2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第三讲 三 排序不等式 Word版含解析

三排序不等式1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．(重点、难点)教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念阅读教材P41～P42“探究”以上部分，完成下列问题．设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋a n b n 为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1称为反序和．教材整理2 排序不等式阅读教材P42～P44，完成下列问题．设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b2＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：(1)1bc ≥1ca ≥1ab；(2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c2. 【精彩点拨】 由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组． 【自主解答】 (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1b.又c >0，∴1c >0，从而1bc ≥1ca ，同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c， ∴a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab，从而1bc ≥1ca ≥1ab.(2)由(1)知1bc ≥1ca ≥1ab>0且a ≥b ≥c >0，∴1b 2c2≥1c 2a2≥1a 2b2，a 2≥b 2≥c 2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥b 2b 2c 2＋c 2c 2a 2＋a 2a 2b 2＝1c 2＋1a 2＋1b 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2， 故a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c2.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．本例题中条件不变，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c3.【证明】 ∵a ≥b ≥c ≥0， ∴a 5≥b 5≥c 5，1c ≥1b ≥1a＞0.∴1bc ≥1ac ≥1ba，∴1b 3c3≥1a 3c3≥1b 3a3，由顺序和≥乱序和得a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3＋a 5b 3a 3 ＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b3， ∴a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c3.设a ，b ，c 为正数，求证：2c ＋2a ＋2b ≤bc ＋ca ＋ab.【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a ，b ，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．【自主解答】 不妨设0<a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3， 0<1bc ≤1ca ≤1ab，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ，a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab. 将上面两式相加得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ， 将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：【导学号：32750056】a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 【证明】 不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n.由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角，a ，b ，c 表示其对边，求aA ＋bB ＋cCa ＋b ＋c的最小值(A ，B ，C 用弧度制表示)．【精彩点拨】 不妨设a ≥b ≥c ＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解． 【自主解答】 不妨设a ≥b ≥c ， 则A ≥B ≥C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC ，将以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )·(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )， 当且仅当A ＝B ＝C ＝π3时，等号成立．∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3，即aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c 的最小值为π3.1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．3．已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值．【解】 不妨设x ≥y ≥z >0，则x 2≥y 2≥z 2，1z ≥1y ≥1x.由排序不等式，乱序和≥反序和．x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z＝x ＋y ＋z .又x ＋y ＋z ＝1，x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥1，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立．故t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值为1.min 和30min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【精彩点拨】 这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t 1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为3t 1 min ，依此类推，等候的总时间为3t 1＋2t 2＋t 3 min ，求其最小值即可．【自主解答】 设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列， 由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)， 所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．2．三台电脑的维修时间3t 1＋2t 2＋t 3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min,10 min,5 min ，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？【解】 根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min 依次等水，等待的总时间最少．排序不等式—⎪⎪⎪—反序和、乱序和、顺序和—排序原理—排序原理的应用1．已知x ≥y ，M ＝x 4＋y 4，N ＝x 3y ＋y 3x ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND.M ≤N【解析】 由排序不等式，知M ≥N . 【答案】 B2．设a ，b ，c 为正数，P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ≥Q C ．P <QD.P ≤Q【解析】 不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2≥c 2>0， 由排序不等式得：a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a . ∴P ≥Q . 【答案】 B3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________.【导学号：32750057】【解析】 由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28. 【答案】 32 284．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．【解析】 取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.所以最少花费为19元，最多花费为25元． 【答案】 19 255．设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn2.【证明】 ∵12＜22＜32＜…＜n 2， ∴112＞122＞…＞1n2. 设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 由小到大的一个排列，即c 1＜c 2＜c 3＜…＜c n ， 根据排序原理中，反序和≤乱序和， 得c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2，而c 1，c 2，…，c n 分别大于或等于1,2，…，n ，∴c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≥1＋222＋332＋…＋n n2＝1＋12＋ (1)，∴1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋…＋a nn2.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

课后训练1．已知a ，b ，c ∈R ＋,则a 2(a 2－bc ）＋b 2（b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( ）．A ．大于零B ．大于或等于零C ．小于零D ．小于或等于零2．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边依次为a ，b ，c 则aA bB cC a b c ＋＋＋＋__________π3.(填“≥"或“≤”） 3．已知a ，b ，c 都是正数,则a b c b c c a a b≥＋＋＋＋＋________。

