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习题及参考解答（Ch1-2）原教科书上个别题目有误，此处已作修改，此外题号也有所变更，请注意。
第1章习题：1-1两种产品x 和y 唯一需要的要素投入是劳动L 。
一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1。
假设可投入的劳动量总共为48， 1) 写出生产可能集Z 的代数表达式； 2) 写出生产（隐）函数； 3) 在(,)x y 平面上显示生产边界。
1-2试画出Leontief 生产函数121122(,)min{,}f x x x x b =的等产量线。
1-3 对Cobb-Douglas 生产函数1212(,)f x x A x x a b= (0,,0A a b >>)1) 证明1122,MP y MP y x a b ==； 2) 求技术替代率TRS 12；3) 当y 或21x 变化时，TRS 12如何随之变化？ 4) 画出等产量曲线。
1-4 对CES 生产函数11122()y A x x aa a d d =+, 121,0A d d +=>，1) 证明边际产出1[]i i i MP A y x a a d -=； 2) 求技术替代率TRS 12；3) 当y 或21x x 变化时，TRS 12如何随之变化？ 4) 证明技术替代弹性1)s a =-。
1-5 证明：CES 生产函数在1a =时变为线性函数，在0a ®时变为Cobb-Douglas 函数，在a ? 时变为Leontief 生产函数。
1-61) 试证明欧拉定理：对任何k 次（0k ³）齐次生产函数()f x ，总有()i i ifkf x x ¶=¶åx2) 用生产函数1212(,)f x x A x x a b= (0,,0A a b >>)验证欧拉定理。
1-7 下列生产函数的规模收益状况如何？1) 线性函数：1212(,),,0f x x ax bx a b =+>；2) Leontief 生产函数； 3) Cobb-Douglas 生产函数； 4) CES 生产函数。
蒋殿春《高级微观经济学》第2章 利润最大化跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．对于Cobb-Douglas 生产函数：12y Ax x αβ=，,0αβ>，1αβ+≤，0A >。
（1）验证：仅在参数条件1αβ+≤下，利润最大化问题的二阶条件才能得到满足；（2）求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量y ）； （3）求利润函数；（4）验证利润函数是()12,,p w w 的一次齐次函数； （5）验证Hotelling 引理。
解：（1）Cobb-Douglas 生产函数为12y Ax x αβ=，利润最大化的二阶条件是生产函数的Hessian 矩阵是半负定的，即：()()21212212211y yx x x D f yy x x x αααβββαβ-⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪ ⎪⎝⎭中，()2110y x αα-≤，()2210y x ββ-≤且矩阵的行列式非负，()()()22222222212121110y y D f x x x x αβαβαβαβαβ⎡⎤=---=--≥⎣⎦ 所以，1αβ+≤。
（2）利润最大化问题的一阶必要条件是： 11121py w pAx x x αβαα-==，12122py w pAx x x αβββ-==所以要素需求函数为()11,pyx p w w α=，()22,pyx p w w β=。
将要素需求函数代入生产函数121212py py p p y Ax x A Ay w w w w αβαβαβαβαβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得产品供给函数为()111112,p p y p w Aw w αβαβαβαβ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
蒋殿春《高级微观经济学》第3章 成本最小化跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．某厂商具有Leontief 生产函数：{}1122min ,y x x ββ=，120ββ>、。
（1）求条件要素需求函数和成本函数； （2）画出成本函数曲线。
