin2x 的图象（ ）A. 向右平移6π个长度单位 B. 向左平移6π个长度单位C. 向右平移3π个长度单位 D. 向左平移3π个长度单位【答案】B8．已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) (A)322 (B)3152 (C)-322 (D)-3152【答案】A【解析】AB =(2,1), CD =(5,5),设AB ,CD 的夹角为θ,则AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos θ=AB CD CD⋅=1552=322.故选A. 【考点定位】向量的坐标运算及向量的投影.9．等比数列{}n a 中，21a =，864a =，则5a =（ ） A.8 B.12 C.8或8- D.12或12-10．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(1,1)n =-垂直的概率为（A ）16 （B ）13 （C ）14 （D ）12【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知(,)m a b =有：(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5).共12个.m n ⊥即0,m n ⋅=所以1(1)0,a b ⨯+⨯-=即a b =，有(3,3)，(5,5)共2个满足条件.故所求概率为16.【考点定位】古典概型11．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（）A．32B．34C．1 D．12【答案】B【解析】12．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【答案】C【解析】选项A中也可以l∥β，选项B中也可以l∥β，选项D中也可以l⊂β，l∥β或l 与β斜交．【考点定位】空间直线与平面的位置关系.13．已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( )3636则12PF F S=12|PF 1||PF 2|sin60°=12|F 1F 2||y|, 解得|y|=62.故选B.【考点定位】双曲线.14．已知椭圆110222=-+-my m x 的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于 （ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：因为焦距为4,所以242c c ===,因为椭圆221210x y m m+=--的焦点在x 轴上,所以222,10a m b m =-=-,根据22221248c a b m m =-⇒-=⇒=,故选A. 【考点定位】椭圆 焦点15．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（ ）A ．3B ．126C ．127D ．128二、填空题 16．命题:p 对0x ∀≥，都有310x -≥，则p ⌝是____________________.【答案】“00x ∃<，使得3010x -<”【解析】试题分析：试题分析：由命题的否定概念可知，p ⌝是“00x ∃<，使得3010x -<”.【考点定位】命题的否定. 17．已知2tanα·sinα＝3，－2π＜α＜0，则cos(α－6π)＝____________．19．曲线ln y a x =(0)a >在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a = . 【答案】1(,]2-∞ 【解析】20．设实数x,y 满足条件：10,0x y ≥≥；2360x y --≤；320x y -+≥，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值是 【答案】256【解析】试题分析：约束条件036020x y ox y x y ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪--≤⎪-+≥⎪⎩的可行域如图所示，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)过点（4,6）时为最大值12,所以4a+6b=12，得：2a+3b=6，a=632b-，（23a b +）（2a+3b ）,4+9+66b a a b +25≥，（当56a b ==时，等号成立），所以23a b +256≥，即23a b +的最小值是256. 【考点定位】1.线性规划；2.基本不等式的性质.21．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是．三、解答题22．空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标，空气质量的好坏由空气质量指数确定。
指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ6）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ5）相同函数)0)(11(log )(2>+=x xx f 的反函数()1=f x -（ ）A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21xx R -∈ D.()210x x ->【解题指南】首先令)11(log 2xy +=求出x ，然后将y x ,互换，利用反函数的定义域为原函数的值域求解.【解析】选A.由)11(log 2xy +=，0>x ，得函数的值域为0>y ，又x y 112+=，解得121-=y x ，所以()1=f x -121-x )0(>x 2.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)= ( ) A.e x+1 B.e x-1 C.e -x+1 D.e -x-1 【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出y=e x 关于y 轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).【解析】选D.与y=e x 关于y 轴对称的函数应该是y=e -x ,于是f(x)可由y=e -x 向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e -(x+1)=e -x-1. 3.（2013·广东高考文科·Ｔ2）函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解题指南】函数的定义域有两方面的要求：分母不为零，真数大于零，据此列不等式即可获解.【解析】选C. 解不等式10,10x x +>-≠可得1,1x x >-≠是定义域满足的条件.4.（2013·山东高考文科·Ｔ5）函数()f x =的定义域为（ ）A.(-3，0]B.(-3，1]C.(,3)(3,0]-∞--D.(,3)(3,1]-∞--【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数，分母不为0.【解析】选A. ⎩⎨⎧>+≥-03021x x ，解得03≤<-x .5.（2013·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( )A ． ·log log log a c c b a b = B. b a b c c a log log log =⋅ C. c b bc a a a log log )(log ⋅=D. ()log g og o l l a a a b b c c +=+【解题指南】a, b,c ≠1，掌握对数两个公式:abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+= 并灵活转换即可得解.【解析】选B.对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列之数列3一．基础题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若0852=-a a ，则=24S S （ ） A.8- B.5 C. 8 D. 152. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2478230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则2811b b b 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．83. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为（ ）A ．3B ．2C ．3或2-D ．3或3- 【答案】D 【解析】试题分析：∵13448a a a =⎧⎨=⎩，∴112a q =⎧⎨=⎩或112a q =-⎧⎨=-⎩，∴13a q +=或3-.考点：等比数列的通项公式. 4. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知函数5(4)4(6),()2(6).x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩()0,1a a >≠ 数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈,且{}n a 是单调递增数列,则实数a 的取值范围（ ）A.