2015年山东省高考数学试卷(文科)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{24}A x x =<< ，{(1)(3)0}B x x x =--< ，则AB =（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4） 2、若复数z 满足1zi i=- ，其中i 为虚数单位，则z = （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 3、设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）b c a << 4、要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图象（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右12π平移个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位5、设m R ∈ ，命题“若0m > ，则方程20x x m +-= 有实根”的逆否命题是（A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m > （B ） 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ （C ） 若方程20x x m +-=没有实根，则0m > （D ） 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤6、为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图。

考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（A ） ①③ （B ） ①④ （C ） ②③ （D ） ②④ 7、在区间[]0,2上随机地取一个数x ，则事件“1211log ()12x -≤+≤ ”发生的概率为（A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）148、若函数21()2x x f x a+=- 是奇函数，则使()3f x > 成立的x 的取值范围为（A ）(),1-∞- （B ）()1,0- （C ）()0,1 （D ）()1,+∞9、已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 （A（B（C） （D） 10、设函数3,1,()2,1,xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩ 若5(())46f f = ，则b =（A ）1 （B ）78 （C ）34 （D ）12第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015年山东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位5．（5分）当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤06．（5分）为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④7．（5分）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）9．（5分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π10．（5分）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．1 B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是．12．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为．13．（5分）过点P（1，）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=．14．（5分）定义运算“⊗”x⊗y=（x，y∈R，xy≠0）．当x＞0，y＞0时，x⊗y+（2y）⊗x的最小值为．15．（5分）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．18．（12分）如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．19．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．21．（14分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求△ABQ面积的最大值．2015年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】求出集合B，然后求解集合的交集．【解答】解：B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，A={x|2＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．3．（5分）（2015•山东）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】直接判断a，b的大小，然后求出结果．【解答】解：由题意可知1＞a=0.60.6＞b=0.61.5，c=1.50.6＞1，可知：c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．5．（5分）（2015•山东）当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可．【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x ﹣m=0有实根”的逆否命题是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0．故选：D．【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．6．（5分）（2015•山东）为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、及方差可得答案【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：甲：26，28，29，31，31乙：28，29，30，31，32；可得：甲地该月14时的平均气温：（26+28+29+31+31）=29，乙地该月14时的平均气温：（28+29+30+31+32）=30，故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时温度的方差为：=[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]=3.6乙地该月14时温度的方差为：=[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]=2，故＞，所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温标准差．故选：B．【点评】本题考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系，考查学生的计算能力，属于基础题7．（5分）（2015•山东）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．【分析】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间[0，2]的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵﹣1≤log（x+）≤1∴解得0≤x≤，∵0≤x≤2∴0≤x≤∴所求的概率为：P=故选：A【点评】本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．8．（5分）（2015•山东）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式．【解答】解：∵f（x）=是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）即整理可得，∴1﹣a•2x=a﹣2x∴a=1，∴f（x）=∵f（x））=＞3∴﹣3=＞0，整理可得，，∴1＜2x＜2解可得，0＜x＜1故选：C【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题．9．（5分）（2015•山东）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V=2×S•h=2×πR2•h=2×π×（）2×=．故选：B．【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．10．（5分）（2015•山东）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．1 B．C．D．【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，可得f（）=4，若，即b≤，可得，解得b=．若，即b＞，可得，解得b=＜（舍去）．故选：D．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2015•山东）执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是13．【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的x，y的值，当x=2时不满足条件x ＜2，计算并输出y的值为13．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1满足条件x＜2，x=2不满足条件x＜2，y=13输出y的值为13．故答案为：13．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查．12．（5分）（2015•山东）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为7．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=2时，z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值=1+2×3=7．∴z最大值故答案为：7【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+3y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．（5分）（2015•山东）过点P（1，）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=．【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠∠APB，然后代入向量数量积的定义可求．【解答】解：连接OA，OB，PO则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB，Rt△PAO中，OA=1，PO=2，PA=∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60°∴===故答案为：【点评】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题．14．（5分）（2015•山东）定义运算“⊗”x⊗y=（x，y∈R，xy≠0）．当x＞0，y＞0时，x⊗y+（2y）⊗x的最小值为．【分析】通过新定义可得x⊗y+（2y）⊗x=，利用基本不等式即得结论．【解答】解：∵x⊗y=，∴x⊗y+（2y）⊗x=+=，由∵x＞0，y＞0，∴x2+2y2≥2=xy，当且仅当x=y时等号成立，∴≥=，故答案为：．【点评】本题以新定义为背景，考查函数的最值，涉及到基本不等式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．15．（5分）（2015•山东）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为2+．【分析】求出P的坐标，可得直线的斜率，利用条件建立方程，即可得出结论．【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+．故答案为：2+．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2015•山东）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．17．（12分）（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；②利用正弦定理解之．【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1．【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识．18．（12分）（2015•山东）如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．【分析】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．由已知可得四边形CFDG是平行四边形，DM=MC．利用三角形的中位线定理可得：MH∥BD，可得BD∥平面FGH；证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．可得四边形BHFE 为平行四边形．BE∥HF．又GH∥AB，可得平面FGH∥平面ABED，即可证明BD ∥平面FGH．（II）连接HE，利用三角形中位线定理可得GH∥AB，于是GH⊥BC．可证明EFCH 是平行四边形，可得HE⊥BC．因此BC⊥平面EGH，即可证明平面BCD⊥平面EGH．【解答】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．∴，∴四边形CFDG是平行四边形，∴DM=MC．又BH=HC，∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，∴BD∥平面FGH；证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．∴，∴四边形BHFE为平行四边形．∴BE∥HF．在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，∴GH∥AB，又GH∩HF=H，∴平面FGH∥平面ABED，∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH．（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB，∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC．∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE．∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面EGH．【点评】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．19．（12分）（2015•山东）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过对c n=分离分母，并项相加并利用数列{}的前n项和为即得首项和公差，进而可得结论；（2）通过b n=n•4n，写出T n、4T n的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1、公差为d，则a1＞0，∴a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd，令c n=，则c n==[﹣]，∴c1+c2+…+c n﹣1+c n=[﹣+﹣+…+﹣]=[﹣]==，又∵数列{}的前n项和为，∴，∴a1=1或﹣1（舍），d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）知b n=（a n+1）•2=（2n﹣1+1）•22n﹣1=n•4n，∴T n=b1+b2+…+b n=1•41+2•42+…+n•4n，∴4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，两式相减，得﹣3T n=41+42+…+4n﹣n•4n+1=•4n+1﹣，∴T n=．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）（2015•山东）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1；（Ⅱ）求出f（x）、g（x）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（x）的解析式，通过g（x）的最大值，即可得到所求．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）lnx的导数为f′（x）=lnx+1+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1+a，由切线与直线2x﹣y=0平行，则a+1=2，解得a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+，令h（x）=lnx+1+，h′（x）=﹣=，当x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减，当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增．当x=1时，h（x）min=h（1）=2＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，即有f（x）在（k，k+1）递增，g（x）=的导数为g′（x）=，当x∈（0，2），g′（x）＞0，g（x）在（0，2）递增，当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）递减．则x=2取得最大值，令T（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）lnx﹣，T（1）=﹣＜0，T（2）=3ln2﹣＞0，T（x）的导数为T′（x）=lnx+1+﹣，由1＜x＜2，通过导数可得lnx＞1﹣，即有lnx+1+＞2；e x＞1+x，可得﹣＞，可得lnx+1+﹣＞2+=＞0，即为T′（x）＞0在（1，2）成立，则T（x）在（1，2）递增，由零点存在定理可得，存在自然数k=1，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（x）=，其中x0∈（1，2），且x=2时，g（x）取得最大值，且为g（2）=，则有m（x）的最大值为m（2）=．