第二章 2.1 圆的标准方程 课时活页训练

高中数学 2.2.1 圆的标准方程课后训练北师大版必修21．以(－1,2)为圆心，且过原点的圆的标准方程为()．A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝5C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝52．圆(x＋4)2＋(y－1)2＝10的圆心坐标与半径分别为()．A．(4,1)，10B．(－4,1)，10C．(4，－1),10D．(－4,1),103．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长平分，则a等于()．A．13B．7C．－13D．以上答案都不对4．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是()．A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝25．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是()．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1D．(x＋1)2＋(y－2)2＝16．点A(－1,4)到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的点的最短距离为()．A．10B．101C．10+1D．37．经过圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为__________．8．如果实数x，y满足(x＋2)2＋y2＝1，那么yx的最大值是__________．9．求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8；(2)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上．10．已知某隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？参考答案1答案：D 解析：22(1)25r =-+=. 2答案：B3答案：B 解析：当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a ，－5)代入直线方程x ＋2y ＋3＝0，得a ＋2×(－5)＋3＝0.解得a ＝7.4答案：D 解析：圆的半径r 即为圆心(1,1)到直线x ＋y －4＝0的距离|114|22d +-==，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 5答案：A 解析：圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆心C (2，－1)，故圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.6答案：B 解析：由圆的标准方程得圆心为C (2,3)，半径r ＝1. 22||=(12)(43)10AC --+-=.则点A 到圆C 上的点的最短距离为101-.7答案：x －y ＋3＝0 解析：圆心为(－1,2)，故所求的直线方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.8答案：33 解析：y x的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率，所以只要求出过原点且与圆相切的两条直线，其斜率较大的直线的斜率就是本题答案．如图，设圆心为P ，过原点与圆相切的两条直线与圆相切于点D ，E ，则圆的半径为1，|OP |＝2，故直线斜率的最大值为33.9答案：解：(1)如图，由题设|AC |＝r ＝5，|AB |＝8.∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，2222||=||||54=3OC AC AO -=-.设点C 坐标为(a,0)，则|O C |＝|a |＝3，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.(2)线段AB的中点为(0,0)，11=111ABk+=---，∴AB的中垂线方程为y＝x.由,20,y xx y=⎧⎨+-=⎩解得1,1.xy=⎧⎨=⎩即圆心坐标为(1,1)，半径22(11)(11)=2r=-+--.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.10答案：解：以截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0)，将x=2.7代入，得216 2.7=8.71<3y=-，即在离隧道中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．。

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2.2。

1 圆的标准方程[学业水平训练］1。

圆(x－3)2＋（y＋2)2＝13的周长是（)A。

13πB．2错误!πC．2πD．23π解析：选B.由圆（x－3)2＋（y＋2)2＝13，得圆的半径r＝错误!,则圆的周长C＝2πr＝2错误!π。

错误!已知某圆的一条直径的端点分别是A（4，0），B（0，－6)，则该圆的标准方程是（）A．(x＋2)2＋（y－3）2＝13B．(x＋2)2＋（y－3)2＝52C．（x－2)2＋（y＋3)2＝52D．（x－2)2＋（y＋3）2＝13解析:选D.由中点坐标公式得圆心（2，－3），r＝错误!｜AB｜＝错误!错误!＝错误!,故圆的标准方程为(x－2）2＋（y＋3)2＝13。

3．点P（m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不确定解析：选B.由m4＋25〉24可知，点P(m2，5)在圆x2＋y2＝24的外部．4．已知圆C经过A（5，2），B（－1，4)两点，圆心在x轴上,则圆C的标准方程是（）A．(x－2)2＋y2＝13B．（x＋2)2＋y2＝17C．(x＋1)2＋y2＝40D．(x－1)2＋y2＝20解析：选D。