[)7,8 B ．()1,8C ．()4,8D ．()4,75. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得14m n a a a =，则14m n+的最小值为（ ）A ．32B ．53C ．256D ．不存在6. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1≠q 且),,2,1(0n i b i =>,若111111,b a b a ==，则（ ） A.66b a >B.66b a =C.66b a <D.66b a <或66b a >7. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．13B ．-76C ．46D ．768. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】已知数列{}n a 满足)2(2,111≥+==-n n a a a n n ，则=7a （ ） A.53 B.54C.55D.109【答案】C 【解析】试题分析：∵12n n a a n -=+，∴12n n a a n --=，∴214a a -=，326a a -=，438a a -=，…，12n n a a n --=， ∴1462n a n =++++2(1)(42)112n n n n -+=+=+-，∴2777155a =+-=.考点：1.累加法求通项公式；2.等差数列的通项公式.9. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】在公比大于1的等比数列{}n a 中，3772a a =，2827a a +=，则12a =（ ）A ．96B ．64C ．72D ．4810. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】若等比数列{}n a 的前项n 和为n S ，且425S S =，则84S S = .11. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】已知数列{a n }满足：120a =，27a = ，22n n a a +-=-*()n N ∈（Ⅰ）求3a ,4a ，并求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）记数列{a n }前2n 项和为2n S ，当2n S 取最大值时，求n 的值．12. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分10分）已知等差数列}{n a 中，公差0 d ，其前n 项和为n S ，且满足：4532=⋅a a ，1441=+a a ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令122-=n S b nn ，*)()25()(1N n b b n n f n n ∈+=+，求)(n f 的最小值. 【答案】（1）43n a n =-；（2）最小值36. 【解析】二．能力题组1. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】数列{}n a 中，若)1(32,111≥-==+n a a a n n ，则该数列的通项=n a （ ）A ．32-nB ． 12-nC ．n 23-D ． 12-n2. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】在等差数列{}n a 中，2526,15,n n a a b a ===，则数列{}n b 的前5项和5S =______.3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】（本小题满分12分）已知数列{}n a 、{}n b 满足3,1211===a b a ，且),2)(1(2*11N n n S S S n n n ∈≥+=+-+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，又n n n n n a b b b b b =++⋅⋅⋅+++---11232212222，对任意*N n ∈都成立。
36 直线与圆锥曲线问题1．已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A (1,0)，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋k 2＋1与(1)中所求点N 的轨迹E 交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且23≤OF →·OH →≤34，求k 2的取值范围．解 (1)如图所示，连结NA . 由AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，可知NP 所在直线为线段AM 的垂直平分线， 所以NA ＝NM ，所以NC ＋NA ＝NC ＋NM ＝22>2＝CA ，所以动点N 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆， 且长轴长为2a ＝22，焦距2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，b ＝1.故曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋k 2＋1消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4k k 2＋1x ＋2k 2＝0， Δ＝8k 2>0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k k 2＋12k 2＋1，x 1x 2＝2k 22k 2＋1，所以OF →·OH →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋k 2＋1)(kx 2＋k 2＋1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋k k 2＋1(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)·2k 22k 2＋1－4k 2(k 2＋1)2k 2＋1＋k 2＋1＝k 2＋12k 2＋1. 由23≤OF →·OH →≤34，得23≤k 2＋12k 2＋1≤34， 解得12≤k 2≤1.2．(2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求AF ·BF 的最小值．解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线P A 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义知AF ＝y 1＋1，BF ＝y 2＋1， 所以AF ·BF ＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， ∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∴AF ·BF ＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1 ＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎫y 0＋122＋92， ∴当y 0＝－12时，AF ·BF 取得最小值，且最小值为92.3．(2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1， 所以AB ＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k4＋k 2.所以PD ＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·AB ·PD ＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313， 当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 4．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x －y ＋6＝0相切． (1)求双曲线E 的方程；(2)已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线交双曲线E 于P ，Q 两点(P 在Q 点左侧)，使FP →·FQ →为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意知|6|12＋(－1)2＝a ，∴a ＝ 3.又∵2c ＝4，∴c ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝1.∴双曲线E 的方程为x 23－y 2＝1.(2)当直线为y ＝0时，则P (－3，0)，Q (3，0)，F (－2,0)， ∴FP →·FQ →＝(－3＋2,0)·(3＋2,0)＝1. 