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算能力，属于中档题．21．（14分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a ＞b＞0）的离心率为，且点（，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求△ABQ面积的最大值．【分析】（Ⅰ）通过将点点（，）代入椭圆C方程，结合=及a2﹣c2=b2，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）知椭圆E的方程为：+=1．（i）通过设P（x0，y0）、=λ可得Q（﹣λx0，﹣λy0），利用+=1及+=1，计算即可；（ii）设A（x1，y1）、B（x2，y2），分别将y=kx+m代入椭圆E、椭圆C的方程，利用根的判别式△＞0、韦达定理、三角形面积公式及换元法，计算即可．【解答】解：（Ⅰ）∵点（，）在椭圆C上，∴，①∵=，a2﹣c2=b2，∴=，②联立①②，解得：a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为：+y2=1；（Ⅱ）由（I）知椭圆E的方程为：+=1．（i）设P（x0，y0），=λ，由题意可得Q（﹣λx0，﹣λy0），∵+=1，及+=1，即（+）=1，∴λ=2，即=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，由韦达定理，可得x1+x2=﹣，x1•x2=，∴|x1﹣x2|=，∵直线y=kx+m交y轴于点（0，m），∴S=|m|•|x1﹣x2|△OAB=|m|•==2，设t=，将y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△≥0，可得m2≤1+4k2，又∵m2＜4+16k2，∴0＜t≤1，∴S=2=2=≤2，当且仅当t=1，即m2=1+4k2时取得最大值2，由（i）知S=3S，△ABQ∴△ABQ面积的最大值为6．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合问题，考查求椭圆方程、线段的比及三角形的面积问题，考查计算能力，利用韦达定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；whgcn；吕静；w3239003；cst；刘长柏；wkl197822；changq；沂蒙松；双曲线（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）已知集合{}24A x x =<<，()(){}130B x x x =--<，则A B =（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 （2）若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则z = （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+（3）设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a（4）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像（）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位（5）若m N ∈,命题“m>0，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是 （A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m > （B ）若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ （C ）若方程20x x m +-=没有实根，则0m > （D ）若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤（6）为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图。

考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差。

2015山东高考文科数学真题及答案第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1. 已知集合A={x|2<x<4}，B={x|（x-1）（x-3）<0}，则A ⋂B=( ) （A ）（1,3） （B ）（1,4） （C ）（2,3） （D ）（2,4） 【答案】C 【解析】试题分析：因为B =｛x|1<x<3｝,所以(2,3)A B ⋂=，故选C. 考点：1.集合的基本运算；2.简单不等式的解法. 2. 若复数Z 满足1zi-=i ，其中i 为虚数单位，则Z=( ) （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i 【答案】C考点：1.复数的运算；2.共轭复数.3. 设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) （A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a 【答案】C 【解析】试题分析：由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C.考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小. 4. 要得到函数y=sin （4x-3π）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（ ） （A ）．向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）.向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B考点：三角函数图象的变换.5. 设m R ∈,命题“若m>0,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是( ) A.若方程20x x m +-=有实根，则>0 B.若方程20x x m +-=有实根，则.若方程20x x m +-=没有实根，则>0 .若方程20x x m +-=没有实根，则0【答案】D 【解析】试题分析：一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.考点：命题的四种形式.6. 为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( ) （A ）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ 【答案】B考点：1.茎叶图；2.平均数、方差、标准差.7. 在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( ) （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）14【答案】A 【解析】试题分析：由121-1log 2x ≤+≤（）1得，11122211113log 2log log ,2,022222x x x ≤+≤≤+≤≤≤（），所以，由几何概型概率的计算公式得，3032204P -==-，故选A.考点：1.几何概型；2.对数函数的性质.8. 若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使f （x ）>3成立的x 的取值范围为( )（A ）( ) (B)() （C ）（0,1） （D ）（1，+）【答案】C 【解析】试题分析：由题意()()f x f x =--，即2121,22x x xxa a --++=---所以，(1)(21)0,1x a a -+==，21(),21x x f x +=-由21()321x x f x +=>-得，122,01,x x <<<<故选C.考点：1.函数的奇偶性；2.指数运算.9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （）（）（）22π（）42π【答案】B考点：1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积. 10. 设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b=( ) （A ）1 （B ）78 （C ）34 (D)12【答案】D 【解析】试题分析：由题意，555()3,662f b b =⨯-=-由5(())46f f =得，51253()42b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或5251224bb -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩，解得12b =，故选D. 考点：1.分段函数；2.函数与方程.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11. 执行右边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y的值是.【答案】13考点：算法与程序框图.12. 若x,y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为 .【答案】7 【解析】试题分析：画出可行域及直线30x y +=，平移直线30x y +=，当其经过点(1,2)A 时，直线的纵截距最大，所以3z x y =+最大为1327z =+⨯=.考点：简单线性规划.13. 过点P （1，）作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则=.【答案】32考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.14. 定义运算“⊗”： 22x y x y xy-⊗=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y >>，时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是 .2 【解析】试题分析：由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y x y x y x xy --⊗==，因为，00x y >>，，所以，2222224222(2)222x y y x x y xyx y y x xy xy xy --+⊗+⊗=+=≥=2x =时，(2)x y y x ⊗+⊗2.考点：1.新定义运算；2.基本不等式.15. 过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 . 【答案】23+考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程. 三、解答题：本大题共6小题，共75分 16. （本小题满分12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 230（1） 从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率.【答案】(1) 13；(2)215. 【解析】试题分析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015-=人，所以从该班级随机选1名同学，利用公式计算即得.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：111213212223313233{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A B A B A B A B A B A B A B A B 414243515253{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A B A B A B ，共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：1213{,},{,}A B A B ，共2个. 应用公式计算即得.试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015-=人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为151.453P == (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：111213212223313233{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A B A B A B A B A B A B A B A B 414243515253{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A B A B A B ，共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：1213{,},{,}A B A B ，共2个. 因此1A 被选中且1B 未被选中的概率为215P =. 考点：1.古典概型；2.随机事件的概率. 17. (本小题满分12分)ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.已知cos ()B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【答案】3由正弦定理可得23a c =，结合23ac =即得.试题解析：在ABC ∆中，由3cos B =6sin B =因为A B C π++=，所以6sin sin()9C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，3cos 9C =， 因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+653362239393=⨯+⨯=. 由,sin sin a c A C =可得2sin 33sin 6cc A a c C ===，又23ac =1c =. 考点：1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.18. 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点. （I ）求证：//BD 平面FGH ；（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .【答案】证明见解析思路二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点， 可得HBEF 为平行四边形， //.BE HF 在ABC ∆中，G H ，分别为AC BC ，的中点， 得到//,GH AB 又GH HF H ⋂=， 得到平面//FGH 平面ABED .(II)证明：连接HE .根据 G H ，分别为AC BC ，的中点，得到 //,GH AB 由,AB BC ⊥得GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，得到四边形EFCH 是平行四边形，从而//.CF HE又CF BC ⊥，得到 HE BC ⊥.试题解析：（I ）证法一：连接,.DG CD 设CD GF M ⋂=,连接MH ，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE G =，分别为AC 的中点，可得//,DF GC DF GC =，所以四边形DFCG 是平行四边形，则M 为CD 的中点，又H 是BC 的中点，所以//HM BD , 又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以//BD 平面FGH .证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点， 可得//,,BH EF BH EF =所以HBEF 为平行四边形，可得//.BE HF 在ABC ∆中，G H ，分别为AC BC ，的中点， 所以//,GH AB 又GH HF H ⋂=， 所以平面//FGH 平面ABED ， 因为BD ⊂平面ABED ， 所以//BD 平面FGH.(II)证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边形，所以//.CF HE又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.又,HE GH ⊂平面EGH ，HE GH H ⋂=，所以BC ⊥平面EGH ， 又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面.EGH 考点：1.平行关系；2.垂直关系. 19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬•⎩⎭的前n 项和为21nn +.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（I ）2 1.n a n =- (II) 14(31)4.9n n n T ++-⋅=【解析】试题分析：（I ）设数列{}n a 的公差为d ， 令1,n =得12113a a =，得到 123a a =. 令2,n =得12231125a a a a +=，得到 2315a a =. 解得11,2a d ==即得解.（II ）由（I ）知24224,n n n b n n -=⋅=⋅得到 121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 从而23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅利用“错位相减法”求和.试题解析：（I ）设数列{}n a 的公差为d ， 令1,n =得12113a a =，所以123a a =. 令2,n =得12231125a a a a +=，所以2315a a =. 解得11,2a d ==，所以2 1.n a n =-（II ）由（I ）知24224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ 两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”. 20. (本小题满分13分)设函数. 已知曲线在点(1,(1))f 处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（min{p ，q}表示，p ，q 中的较小值），求m(x)的最大值.【答案】（I ）1a = ；(II) 1k = ；(III) 24e. 【解析】试题分析：（I ）由题意知， '(1)2f =，根据'()ln 1,af x x x=++即可求得. （II ）1k =时，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根.