苏教版（新教材）数学选择性必修第一册第2章圆与方程2.1 圆的方程同步测验共 23 题一、单选题1、圆的圆心坐标和半径分别为（）A. B.C. D.2、圆的方程为，则圆心坐标为（）A. B.C. D.3、直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（）A. B.C. D.4、圆关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.5、已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（）A. B.C. D.6、以为圆心，为半径的圆的方程为（）A. B.C. D.7、过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）A. B.C. D.8、在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为，则矩形的外接圆方程是（）A. B.C. D.9、已知平面平面，且是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为（）A. B.16C. D.10、圆心坐标为，半径长为2的圆的标准方程是（）A. B.C. D.11、已知方程表示圆，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.12、若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则F为（）A.2B.4C.3D.5二、多选题13、已知分别为圆M：与圆：上的动点，A为x轴上的动点，则的值可能是（）A.7B.8C.9D.10三、填空题14、圆心坐标为，半径为的圆的标准方程是________.15、已知，为坐标原点，动点满足，其中，且，则的轨迹方程为________.16、圆C:x2+y2-8x-2y=0的圆心坐标是________;关于直线l:y=x-1对称的圆C'的方程为________.17、已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为________．四、解答题18、根据下列条件，求圆的方程：（1）过点A（1，1），B（﹣1，3）且面积最小；（2）圆心在直线2x﹣y﹣7=0上且与y轴交于点A（0，﹣4），B（0，﹣2）．19、已知圆C过A（1，4）、B（3，2）两点，且圆心在直线y=0上．(1)求圆C的方程；(2)判断点P（2，4）与圆C的位置关系．20、求满足下列条件的各圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径长为3;(2)圆心为点 ,半径长是(3)圆心为点 ,且经过点21、分别根据下列条件，求圆的方程：(1)过点和原点；(2)与两坐标轴均相切，且圆心在直线上.22、已知中，，，求：(1)直角顶点的轨迹方程；(2)直角边的中点的轨迹方程.23、写出下列方程表示的圆的圆心和半径:(1) ;(2) ;(3) ;(4) .参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【解答】因为圆的方程为：，所以圆心为，半径，故答案为：B.【分析】根据圆的标准方程形式直接确定出圆心和半径.2、【答案】D【解析】【解答】将配方,化为圆的标准方程可得 ,即可看出圆的圆心为 .故答案为：D.【分析】将化为圆的标准方程可看出圆心坐标.3、【答案】B【解析】【解答】直线，化为，时，总有，即直线直线过定点，圆心坐标为，又因为圆的半径是，所以圆的标准方程是，故选B.【分析】利用变形的方法，将直线方程转化为点斜式，从而求出定点C的坐标，进而求出圆心C的坐标，再利用已知条件求出圆的标准方程。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2、2、1 圆的标准方程课时训练 北师大版必修2一、选择题1.(2013·泉州高一检测)圆心为点（3，4）且过点（0,0）的圆的方程是( )A.x 2＋y 2＝25B 。

x 2＋y 2＝5C.(x －3)2＋(y －4)2＝25D.(x ＋3)2＋(y ＋4）2＝25【解析】 r ＝错误!＝5，故选C 、【答案】 C2。

（2013·南昌高一检测)圆C :（x ＋4)2＋（y －3)2＝9的圆心C 到直线4x ＋3y －1＝0的距离等于（ ）A 、错误!B 、错误!C 、错误!D.错误! 【解析】 C （－4,3)，则d ＝错误!＝错误!、【答案】 B3。

点（a ,a ）在圆(x －1）2＋（y ＋2)2＝2a 2的内部,则a 的取值范围为（ )A.（－∞,－错误!）B.(－∞,－错误!] C 。

［－52，＋∞） D 。

(－错误!,＋∞） 【解析】 由（a －1)2＋(a ＋2）2<2a 2得a <－错误!、【答案】 A4.已知一圆的圆心为M (2，－3），一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程为（ )A 。

（x －2）2＋(y ＋3）2＝13B.(x ＋2）2＋(y －3)2＝13C 。

(x －2）2＋（y ＋3）2＝52D.（x ＋2）2＋(y －3）2＝52【解析】 由已知条件可得直径的两个端点坐标分别为（0,－6），（4,0),此圆的半径为4－22＋0＋32＝错误!,所以圆的方程为(x－2)2＋（y＋3)2＝13、【答案】A5.(2013·天津高一检测)圆(x＋2）2＋y2＝5关于原点（0,0)对称的圆的方程为( ）A。

（x－2）2＋y2＝5B。

x2＋（y－2）2＝5C.（x＋2）2＋(y＋2）2＝5D.x2＋(y＋2)2＝5【解析】(x＋2)2＋y2＝5的圆心为（－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0），即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2）2＋y2＝5、【答案】A二、填空题6。