当直线不为y ＝0时，可设l ：x ＝ty ＋m (t ≠±3)代入E ：x 23－y 2＝1，整理得(t 2－3)y 2＋2mty ＋m 2－3＝0(t ≠±3)．(*) 由Δ>0得m 2＋t 2>3.设方程(*)的两个根为y 1，y 2，满足y 1＋y 2＝－2mtt 2－3，y 1y 2＝m 2－3t 2－3，∴FP →·FQ →＝(ty 1＋m ＋2，y 1)·(ty 2＋m ＋2，y 2) ＝(t 2＋1)y 1y 2＋t (m ＋2)(y 1＋y 2)＋(m ＋2)2 ＝t 2－2m 2－12m －15t 2－3.当且仅当2m 2＋12m ＋15＝3时，FP →·FQ →为定值， 解得m 1＝－3－3，m 2＝－3＋3(舍去)．综上，过定点M (－3－3，0)任意作一条直线交双曲线E 于P ，Q 两点，使FP →·FQ →＝1为定值． 5．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且AB ＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得AB ＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4，知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)， 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.6．(2014·辽宁)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．解 (1)设切点P 的坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时，x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1. (2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0. 由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1， 解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0， 又设y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－23mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2， ②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋23＝43m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋3＝6－6m 2m 2＋2. ④因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)， 由题意知AP →·BP →＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤将①②③④代入⑤整理得2m 2－26m ＋46－11＝0，解得m ＝362－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －(362－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0.。
一．基础题组1. 【省市太远五中2014届高三12月月考】函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠= （ ） A ．10 B ． 8 C ．87 D ．472. 【省市太远五中2014届高三12月月考】已知函数)cos()sin()(ϕϕ+++=x x x f 为奇函数，则ϕ的一个取值为（ ） A ．0 B ．4π-C ．2πD ．π3. 【省一中、康杰中学、一中、二中四校2014届高三第二次联考】已知=---=1cos 22sin ,21tan 2ααα则（ ）A.517-B. 417-C. 516-D.-24. 【省中学2014届高三上学期四调考试】已知ΔABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,若a = 1, 2cos C + c = 2b ,则ΔABC 的周长的取值围是__________.5.【市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分） 在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-=. （1）求角A 的大小；（2）若BC 边上高为1，求ABC ∆面积的最小值？ 【答案】（1）3A π=；（2）33. 【解析】6. 【省中学2014届高三上学期四调考试】在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足=-B A 2cos 2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+π⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA A 6cos 6cos 2（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值围．【答案】（1）323ππ=或B ；（2）13,322a c ⎡⎫-∈⎪⎢⎪⎣. 【解析】7. 【省市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个角A ，B ， C 的对边，ACa cb cos cos 2=- (1)求A 的大小； (2)当3=a时，求22c b +的取值围．考点：1.正弦定理；2.两角和与差的正弦公式；3.倍角公式；4.三角函数的值域. 二．能力题组1. 【省中学2014届高三上学期四调考试】在ABC ∆中,若sin()12cos()sin()A B B C A C -=+++,则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ． 直角三角形C ．钝角三角形D ．不含60︒角的等腰三角形2. 【省市一中2014届高三12月月考】已知向量(sin(),1),(4,4cos 3)6παα=+=-a b ，若⊥a b ，则4sin()3πα+等于( ) A.34-B. 14-C. 34D. 143. 【省市一中2014届高三12月月考】函数3sin(2)3y x π=-的图像为C ，如下结论中错误的是（ ）A ．图像C 关于直线1112x π=对称B ．图像C 关于点2(,0)3π对称 C ．函数()f x 在区间)127,12(ππ-是增函数D ．由x y 2cos 3=得图像向右平移125π个单位长度可以得到图像C【答案】C4. 【省市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】设函数()3sin(2)cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数C ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数5. 【省一中、康杰中学、一中、二中四校2014届高三第二次联考】已知函数,22cos 2sin32cos )(2-+=x x x x f πππ则函数)(x f 在[-1,1]上的单调增区间为（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,32 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,436. 【省一中、康杰中学、一中、二中四校2014届高三第二次联考】(本小题满分12分) 在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且(sin sin sin ,sin ),m A B C C →=++(sin ,sin sin sin )n B B C A →=+-，若→→n m ∥（1）求A 的大小; （2）设3,a S =为ABC ∆的面积, 求3cos cos S B C +的最大值及此时B 的值.试题解析：（1）因为→→n m ∥，所以()()sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C A B C +++-= 根据正弦定理得bc a b c c b a =-+++))((,即222a b c bc =++ 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得1cos 2A =- 又),0(π∈A ， 所以π32=A …………………………………………………6分7. 【省市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分12分）如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，满足0AD AC •=，22sin 3BAC ∠=，32AB =，3BD =. （1）求AD 的长； （2）求cos C .试题解析：(1) 因为AD AC ⊥，所以sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠,即22cos BAD ∠=,…………………………….2分 在ABD ∆中，由余弦定理可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠， 即28150AD AD -+=，解之得5AD =或 3.AD = ……………………………………………….6分 由于AB AD >，所以 3.AD =…………………………………………………..7分8. 