设2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-通过研究(0,1]x ∈时，()0h x <.又2244(2)3ln 2ln8110,h e e =-=->-= 得知存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =.应用导数研究函数()h x 的单调性，当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增. 作出结论：1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.（III ）由（II ）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ，且0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x >，得到020(1)ln ,(0,](),(,)xx x x x m x x x x e +∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩.当0(0,)x x ∈时，研究得到0()().m x m x ≤当0(,)x x ∈+∞时，应用导数研究得到24()(2),m x m e ≤=且0()(2)m x m <. 综上可得函数()m x 的最大值为24e. 试题解析：（I ）由题意知，曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，所以'(1)2f =，又'()ln 1,af x x x=++所以1a =. （II ）1k =时，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根.设2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-当(0,1]x ∈时，()0h x <. 又2244(2)3ln 2ln8110,h e e=-=->-= 所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =. 因为1(2)'()ln 1,x x x h x x x e -=+++所以当(1,2)x ∈时，1'()10h x e>->，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增.所以1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.（III ）由（II ）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ，且0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x >，所以020(1)ln ,(0,](),(,)xx x x x m x x x x e+∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩. 当0(0,)x x ∈时，若(0,1],()0;x m x ∈≤若0(1,),x x ∈由1'()ln 10,m x x x=++>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤ 当0(,)x x ∈+∞时，由(2)'(),xx x m x e-=可得0(,2)x x ∈时，'()0,()m x m x >单调递增；(2,)x ∈+∞时，'()0,()m x m x <单调递减；可知24()(2),m x m e≤=且0()(2)m x m <.综上可得函数()m x 的最大值为24e . 考点：1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值. 21. (本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222+=1(>>0)x y b bαα，且点12）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222+=144x y a b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （i ）求||||OQ OP 的值； (ii)求ABQ ∆面积的最大值.【答案】（I ）2214x y +=；（II ）（i ）||2||OQ OP =；（ii ） 【解析】试题分析：（I ）由题意知22311,4a b+==，解得224,1a b ==. （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为221164x y +=. （i ）设00||(,),,||OQ P x y OP λ=由题意知00(,)Q x y λλ--. 根据2200 1.4x y +=及 2200()()1164x y λλ--+=，知2λ=. （ii ）设1122(,),(,),A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得222(14)84160k x kmx m +++-=，由0,∆>可得22416m k <+……………………①应用韦达定理计算12||x x -=及OAB ∆的面积12212|||||214m S m x x k =-==+= 设22.14m t k =+将直线y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440k x kmx m +++-=，由0,∆≥可得2214m k ≤+……………………②由①②可知01,t S <≤==当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值由（i ）知，ABQ ∆的面积为3S 即得ABQ ∆面积的最大值为试题解析：（I ）由题意知22311,4a b+==，解得224,1a b ==， 所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为221164x y +=. （ii ）设00||(,),,||OQ P x y OP λ=由题意知00(,)Q x y λλ--. 因为2200 1.4x y +=又2200()()1164x y λλ--+=，即22200() 1.44x y λ+= 所以2λ=，即||2.||OQ OP = （ii ）设1122(,),(,),A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得222(14)84160k x kmx m +++-=，由0,∆>可得22416m k <+……………………①则有21212228416,.1414km m x x x x k k-+=-=++所以12||x x -=因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以OAB ∆的面积121||||2S m x x =-=== 设22.14m t k=+将直线y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440k x kmx m +++-=，由0,∆≥可得2214m k ≤+……………………②由①②可知01,t S <≤==故S ≤当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值由（i ）知，ABQ ∆的面积为3S ，所以ABQ ∆面积的最大值为考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.距离与三角形面积；4.转化与化归思想.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）第I 卷（共50分）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}24A x x =<<，()(){}130B x x x =--<，则A B =（ ）．A ．()1,3B ．()1,4C ．()2,3D ．()2,42．若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）． A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+3．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ,b ,c 的大小关系是（ ）．A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<4．要得到函数πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象（ ）． A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位5．设m R ∈，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是（ ）．A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m >B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m >D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤6．为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论:①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）． A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．在区间[]0,2上随机地取一个数x ，则事件“1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭”发生的概率为（ ）．A ．34B ．23C ．13D ．148．若函数()212x x f x a+=- 是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围为（ ）．A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,+∞9．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）． A ．223πB ．423πC ．22πD ．42π10．设函数()3,12,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若546f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则b =（ ）． A ．1 B ．78C ．34D ．12第二部分（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．执行右边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是__________．12．若x ，y 满足约束条件131y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值为__________．13．过点()1,3P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ,B ，则PA PB ⋅=__________．14．定义运算“⊗”：()22,,0x y x y x y R xy xy-⊗=∈≠，当0x >，0y >时，()2x y y x ⊗+⊗的最小值为__________．15．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P的横坐标为2a，则C的离心率为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分16．（本小题满分12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的请况，数据如下表：（单位：人）（I ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，3名女同学1B ，2B ，3B ，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率．17．（本小题满分12分）ABC △中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，已知3cos 3B =，6sin()9A B +=，,23ac =，求sin A 和c 的值．18．（本小题满分12分）如图，三棱台-DEF ABC 中，2AB DE =，G ，H 分别为AC ，BC 的中点， （I ）求证：//BD 平面FGH ；（II ）若CF BC ⊥，AB BC ⊥，求证：平面BCD ⊥平面EGH ．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +∙的前n 项和为21n n +． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设b (1)2na n n a =+⋅，求数列{}nb 的前n 项和n T ．20．（本小题满分13分）设函数()()ln f x x a x =+，2()x x g x e=已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行．（I ）求a 的值；（II ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（III ）设函数()min{(),()}m x f x g x =，（{}m i n ,p q 表示p ，q 中的较小值），求()m x 的最大值．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且点1(3,)2在椭圆C 上，（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求OQ OP的值；（ii ）求ABQ ∆面积的最大值．2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）2015．6一、选择题（满分50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CACBDBACBD二、填空题（满分25分）11．13 12．7 13．3214．215．23+三、解答题（满分75分） 16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设事件A ：该同学至少参加上述一个社团．则302()453P A ==,所以1()1()3P A P A =-=． （Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，所有的结果有11,A B （），12,A B （），13A ,B （），21A ,B （），22A ,B （），23A ,B （），31A ,B （），32A ,B （），33A ,B （），41A ,B （），42A ,B （），43A ,B （），51A ,B （），52A ,B （），53A ,B （），共15种．设事件B 为1A 被选中，而1B 未被选中，则事件B 包含12A ,B （），13A ,B （）共两种结果，则2()15P B =．17．（本小题满分12分）解：6sin()sin 9A B C +==，26sin 1cos 3B C =-=，sin <sin C B ，又B ∠为锐角，则C ∠也为锐角．253cos =1sin C 9C =-=则22sin sin()sin cos sin cos 3A B C B C C B =+=+=，又sin sin a c A C =，得23a c = 因为23ac =，所以1c =．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，连接DC 和GF 交于M 点．在三棱台-DEF ABC 中，DEF ABC △△．又12DE AB =，则1=2DF AC ， 又G 为AC 中点，则GC DF =，//GC DF ． ∴四边形DFCG 为平行四边形．∴12CM CD =，又H 为CB 中点，12CH CB =，MCH DCB ∠=∠． ∴CMH CDB ~V V ，∴//MH DB ．又BD ⊄平面FGH ，M H ⊂平面FGH ． ∴//BD 平面FGH ．（II ）在三棱台-DEF ABC 中，DEF ABC △△．又12DE AB =，则12EF BC =， 又H 为BC 中点，则HC EF =，//HC EF ． ∴四边形EFCH 为平行四边形．∴//CF EH ，又CF BC ⊥，∴EH BC ⊥． Q 12CG CH CA CB ==，∴//GH AB ．又AB BC ⊥，∴GH BC ⊥． 又EH GH H ⋂=，∴BC ⊥平面EGH ． Q BC ⊂平面BCD ．∴平面BCD ⊥平面EGH ．19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，得12111==21+13a a ⨯①，12231122+==22+15a a a a ⨯ ②，设11n a a n d =+-（），则21a a d =+，32a a d =+，带入①②，解得1=1a ，=2d ， 21n a n ∴=-．（Ⅱ）21b 22=4n n n n n -=⨯⨯，1231142434++144n n n T n n -=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯（）L 231141424++24144n n n n T n n n -+=⨯+⨯-⨯+-⨯+⨯（）（）L1231131444++444n n n n T n -+∴-=⨯+++-⨯L11141441=4=+441433n n n n n n +++--⨯-⨯-⨯-（）141=+4939n n n T +∴-⨯（）．20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()'x af x Inx x+=+，()'11=2f a =+，=1a ． （Ⅱ）存在1k =，使得()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根．设()()()()21x x h x f x g x x Inx e=-=+-，当01x <≤时，()10x Inx +≤，20x x e-<，则()0h x <．若使得()0hx =，则1x >．()22212121(1)'10x x x xx x x x e x h x Inx Inx Inx x e x e x e --+-=+++=++>++>，说明()h x 在1x >上单调递增，又()110h e =-<，()2423211=0h In e=->-，即()h x 在2>1x >上存在零点，其中1k =．