4．设x ，y ,z ∈R ＋,求证：2222220z x x y y z x y y z z x≥－－－＋＋＋＋＋。

5．设a ，b ，c 为某三角形三边长，求证：a 2(b ＋c －a )＋b 2(c ＋a －b )＋c 2（a ＋b －c ）≤3abc 。

6．设a ，b ，c 是正实数，求证:3()a b c a b c a b c abc ≥＋＋。

7．设a ，b ,c 都是正实数，用排序不等式证明：2222a b c a b c b c c a a b ≥＋＋＋＋＋＋＋. 8．设a 1，a 2，…，a n ;b 1，b 2，…，b n 为任意两组实数，如果a 1≤a 2≤…≤a n ，且b 1≤b 2≤…≤b n ， 求证：11221212n n n n a b a b a b a a a b b b n n n≥⨯＋＋＋＋＋＋＋＋＋当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时,等号成立．设a ,b ，c ∈R ＋,求证：222222222222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab≤≤＋＋＋＋＋＋＋＋＋.参考答案1。

答案：B解析：设a ≥b ≥c ＞0，所以a 3≥b 3≥c 3,根据排序原理,得a 3×a ＋b 3×b ＋c 3×c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a 。

自主广场我夯基我达标1.已知a,b,c ∈R +，则a 3+b 3+c 3与a 2b+b 2c+c 2a 的大小关系是( ) A.a 3+b 3+c 3>a 2b+b 2c+c 2a B.a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a C.a 3+b 3+c 3<a 2b+b 2c+c 2a D.a 3+b 3+c 3≤a 2b+b 2c+c 2a思路解析：根据排序原理，取两组数a,b,c;a 2,b 2,c 2,不妨设a ≥b ≥c,所以a 2≥b 2≥c 2.所以a 2×a+b 2×b+c 2×c ≥a 2b+b 2c+c 2a. 答案：B2.设a 1,a 2,…,a n 都是正数，b 1,b 2,…,b n 是a 1,a 2,…,a n 的任一排列，则a 1b 1-1+a 2b 2-1+…+a n b n -1的最小值是( )A.1B.nC.n 2D.无法确定思路解析：设a 1≥a 2≥…≥a n >0.可知a n -1≥a n -1-1≥…≥a 1-1，由排序原理，得a 1b 1-1+a 2b 2-1+…+a n b n -1≥aa11-1+a 2a 2-1+…+a n a n -1≥n. 答案：B3.已知a,b,c ∈R +,则a 2(a 2-bc)+b 2(b 2-ac)+c 2(c 2-ab)的正负情况是( ) A.大于零 B.大于等于零 C.小于零 D.小于等于零思路解析：设a ≥b ≥c>0， 所以a 3≥b 3≥c 3,根据排序原理，得a 3·a+b 3×b+c 3×c ≥a 3b+b 3c+c 3a.又知ab ≥ac ≥bc,a 2≥b 2≥c 2,所以a 3b+b 3c+c 3a ≥a 2bc+b 2ca+c 2ab.∴a 4+b 4+c 4≥a 2bc+b 2ca+c 2ab.即a 2(a 2-bc)+b 2(b 2-ac)+c 2(c 2-ab)≥0. 答案：B4.已知a,b,c 都是正数，则ba ca cbc b a +++++≥__________. 思路解析：设a ≥b ≥c ≥0，所以ba a c cb +≥+≥+111,由排序原理,知a b aa c c cb b b ac a c b c b a +++++≥+++++,① ba ba c a cbc b a c a c b c b a +++++≥+++++,② ①+②，得23≥+++++b a c a c b c b a .答案：235.设a,b,c 都是正数，求证：a+b+c ≤abcc b a 444++.证明：由题意不妨设a ≥b ≥c>0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2,ab ≥ac ≥bc. 根据排序原理，得 a 2bc+ab 2c+abc 2≤a 3c+b 3a+c 3b.①又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3,且a ≥b ≥c.再根据排序原理，得 a 3c+b 3a+c 3b ≤a 4+b 4+c 4.②由①②及不等式的传递性，得 a 2bc+ab 2c+abc 2≤a 4+b 4+c 4.两边同除以abc 得证不等式成立.6.设a,b,c ∈R +,求证：a 1+b 1+c1≤333888c b a c b a ++. 证明：设a ≥b ≥c>0. 由不等式的单调性，知c 1≥b 1≥a 1,而333333111ba a c cb ≥≥. 由不等式的性质，知a 5≥b 5≥c 5.根据排序原理，知323232335335335335335335bc a b c a c b c b a b a c a b a c a c b c b a ++=++≥+++. 又由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2,333111cb c ≥≥. 由排序原理，得c b a cc b b a a b c a b c a 111323232323232++=++≥++.由不等式的传递性，知a 1+b 1+c 1≤333888335335335c b a c b a b a c a c b c b a ++=++.∴原不等式成立.我综合我发展7.设a,b,c 为某三角形三边长，求证：a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)≤3abc. 证明：不妨设a ≥b ≥c.易证a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c). 根据排序原理，得 a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)≤a ×b(c+a-b)+b ×c(a+b-c)+c ×a(b+c-a)≤3abc. 8.设x 1≥x 2≥…≥x n ,y 1≥y 2≥…≥y n .求证：∑=-ni i iy x12)(≤∑=-ni i i z x 12)( .其中z 1,z 2,…,z n 是y 1,y 2, …,y n 的任意一个排列. 证明：要证∑∑==-≤-ni i i ni i iz x y x1212)()(只需证∑∑∑∑====-+≤=+ni i i ni i i ni i i ni i iz x z x y x y x11221122)2()()2()(.只要证∑∑==≥ni iini iizx y x 11.。