【优化课堂】2016秋高中数学 2.2.1 圆的标准方程练习 北师大版必修2[A 基础达标]1．直线x ＋2y ＋3＝0将圆(x －a )2＋(y ＋5)2＝3的周长平分，则a 等于( )A ．13B ．7C ．－13D ．以上答案都不对解析：选B ．当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a ，－5)代入直线方程x ＋2y ＋3＝0，得a ＋2×(－5)＋3＝0.解得a ＝7.2．圆x 2＋y 2＝1的圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离为( )A ．6B ．4C ．5D ．1解析：选 C.圆的半径r ＝1，圆心(0，0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离d ＝|3×0＋4×0－25|32＋42＝5，故所求的距离为5. 3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2过原点，则( )A ．a 2＋b 2＝0B ．a 2＋b 2＝r 2C ．a 2＋b 2＋r 2＝0D ．a ＝0，b ＝0解析：选B ．由题意得(0－a )2＋(0－b )2＝r 2.即a 2＋b 2＝r 2，故选B ．4．已知某圆的一条直径的端点分别是A (4，0)，B (0，－6)，则该圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 解析：选D ．由中点坐标公式得圆心(2，－3)，r ＝12|AB |＝12（4－0）2＋（0＋6）2＝13，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.5．以圆(x －2)2＋(y －1)2＝3的圆心关于x 轴对称的点为圆心，半径与该圆相等的圆的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝3D ．(x －2)2＋y 2＝3解析：选B ．由题意知(x －2)2＋(y －1)2＝3的圆心坐标为(2，1)，关于x 轴对称的点为(2，－1)，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝3.6．已知点P (4a ＋1，2a )在圆(x ＋1)2＋y 2＝1上，则a ＝________．解析：由已知得(4a ＋2)2＋(2a )2＝1，即20a 2＋16a ＋3＝0，解得a ＝－12或a ＝－310.答案：－12或－3107．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且圆心到直线x ＋2y ＝0的距离等于半径，则圆C 的方程是________．解析：设圆心坐标为C (a ，0)(a <0)， 则|a |12＋22＝5， 所以|a |＝5.又因为a <0，所以a ＝－5，故圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.答案：(x ＋5)2＋y 2＝58．在y 轴上的截距为2和8，且半径为5的圆C 的方程是________．解析：由题意知圆过点A (0，2)，B (0，8)，所以圆心C 在弦AB 的垂直平分线y ＝5上，设圆心坐标为C (a ，5)，所以a 2＋（5－2）2＝5，所以a ＝±4.所以所求圆的标准方程为(x ±4)2＋(y －5)2＝25.答案：(x ＋4)2＋(y －5)2＝25或(x －4)2＋(y －5)2＝259．已知圆N 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0)．(1)若点M (6，9)在圆上，求半径a ；(2)若点P (3，3)与Q (5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a 的范围．解：(1)因为点M (6，9)在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a 2，即a 2＝10.又a >0，所以a ＝10.(2)因为|PN |＝（3－5）2＋（3－6）2＝13.|QN |＝（5－5）2＋（3－6）2＝3，所以|PN |>|QN |，故点P 在圆外，点Q 在圆内，所以3<a <13.10．已知圆C 经过点A (－1，0)和B (3，0)，且圆心在直线x －y ＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)求圆心到直线x ＋2y ＋4＝0的距离．解：(1)AB 的中点坐标为(1，0)，所以圆心在直线x ＝1上，又知圆心在直线x －y ＝0上，所以圆心坐标是(1，1)，圆的半径是r ＝5，所以圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝5.(2)圆心到直线x ＋2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋2＋4|5＝75 5. [B 能力提升]1．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆 解析：选D ．方程y ＝9－x 2可化为x 2＋y 2＝9(y ≥0)，故方程y ＝9－x 2表示半个圆．2. 如图所示，定圆的半径为a ，圆心为(b ，c )，则直线ax ＋by ＋c ＝0与直线x －y ＋1＝0的交点在第________象限．解析：由题图知，a >0，b <0，c >0，且c <a <|b |.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＋c ＝0，x －y ＋1＝0 得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋c a ＋b ，a －c b ＋a . 因为b ＋c a ＋b >0，a －c b ＋a<0， 所以交点在第三象限．答案：三3．已知平面直角坐标系中有四个点A (0，1)，B (2，1)，C (3，4)，D (－1，2)判断这四个点能否在同一个圆上，为什么？解：设经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．代入三点的坐标得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋（b －1）2＝r 2，（a －2）2＋（b －1）2＝r 2，（a －3）2＋（b －4）2＝r 2，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3，r 2＝5.所以经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将点D 的坐标代入圆的标准方程，左边＝右边，所以点D 在圆上，故A ，B ，C ，D 四点能在同一个圆上．4．(选做题)已知点A (－2，－2)，B (－2，6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最值．解：设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝4.|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y .因为－2≤y ≤2，所以72≤|PA |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.即|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.。