（Ⅲ）()0=0h x ，可知02>1x >，()()(]()()000f x x x m x g x x x ⎧∈⎪∴=⎨∈+∞⎪⎩，，，，， 当(]01x ∈，，()0f x ≤； 当(]01x x ∈，，()1'10f x Inx x=++>，说明()f x 在(]01x x ∈，上单调递增，最大值在0x 处取得，为()0f x ；当()0+x x ∈∞，，()22'xx x g x e-=，令()'0g x =，得10x =，22x =，说明在22x =处函数取得最大值，()()()()0max 20g x g g x f x ∴=>=>，又242g e =（），()()2max42m x g e ∴==． 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得22222323114c a c a b ab ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩r则椭圆的方程为2214x y +=．（Ⅱ）（i ）22:1164x y E +=，当点P 在y 轴上时，可知||=1OP ，||2OQ =，||2|OQ OP =； 当点P 不在y 轴上时，设直线OP 的方程为y tx =，2214p p p p y tx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2222211414p p x t t y t ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，同理，Q Q22Q Q 1164y tx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2Q 222Q 211141611416x t t y t ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩， 22222|(|)4|Q QP P x y OQ OP x y +==+，则||2|OQ OP =． （ii ）因为||2|OQ OP =，所以3||||OP PQ =，所以Q O S =3S AB AB △△， 221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2224184160k x kmx m +++-=（），2225616640k m ∆=-+>，得22164m k <+， 122841kmx x k +=-+，212241641m x x k -=+ 222212241164||1||14k k m AB k x x k +-+∴=+-=+，2||1m h k =+22221||2424141ABOm m S AB h k k ==-++（）V ，设2241m t k =+． 同理，2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得222418440k x kmx m +++-=（），226416160k m ∆=-+≥，得2241m k +≤， 220141m t k =+≤≤， 364ABQ ABO S S t t ==-（）V V ，其中01t ≤≤，可知当=1t 时，max 332363ABQ ABO S S ==⨯=（）V V2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）选填解析一、 选择题 1．【答案】C【解析】∵{}13B x x =<<，∴{}23A B x x =<<I ． 故选C ．2．【答案】A【解析】1=1+z i i i =-（），1z i =-故选A ．3．【答案】C【解析】 1.50.600.6<0.6<0.6=1,可知b a <，又0.601.5 1.51>=，所以c 最大，故b a c <<．选C ．4．【答案】B【解析】由题意可知图像向右平移了，设向右平移了ϕ个单位（>0ϕ），z 则sin 4()=sin (44)y x x ϕϕ=--，可知π4=3ϕ，π=12ϕ．故选B ．5．【答案】D【解析】由逆否命题的定义可知D 选项正确．6．【答案】B 【解析】首先计算平均气温，甲地平均气温为26+28+29+31+31=295，乙地平均气温为28+29+30+31+32=305，故①正确；观察茎叶图中的数据可知，乙中的数据比甲中的数据集中，可知④正确．故答案为B ．7．【答案】A【解析】由1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，解得11222x +≤≤，302x ≤≤，则33224P ==，故答案选A ．8．【答案】C【解析】函数()212x x f x a +=- 是奇函数，则()()f x f x -=-，所以()2121=22x xx x f x a a --++-=---，()()21221212121==2221222x xx x x x x x x x x x f x f x a a a a a ----+++++-===-=------（）（），可知1a =；使()3f x >，即()212=1+>32121x x x f x +=--，1>121x∴-，0<21<1x ∴-，1<2<2x ∴，()0,1x ∈，故答案选C ．9．【答案】B【解析】旋转后的图形的体积相当于两个圆锥的体积，每个圆锥的底面积为2π2=2π（），高为2，则所求体积为142πV=22π2=33⨯⨯⨯，故答案选B ． 10．【答案】D【解析】5562f b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则542f b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当512b -≥时，即32b ≤时，522=4b -，解得1=2b ； 当5<12b -时，即3>2b 时，53()42b b --=，解得73=<82b （舍），故答案选D ．二、 填空题 11．【答案】13【解析】1x =，2x <，112x =+=，232113y =⨯+=，13y ∴=． 故答案为13．12．【答案】7【解析】如图所示，当1x =，2y =时，取得最大值，则max 1327z =+⨯=． 故答案为7．13．【答案】32【解析】如图，||||3PA PB ==，||tan 3||PA POA PB ∠==，3POA π∴∠=，6APO π∴∠=，3APB π∴∠=，则3||||cos ,=2PA PB PA PB PA PB =u u r u u r u u u u r u u u r u u r u u r g g g ． 故答案为32．14．【答案】2【解析】()22222242+2=22x y y x y x x y y x xy xy xy --⊗+⊗=+，设x t y =（0t >），则原式221122222t t t t +==+≥=，当2t =时，取得最小值2． 故答案为2．15．【答案】23+【解析】P Q 点的横坐标为2a ，带入双曲线方程，得222221a y a b-=（），不妨设双曲线的渐近线方程为by x a =，则3y b =-，0(3)2pc b bk c a a--∴==-，32a c a =-，解得离心率23c e a ==+．故答案为23+．。

数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|24}A x x =<<，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B = （ ）A ．1,3（）B ．1,4（）C ．2,3（）D ．2,4（） 2．若复数z 满足z1i-=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+ 3．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．要得到函数πsin(4)3y x =-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位5．若m ∈R ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是 （ ）A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m >B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤6．为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“1211log ()12x -+≤≤”发生的概率为（ ）A ．34 B ．23 C ．13D ．148．若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．0,1-（）C ．01,（）D ．(1,)+∞9．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A．3 B ．3C ．D ．10．设函数3, 1,()2, 1.xx b x f x x -⎧=⎨⎩＜≥若5(())46f f =，则b =（ ）A ．1B ．78C ．34D．12第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是_________.12．若x ，y 满足约束条件131y x x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则z =x +3y 的最大值为_______.13．过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB =________.14．定义运算“⊗”：22(,,0)x y x y x y xy xy-⊗=∈≠R .当0x >，0y >时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值为__________.15．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为___________.---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，3名女同学1B，2B ，3B .现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率.17．（本小题满分12分）ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ，sin()A B +=ac =sin A 和c 的值.18．（本小题满分12分）如图，三棱台DEF —ABC 中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11{} n n a a +的前n 项和为21nn +. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()1 2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）设函数()()ln f x x a x =+，2()x x g x e=，已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在（k ，k +1）内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{()()}(min{},m x f x g x p q p q =,,表示中的较小值），求m (x )的最大值.21．（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a bC +=>>:的离心率为2，且点1)2在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222144E xy a b+=:，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ △面积的最大值.2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（文科）答案解析第Ⅰ卷{2|A B x=【提示】求出集合【考点】交集及其运算1log-≤.02x≤≤∴所求的概率为：【解析】2()2f x=1222xx xa a+=-，22x xa a-=-21()21xxf x+=>-故选C.【解析】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体.21142π3h=数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）最大值.故答案为7.30OPA∴∠=，260BPA∠=，1||||cos60322PA PB PA PB∴==⨯+=2可求PA PB.【考点】平面向量数量积的运算，直线与圆相交的性质【答案】2【解析】xx y⊗=由0x>，，22x∴+222y xyCD GF M=数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第15页（共18页），G ，H 分别为，AB BC ⊥的中点，EF ∴是平行四边形，CF BC ⊥HE BC ∴⊥又HE ，GH HE GH H =平面BCD ⊥平面EGH .H F H =，BD ⊂平面（Ⅰ）证法一：如图所示，连接CD GF M =，连接利用三角形的中位线定理可得：1n n a +，则n c 又数列1n n a +⎬⎭的前1)2n -=-由（211)2(2n 11)24n nn a n -=-+=，1214244nn +++…，23141424(1)44nn n T n n +∴=+++-+…，211134444433n n n n ++-+++-=-…，11)449n ++. 11n n a +分离分母，并项相加并利用数列1n n a +⎫⎬⎭的前n 项和为即得首项和公差，进而可得结论；4nn ，写出【考点】数列的求和，22004x y +212414m x x -=+数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）122222222|4164|14(16414||14x x k m k k m k m k-+-++-+⎫⎪+⎭，，将y kx m =+24m <+1，即2m =3.。

2015普通高等学校招生全国统一考试(山东文)一选择题1．已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，3) B ．(1，4) C ．(2，3) D ．(2，4) 【解析】因B ＝{x |1＜x ＜3}，故A ∩B ＝(2，3)，故选C ．2．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) 【解析】z －＝(1－i)i ＝i －i 2＝1＋i ，故z ＝1－i ，答案选AA ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i3．设a ＝0．60．6，b ＝0．61．5，c ＝1．50．6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a【解析】由y ＝0．6x 在区间(0，＋∞)是单调减函数可知，0＜0．61．5＜0．60．6＜1，又1．50．6＞1，故选C ．4．要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位5．设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D ． 6．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 解析：法一：因为x甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，所以x甲<x乙，又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，所以s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确．7．在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12(x ＋12)≤1”发生的概率为( )A ．34B ．23C ．13D ．14【解析】由－1≤log 12(x ＋12)≤1得，log 122≤log 12(x ＋12)≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，0≤x ≤32，故由几何概型概率的计算公式得，P ＝34，故选A ．8．若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)【解析】因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ．化简可得a ＝1，则2x ＋12x－1＞3，即2x ＋12x －1－3＞0，即2x ＋1－3(2x －1)2x－1＞0，故不等式可化为2x －22x －1＜0，即1＜2x ＜2，解得0＜x ＜1．9．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A ．22π3B ．42π3C ．22πD ．42π10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ， x ≥1.若f (f (56))＝4，则b ＝( )A ．1B ．78C ．34D ．12【解析】由题意，f (56)＝3×56－b ＝52－b ，由f (f (56))＝4得，51253()42b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或5251224b b -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩，解得b＝12，故选D ． 二、填空题11． 执行右边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是 ．12．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．【解析】画出可行域及直线x ＋3y ＝0，平移直线x ＋3y ＝0，当其经过点A (1，2)时，直线的纵截距最大，故z ＝x ＋3y 最大为z ＝1＋3×2＝7．13．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________．解析：如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，|OP |＝1＋3＝2，又|OA |＝|OB |＝1，可以求得|AP |＝|BP |＝3，∠APB ＝60°，故P A →·PB →＝3×3×cos 60°＝32．14．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．【解析】因x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，故(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy ．又x >0，y >0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立． 15．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ．若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 三、解答题16．