[ 课时作业 ][A 组基础稳固]1．若 A＝ x21＋x22＋＋ x2n，B＝x1x2＋ x2x3＋＋ x n－1x n＋x n x1此中 x1x2，， x n都是正数，则 A 与B 的大小关系为( )A．A>B B．A<BC．A≥B D．A≤B分析：依序列 { x n} 的各项都是正数，不如设0<x1≤ x2≤ ≤ x n则 x2，x3，，x n，x1为序列 {x n} 的一个摆列．依排序原理，得 x1x1＋x2x2＋＋x n x n≥ x1x2＋x2x3＋＋x n x1，即 x21＋ x22＋＋ x2n≥x1x2 ＋x2x3＋＋x n x1.答案： C2．某班学生要开联欢会，需要买价钱不一样的礼物 4 件、 5 件和 2 件，此刻选择商铺中单价为 3 元、2 元和 1 元的礼物，则花费最少和最多的值分别为 ()A ．20,23 B． 19,25C．21,23 D．19,24分析：最多为 5×3＋4×2＋2×1＝25，最少为 5×1＋4×2＋2×3＝19，应选 B.答案： Ba＋b＋c3．锐角三角形中，设P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P、Q的关系为()2A．P≥Q B．P＝QC．P≤Q D．不可以确立分析：不如设a≥b≥c，则A≥B≥C，∴cos C≥cos B≥cos A，acos C＋bcos B＋ ccos A 为次序和，由排序不等式定理，它不小于全部乱序和，因此必定不小于P，∴Q≥P.答案： C． (1 ＋ 1) 1＋11＋ 11＋ 1的取值范围是 ()44 3n －261A ．(21，＋∞ )B ． (61，＋∞ )C ．(4，＋∞ )D ．(3n －2，＋∞ )分析：令 A ＝ (1＋1)＋ 11＋ 1－1 43n 23n －1＝2×5×8× ×，1 4 73n －2B ＝3×6×9× × 3n ，2 5 83n －14 7 103n ＋1C ＝3×6× 9 × × 3n.234 567 89103n － 1 3n 3n ＋ 1因为 > >， > >， > > ， ，>>3n >0，123 456 7893n － 2 3n － 1因此 A>B>C>0.因此 A 3>A ·B ·C.由题意知 3n －2＝61，因此 n ＝ 21.又因为 A ·B ·C ＝3n ＋ 1＝ 64.因此 A>4.答案： C1＝2，a 2＝ 7， a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝ 6， b 4＝10， b 5＝11，将 b i(i5．已知 a＝1,2,3,4,5)从头摆列记为 c 1 ，c 2，c 3， c 4，c 5，则 a 1 1＋a 2 2＋ ＋ a 5 5 的最大值是 ()cc c A ．324 B ． 314 C ．304D ．212分析：两组数据的次序和为 a 1b 1＋ a 2b 2＋ ＋ a 5b 5＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋ 12×11＝ 304.而 a 1c 1＋a 2c 2＋ ＋a 5c 5 为这两组数的乱序和，∴由排序不等式可知， a 1c 1＋a 2c 2＋ ＋a 5c 5≤304，当且仅当 c i ＝ b i (i ＝ 1,2,3,4,5)时， a 1c 1＋ a 2c 2＋ ＋ a 5c 5 有最大值，最大值为 304.答案： C6．已知两组数1,2,3和 4,5,6，若 c 1，c 2，c 3 是 4,5,6 的一个摆列，则c 1＋2c 2＋3c 3 的最大值是________，最小值是 ________．分析：由反序和≤乱序和≤次序和知，次序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为 28. 答案： 32287．儿子过诞辰要老爸买价钱不一样的礼物1 件、 2 件及 3 件，此刻选择商铺中单价为13 元、 20 元和 10 元的礼物，起码要花 ________钱．分析：设 a1＝1(件 )，a2＝2(件)，a3＝ 3(件)， b1＝10(元) ，b2＝13(元)，b3＝ 20(元 )，则由排序原理反序和最小知起码要花a1b3＋a2b2＋ a3b1＝1×20＋ 2× 13＋3×10＝76(元)．答案： 76 元8．在 Rt△ABC 中，∠ C 为直角， A，B 所对的边分别为a，b，π则 aA＋bB 与4(a＋ b)的大小关系为 ________．分析：不如设 a≥b>0，则 A≥ B>0，由排序不等式aA＋bB≥ aB＋bA π2(a＋ b)aA＋bB＝ aA＋ bB ? 2(aA＋ bB)≥a(A＋B)＋ b(A＋B)＝π∴aA＋bB≥4(a＋b)．π答案： aA＋ bB≥4(a＋b)1 1 1 a8＋b8＋c89．设 a， b， c 都是正实数，求证：a＋b＋c≤a3b3c3 .证明：设 a≥ b≥c>0，1 1 111 1则≥≥，则33≥33≥33.c b a b c c a a b由不等式的性质，知a5≥ b5≥c5.依据排序不等式，知55555522 2a b c a b c a b c1 1 12 2 2又由不等式的性质，知 a ≥b ≥c ，c3≥b3≥a3.由排序不等式，得。