【省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知△ABC 中，A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 3sin ,12BB b ==. （1）若512A π=，求边c 的大小；（2）若a=2c ，求△ABC 的面积．试题解析：∵22cos32B B =，∴1cos 3B B +=，∴2sin()16B π-=， ∴66B ππ-=或566B ππ-=（舍），得3B π=，又∵512A π=，则4C π=，由正弦定理得，sin sin C bC B=，得6c =.9. 【省市太远五中2014届高三12月月考】已知向量(3sin ,1)4x m =，2(cos ,cos )44x x n =，()f x m n =⋅ (Ⅰ)若()1f x =，求cos()3x π+的值；(Ⅱ)在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且满足1cos 2a C c b +=，求函数()f B 的取值围．试题解析：（Ⅰ）∵23111()3sincos cos cos sin()4442222262x x x x x x f x m n π=•=+=++=++， 而()1f x =，∴1sin()262x π+=，∴21cos()cos 2()12sin ()326262x x x πππ+=+=-+=， （Ⅱ）∵1cos 2a C c b +=，∴222122a b c a c b ab +-+=，即222b c a bc +-=，∴1cos 2A =， 又∵(0,)A π∈，∴3A π=，又∵203B π<<，∴6262B πππ<+<，∴3()(1,)2f B ∈. 考点：1.向量的数量积；2.倍角公式；3.两角和与差的正弦公式；4.余弦公式；5.三角函数的值域.。
一．基础题组1. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】已知命题 p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则（ ）A ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈≥B ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈≥C ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈>D ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈>2. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】不等式21ax <解集为Q ，{}0p x x =≤，若104R Q C P x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则a 等于（ ） A. 14 B.12 C.4 D. 23. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞【答案】B【解析】试题分析：∵{|21}A x x =-≤≤，{|0}B x x =<，∴{|1}AB x x =≤.考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的并集的运算.4. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】设集合{|2}M x x =<，集合{|01}N x x =<<，则下列关系中正确的是（ ）A ．M N R =B ．R NC M R = C ．R M C N R =D ．M N M =5. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(C U A)∩B=（ ）A. {x|-1＜x≤3}B. {x|2≤x﹤3}C. {x|x=3}D.φ6. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】复数iai z -=3在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件考点：1.复数的除法运算；2.复数和点的对应关系；3.充分必要条件.7. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】设全集=U R ，已知集合{|1}A x x =≥，{|(2)(1)0}B x x x =+-<，则（ ）A ．AB U = B ．A B φ=C ．U C B A ⊆D ．U C A B ⊆二．能力题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“α∥β”是“l ⊥m”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】三．拔高题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知命题p ：∀x ∈（0，∞+），3x ＞2x，命题q ：∃x ∈（∞-，0），x x ->2，则下列命题为真命题的是（ ）A . p ∧qB .（￢p ）∧q C.（￢p ）∧（￢q ） D.p ∧（￢q ）。
双曲线一、选择题1.（2013²湖北高考文科²Ｔ2）已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等【解题指南】分别表示出双曲线1C 和2C 的实轴，虚轴，离心率和焦距，最后比较即可.【解析】选 D. 双曲线1C 的实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2=，离心率为1sin θ；双曲线2C 的实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2=，离心率为1cos θ，故只有焦距相等.故答案为D.2.（2013²福建高考理科²Ｔ3）双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ） A.52 B.54C. 552 D.554【解题指南】先求顶点，后求渐近线方程，再用距离公式求解.【解析】选 C.双曲线的右顶点为(20)，,渐近线方程为20x y -=,则顶点到渐近线的距离为= 3.(2013²福建高考文科²T4)双曲线x 2-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )A ．12B ．2C ．1D ．【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式. 【解析】选B.顶点错误！未找到引用源。
到渐近线y=x 的距离为错误！未找到引用源。
.4. （2013²新课标Ⅰ高考文科²Ｔ4）与（2013²新课标Ⅰ高考理科²Ｔ4）相同已知双曲线C ：12222=-by a x 错误！未找到引用源。
= 1（a>0,b>0）的离心率为错误！未找到引用源。
，则C 的渐近线方程为( ) A.y=±错误！未找到引用源。
x B.y=±错误！未找到引用源。
x C.y=±错误！未找到引用源。
x D.y=±x 【解题指南】 根据题目中给出离心率确定a 与c 之间的关系，再利用222b a c +=确定a 与b 之间的关系，即可求出渐近线方程.【解析】选C.因为25==a c e ，所以4522=a c ，又因为222b a c +=，所以45222=+a b a ，得=22a b 41，所以渐近线方程为x y 21±= 5.(2013²天津高考理科²T5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线y 2=2p x(p >0)的准线分别交于A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB 的面积为错误！未找到引用源。