(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：( 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30(1)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，3名女同学B 1，B 2，B 3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．【解析】⑴．由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，故从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝15/45＝13．⑵．从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝2/15．17．(本小题满分12分)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值． 【解析】在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63．因A ＋B ＋C ＝π，故sin C ＝sin(A ＋B )＝69，因sin C ＜sin B ，故C ＜B ，C 为锐角，cos C ＝539，因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝63×539＋33×69＝223．由a sin A ＝c sin C 可得，a ＝c sin A sin C＝23c ，又ac ＝23，故c ＝1． 18．(本小题满分12分)如图，三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH ．【解析】⑴．证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH ，在三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，故四边形DFCG 是平行四边形，则M 为CD 的中点，又H 是BC 的中点，故HM ∥BD ，又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，故BD ∥平面FGH ．证法二：在三棱台DEF －ABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点，可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，故HBEF 为平行四边形，可得BE ∥EF ．在ΔABC 中，G ，H 分别为AC ，BC 的中点，故GH ∥AB ，又GH ∩HF ＝H ，故平面FGH ∥平面ABED ，因BD ⊂平面ABED ，故BD ∥平面FGH ．⑵．证明：连接HE ．因G ，H 分别为AC ，BC 的中点，故GH ∥AB ，由AB ⊥BC ，得GH ⊥BC ，又H 为BC 的中点，故EF ∥HC ，EF ＝HC ，因此四边形EFCH 是平行四边形，故CF ∥HE ．又CF ⊥BC ，故HE ⊥BC ．又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ，故BC ⊥平面EGH ，又BC ⊂平面BCD ，故平面BCD ⊥平面EGH ．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列{1a n ·a n ＋1}的前n 项和为n2n ＋1． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】⑴．设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1得，1a 1a 2＝13，故a 1a 2＝3．令n ＝2得，1a 1a 2＋1a 2a 3＝2/5，故a 2a 3＝15．解得a 1＝1，d ＝2，故a n ＝2n －1；⑵．由⑴知，b n ＝n ·4n ，故T n ＝4＋2·42＋…＋n ·4n ，故4T n ＝42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减得，－3T n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝43[(1－3n )4n －1]，故T n ＝49[1＋(3n －1)·4n ]．20．(本小题满分13分)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2ex ．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行．(1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值．【解析】⑴．由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，故f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ax ＋1＋ln x ，故a ＝1．⑵．k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根．设h (x )＝f (x )－g (x )＝－x 2e x ＋(x ＋1)ln x ，当x∈(0，1]时，h (x )＜0．又h (2)＝－4e 2＋ln 8＞1－1＝0，故存在x 0∈(1，2)，使h (x 0)＝0．因h ′(x )＝1x ＋1＋x e x (x －2)＋ln x ，故当x ∈(1，2)时，h ′(x )＞1－1e ＞0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增．故k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根．⑶．由⑵知，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根x 0，且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )，故020(1)ln ,(0,](),(,)xx x x x m x x x x e+∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩．当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0，1]，m (x )≤0，若x∈(1，x 0)，由m ′(x )＝1x ＋1＋ln x ＞0，可知0＜m (x )≤m (x 0)；故m (x )≤m (x 0)．当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝xe x (2－x )，可得x ∈(x 0，2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减；可知m (x )≤m (2)＝4e2，且m (x 0)＜m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e2．21．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点(3，12)在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．a ．求|OQ ||OP |的值；b ．求△ABQ 面积的最大值． 【解析】⑴．由题意知，3a 2＋14b 2＝1，又1－b 2a 2＝32，解得a 2＝4，b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．⑵．由⑴知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1．①．设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因x 204＋y 20＝1．又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即OQ OP＝2． (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2①，则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2．所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2．因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2．设m 21＋4k2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2．②由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值23．由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为63．2015普通高等学校招生全国统一考试(山东理)一、选择题1．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4) 【解析】A ＝{x |1＜x ＜3}，A ∩B ＝(2，3)，答案选(C)2．若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z ＝ A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i【解析】z －＝(1－i)i ＝i －i 2＝1＋i ，故z ＝1－i ，答案选(A)3．要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图像，只需将函数y ＝sin4x 的图像A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】y ＝sin4(x －π12)，只需将函数y ＝sin4x 的图像向右平移π12个单位答案选(B)4．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝π3，则BD →·CD →＝A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝π3可知，∠BAD ＝2π3，BD →·CD →＝(AD →－AB →)·(－AB →)＝－AB →·AD →＋AB →2＝－a ·a cos 2π3＋a 2＝32a 2，答案选(D)5．不等式|x －1|－|x －5|＜2的解集是A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1，4)D ．(1，5)【解析】当x ＜1时，1－x －(5－x )＝－4＜2成立；当1≤x ＜5时，x －1－(5－x )＝2x －6＜2，解得x ＜4，则1≤x ＜4；当x ≥5时，x －1－(x －5)＝4＜2不成立．综上x ＜4，答案选(A)6．已知x ，y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝A ．3B ．2C ．－2D ．－3【解析】由z ＝ax ＋y 得，y ＝－ax ＋z ，借助图形可知：当－a ≥1，即a ≤－1时在x ＝y ＝0时有最大值0，不符合题意；当0≤－a ＜1，即－1＜a ≤0时在x ＝y ＝1时有最大值a ＋1＝4，a ＝3，不满足－1＜a ≤0；当－1＜－a ≤0，即0＜a ≤1时在x ＝y ＝1时有最大值a ＋1＝4，a ＝3，不满足0＜a ≤1；当－a ＜－1，即a ＞1时在x ＝2，y ＝0时有最大值2a ＝4，a ＝2，满足a ＞1；答案选(B)7．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2．将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A ．2π3B ．4π3C ．5π3 D ．2π【解析】V ＝π·12·2－13π·12·1＝5π3，答案选(C)8．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68．26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95．44%)A ．4．56%B ．13．59%C ．27．18%D ．31．74% 【解析】P (3＜ξ＜6)＝12(95．44%－68．26%)＝13．59%，答案选(B)9．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34【解析】由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0．由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k＝－43或k ＝－34，答案选(D)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( )A ．[23，1]B ．[0，1]C ．[23，＋∞) D ．[1，＋∞)【解析】当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2f (a )，故a ＝2满足题意，排除A ，B 选项；当a ＝23时，f (a )＝f (23)＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )，故a ＝23满足题意，排除D 选项，故选C ． 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．观察下列各式：0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=L L照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=L ．【解析】具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++L L 021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅=L L L 12．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 ．【解析】由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间[0，π4]上恒成立，即y ＝tan x 在[0，π4]上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在[0，π4]上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1．13．执行右边的程序框图，输出的T 的值为 ．【解析】T ＝1＋⎠⎛01xdx ＋⎠⎛01x 2dx ＝1＋12＋13＝116．14．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝ ． 【解析】解析：当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32．15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B ．若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．【解析】双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立得交点A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2，B ⎝⎛⎭⎫－2pb a ，2pb 2a 2，抛物线焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p2，由三角形垂心的性质，得BF ⊥OA ，即k BF ·k OA ＝－1，又k BF ＝p 2－2pb 2a 22pb a ＝a 4b －b a ，k OA ＝b a ，所以有⎝⎛⎭⎫a 4b －b a b a ＝－1，即b 2a 2＝54，故C 1的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝ 1＋54＝32． 三、解答题16．(本小题满分12分)设f (x )＝sin x cos x －cos 2(x ＋π4)．⑴．求f (x )的单调区间；⑵．在锐角ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A2)＝0，a ＝1，求ΔABC 面积的最大值．【解析】⑴．由f (x )＝12sin 2x －12[1＋cos (2x ＋π2)]＝12sin 2x ＋12sin 2x －12＝sin 2x －12，由2k π－π2≤2x≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，则f (x )的递增区间为[k π－π4，k π＋π4]，k ∈Z ；由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z 得，k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，则f (x )的递增区间为[k π＋π4，k π＋3π4]，k ∈Z ．⑵．在锐角ΔABC 中，f (A 2)＝sin A －12＝0，则sin A ＝12，因0＜A ＜π，故A ＝π6，而a ＝1，由余弦定理得，1＝b 2＋c 2－2bc cos π6≥(2－3)bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，即bc ≤1/(2－3)＝2＋3，S ΔABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝14bc ≤14(2＋3)，故ΔABC 面积的最大值为14(2＋3)．17．如图，在三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点． ⑴．求证：BD ∥平面FGH ；⑵．若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝π4，求平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小． 【解析】⑴．证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T ．在三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，则AC ＝2DF ，而G 是AC 的中点，DF ∥AC ，则DF 平行且等于AC ，所以四边形CFDG 是平行四边形，T 是DC 的中点，DG ∥FC ．又在ΔBDC ，H 是BC 的中点，则TH ∥DB ，又BD ⊄平面FGH ，TH ⊂平面FGH ，故BD ∥平面FGH ；⑵．