2.1圆的标准方程同步练习北师大版选择性必修第一册第一章（含答案）2.1 圆的标准方程1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为()A.(-1,2),2B.(1,-2),2C.(-1,2),4D.(1,-2),42.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是()A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x+3)2+(y+1)2=25C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x-3)2+(y-1)2=253.若圆C的圆心坐标为(0,0),且圆C经过点M(3,4),则圆C的半径为()A.5B.6C.7D.84.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为()A.(x+2)2+(y-3)2=13B.(x-2)2+(y+3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=525.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是()A.|a|<1B.a<13D.|a|<1136.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=07.若点P(-1,3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=.8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为.9.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.能力达标10.已知A(3,-2),B(-5,4),则以AB为直径的圆的方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=25B.(x+1)2+(y-1)2=25C.(x-1)2+(y+1)2=100D.(x+1)2+(y-1)2=10011.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,5为半径的圆的方程为()A.(x-1)2+(y+2)2=5B.(x+1)2+(y+2)2=5C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=512.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.713.(多选题)下列各点中,不在圆(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是()B.(3,3)C.(-2,2)D.(4,1)14.(多选题)已知圆C:(x-a)2+y2=4(a为常数,a∈R)不经过第二象限,则实数a的可取值为()A.-2B.0C.2D.415.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是.16.已知圆C:x2+y2=1,则圆上的点到点(3,4)距离的最大值为.17.已知点A(-1,2)和B(3,4).求:(1)线段AB的垂直平分线l的方程;(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.18.如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上异于A,B两点的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为()A.(-1,2),2B.(1,-2),2C.(-1,2),4D.(1,-2),4答案A2.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是()A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x+3)2+(y+1)2=25C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x-3)2+(y-1)2=25答案D3.若圆C的圆心坐标为(0,0),且圆C经过点M(3,4),则圆C的半径为()A.5B.6C.7D.8答案A解析圆C的半径为32+42=5.4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为()A.(x+2)2+(y-3)2=13B.(x-2)2+(y+3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52答案B解析如图,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r=(2-0)2+(-3-0)2=13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.5.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是()A.|a|<1B.a<13C.|a|<15D.|a|<113答案D解析依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,所以a2<1169,即|a|<113,故选D.6.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案D解析圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0,化简得x-y+3=0.7.若点P(-1,3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=.答案±2解析∵点P在圆x2+y2=m2上,∴(-1)2+(3)2=4=m2,∴m=±2.8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为.答案(x-2)2+y2=99.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.解设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有(2-a)2+(2-b)2=r2,(5-a)2+(3-b)2=r2,(3-a)2+(-1-b)2=r2,解得a=4,b=1,r2=5,即△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.能力达标10.已知A(3,-2),B(-5,4),则以AB为直径的圆的方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=25B.(x+1)2+(y-1)2=25C.(x-1)2+(y+1)2=100D.(x+1)2+(y-1)2=100答案B解析由题意可得圆心为(-1,1),半径为r=5,所以圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=25,故选 B.11.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,5为半径的圆的方程为()A.(x-1)2+(y+2)2=5B.(x+1)2+(y+2)2=5C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=5答案C解析直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0.由x+1=0,-x-y+1=0,得x=-1,y=2,∴C(-1,2),∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.12.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7答案A解析设圆心C(x,y),则(x-3)2+(y-4)2=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|≥|OM|-1=32+42-1=4,当且仅当C在线段OM上时取等号,故选A.13.(多选题)下列各点中,不在圆(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是()A.(0,2)B.(3,3)C.(-2,2)D.(4,1)答案ACD解析由(0-1)2+(2+2)2<25,知(0,2)在圆内;由(3-1)2+(3+2)2>25知(3,3)在圆外;由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圆上,由(4-1)2+(1+2)2<25知(4,1)在圆内,故选ACD.14.(多选题)已知圆C:(x-a)2+y2=4(a为常数,a∈R)不经过第二象限,则实数a的可取值为()A.-2B.0C.2D.4答案CD解析圆C:(x-a)2+y2=4表示以C(a,0)为圆心,以2为半径的圆,此圆不经过第二象限,需a>0,且OC≥2,故a≥2,故选CD.15.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是.答案(x-4)2+y2=1解析设圆心A(3,-1)关于直线x+y-3=0对称的点B的坐标为(a,b),则b+1a-3·(-1)=-1,a+32+b-12-3=0,解得a=4,b=0,故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=1.16.已知圆C:x2+y2=1,则圆上的点到点(3,4)距离的最大值为.答案6解析因为圆C的方程为x2+y2=1,所以圆心坐标为(0,0),半径r=1.又圆心(0,0)到点(3,4)的距离为32+42=5,所以圆上的点到点(3,4)的距离的最大值为5+1=6.17.已知点A(-1,2)和B(3,4).求:(1)线段AB的垂直平分线l的方程;(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.解(1)由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).∵A(-1,2),B(3,4),∴直线AB的斜率kAB=4-23-(-1)=12.∵直线l垂直于直线AB,∴直线l的斜率k=-1kAB=-2,∴直线l的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.(2)∵A(-1,2),B(3,4),∴|AB|=(3+1)2+(4-2)2=20=25,∴以线段AB为直径的圆的半径r=12|AB|=5.又圆心为C(1,3),∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.18.如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上异于A,B 两点的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.解设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.由A(-1,0),B(1,0),令动点C(x0,y0),则D(2x0-1,2y0),由重心坐标公式得x=-1+1+2x0-13,y=2y03,则x0=3x+12,y0=3y2(y0≠0),代入x2+y2=1,整理得x+132+y2=49(y≠0),故所求轨迹方程为x+132+y2=49(y≠0).。