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题02一、选择题 1．已知命题R p ∈∃ϕ:，使)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数；命题x x R x q sin 42cos ,:+∈∀03＜-，则下列命题中为真命题的是（ ）A.q p ∧B.()q p ∨⌝C.()q p ⌝∨D.()()q p ⌝∨⌝ 【答案】C 【解析】2．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x＋2x·m ＋1＝0”．若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是A. (－∞，－2]B. [2,+∞)C. (－∞，－2)D. (2,+∞) 【答案】A 【解析】3．已知01a <<，则2a 、2a、2log a 的大小关系是（ ）A ．2a >2a >2log aB ．2a>2a >2log a C ．2log a >2a >2a D ．2a>2log a >2a【答案】B 【解析】试题分析：因为 01a <<，所以，201a <<，122a <<，2log 0a <，即2a >2a >2log a ，选B .【考点定位】幂函数、指数函数、对数函数的性质. 4．已知x ，y∈R，i 为虚数单位．若1xi+＝1－yi ，则x ＋yi ＝( )A ．2＋iB ．1＋2iC ．1－2iD ．2－i 【答案】A 【解析】由1x i +＝1－yi ，得2x －2x i ＝1－yi ，所以x ＝2，y ＝2x＝1，x ＋yi ＝2＋i. 【考点定位】复数的基本计算.5．若点(,)P a b 在函数23ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图像上，则22()()ac bd 的最小值为（ ）（A ）2 （B ） 2 （C ）22 （D ）8 【答案】D 【解析】6．右图可能是下列哪个函数的图象（ ）A.y=2x－x 2－1 B. 14sin 2+=x x x y C.y=(x 2－2x)e xD.x x y ln =【答案】C 【解析】7．已知函数()2log ,02sin(), 2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足()()()1234()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则3412(1)(1)x x x x -⋅-⋅的取值范围（ ）A.(20，32)B.(9,21)C.(8,24)D.(15，25) 【答案】B 【解析】8．设0a >且1a ≠.若log sin 2a x x >对(0,)4x π∈恒成立,则a 的取值范围是（ ）A.(0,)4πB.(0,]4πC.(,1)(1,)42ππ⋃D.[,1)4π9．已知22sin 1)(xx f +=，若)5(lg f a =，)2.0(lg f b =则下列正确的是（ ） A ．0=+b a B ．0=-b a C ．1=+b a D ．1=-b a 【答案】C11()()022f x f x -+--=也就是()()1f x f x +-=，而12lg 0.2lg lg5lg510-===-，所以(lg5)(lg5)1f f +-=即1a b +=，选C.【考点定位】1.正弦函数的图像与性质；2.函数的奇偶性.10．函数3()sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈的最小正周期为（ ）． A ．2πB ．4πC ．8πD ．π【答案】A 【解析】11．已知x ，y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则46--+x y x 的取值范围是( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡73,0B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡76,0C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡720,2 【答案】C 【解析】12．某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ ）【答案】C 【解析】13．设点(,)a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数的概率为 ( )A.13 B. 23 C. 14 D. 12【答案】A【考点定位】1.线性规划问题.2.函数的单调性.3.几何概型问题.14．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，81=λμ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．322B ．2C ．233D ．2【答案】D 【解析】15．已知双曲线C:()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2,,A B 为期左右顶点,点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点,点O 为坐标原点,若,,PA PB PO 的斜率为123,,k k k ,则123m k k k =的取值范围为( )A.()0,33 B.()0,3 C.30,9⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.()0,816．已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）A.1B.1-C.1±D.22sin 0,sin 0,d d ==因为02d π<<，所以.d π=公比1111cos()cos()1.cos cos a d a q a a π++===-【考点定位】等比数列17．执行如图所示的程序框图，输入的N ＝2014，则输出的S ＝（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014【答案】C 【解析】二、填空题18．已知()20OB =，,()22OC =， ,(2cos 2sin )CA αα=， ,则OA 与OB 的夹角的取值范围是______________. 【答案】]125,12[ππ【解析】法二、因为(22)CA αα=，，所以22(2cos )(2sin )2CA αα=+=，所以点A 在以C 2为半径的圆上. 作出图形如下图所示，从图可知OA 与OB 的夹角的取值范围是]125,12[ππ.【考点定位】向量. 三、解答题19．已知函数()ln ,()xf x ax xg x e =+=.(1)当0a ≤时，求()f x 的单调区间； （2）若不等式()x mg x x-<有解，求实数m 的取值菹围； （3）证明：当a=0时，()()2f x g x ->. 【答案】(1)参考解析；（2）0m <；（3）参考解析 【解析】试题分析：(1)由于()ln f x ax x =+，(0,)x ∈+∞.需求()f x 的单调区间，通过对函数()f x 求导，在讨论a 的范围即可得函数()f x 的单调区间.增.当1(,)x a∈-+∞时，'()0f x <，所以()f x 单调递减.综上所述：当0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞单调递减.【考点定位】1.函数的单调性.2.含不等式的证明.3.构建新的函数问题.4.运算能力.5.数学知识综合应用.20．已知函数),0,(ln )1(2)(2>∈∈--=*a R a N k x a x x f k 且 （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若2014=k 时，关于x 的方程ax x f 2)(=有唯一解，求a 的值； （3）当2013=k 时，证明: 对一切),0(+∞∈x ，都有)21(2)(2exe a x xf x ->-成立． 【答案】详见解析 【解析】当k 是奇数时，()0f x '>，则f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当k 是偶数时，则2()()2()2x a x a a f x x xx+-'=-=．所以当x ∈()0,a 时，()0f x '<，当x ∈),(+∞a 时，()0f x '>． 故当k 是偶数时，f (x)在()0,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数． 4分另解:()2f x ax =即22ln 2x a x ax -=有唯一解,所以:22ln x a x x =+,令()2ln x p x x x=+,则()()()22ln 1ln x x x p x x x +-'=+,设()2ln 1+h x x x =-，显然()h x 是增函数且()10h =，所以当01x <<时【考点定位】1.导数的运用；2.方程及不等式. 21．已知函数1()f x x x=-，()ln ()g x a x a R =∈.(1)a≥－2时,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)设h(x)=f(x)+g(x),且h(x)有两个极值点为12,x x ,其中11(0,]2x ∈,求12()()h x h x -的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）5ln23-. 【解析】试题解析：（1）由题意x a xx x F ln 1)(--=，其定义域为()∞+，0，则221)(x ax x x F +-='，2分对于1)(2+-=ax x x m ，有42-=∆a .①当22≤≤-a 时，0)(≥'x F ，∴)(x F 的单调增区间为),0(+∞；②当2>a 时，0)(='x F 的两根为2421--=a a x ，2422-+=a a x（2）对x a xx x h ln 1)(+-=，其定义域为),0(+∞. 求导得，222111)(xax x x a x x h ++=++='， 由题0)(='x h 两根分别为1x ，2x ，则有122=⋅x x ，a x x -=+21， 8分 ∴121x x =，从而有111x x a --=22．已知函数()sin 2f x m x x =+,(0)m >的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0,π上的值域； (2)已知ABC ∆外接圆半径3=R ，()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=，角,A B 所对的边分别是,a b ，求ba 11+的值． 