[课时作业][组基础巩固]．若＝＋＋…＋，＝＋＋…＋－＋其中，…，都是正数，则与的大小关系为( )．<．>．≥．≤解析：依序列{}的各项都是正数，不妨设<≤≤…≤则，，…，，为序列{}的一个排列．依排序原理，得＋＋…＋≥＋＋…＋，即＋＋…＋≥＋＋…＋.答案：．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品件、件和件，现在选择商店中单价为元、元和元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为( )．．．．解析：最多为×＋×＋×＝，最少为×＋×＋×＝，应选.答案：．锐角三角形中，设＝，＝＋＋，则、的关系为( )．＝．≥．不能确定．≤解析：不妨设≥≥，则≥≥，∴≥≥，＋＋为顺序和，由排序不等式定理，它不小于一切乱序和，所以一定不小于，∴≥.答案：．(＋)……的取值范围是( )．(，＋∞)．(，＋∞)．(－，＋∞)．(，＋∞)解析：令＝(＋)…＝×××…×，＝×××…×，＝×××…×.由于>>，>>，>>，…，>>>，所以>>>.所以>··.由题意知－＝，所以＝.又因为··＝＋＝.所以>.答案：．已知＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，将(＝)重新排列记为，，，，，则＋＋…＋的最大值是( )．．．．解析：两组数据的顺序和为＋＋…＋＝×＋×＋×＋×＋×＝.而＋＋…＋为这两组数的乱序和，∴由排序不等式可知，＋＋…＋≤，当且仅当＝(＝)时，＋＋…＋有最大值，最大值为.答案：．已知两组数和，若，，是的一个排列，则＋＋的最大值是，最小值是．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为，最小值为.答案：．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品件、件及件，现在选择商店中单价为元、元和元的礼品，至少要花钱．解析：设＝(件)，＝(件)，＝(件)，＝(元)，＝(元)，＝(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花＋＋＝×＋×＋×＝(元)．答案：元．在△中，∠为直角，，所对的边分别为，，则＋与(＋)的大小关系为．解析：不妨设≥>，则≥>，由排序不等式⇒(＋)≥(＋)＋(＋)＝(＋)∴＋≥(＋)．。