2-2-1圆的标准方程双基达标 限时20分钟1．在平面直角坐标系中，到点A (－1,1)的距离等于3的点满足的方程为( )．A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝9C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝3D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝9解析 A 为圆心，3为半径．答案 D2．已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( )．A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100解析 AB 的中点(－1,1)为圆心，|AB |＝3＋52＋－2－42＝10，∴半径r ＝5.答案 B3．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 (－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解．答案 D4．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0＜a ＜1)，则原点O 在( )．A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析 先化成标准方程(x －a )2＋(y －1)2＝2a ，将O (0,0)代入可得a 2＋1＞2a (0＜a ＜1)，即原点在圆外．答案 B5．将圆x 2＋y 2＝1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是________________． 解析 圆的半径不变．平移规律：左加右减．答案 (x －1)2＋y 2＝16．已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆C 的标准方程．解 因为A (1,1)和B (2，－2)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12， 直线AB 的斜率k AB ＝－2－12－1＝－3，因此线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32， 即x －3y －3＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0的解，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2. 所以圆心C 的坐标是(－3，－2)． 圆心为C 的圆的半径长 r ＝|AC |＝1＋32＋1＋22＝5. ∴圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.综合提高限时25分钟 7．点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，则a 的取值范围是( )．A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．a ＜－1或a ＞1D ．a ≠±1 解析 由(x －a )2＋(y ＋a )2＝4，得圆心(a ，－a )，半径为2，∵点(1,1)在圆的外部，∴1－a 2＋1＋a 2＞2. 即a 2－1＞0，∴a ＜－1或a ＞1.答案 C8．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (2，a )，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞ D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 法一 (直接法)写出直线方程，将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决． 过A 、B 两点的直线方程为y ＝a 4x ＋a 2，即ax －4y ＋2a ＝0，则d ＝|2a |a 2＋16＝1，化简后，得3a 2＝16，解得a ＝±433.再进一步判断便可得到正确答案为C. 法二 (数形结合法)如图，在Rt △AOC 中，由|OC |＝1，|AO |＝2，可求出∠CAO ＝30°.在Rt △BAD 中，由|AD |＝4，∠BAD ＝30°，可求得BD ＝433，再由图直观判断，故选C.答案 C9．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．解析 直线l 平分圆(x －1)2＋(y －2)2＝5，则直线l 过圆心(1,2)，又不过第四象限，结合图形可得0≤k ≤2.答案 [0,2]10．圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝25上的点到坐标原点的最大距离是________．解析 圆心C (－3,1)，结合右图可知，当P 、C 、O 三点共线时，点P 到原点O 的距离最大．|OP |＝|OC |＋|PC |＝10＋5.答案 10＋511．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝4和直线l ：x －y ＝5，求C 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值．解 由题意，得圆心坐标为(3，1)，半径为2，则圆心到直线l 的距离为d ＝|3－1－5|2＝32－62，则圆C 上的点到直线l 距离的最大值为32－62＋2，最小值为32－62－2.12．(创新拓展)已知点A (－2，－2)，B (－2,6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最值．解 设P 点坐标(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y .∵－2≤y ≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.。