解：（1）在Leontief 生产函数中，产量仅是11x β／和12/x β中较小的一个值，所以，无论是利润最大化或者是成本最小化问题，厂商的最优投入必然满足1122=x x ββ。
在此约束下，生产函数可以简单地写为11y x β=（当然也可以写为22y x β=）。
从而，对于预先给定的产量0y ≥，条件要素需求是：11 x y β=，22x y β=成本函数：()()1122c y w w y ββ=+。
（2）厂商的成本函数如图3-1所示。
图3-12．某厂商具有线性生产函数：12y ax bx =+，,0a b >。
（1）求条件要素需求函数和成本函数； （2）画出成本函数曲线。
解：（1）成本最小化问题是：11220min X w x w x ≥+..s t 12ax bx y +=①若12w w a b <，条件要素为()()12, ,0x x y a **=，成本函数是()1c y w y a =；②若12w w a b >，条件要素为()()120, ,x x y **=，成本函数是()2c y w y b =；③若12w w a b =，最优解可取线段12ax bx y +=上任一点，在此不妨取()()12, ,0x x y a **=，所得的成本函数形式上与①中一致，取另一端点可得②中的成本函数形式。
第一章引论一、选择题1、现有资源不能充分满足人的欲望这一事实被称为（）。
A、机会成本B、稀缺性C、规范经济学D、生产什么的问题2、经济学可定义为（）。
A、研究政府如何对市场机制进行干预的科学B、消费者如何获取收入并进行消费的学说C、研究如何最合理地配置稀缺资源于诸多经济性用途的科学D、企业取得利润的活动3、经济学研究的基本问题包括（）。
A、生产什么，生产多少B、怎样生产C、为谁生产D、以上问题均正确4、“富人的所得税税率比穷人高”是（）。
A、规范的表述B、实证的表述C、否定的表述D、理论的表述5、当经济学家说人们是理性的时，这是指（）。
A、人们不会作出错误的判断B、人们总会从自己的角度作出最好的决策C、人们根据完全的信息而行事D、人们不会为自己所作出的任何决策而后悔6、研究个别居民户与厂商决策的经济学称为（）。
A、宏观经济学B、微观经济学C、实证经济学D、规范经济学7、微观经济学的中心是：（）A.价值理论B.价格理论C.生产理论D.分配理论8、经济学分析问题的“三部曲”是（）A.假设，检验，模型B. 假设，模型，检验C. 模型，假设，检验D. 检验，假设，模型9、经济学需要解决的基本问题是（）A.生产什么，为谁生产B. 如何生产，为谁生产C. 生产什么，如何生产D. 生产什么，如何生产，为谁生产10、微观经济学的最基本的假设是( )A. 经济个体是理性的，经济资源是相对稀缺的B. 经济个体是理性的C. 经济资源是相对稀缺的D. 经济资源是相对丰裕的二、名词解释1、经济人2、机会成本3、生产可能性曲线4、相对稀缺性5、实证分析与规范分析三、简答题1、生产可能性曲线的经济含义。
2、经济模型应该准确地描述现实世界吗?3、简述微观经济学与宏观经济学的区别与联系。
4、什么是经济学，经济问题的本质是什么？5、简述微观经济学的理论框架和核心思想。
四、论述题1、经济学研究能否保持“价值中立”原则？经济研究是否需要价值判断?2、经济学的研究对象是由什么基本经济问题引起的，你如何看待这一问题?参考答案一、选择题1、B2、C3、D4、D5、B6、B7、B8、B9、D 10、A二、名词解释1、经济人：被视为经济生活中一般的人的抽象，其本性被假设是利己的。
蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解目录第1章生产技术第2章利润最大化第3章成本最小化第4章消费者行为第5章消费者理论专题第6章进一步的消费模型第7章完全竞争市场第8章一般均衡第9章不确定性和个体行为第10章不确定性下的交换第11章完全信息博弈第12章不完全信息博弈第13章独占市场第14章静态寡占模型第15章多阶段寡占竞争第16章拍卖第17章市场失效第18章委托—代理理论第19章逆向选择、道德危险和信号本书是蒋殿春《高级微观经济学》教材的学习辅导书，对蒋殿春《高级微观经济学》教材每章的课后习题进行了详细的分析和解答，并对个别知识点进行了扩展。
课后习题答案久经修改，质量上乘，特别适合应试作答和复习参考。
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第1章生产技术1两种产品和唯一需要的要素投入是劳动。
一单位产品需要的劳动投入量是8，一单位产品需要的劳动投入量是1。
假设可投入的劳动量总共为48。
（1）写出生产可能集的代数表达式；（2）写出生产（隐）函数；（3）在平面上标示生产边界。