由CF ⊥平面ABC ，可得DG ⊥平面ABC ，而AB ⊥BC ，∠BAC ＝π4，则GB ⊥AC ，于是GB ，GA ，GC 两两垂直，以点G 为坐标原点，GB ，GA ，GC 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则DE ＝CF ＝1，AC ＝22，AG ＝2，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，F (－2，0，1)，H (22，－22，0)，则平面ACFD 的一个法向量为n 1＝(0，1，0)，设平面FGH 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·GH →＝0，n 2·GF →＝0，即22x 2－22y 2＝0，－2x 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝1，z 2＝2，n 2＝(1，1，2)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝12，故平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为π3．18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n ＋3．⑴．求数列{a n }的通项公式；⑵．若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】⑴．由2S n ＝3n ＋3得，a 1＝S 1＝12(3＋3)＝3，a n ＝S n －S n －1＝12(3n ＋3)－12(3n －1＋3)＝3n －1(n ≥2)，而a 1＝3≠31－1，则13,1,3,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩⑵．由a n b n ＝log 3a n 及13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩可得311,1,log 31, 1.3n n n n n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩2311123133333n n n T --=+++++L ．2234111123213333333n n n n n T ---=++++++L2231223121111111333333331111111()33333331121213133193922331313211823n n n n n n n n n n n T n n n n ---=+-++++--=-+++++----=+-=+--⋅-+=-⋅L L 113211243n n n T -+=-⋅ 19．若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．⑴．写出所有个位数字是5的“三位递增数”；⑵．若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ． 【解析】⑴．125，135，145，235，245，345；⑵．X 的所有取值为－1，0，1．P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142，甲得分X 的分布列为：EX ＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左，右焦点分别是F 1，F 2．以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． (ⅰ)求OQOP的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．【解析】⑴．由题意知2a ＝4，则a ＝2，又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．⑵．由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1．(ⅰ)设P (x 0，y 0)，OQ OP ＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即OQ OP＝2． (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2①，则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2．所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2．因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2．设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2．②由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值23．由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为63．21．设函数f (x )＝a (x 2－x )＋ln(x ＋1)，其中a ∈R ．⑴．讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； ⑵．若∀x ＞0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． 【解析】⑴．f (x )定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1(2ax 2＋ax ＋1－a )，设g (x )＝2ax 2＋ax ＋1－a ，当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＝1x ＋1＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)为增函数，无极值点．当a ＞0时，Δ＝9a 2－8a ，若0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)为增函数，无极值点．若a ＞89时，Δ＞0，设g (x )＝0的两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，且x 1＋x 2＝－12，而g (－1)＝1＞0，则－1＜x 1＜－14＜x 2，故当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，故f (x )单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，故f (x )单调递增．因此此时函数f (x )有两个极值点；当a ＜0时Δ＞0，但g (－1)＝1＞0，x 1＜－1＜x 2，故当x ∈(－1，x 2)时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，故f (x )单调递増；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )单调递减．故函数只有一个极值点．综上可知，当0≤a ≤89时，f (x )的无极值点；当a ＜0时，f (x )有一个极值点；当a ＞89时，f (x )有两个极值点．⑵．由⑴可知，当0≤a ≤89时，f (x )在(0，＋∞)单调递增，而f (0)＝0，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0，符合题意；当89＜a ≤1时，g (0)≥0，x 2≤0，f (x )在(0，＋∞)单调递增，而f (0)＝0，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0，符合题意；当a ＞1时，g (0)＜0，x 2＞0，故函数f (x )在(0，x 2)单调递减，而f (0)＝0，则当x ∈(0，x 2)时，f (x )＜0，不符合题意；当a ＜0时，设h (x )＝x －ln(x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＝xx ＋1＞0，h (x )在(0，＋∞)单调递增，故当x ∈(0，＋∞)时，h (x )＞h (0)＝0，ln(x ＋1)＜0，于是f (x )＜x ＋a (x 2－x )＝ax 2＋(1－a )x ，当x ＞1－1a时，ax 2＋(1－a )x ＜0，此时f (x )＜0，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是0≤a ≤1． 另解：⑴．f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1(2ax 2＋ax ＋1－a )，当a ＝0时，f ′(x )＝1x ＋1＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)为增函数，无极值点．设g (x )＝2ax 2＋ax ＋1－a ，g (－1)＝1，Δ＝9a 2－8a ，当a ≠0时，根据二次函数的图像和性质可知g (x )＝0的根的个数就是函数f (x )极值点的个数．若Δ＝9a 2－8a ≤0，即0＜a ≤89时，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数在(－1，＋∞)为增函数，无极值点．若Δ＝9a 2－8a ＞0，即a ＞89或a ＜0，而当a ＜0时，g (－1)≥0，此时方程g (x )＝0在(－1，＋∞)只有一个实数根，此时函数f (x )只有一个极值点；当a ＞89时方程g (x )＝0在(－1，＋∞)都有两个不相等的实数根，此时函数f (x )有两个极值点；综上可知，当0≤a ≤89时，f (x )的极值点个数为0；当a ＜0时，f (x )的极值点个数为1；当a ＞89时，f (x )的极值点个数为2．⑵．设函数f (x )＝a (x 2－x )＋ln(x ＋1)，∀x ＞0，都有f (x )≥0成立．即a (x 2－x )＋ln(x ＋1)≥0，当x ＝1时，ln2≥0恒成立；当x ＞1时，x 2－x ＞0，2ln(1)0x a x x++≥-；当0＜x ＜1时，x 2－x ＜0，2ln(1)0x a x x ++≤-；由∀x ＞0均有ln(x ＋1)＜x 成立．故当x ＞1时，2ln(1)11x x x x +<--(0,)∈+∞，则只需a ≥0；当0＜x ＜1时，2ln(1)1(,1)1x x x x +>∈-∞---，则需－1＋a ≤0，即a ≤1．综上可知对于∀x ＞0，都有f (x )≥0成立，只需0≤a ≤1即可，故所求a 的取值范围是0≤a ≤1． 另解：设函数f (x )＝a (x 2－x )＋ln(x ＋1)，f (0)＝0，要使∀x ＞0，都有f (x )≥0成立，只需函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增即可，于是只需∀x ＞0，f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)≥0成立，当x ＞12时，1(1)(21)a x x ≥-+-，令2x －1＝t ＞0，2()(,0)(3)g t t t =-∈-∞+，则a ≥0；当x ＝12时，f ′(12)＝23＞0；当0＜x ＜12，1(1)(21)a x x ≤-+-，令2x －1＝t ∈(－1，0)，2()(3)g t t t =-+在(－1，0)上单调递增，则g (t )＞g (－1)＝1，则a ≤1，故0≤a ≤1，又当a ＞1时，g (0)＜0，x 2＞0，故函数f (x )在(0，x 2)单调递减，而f (0)＝0，则当x ∈(0，x 2)时，f (x )＜0，不符合题意；当a ＜0时，设h (x )＝x －ln(x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＝xx ＋1＞0，h (x )在(0，＋∞)单调递增，故当x ∈(0，＋∞)时，h (x )＞h (0)＝0，ln(x ＋1)＜0，于是f (x )＜x ＋a (x 2－x )＝ax 2＋(1－a )x ，当x ＞1－1a 时，ax 2＋(1－a )x ＜0，此时f (x )＜0，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是0≤a ≤1．2015普通高等学校招生全国统一考试(湖南文)一、选择题1．已知(1－i )2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋IB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i【解析】由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数z 的代数式；由题(1－i )2z ＝1＋i ，故z ＝(1－i)2/(1＋i)＝－1－i ，故选D ．2．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( )A ．3B ．4C ．5D ．63．设x ∈R ，则“x ＞1”是“x 3＞1”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】由题根据命题的关系进行发现即可得到所给两个命题的关系；由题易知“x ＞1”可以推得“x 3＞1”，“x 3＞1”可以得到“x ＞1”，故“x ＞1”是“x 3＞1”的充要条件，故选C ．4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．执行如图2所示的程序框图，如果输入n ＝3，中输入的S ＝( )A ．67B ．37C ．89D ．496．若双曲线x 2a 2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43D ．53【解析】由题利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a 、b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，故3a ＝4b ，即9(c 2－a 2)＝16a 2，故e ＝c a ＝53．7．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析：由1a ＋2b ＝ab ，知a ＞0，b ＞0，故ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，故ab 的最小值为22．8．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数【解析】函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，函数的定义域为(－1，1)，函数f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－[ln(1＋x )－ln(1－x )]＝－f (x )，故函数是奇函数．f ′(x )＝11－x 2，已知在(0，1)上f ′(x )＞0，故f (x )在(0，1)上单调递增，故选A ．9．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解一】由题根据所给条件不难得到该圆x 2＋y 2＝1是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|＝|4＋PB →|，易知当B 为(－1，0)时取得最大值．由题意，AC 为直径，故|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤4＋|PB →|，已知B 为(－1，0)时，4＋|PB →|取得最大值7，故选B ．【解二】AC 为圆周上Rt △ABC 的斜边，则AC 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，故AC 必经过原点，如图，则P A →＋PC →＝2PO →，|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|，当P ，O ，B 三点共线时等号成立，即当B 落在点(－1,0)处时|P A →＋PB →＋PC →|取得最大值，此时，PO →＝(－2,0)，PB →＝(－3,0)，2|PO →|＋|PB →|＝2×2＋3＝7，故|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为7．【解三】同解法一，得|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|．又PB →＝OB →－OP →，∴|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋OB →－OP →|＝|OB →－3OP →|＝12＋9×22－6×1×2cos ∠POB ＝37－12cos ∠POB ≤37＋12＝7，当且仅当∠POB ＝180°时等号成立，故|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为7．【解四】同解法一，得|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|．设B (cos α，sin α)，则|2PO →＋PB →|＝|2(－2,0)＋(cos α－2，sin α)|＝|(－6＋cos α，sin α)|＝－6＋cos α2＋sin 2α＝37－12cos α≤37＋12＝7，当cos α＝－1，即B 落在点(－1,0)处取等号成立．故|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为7．10．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( )A ．89πB ．827π C ．24(2－1)3π D ．8(2－1)3π二、填空题11．已知集合U ＝{1，2，3，4}，A ＝{1，3}，B ＝{1，3，4}，则A ∪(∁U B )＝________． 12．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．【解析】将极坐标化为直角坐标，求解即可．曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，即ρ2＝2ρsin θ，它的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1．13．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝_____．【解析】直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A 、B 两点，∠AOB ＝120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三角形，顶点(圆心)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，代入点到直线距离公式，可构造关于r 的方程，解方程可得答案．如图直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则圆心(0，0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，12r ＝1，故r ＝2．14．若函数f (x )＝|2x －2 |－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_____．15．已知ω＞0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝_____．