2011年浙江省高中数学竞赛试题(含答案)

2011年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题5分，共50分）1. 已知53[,]42ππθ∈ ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ）A. 2B.C. 2±D. ±3. 设A ，B 为两个互不同集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ ）A. B. C. 3 D. 5. 函数150()510xx x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ ） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数8. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4 B.8 C. 16 D. 329. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ） A. 1, 12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1, 12⎛⎤ ⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数()2sin 2x f x x =的最小正周期为_________。

浙江省高中数学竞赛（a卷）参考答案2007年浙江省高中数学竞赛（Ａ卷）参考答案一、选择题1.如果23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围为（ B ）A. 01x << B. 813x << C. 1x <<+∞ D. 8 3x <<+∞ 解：显然0x >，且1x ≠。

23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-1log 2log 3log 4x x x =-+-3log 8x x =。

要使()0f x <。

当1x >时，318x <，即813x <<；当01x <<时，318x >，此时无解。

由此可得，使()0f x <的x 的取值范围为813x <<。

2.已知集合{}c o s 22)s i n A x x x xR =++-+>∈，{}sin cos ,B x x x x R =≥∈，则A B ?＝（ C ）A. 4xx ππ??<<B. ＲC. ?D. 2(21),4xk x k k πππ??+<<+∈Z解：cos 22(11)0x x ++->2sin (10x x ?-+(sin 1)0x x ?-<没有实数x 可以使上述不等式成立。

故A =?。

从而有A B ?=?。

3.以（ B ）A. 2B. 3C. 4D. 6解：以这些边为三角形仅有四种：(1,1,1)，，，。

固定四面体的一面作为底面：当底面的三边为(1,1,1)时，另外三边的取法只有一种情况，即；当底面的三边为时，另外三边的取法有两种情形，即，。

其余情形得到的四面体均在上述情形中。

由此可知，四面体个数有３个。

4.从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（ C ）种。

2011年全国高中数学联赛试题参考答案D8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nnnnnn tattata∈n(N)*．（1）求数列}{na的通项公式；（2）若0>t，试比较1+n a与n a的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l与椭圆C：143622=+yx交于BA,两点（如图所示），且)2,23(P在直线l的左上方．（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB，求△PAB的面积．yxOPAB2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a xa x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数kr r r ,,,21，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)91⨯的小方m⨯nnm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个1≤1,31(≤≤≤格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

2012年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（50分） 1．已知i 是虚数单位，则复数122ii +-=（ ） Ai B i - C 4355i -- D 4355i -+2．下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)-∞+∞上单调递增的函数是（ ） A2y x x =+ B 2sin y x x =+ C 3y x x =+ D tan y x =3．已知,a b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:1p a b ->是命题5:[,)26q ππθ∈的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 非充分非必要条件 4．已知集合{}{}|12,|21P x x M x a x a =≤≤=-≤≤+，若PM P =，则实数a 的取值范围是（ ） A(,1]-∞ B [1,)+∞ C [1,1]- D [1,)-+∞5．函数3sin()cos()226y x x ππ=++-的最大值是（ ） A 134 B 134 C 132D 136．如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A AB SA ⊥ B BC 平面SADC BC 与SA 所成的角等于AD 与SC 所成的角DSA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角7．程序框图如图所示，若22(),()log f x x g x x ==，输入x 的值为0.25，则输出的结果是（ ） A0.24 B 2- C 2 D 0.25-8．设,i j 分别表示平面直角坐标系,x y 轴上的单位向量，且25a i a j -+-=，则2a i+的取值范围是（ ）AB[5 CD[59．已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左右焦点，点A的坐标为9(,22，则12F AF ∠的平分线与轴的交点M 的坐标为（ ） A(2,0) B (2,0)- C (4,0) D (4,0)-10．设2()f x x bx c =++，若方程()f x x =无实根，则方程(())f f x x =（ ）A 有四个相异实根B 有两个相异实根C 有一个实根D 无实数根 二、填空题（共49分）11．设直线4y ax =-与直线8y x b =-关于直线yx =对称，则___,____.a b ==12．已知1cos sin 1cos xx x-=+，则_______.x = 13．已知x R ∈+的值为_______.14．已知实数,,,a b c d 满足221ab c d =+=，则22()()a c b d -+-的最小值为_______. 15．设数列{}n a 为等比数列，且每项都大于1，则201112012111lg lg lg lg i i i a a a a =+∑的值为_______.16．设0x >，则44433311()()()11()()x x x x f x x x x x+-+=+-+的最小值为_______. 17．如图是一个残缺的33⨯幻方，此幻方每一行每一列及每一条对角线上得三个数之和有相等的值，则x 的值为_______.三、解答题（每题17分，共51分） 18．已知实数1210,,,x x x 满足101011|1|4,|2|6i i i i x x ==-≤-≤∑∑，求1210,,,x x x 的平均值.19．设P 为椭圆2212516x y +=长轴上一个动点，过点P 斜率为k 直线交椭圆于两点。

2010年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1．化简三角有理式xx x x xx x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x 解答为 A 。

22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(4422s i n c o s s i nc o sx x x x =++。

2．若2:(0,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 解答为 B 。

p 成立3x ⇔≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。

3．集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或C. {6,3}x x x <->或D. {6,3}x x x <->-或 解答：D 。

画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-，{}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。

4．设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。

已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .若△PQR为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ）A ．12k r -==B ．1122k r ±==C ．k r ==D ．k r ==解答．C. PQ QR PR ==，==。

2006～2011浙江省高中数学竞赛试题选(高二部分)1.(2011年,3)设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件2.(2010年,2)若2:(10,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3. (2011年,6)设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）A. 4+52π B. 4+32π C. 4+2π D. 4+π 4.(2010年,9)下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（）A ．32πB ．23πC ．43πD ．34π 5.(2011年,14)直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ∆是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点），D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。

则直线,AP PE 的夹角为______。

6.(2010年,5)在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若1，则CA 1与C 1B 所成的角的大小是（ ）A ．60° B ．75° C ．90° D ．105°7.(2008年,6)圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。

若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为（ ）A.B.2C. 3D.32正视图：半径为1 的半圆以及高为1的矩形 侧视图：半径为1 的1/4圆以及高为1的矩形 俯视图：半径为1 的圆8.(2009年,9)已知立体的三视图如下，问该立体的体积为（ ）A ． 1B ．21 C ． 31 D ． 61 9.(2009年,16)在边长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为1AA ，1CC 上的点，且F C AE 1=，则四边形1EBFD 的面积最小值为 。