【答案】(1)[]2,2-;(2)2.【解析】而0m >，于是2m =，π()2sin()4f x x =+． 4分23．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B p C A sin sin sin ⋅=+（R ∈p ），且241b ac =． （1）当45=p ，1=b 时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围．【答案】(1)⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,26p ． 【解析】又41=ac ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a （5分）（少一组解扣1分）【考点定位】（1）正弦定理；（2）余弦定理及三角函数值的范围. 24．设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，122+=n n a a ． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设数列{n b }满足*31212311,2n n n b b b b n N a a a a ++++=-∈，求{n b }的前n 项和T n ； （3）是否存在实数K ，使得T n K ≥恒成立.若有，求出K 的最大值，若没有，说明理由. 【答案】（1）a n =2n ﹣1，n ∈N *；（2）2332n nn T +=-；（3）12K ≤. 【解析】试题分析：（1）由于{a n }是等差数列，故只需求出其首项a 1和公差d 即可得其通项公式.由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1得方程组：11114684(21)22(1)1a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，这个方程组中，看起来有3个未知数，但n 抵消了(如果11114684(21)22(1)1a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩， 解得a 1=1，d =2．∴a n =2n ﹣1，n ∈N *．（2）由已知*31212311,2n n n b b b b n N a a a a ++++=-∈，得： 当n =1时，1112b a =，所以12K ≤. 【考点定位】1、等差数列与等比数列；2、数列的和；3、数列与不等式. 25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知nn a b 1log 3=，记12n n S b b b =+++，111111111111133636n nT S =+++++++++++,求证：20141013.T <【答案】（1）13n na =；（2）参考解析 【解析】试题分析：（1）又等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列.可得到两个等式，解方程组可得结论.（2）由（1）可得数列{}n b 的通项，即可计算n S ,由于n T 是一个复合的形式，所以先计算通项式1111111[(1)(1)(1)][(1)]21222n n n++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+ .所以2014111111[2014(1)]1007(1)222014222014T =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+即等价于证明1111222014++⋅⋅⋅+<.1010111111124(234)1122014242++⋅⋅⋅+<+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-<.所以20141013.T <【考点定位】1.等差数列、等比数列的性质.2.数列的求和.3.数列与不等式的知识交汇.4.归纳递推的思想.26．如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ; （2）求证：BDE BC 平面⊥; （3）求点D 到平面BEC 的距离. 【答案】（1）见解析（2）见解析(3)63【解析】试题解析：（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =． 3分所以四边形ABNM 为平行四边形． 所以BN ∥AM ． 4分又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ， 所以AM ∥平面BEC ． 5分（2）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以⊥ED 平面ABCD ． 所以ED BC ⊥． 7分在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ， 2=CD ，可得2=BC ．在△BCD 中，2,2===CD BC BD ，所以222CD BC BD =+． 所以BC BD ⊥． 8分.26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE 12分又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆，所以36261==⋅=∆∆BCE BCD S DE S h 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. 14分 【考点定位】勾股定理线面平行,线面垂直等体积法27．如图：已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，高122AA =，P 为1CC 的中点，AC 与BD 交于O 点．（1）求证：BD ⊥平面11AAC C ；（2）求证：1AC ∥平面PBD ；（3）求三棱锥1A BOP -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2.【解析】11ACC A ，即BO ⊥平面1A OP ，因此以1A OP 为底，BO 就是高，体积可得.试题解析：（1）底面ABCD 是边长为正方形，∴AC BD ⊥1A A ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴1A A ⊥BD 3分1A A AC A =，∴BD ⊥平面11A ACC 5分【考点定位】（1）线面垂直；（2）线面平行；（3）几何体的体积.28．已知抛物线24x y =，直线:2l y x =-，F 是抛物线的焦点.（1）在抛物线上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小；(2)如图，过点F 作直线交抛物线于A 、B 两点.①若直线AB 的倾斜角为135，求弦AB 的长度；②若直线AO 、BO 分别交直线l 于,M N 两点,求||MN 的最小值.【答案】（1）(2,1)P ；(2)①AB ||8=；②||MN 的最小值是825. 【解析】试题分析：（1）数形结合，找出与:2l y x =-与平行的切线的切点即为P.(2)易得直线方程1y x =-+，与抛物线联立，利用弦长公式，可求AB ；②设221212(,),(,)44x x A x B x ,可得AO ，BO 方程，与抛物线联立试题解析：解:(1)设(,)P x y ，21,'42x y y x =∴=， 由题可知：11,2,12x x y =∴==同理由228442N x y x x x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩9分 所以21288||11|2|44M N MN x x x x =+-=---12121282|164()x x x x x x -=-++① 10分 设:1AB y kx =+,由2214404y kx x kx x y=+⎧⎪∴--=⎨=⎪⎩,所以此时||MN 的最小值是825,此时253t =-,43k =-; 13分 综上:||MN 的最小值是825。