解：（1）由题意可知，总量为48，劳动是两种产品唯一需要的要素投入，所以有：因此，生产可能集的代数表达式为。
（2）一单位产品需要的劳动投入量是8，一单位产品需要的劳动投入量是1，所以生产（隐）函数为。
（3）由（1）可得，生产可能集为，如图1-1所示。
图1-12试画出Leontief生产函数的等产量线。
解：由Leontief生产函数表达式可知，当时，，由此可得到其等产量线如图1-2所示。
图1-23对Cobb-Douglas生产函数（1）证明，。
（2）求技术替代率。
（3）当或变化时，如何随之变化？（4）画出等产量曲线。
解：（1）已知生产函数，即，所以有：即得证。
（2）在（1）中已经证明，，因此，技术替代率为：在Cobb-Douglas生产函数中，整理得。
（3）由（2）可知，，技术替代率与无关，不随的变化而变化；而变化时，技术替代率随之等比例变化。
第1章本章习题答案单一选择答案：1（C）2 （D）3 （D）4 （B）5 （A）判断正误答案 1（×）2 （×）3 （×）4 （√）5（×）分析题答案1. 为什么说稀缺性的存在与选择的必要引起了经济学的产生？由于资源的稀缺，人类的需求是无限的，这对矛盾使得人类在利用资源的时候不能随心所欲，要进行选择——把稀缺资源用在何种用途上才能满足人类的最大需求？经济系统中的个人、组织和政府时刻面临着选择，选择怎样的用途，进行怎样的配置使得稀缺资源满足个人、组织和社会最大的需求？经济学正是研究有关选择的原则的学科，这是应人类选择的需要而产生的。
2、为什么微观经济学的研究对象是经济资源的合理配置和充分利用问题？正是因为经济学是研究选择的原则的学科，而经济系统必须做出的基本选择是：生产什么、生产多少？怎样生产？为谁生产？人们需要的产品种类繁多和无限性，使得关于生产什么、生产多少的合理选择的难度大大提高。
怎样生产？用什么样的方法来生产这么多的产量与劳务，是对生产要素投入组合、生产规模和生产技术的选择。
为谁生产？生产出来的产量和劳务用什么样方式在参与生产的各部分人之间分配。
这是一个重要选择。
综上，假定生产什么和生产多少一定，则所需多少资源投入等技术问题就决定下来，资源配置就被决定。
如果怎样生产一定，如何投入资源的选择就被决定。
为谁生产一定，资源的配置与流向就被决定。
所以说前两种选择是资源配置在产出方面的选择，后一种选择是资源配置在投入方面的选择。
所以说，经济学的研究对象是资源的合理配置和充分利用问题。
3、微观经济学的基本问题和研究内容有哪些？微观经济学的基本问题是：生产什么、生产多少？怎样生产？为谁生产？围绕这一基本问题研究的主要内容有：（1）均衡价格理论。
也称价格理论，研究商品的价格如何决定，以及价格如何调节整个经济的运行。
均衡价格理论是微观经济学的核心。
象一条红线贯穿于微观经济学的始终。
西方经济学习题集（微观部分）目录第一章导论 (1)第二章需求和供给曲线概述及有关的基本概念 (1)第三章效用论 (9)第四章生产论 (15)第五章成本论 (19)第六章完全竞争的市场 (23)第七章不完全竞争的市场 (29)第八章生产要素价格决定的需求方面 (33)第九章生产要素价格决定的供给方面 (35)参考答案第二章 (40)第三章 (44)第四章 (45)第五章 (48)第六章 (49)第七章 (50)第八章 (52)第九章 (52)第一章导论（略）第二章需求和供给曲线概述及有关的基本概念一、名词解释：需求供给均衡价格需求的变动供给的变动需求量的变动供给量的变动需求弹性供给弹性替代品互补品需求的交叉弹性需求的收入弹性恩格尔定律二、填空题1.需求函数Q d=ƒ(P)表示一种商品的（）和（）之间存在着一一对应关系。
2.对于一个家庭或国家来说，富裕程度越高，恩格尔系数越( )；反之，则越( )。
3.供给函数Q s=ƒ(P)表示一种商品的（）和（）之间存在着一一对应关系。
4.需求表或需求曲线表示（）和（）之间的函数关系。
5.在供给不变的情况下，需求增加，会使需求曲线向（）平移，从而使得均衡价格和均衡数量（）；需求减少，会使需求曲线向（）平移，从而使得均衡价格和均衡数量（）。
6.蛛网定理说明（）商品的供求数量和价格的变化。
7.对于富有弹性的商品来说，降低价格会（）厂商的销售收入；对于缺乏弹性的商品来说，降低价格会（）厂商的销售收入。
8.在需求的价格弹性小于l的条件下，卖者适当（）价格能增加总收益。
9价格弹性是指（）变动对（）变动的反应程度。
10. 在需求不变的情况下，供给增加，会使供给曲线向（）平移，从而使得均衡价格（），均衡数量（）；供给减少，会使供给曲线向（）平移，从而使得均衡价格（），均衡数量（）。