2.3.1 圆的标准方程双基达标限时20分钟1．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为( )．A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13解析因为圆C经过坐标原点，所以圆C的半径r＝22＋－32＝13.因此，所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故选B.答案 B2．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝33x的距离是( )．A.12B.32C．1 D. 3解析圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，由点到直线的距离公式得d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3313＋1＝12.答案 A3．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )．A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定解析因为x20＋y20＝m4＋25＞24，所以点P在圆外．答案 A4．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心且过点P(－1,1)的圆的方程是________．解析设圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，把点P(－1,1)带入可得r2＝25，即得．答案(x－2)2＋(y＋3)2＝255．若点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是________．解析将点(5a＋1,12a)代入圆的方程，∵点(5a＋1,12a)在圆内，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2＜1，整理得，169a2＜1，即a2＜1169，∴－113＜a＜113.答案－113＜a＜1136．判断A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，D(－7，－2)四点是否共圆．解 设A 、B 、C 确定的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)代入得：⎩⎪⎨⎪⎧0－a 2＋5－b 2＝r 2，1－a 2＋－2－b 2＝r 2，－3－a 2＋－4－b 2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1，r 2＝25.所以A 、B 、C 三点确定的圆的方程为 (x ＋3)2＋(y －1)2＝25.把D (－7，－2)代入方程，方程成立，所以点D 在圆上． 即A 、B 、C 、D 四点共圆．综合提高限时25分钟7．若点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )． A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0解析 圆心为C (1,0)，则AB ⊥CP ，∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1， ∴直线AB 的方程是y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0. 答案 A8．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )． A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1解析 由圆C 与已知圆关于原点对称可知，圆C 的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，半径不变，而点(－2,1)关于原点对称点为(2，－1)，又半径为1，故选A.答案 A9．圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则该圆的标准方程为________．解析 由题意知圆心横坐标为2，又根据圆的性质，圆心应在AB 线段的垂直平分线上，故圆心的纵坐标为－3，即圆心为(2，－3)，由两点间距离公式可求得半径为2－02＋－3＋42＝5，故所求圆方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案 (x －2)2＋(y ＋3)2＝510．设点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则x －12＋y －12的最大值为________．解析 因为点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上的任意一点，因此x －12＋y －12表示点(1,1)与该圆上点的距离．易知点(1,1)在圆x 2＋(y ＋4)2＝4外，结合图象易得x －12＋y －12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.答案26＋211．已知三点A (3,2)，B (5，－3)，C (－1,3)，以P (2，－1)为圆心作一个圆，使得A ，B ，C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程．解 先计算A 、B 、C 三点与圆心P 的距离． |PA |＝12＋32＝ 10，|PB |＝13，|PC |＝5.故只要以P 为圆心，|PB |长为半径作圆，便符合题意，此时圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝13.12．(创新拓展)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．(1)求AD 边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD 外接圆的方程．解 (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝03x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又r ＝|AM |＝2－02＋0＋22＝22，所以矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.。