江西师大附中高三新课标第二轮复习测试卷数学（ 1 ）杨娟娜 学校：江西师大附中 黄润华 朱涤非 学校：江西师大附中一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{|A x y ==，集合{}|22B x x =-<，则A B 等于A ．(]0,2 B.[]0,2 C. [)1,2- D.∅2．已知复数z =||z = A ．1 BC ．2D ．4 3．已知命题p ：12,x x R ∀∈，2121(()())()0f x f x x x --≥，则p ⌝是A ．12,x x R ∃∈,2121(()())()0f x f x x x --≤B ．12,x x R ∀∈,2121(()())()0f x f x x x --≤C ．12,x x R ∃∈,2121(()())()0f x f x x x --<D ．12,x x R ∀∈,2121(()())()0f x f x x x --<4．已知3cos()25πα-=，2παπ<<，则sin()4πα+=A ．1027-B ．1027 C．10-D ．1025．已知两组样本数据}{n x x x 21,的平均数为h ，}{m y y y 21,的平均数为k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为A ．2k h + B ．n m mk nh ++ C ．n m nh mk ++ D ．nm kh ++ 6．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数22()(2)(),f x x x x x R =-⊗-∈，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．3(,2](1,)2-∞--UB ．3(,2](1,)4-∞---UC ．11(1,)(,)44-+∞UD ．31(1,)[,)44--+∞U7．已知集合220(,)21020x y A x y x y x y ⎧-+≥⎫⎧⎪⎪⎪=-+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+-≤⎩⎩⎭，{}22(,)(1)B x y x y m =+-≤，若A B ⊆，则m 的取值范围是A ．[1,)+∞ B．)+∞ C ．[2,)+∞ D．)+∞8．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 A．10+ B．10+ C．14+B．14+9．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F .若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线Γ的离心率等于DA ．12或32B ．23或2C ．12或2D ．23或3210．已知实数,,1,22a b a b R a b M +∈+==+，则M 的整数部分是A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数()x f x e x =+.对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A，B ，C ，给出以下判断：①ABC ∆一定是钝角三角形；②ABC ∆可能是直角三角形； ③ABC ∆可能是等腰三角形； ④ABC ∆不可能是等腰三角形． 其中正确的判断是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP x =，CPD ∆的面积为()f x .则()f x 的最大值为A ．B ．2C ．3D ．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上. 13．（理科）如果432412345(1)(1)(1)(1)a x a x a x a x a x -+-+-+-+=，那么234a a a -+= .（文科）在ABC ∆中，,23A AB π∠==，且ABC ∆的BC 的长为 . 14．如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 . 15．已知等差数列{},{}n n a b 的前ｎ项和分别为n S 和n T ，若7453n n S n T n +=+，且2n nab 是整数，则ｎ的值为 . 16．某同学在研究函数()f x =的性 质时，受到两点间距离公式的启发，将()f x 变形为22((01)(3)f x =+-++，则()f x 表示PA PB +（如图），①()f x 的图象是中心对称图形； ②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的值域为)+∞； ④方程(())1f f x =()f x 的描述正确的 .三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 和{}n b 满足1122336,4,3a b a b a b ======，且数列*1{}()n n a a n N +-∈是等差数列，数列*{2}()n b n N -∈是等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）是否存在*k N ∈，使1(0,)2k k a b -∈？若存在，求出k ；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分12分）（理科）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为23. （1）请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；（2）你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由.（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X ，求X 的分布列与期望.和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B 的考生有10人．（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数；（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A.在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A 的概率．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 的 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ,90ADC ∠=，1AB AD PD ===， 2CD =．（1）求证：//BE 平面PAD ； （2）（文科）求点C 到平面PBD 的距离.（理科）求证：平面PBC ⊥平面PBD ； （3）（理科）设Q 为棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值使得二面角Q BD P --为︒45．20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab +=>>过点，左、右 焦点分别为12,F F .点P 为直线:2l x y +=上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为,A B 和,C D ，O 为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k .（ⅰ）证明：12132k k -=； （ⅱ）问直线l 上是否存在点P ，使得直线,,,OA OB OC OD 的斜率,,,OA OB OC OD k k k k 满足0OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．21. （本小题满分12分）设函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,).-∞+∞U（1）求函数()f x 在[,1](0)m m m +>上的最小值；（2）设函数0,0,()1,0()x g x x f x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩，若12x x ≠，且12()()g x g x =，证明：12 2.x x +>请考生从第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线2:42x l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 相交于点,.M N（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若,,PM MN PN 成等比数列，求实数a 的值.23.（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲 设不等式0log 3<x 的解集为M . （1）求集合M ；（2）若,a b M ∈，试比较1ab +与a b +的大小．高三新课标第二轮复习测试卷参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分13．（理科）2 ； (文科 14．3018 15．15 16．②③ 三.解答题：本大题共7小题，共70分17．解：（1）[])()()1()(1223121a a a a n a a a a n n ----+-=-+ =3)1(2-=-+-n n∴ =-+-+=-+=--)4()5()4(21n n a n a a n n n[]927212)4()2()1(6)4()5(0)1()2(6)4()5(0)1()2(21+-=-+--+=-+-+++-+-+=-+-+++-+-+=n n n n n n n n a （2≥n ）上式对1=n 也成立.