【解】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx 得sin ωx ＝cos ωx ，故tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4 (k ∈Z )．因ω＞0，故x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z )．设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝|5π4ω－π4ω|＝πω．又结合图形知|y 2－y 1|＝|2×(－22)－2×22)|＝22，且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23，故(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2，故(πω)2＋(22)2＝12，故ω＝π2．三、解答题16．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．【解析】(I)所有可能的摸出结果是：{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}；(II)不正确，理由如下：由(I)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1 a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，故中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23＞13，故这种说法不正确．17．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ． (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C ．【解析】⑴．由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，故sin B ＝cos A ．⑵．因sin C －sin A cos B ＝sin[π－(A ＋B )]－sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ．故cos A sin B ＝34．由⑴知，sin B ＝cos A ，故sin 2B ＝34，又B 为钝角，故sin B ＝32，故B ＝120º，由sin B ＝cos A ＝32知，A ＝30º，从而C ＝30º，综上所述，A ＝30º，B ＝120º，C ＝30º．18．(本小题满分12分) 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．(1)证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F －AEC 的体积．【解析】⑴．如图，因三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，故AE ⊥BB 1，又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，故AE ⊥BC ，因此AE ⊥平面BB 1C 1C ，而AE ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ． ⑵．设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD ，因ΔABC 是正三角形，故CD ⊥AB ，又三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，故CD ⊥AA 1，因此CD ⊥平面AA 1B 1B ，于是∠CA 1D 直线A 1C 与平面AA 1B 1B 所成的角，由题设知∠CA 1D ＝45º，故A 1D ＝CD ＝33AB ＝3，在RtΔAA 1D 中，AA 1＝2，故FC ＝12AA 1＝22．故三棱锥F －AEC 的体积V ＝13S ΔAEC ·FC ＝13×32×22＝1126．19．(本小题满分13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *．(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n ． 【解析】(I)由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *，因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3，n ∈N *，两式相减得，a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2，又a 1＝1，a 2＝2，故a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n ．(II)由(I)知，a n ≠0，故a n ＋2a n ＝3，于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列，数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列，故a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1，于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1) ＝32(3n －1)．从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32(3n －1) －2×3n －1＝32(5×3n －2－1)， 综上所述，2*2*23(531),(21,)23(31),(2,)2n n nn k k N S n k k N -⎧⨯-=+∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩．20．(本小题满分13分)已知抛物线C 1：x 2＝4y的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为26．过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．【解析】((1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1①．又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(±6，32)，所以94a 2＋6b 2＝1②．联立①②，得a 2＝9，b 2＝8．故C 2的方程为y 29＋x 28＝1．(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因AC →与BD →同向，且AC ＝BD ，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4③．设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0．而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4④．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0．而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2⑤，将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64． 21．(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝a e x cos x ，x ∈[0，＋∞)，记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点．(1)证明：数列{f (x n )}是等比数列；(2)若对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，求a 的取值范围． 【解析】⑴．f ′(x )＝2a e x cos(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，由x ≥0得，x ＋π4＝m π－π2，即x ＝m π－3π4，m ∈N *，而对于cos(x ＋π4)，当k ∈Z 时，若2k π－π2＜x ＋π4＜2k π＋π2，即2k π－3π4＜x ＜2k π＋π4，则cos(x ＋π4)＞0；若2k π＋π2＜x ＋π4＜2k π＋3π2，即2k π＋π4＜x ＜2k π＋5π4，则cos(x ＋π4)＜0；因此，在区间(m π－π，m π－3π4)与(m π－3π4，m π＋π4)上，f ′(x )的符号总相反，于是当x ＝m π－3π4，m ∈N *时，f (x )取得极值，故x n ＝n π－3π4，n ∈N *，此时，f (x n )＝(－1)n ＋122a e n π－3π4，易知f (x n )≠0，而f (x n ＋1)/f (x n )＝－e π是常数，故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝22a e π4，公比为－e π的等比数列． ⑵．对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，即n π－3π4≤22a e n π－3π4恒成立，亦即2(1a )≤e n π－3π4/(n π－3π4)恒成立，设g (t )＝1t e t ，t ＞0，则g ′(t )＝1t 2(t －1)e t ，令g ′(t )＝0得，t ＝1，当0＜t ＜1时，g ′(t )＜0，故g (t )在区间(0，1)上单调递减；当t ＞1时，g ′(t )＞0，故g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增；因x n ∈(0，1)，且当n ≥2时，x n ∈(1，＋∞)，x n ＜x n ＋1，故[g (x n )]mi ＝min{g (x 1)，g (x 2)}＝min{g (π4)，g (5π4)}＝g (π4)＝41πe π2．因此对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，当且仅当2(1a )≤41πe π2，解得a ≥24πe －π2，故实数a 的取值范围是[24πe －π2，＋∞)．2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南理)一、选择题1．已知(1－i )2z ＝1＋i (i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i【解析】由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数z 的代数式；由题(1－i )2z ＝1＋i ，故z ＝(1－i)2/(1＋i)＝－1－i ，故选D ．2．设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由题意得，A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，反之，A ⊆B ⇒A ∩B ＝A ，故为充要条件．故选C ．3．执行如图1所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )【解析】由题意得，输出的S 为数列{1(2n －1)×(2n ＋1)}的前三项和，而1(2n －1)×(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，故S n ＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1，从而S 3＝37．故选B ． 4．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－7B ．－1C ．1D ．2【解析】如图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当x ＝－2，y ＝1时，z ＝3x －y 的最小值是－7．故选A ．5．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0，1)是增函数B ．奇函数，且在(0，1)是减函数C ．偶函数，且在(0，1)是增函数D ．偶函数，且在(0，1)是减函数 【解析】显然，f (x )定义域为(－1，1)，关于原点对称，又因f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，显然f (x )在(0，1)上单调递增．故选A ．6．已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝________． A ． 3 B ．－3 C ．6 D ．－6【解析】T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－2r 2，由5－2r 2＝32，解得r ＝1．由C 15(－a )＝30，得a ＝－6．故选D ．7．在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772 附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0．6826，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0．9544．【解析】根据正态分布的性质，P (0＜x ＜1)＝12P (－1＜x ＜1)\＝0．3413．故选C ．8．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ．若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设A (m ，n )，B (－m ，－n )，C (x ，y )，故P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )，而(x －6)2＋y 2＝37－12x ≤49，故|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为7．故选B ．9．将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ(0＜φ＜π2)个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有| x 1－x 2 |min ＝π3，则φ＝( )。

2015年山东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={|2＜＜4}，B={|（﹣1）（﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）2．（5分）若复数满足=i，其中i为虚数单位，则=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．（5分）要得到函数y=sin（4﹣）的图象，只需要将函数y=sin4的图象（）个单位．A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移5．（5分）当m∈N*，命题“若m＞0，则方程2+﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程2+﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程2+﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程2+﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程2+﹣m=0没有实根，则m≤06．（5分）为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④7．（5分）在区间[0，2]上随机地取一个数，则事件“﹣1≤log（+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）若函数f（）=是奇函数，则使f（）＞3成立的的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）9．（5分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π10．（5分）设函数f（）=，若f（f（））=4，则b=（）A．1 B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的的值为1，则输出的y的值是．12．（5分）若，y满足约束条件，则=+3y的最大值为．13．（5分）过点P（1，）作圆2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则= ．14．（5分）定义运算“⊗”⊗y=（，y∈R，y≠0）．当＞0，y＞0时，⊗y+（2y）⊗的最小值为．15．（5分）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，3名女同学B 1，B 2，B 3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．17．（12分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosB=，sin （A+B ）=，ac=2，求sinA 和c 的值．18．（12分）如图，三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．（1）求证：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH ．19．（12分）已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =（a n +1）•2，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．（13分）设函数f（）=（+a）ln，g（）=．已知曲线y=f（）在点（1，f（1））处的切线与直线2﹣y=0平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程f（）=g（）在（，+1）内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数m（）=min{f（），g（）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（）的最大值．21．（14分）平面直角坐标系Oy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=+m 交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求△ABQ面积的最大值．2015年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={|2＜＜4}，B={|（﹣1）（﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】求出集合B，然后求解集合的交集．