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课时提升卷(十一)排序不等式 （45分钟 100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.设a 1,a 2,…,a n 都是正数,b 1,b 2,…,b n 是a 1,a 2,…,a n 的任意一个排列,则a 1b 1−1+ a 2b 2−1+…+ a n b n −1的最小值是 ( )A.1B.nC.n 2D.无法确定 2.(2013·丹东高二检测)已知a,b,c 为正数,P=b 2c 2+c 2a 2+a 2b 2a+b+c,Q=abc,则P,Q 的大小关系是( )A.P>QB.P ≥QC.P<QD.P ≤Q 3.设a 1,a 2,a 3为正数,E=a 1a 2a 3+a 2a 3a 1+a 1a 3a 2,F=a 1+a 2+a 3,则E,F 的关系是 ( )A.E<FB.E ≥FC.E ≤FD.E>F 4.(1+1)(1+14)…(1+13n−2)…(1+161)的取值范围是 ( ) A.(21,+∞) B.(61,+∞) C.(4,+∞) D.(3n-2,+∞)5.一组实数为a 1,a 2,a 3,设c 1,c 2,c 3是另一组数b 1,b 2,b 3的任意一个排列,则a 1c 1+a 2c 2+a 3c 3的 ( )A.最大值为a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3,最小值为a 1b 3+a 2b 2+a 3b 1B.最大值为a 1b 2+a 2b 3+a 3b 1,最小值为a 1b 3+a 2b 1+a 3b 2C.最大值与最小值相等为a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3D.以上答案都不对6.若0<α<β<γ<π2,则F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-12(sin2α+sin2β+sin2γ)的符号为 ( )A.F>0B.F<0C.F ≥0D.F ≤0 二、填空题(每小题8分,共24分)7.已知a,b,c 为正实数,则a 2(a 2-bc)+b 2(b 2-ac)+c 2(c 2-ab) 0(填>,≥,<,≤).8.设a,b 都是正数,若P=(a b )2+(b a )2,Q=a b +ba ,则二者的关系是 .9.设正数a,b,c 的乘积abc=1,1a 2(b+c)+1b 2(c+a)+1c 2(a+b)的最小值为 .三、解答题(10～11题各14分,12题18分) 10.设x 1≥x 2≥…≥x n ,y 1≥y 2≥…≥y n . 求证:∑i=1n(x i -y i )2≤∑i=1n(x i -z i )2.其中z 1,z 2,…,z n 是y 1,y 2,…,y n 的任意一个排列.11.(2013·镇江高二检测)已知a,b,c ∈R +,求证:a+b+c ≤a 2+b 22c+b 2+c 22a+c 2+a 22b≤a 3bc +b 3ca +c 3ab.12.(能力挑战题)利用排序原理证明切比雪夫不等式: 若a 1≤a 2≤…≤a n 且b 1≤b 2≤…≤b n ,则1n ∑i=1na ib i ≥(1n ∑i=1na i )·(1n ∑i=1nb i ).答案解析1.【解析】选B.设a 1≥a 2≥…≥a n >0.可知a n −1≥a n−1−1≥…≥a 1−1,由排序原理,得a 1b 1−1+ a 2b 2−1+…+ a n b n −1≥a 1a 1−1+ a 2a 2−1+…+ a n a n −1=n.2.【解析】选B.不妨设a ≥b ≥c>0, 则0<1a≤1b≤1c,0<bc ≤ca ≤ab,由排序原理:顺序和≥乱序和,得bc a+ca b+ab c≥bc c+ca a+abb,即b 2c 2+c 2a 2+a 2b 2abc≥a+b+c,因为a,b,c 为正数,所以abc>0,a+b+c>0, 于是b 2c 2+c 2a 2+a 2b 2a+b+c≥abc,即P ≥Q.3.【解析】选B.不妨设a 1≥a 2≥a 3>0,于是1a 1≤1a 2≤1a 3,a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2, 由排序不等式:顺序和≥乱序和得,a 1a 2a 3+a 2a 3a 1+a 1a 3a 2=a 1a 2a 3+a 1a 3a 2+a 2a 3a 1≥1a 3·a 1a 3+1a 2·a 2a 3+1a 1·a 1a 2=a 1+a 3+a 2 即:a 1a 2a 3+a 2a 3a 1+a 1a 3a 2≥a 1+a 2+a 3. 4.【解析】选C.令A=(1+1)(1+14)…(1+13n−2)=21×54×87×…×3n−13n−2, B=32×65×98×…×3n3n−1, C=43×76×109×…×3n+13n.由于21>32>43,54>65>76,87>98>109,…3n−13n−2>3n3n−1>3n+13n>0,所以A>B>C>0.所以A 3>A ·B ·C. 