∴927212+-=n n a n311121)21()42(4)22)(2(2---=⨯=---=-n n n n b b b b ∴3)21(2-+=n n b（2）3232)21(7272121292721---+-=⎪⎭⎫⎝⎛--+-=-=k k k k k k k k k b a c 当3,2,1=k 时，0.k c = 当4≥k 时，21)21(47)274(21)21(47)27(2134232=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≥-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--k k k c ∴不存在正整数k 使1(0,).2k k a b -∈18. （理科）解（2）由2K ＝248(22060)28203216⨯-⨯⨯⨯≈4.286，因为4.286＞3.841,有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. （3）喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0,1,2.其概率分别为(0)P X ==021010220C C C ＝938, (1)P X ==111010220C C C ＝1019， (2)P X ==201010220C C C ＝938, ∴X 的分布列为:X 的期望值为:0 1.1919EX =++= （文科）解：（1）Q “数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人，∴该考场有10÷0.25＝40(人)．∴该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为 40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.（2）Q 两科考试中，共有6个A ，又恰有2人的两科成绩等级均为A ， ∴还有2人只有一个科目成绩等级为A.设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，一共有6个基本事件．设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A ”为事件M ，∴事件M 中包含的基本事件有1个，为(甲，乙)，则1().6P M = 19．解：（1）设PD 的中点为F ，连接EF ，Q 点,E F 分别是PCD ∆的中点，∴EF ∥CD ,且12EF CD =，∴EF ∥AB ，且EF AB =， ∴四边形FABE 是平行四边形.∴BE ∥AF ，又AF ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴BE ∥平面PAD .（2）在梯形ABCD 中，过点B 作BH CD ⊥于H ，在BCH ∆中，1BH CH ==，∴45BCH ∠=o. 又在DAB ∆中，1AD AB ==，∴45ADB ∠=o.∴45BDC ∠=o ，∴90.DBC ∠=o∴BD BC ⊥.Q 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD CD =，PD ⊂平面PCD ，∴PD ⊥平面ABCD ，∴PD BC ⊥，又,BD PD D BD =⊂Q I 平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，∴BC ⊥平面PBD ，（文科）∴BC BD ==（理科）又BC ⊂平面，∴平面PBC ⊥平面PBD .（3）以D 为原点，,,DA DC DP 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1),(0,2,0),(1,0,0),(1,1,0).P C A B令000(,,),Q x y z PQ PC λ=uu u r uu u rQ ，(0,2,1)Q λλ-，BC ⊥Q 平面PBD ，∴(1,1,0)BC n ==-u u u r r即为平面PBD 的法向量.设平面QBD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则00m DB m DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu u r u r uuu r 即21x y z y λλ=-⎧⎪⎨=⎪-⎩. 令1y =，得2(1,1,).1m λλ=--u r 若二面角Q BD P --为︒45，则cos ,2m n m n m n ⋅===u r ru r r u r r ，解得1λ=- Q Q 在PC上，0 1.λ<< ∴ 1.λ=20．解：（1）Q 椭圆过点(1,2，e ＝22， ∴1, 1.a b c === ∴所求椭圆方程为22 1.2x y += （2）(ⅰ)证明：方法一：由于F 1(－1,0)、F 2(1,0)，PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，且点P 不在x 轴上，∴1212,0,0k k k k ≠≠≠.又直线PF 1，PF 2的方程分别为12(1),(y k x y k x =+=-联立方程解得12211221,2k k x k k k k y k k +⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，∴121221212(,)k k k k P k k k k +--．由于点P 在直线x ＋y ＝2上， ∴1212212k k k k k k ++-＝2. ∴2k 1k 2＋3k 1－k 2＝0，即2131k k -＝2，结论成立．方法二：设P (x 0，y 0)，则0101y k x =+，0201y k x =-.Q 点P 不在x 轴上，∴00y ≠. 又x 0＋y 0＝2，∴000012000013(1)422132x x x y k k y y y y +---=-===. ∴结论成立． (ⅱ)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，D (x D ，y D )．联立直线PF 1与椭圆的方程得122(1),12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得2222111(21)4220k x k x k +++-=，∴x A ＋x B ＝－2121421k k +，x A x B ＝21212221k k -+，由于OA ，OB 的斜率存在，∴0,0A B x x ≠≠，∴0,1k ≠. ∴k OA ＋k OB ＝11(1)(1)A B A B A B A B y y k x k x x x x x +++=+＝2k 1＋k 1A BA Bx x x x +＝k 1(2－2121422k k -)＝－121422k k -＝－12121kk -.类似地，可以得到220,0,0,1C D x x k ≠≠≠，k OC ＋k OD ＝－12121k k -， ∴k OA ＋k OB ＋k OC ＋k OD ＝－2(1211k k -＋2221k k -) ＝－2221211222212(1)(1)k k k k k k k k -+---＝－121222122(1)()(1)(1)k k k k k k -+--.若k OA ＋k OB ＋k OC ＋k OD ＝0，须有k 1＋k 2＝0或k 1k 2＝1.①当k 1＋k 2＝0时，结合(ⅰ)的结论，可得22k =-，∴解得点P 的坐标为(0,2)；②当k 1k 2＝1时，结合(ⅰ)的结论，解得k 2＝3或k 2＝－1(此时k 1＝－1，不满足k 1≠k 2，舍去)，此时直线CD 的方程为y ＝3(x －1)，联立方程x ＋y ＝2得53,44x y ==. 21. 解：（1）由题意得2()x xxe e f x x-'=，则当1x >时，()0f x '>； 当01x <<时，()0f x '<. ∴()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数． 当1m ≥时，函数()f x 在[,1]m m +上是增函数，此时min()()me f x f m m==。
一．基础题组1. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在CB 方向上的投影为( )A ． 3 C ．． -32. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O 的表面积为48π，则异面直线AB 与OC 所成角余弦值为 .3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】()a b +与a 垂直，且||2||b a =，则a 与b 的夹角为 .【答案】0120二．能力题组1. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】已知5OA 1,OB 3,AOB 6π==∠=，点C 在∠AOB 外且OB OC 0.∙=设实数,m n 满足OC mOA nOB =+，则m n 等于（ ）A ．2BC ．-2D ．2. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ∙=∙=，则对任意的正实数t ，1||c ta b t++的最小值是（ ）A ．2B ．．4 D ．3. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知=++，且与的夹角为︒60=，则〉〈b a ,cos 等于 .三．拔高题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】△ABC 内接于以O 为圆心， 1为半径的圆，且02=-+OC OB OA ，则的值为（ ）A.1-B.1C. 2-D. 22. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是______________.【答案】[0,1]【解析】。