【解答】解：B={|（﹣1）（﹣3）＜0}={|1＜＜3}，A={|2＜＜4}，∴A∩B={|2＜＜3}=（2，3）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）若复数满足=i，其中i为虚数单位，则=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得=1﹣i．故选：A．【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．3．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个式子的大小．【解答】解：函数y=0.6为减函数；故a=0.60.6＞b=0.61.5，函数y=0.6在（0，+∞）上为增函数；故a=0.60.6＜c=1.50.6，故b＜a＜c，故选：C．【点评】本题考查的知识点是指数函数和幂函数的单调性，难度中档．4．（5分）要得到函数y=sin（4﹣）的图象，只需要将函数y=sin4的图象（）个单位．A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4﹣）=sin[4（﹣）]，要得到函数y=sin（4﹣）的图象，只需将函数y=sin4的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中的系数是易错点．5．（5分）当m∈N*，命题“若m＞0，则方程2+﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程2+﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程2+﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程2+﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程2+﹣m=0没有实根，则m≤0【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可．【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N*，命题“若m＞0，则方程2+﹣m=0有实根”的逆否命题是：若方程2+﹣m=0没有实根，则m≤0．故选：D．【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．6．（5分）为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、及方差可得答案【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：甲：26，28，29，31，31乙：28，29，30，31，32；可得：甲地该月14时的平均气温：（26+28+29+31+31）=29，乙地该月14时的平均气温：（28+29+30+31+32）=30，故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时温度的方差为：=[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]=3.6乙地该月14时温度的方差为：=[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]=2，故＞，所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温标准差．故选：B．【点评】本题考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系，考查学生的计算能力，属于基础题7．（5分）在区间[0，2]上随机地取一个数，则事件“﹣1≤log（+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．【分析】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间[0，2]的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵﹣1≤log（+）≤1∴解得0≤≤，∵0≤≤2∴0≤≤∴所求的概率为：P=故选：A．【点评】本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．8．（5分）若函数f（）=是奇函数，则使f（）＞3成立的的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】由f（）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式．【解答】解：∵f（）=是奇函数，∴f（﹣）=﹣f（）即整理可得，∴1﹣a•2=a﹣2∴a=1，∴f（）=∵f（））=＞3∴﹣3=＞0，整理可得，，∴1＜2＜2解可得，0＜＜1故选：C．【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题．9．（5分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V=2×S•h=2×πR2•h=2×π×（）2×=．故选：B．【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．10．（5分）设函数f（）=，若f（f（））=4，则b=（）A．1 B．C．D．【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．【解答】解：函数f（）=，若f（f（））=4，可得f（）=4，若，即b≤，可得，解得b=．若，即b＞，可得，解得b=＜（舍去）．故选：D．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的的值为1，则输出的y的值是13 ．【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的，y的值，当=2时不满足条件＜2，计算并输出y的值为13．【解答】解：模拟执行程序框图，可得=1满足条件＜2，=2不满足条件＜2，y=13输出y的值为13．故答案为：13．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查．12．（5分）若，y满足约束条件，则=+3y的最大值为7 ．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数=+3y对应的直线进行平移，可得当=1且y=2时，取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由可得A（1，2），=+3y，将直线进行平移，当l经过点A时，目标函数达到最大值∴=1+2×3=7．最大值故答案为：7【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数=+3y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．（5分）过点P（1，）作圆2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=．【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠APB，然后代入向量数量积的定义可求．【解答】解：连接OA，OB，PO则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB，Rt△PAO中，OA=1，PO=2，PA=∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60°∴===故答案为：【点评】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题．14．（5分）定义运算“⊗”⊗y=（，y∈R，y≠0）．当＞0，y＞0时，⊗y+（2y）⊗【分析】通过新定义可得⊗y+（2y）⊗=，利用基本不等式即得结论．【解答】解：∵⊗y=，∴⊗y+（2y）⊗=+=，由∵＞0，y＞0，∴2+2y2≥2=y，当且仅当=y时等号成立，∴≥=，故答案为：．【点评】本题以新定义为背景，考查函数的最值，涉及到基本不等式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．15．（5分）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为2+．【分析】求出P的坐标，可得直线的斜率，利用条件建立方程，即可得出结论．【解答】解：=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+．故答案为：2+．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，3名女同学B 1，B 2，B 3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A 1被选中，而B 1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A ； 从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45； 通过列表可知事件A 的基本事件数为8+2+5=15； 这是一个古典概型，∴P （A ）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A 1被选中，而B 1未被选中”为事件B ，显然事件B 包含的基本事件数为2； 这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；②利用正弦定理解之．【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1．【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识．18．（12分）如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC 的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．【分析】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．由已知可得四边形CFDG是平行四边形，DM=MC．利用三角形的中位线定理可得：MH∥BD，可得BD∥平面FGH；证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．可得四边形BHFE为平行四边形．BE∥HF．又GH∥AB，可得平面FGH∥平面ABED，即可证明BD∥平面FGH．（II）连接HE，利用三角形中位线定理可得GH∥AB，于是GH⊥BC．可证明EFCH是平行四边形，可得HE⊥BC．因此BC⊥平面EGH，即可证明平面BCD⊥平面EGH．【解答】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．∴，∴四边形CFDG是平行四边形，∴DM=MC．又BH=HC，∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，∴BD∥平面FGH；证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．∴，∴四边形BHFE为平行四边形．∴BE∥HF．在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，∴GH∥AB，又GH∩HF=H，∴平面FGH∥平面ABED，∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH．（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB，∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC，CF⊥BC．∴EFCH是矩形，∴CF∥HE．∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面EGH．【点评】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．19．（12分）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n 项和为．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =（an+1）•2，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）通过对cn=分离分母，并项相加并利用数列{}的前n项和为即得首项和公差，进而可得结论；（2）通过bn =n•4n，写出Tn、4Tn的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论．【解答】解：（1）设等差数列{an }的首项为a1、公差为d，则a1＞0，∴an =a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd，令c n =，则c n ==[﹣]，∴c 1+c 2+…+c n ﹣1+c n =[﹣+﹣+…+﹣]=[﹣]==，又∵数列{}的前n 项和为，∴，∴a 1=1或﹣1（舍），d=2， ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1； （2）由（1）知b n =（a n +1）•2=（2n ﹣1+1）•22n ﹣1=n •4n ，∴T n =b 1+b 2+…+b n =1•41+2•42+…+n •4n ， ∴4T n =1•42+2•43+…+（n ﹣1）•4n +n •4n+1， 两式相减，得﹣3T n =41+42+…+4n ﹣n •4n+1=•4n+1﹣，∴T n =．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）设函数f （）=（+a ）ln ，g （）=．已知曲线y=f （）在点（1，f（1））处的切线与直线2﹣y=0平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程f（）=g（）在（，+1）内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数m（）=min{f（），g（）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（）的最大值．【分析】（Ⅰ）求出f（）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1；（Ⅱ）求出f（）、g（）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（）的解析式，通过g（）的最大值，即可得到所求．【解答】解：（Ⅰ）函数f（）=（+a）ln的导数为f′（）=ln+1+，曲线y=f（）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1+a，由切线与直线2﹣y=0平行，则a+1=2，解得a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（）=（+1）ln，f′（）=ln+1+，令h（）=ln+1+，h′（）=﹣=，当∈（0，1），h′（）＜0，h（）在（0，1）递减，当＞1时，h′（）＞0，h（）在（1，+∞）递增．=h（1）=2＞0，即f′（）＞0，当=1时，h（）minf（）在（0，+∞）递增，即有f（）在（，+1）递增，g（）=的导数为g′（）=，当∈（0，2），g′（）＞0，g（）在（0，2）递增，当＞2时，g′（）＜0，g（）在（2，+∞）递减．则=2取得最大值，令T（）=f（）﹣g（）=（+1）ln﹣，T（1）=﹣＜0，T（2）=3ln2﹣＞0，T（）的导数为T′（）=ln+1+﹣，由1＜＜2，通过导数可得ln＞1﹣，即有ln+1+＞2；e＞1+，可得﹣＞，可得ln+1+﹣＞2+=＞0，即为T′（）＞0在（1，2）成立，则T（）在（1，2）递增，由零点存在定理可得，存在自然数=1，使得方程f（）=g（）在（，+1）内存在唯一的根；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（）=，其中∈（1，2），且=2时，g（）取得最大值，且为g（2）=，则有m（）的最大值为m（2）=．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算能力，属于中档题．21．（14分）平面直角坐标系Oy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=+m 交椭圆E 与A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求△ABQ 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）通过将点点（，）代入椭圆C 方程，结合=及a 2﹣c 2=b 2，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I ）知椭圆E 的方程为：+=1．（i ）通过设P （0，y 0）、=λ可得Q （﹣λ0，﹣λy 0），利用+=1及+=1，计算即可；（ii ）设A （1，y 1）、B （2，y 2），分别将y=+m 代入椭圆E 、椭圆C 的方程，利用根的判别式△＞0、韦达定理、三角形面积公式及换元法，计算即可．【解答】解：（Ⅰ）∵点（，）在椭圆C 上， ∴，①∵=，a 2﹣c 2=b 2， ∴=，② 联立①②，解得：a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为：+y 2=1；（Ⅱ）由（I ）知椭圆E 的方程为：+=1．（i ）设P （0，y 0），=λ，由题意可得Q （﹣λ0，﹣λy 0）， ∵+=1，及+=1，即（+）=1，∴λ=2，即=2；（ii ）设A （1，y 1），B （2，y 2），将y=+m 代入椭圆E 的方程，可得（1+42）2+8m+4m 2﹣16=0，由△＞0，可得m 2＜4+162，由韦达定理，可得1+2=﹣，1•2=，∴|1﹣2|=， ∵直线y=+m 交y 轴于点（0，m ），∴S △OAB =|m|•|1﹣2| =|m|• ==2，设t=，将y=+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+42）2+8m+4m 2﹣4=0，由△≥0，可得m 2≤1+42，又∵m 2＜4+162，∴0＜t ≤1，∴S=2=2=≤2，当且仅当t=1，即m 2=1+42时取得最大值2， 由（i ）知S △ABQ =3S ，∴△ABQ 面积的最大值为6．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合问题，考查求椭圆方程、线段的比及三角形的面积问题，考查计算能力，利用韦达定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。