由题意知3n-2=61,所以n=21. 又因为A ·B ·C=3n+1=64.所以A>4.5.【解析】选D.a1,a2,a3与b1,b2,b3的大小顺序不知,无法确定其最值.6.【解题指南】已知,α,β,γ∈(0,π2),由y=sinx与y=cosx在(0,π2)的单调性结合排序不等式可判断.【解析】选A.因为0<α<β<γ<π2,且y=sinx在(0,π2)上为增函数,y=cosx在(0,π2)上为减函数.所以0<sinα<sinβ<sinγ,cosα>cosβ>cosγ>0.根据排序不等式:乱序和≥反序和则sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα>sinαcosα+sinβcosβ+sinγcosγ=12(sin2α+sin2β+sin2γ).7.【解析】设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c ≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.答案:≥【拓展提升】审题的技巧无论柯西不等式还是排序不等式,都只是一般的乘积形式,而本题中涉及指数幂的变换,故利用对数运算变为指数乘法运算是一个很有技巧性的解题思路.8.【解析】由题意不妨设a≥b>0.由不等式的性质,知a 2≥b 2,1b≥1a.所以a 2b≥b 2a.根据排序原理,知a 2b×1b +b 2a ×1a ≥a 2b×1a+b 2a×1b.即(a b )2+(b a )2≥a b +ba . 答案:P ≥Q【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不等式比较大小.9.【解析】设a=1x,b=1y,c=1z,则xyz=1,且1a (b+c)+1b (c+a)+1c (a+b)可化为xy+z +yz+x +zx+y ,不妨设x ≥y ≥z,则1y+z≥1z+x≥1x+y,据排序不等式得x y+z+y z+x+z x+y≥z ·1y+z+x ·1z+x+y ·1x+y , 及xy+z +yz+x +zx+y≥y ·1y+z+z ·1z+x+x ·1x+y,两式相加并化简可得2(xy+z +y z+x +zx+y)≥3.即xy+z +yz+x +z x+y≥32.即1a (b+c)+1b (c+a)+1c (a+b)≥32.所以1a 2(b+c)+1b 2(c+a)+1c 2(a+b)的最小值为32.答案:3210.【证明】要证∑i=1n(x i -y i )2≤∑i=1n(x i -z i )2,只需证∑i = 1n(x i 2+y i 2)-∑i = 1n(2x i y i )≤∑i = 1n(x i 2+z i 2)-∑i = 1n (2x i z i ), 只要证∑i=1n x i y i ≥∑i=1nx i z i .由题设及排序原理知上式显然成立.11.【证明】不妨设a ≥b ≥c>0,则a 2≥b 2≥c 2,1c≥1b≥1a.由排序不等式,可得a 2·1c+b 2·1a+c 2·1b≥a 2·1a+b 2·1b+c 2·1c, ①a 2·1b+b 2·1c+c 2·1a≥a 2·1a+b 2·1b+c 2·1c. ②由(①+②)÷2,可得a 2+b 22c+b 2+c 22a+c 2+a 22b≥a+b+c,又因为a ≥b ≥c>0,所以a 3≥b 3≥c 3,1bc≥1ac≥1ab. 由排序不等式,得a 3·1bc +b 3·1ca +c 3·1ab ≥a 3·1ac +b 3·1ab +c 3·1bc . ③a 3·1bc+b 3·1ca+c 3·1ab≥a 3·1ab+b 3·1bc+c 3·1ca. ④(③+④)÷2,可得a 3bc +b 3ca +c 3ab≥a 2+b 22c+b 2+c 22a+c 2+a 22b.综上可知原式成立.12.【解题指南】排序原理,运用于数列解题是常见题型,处理该类题目,应将数列进行重组,使其成为递增数列或者递减数列,再由大小关系应用排序原理求解.【证明】由排序不等式有: a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n , a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥a 1b 2+a 2b 3+…+a n b 1, a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥a 1b 3+a 2b 4+…+a n b 2, ……a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥a 1b n +a 2b 1+…+a n b n-1. 将以上式子相加得:n(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )≥a 1(b 1+b 2+…+b n )+a 2(b 1+b 2+…+b n )+…+a n (b 1+b 2+…+b n ),所以1n ∑i=1na ib i≥(1n∑i=1na i)·(1n∑i=1nb i).关闭Word文档返回原板块。