11.蛛网形状取决于商品的弹性：如果需求弹性小于供给弹性，则蛛网是( )；如果商品的需求弹性大于供给弹性，则蛛网是（）。
微观经济学课后习题参考答案第一章参考答案：一、名词解释西方经济学：西方经济学是研究既定制度下稀缺资源的配置和利用问题的学科。
机会成本：当把一定的资源用来生产某种产品时所放弃的其他产品的最大收益。
资源配置：是指在各种可供选择的用途中，一个社会如何把经济资源分配到不同的生产部门、不同企业以及不同的社会各成员中，以取得最大的经济效果。
实证分析：主要涉及对经济现象的分析和预测。
规范分析：主要涉及对经济现象做出“好与坏”的判断。
二、选择题BCBCD三、判断题√√√Ｘ√√四、简答题1、请简单介绍微观经济学的基本研究内容。
答:微观经济学研究的基本内容主要有：（1）、均衡价格理论（2）、消费者行为理论（3）、生产者行为理论主要包括：投入-产出理论、成本-收益理论和市场实现理论。
而市场实现理论是生产者行为理论的第三个部分，分析不同市场中生产者利润最大化的实现问题。
这里的不同市场是指：完全竞争市场和不完全竞争市场。
（4）、生产要素市场理论，由生产要素的需求理论和生产要素的供给理论组成。
（5）、一般均衡论和福利经济学（6）、市场失灵和微观经济政策2、西方经济学中的实证分析和规范分析有什么区别？请举例说明。
答：两者的区别：（1）实证经济学企图超脱和排斥一切价值判断，只研究经济本身的内在规律，并根据这些规律，分析和预测人们经济行为的效果。
规范经济学则以一定的价值判断为基础，是以某些标准来分析处理经济问题，树立经济理论的前提，作为制定经济政策的依据，并研究如何才能符合这些标准；（2）实证经济学所要回答的是“是什么”的问题，或者是“对经济问题如何解决”；规范经济学是以一定的价值判断为基础，提出某些准则，作为判断经济事物的好坏以及制定经济政策的依据，它力求说明的是“应该是什么”的问题，或者是“对经济问题应该如何解决”；（3）实证经济学排斥一切价值判断，只研究经济本身的内在规律，因此实证经济的内容具有客观性，即不以人们的意志为转移，所得的结论可以根据事实来进行检验。
04531《微观经济学》课后练习各章节答案《微观经济学》课后练习各章节答案第⼀章导⾔基本概念1.稀缺性2.经济学3.实证分析4.规范分析5.机会成本6.⽣产可能性边界答案1.稀缺性：稀缺性是指社会提供的东西少于⼈们想拥有的。
2.经济学：经济学是关于⼈们和社会怎样处理稀缺性的研究。
经济学分为微观经济学和宏观经济学两⼤分⽀。
微观经济学是研究个体经济单位的⾏为，这些个体经济单位包括了任何参与经济运⾏的个⼈和实体。
宏观经济学着眼于经济总量和经济的总体运⾏的研究。
3.实证分析：实证分析是根据⼀定的假设，分析世界是什么，涉及解释和预测。
4.规范分析：规范分析是企图描述经济体系应该如何运⾏。
5.机会成本：某物品的机会成本就是为了获得它⽽放弃的另外选择的最⾼价值或收⼊。
6.⽣产可能性边界：对于给定的固定数量的⼟地、劳动和其他投⼊品，⼀个企业或者⼀个国家能够⽣产的物品和劳务的最⼤数量称为它的⽣产可能性边界。
选择题1.经济学可定义为( )A.政府对市场制度的⼲预B.企业赚取利润的活动C.研究稀缺资源如何有效配置的问题D.学习变得更⽆私以解决稀缺性问题2．“资源是稀缺的”是指( )A.资源是不可再⽣的B.资源必须留给下⼀代C.资源终将被耗费殆尽D.相对于需求⽽⾔，资源总是不⾜的3.失业问题反映在⽣产可能性边界图上，表现为( )A.⽣产可能性边界内的⼀点B.⽣产可能性边界上的⼀点C.⽣产可能性边界以外的⼀点D.不在该平⾯直⾓坐标系上4.⼀个经济体系必须回答的基本问题是( )A.⽣产什么，⽣产多少B.如何⽣产C.为谁⽣产D.以上都包括5.下⾯哪⼀句是实证的表述( )A.通货膨胀对经济发展有利B.通货膨胀对经济发展不利C.只有控制货币量才能抑制通货膨胀D.治理通货膨胀⽐减少失业更重要6.下⾯哪⼀句是规范的表述( )A.由于收⼊⽔平低，绝⼤多数中国⼈还买不起⼩轿车B.随着收⼊⽔平的提⾼，拥有⼩轿车的⼈会越来越多C.⿎励私⼈购买⼩轿车有利于促进我国汽车⼯业的发展D.提倡轿车⽂明是盲⽬向西⽅学习，不适于我国国情7．“富⼈的所得税税率⽐穷⼈⾼”是( )A.规范的表述B.实证的表述C.否定的表述D.理论的表述8.⼩王的时间既可以听⼀次经济学讲座也可以打⼀场⽹球。
蒋殿春《高级微观经济学》第1章 生产技术跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．两种产品x 和y 唯一需要的要素投入是劳动L 。
一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1。
假设可投入的劳动量总共为48。
（1）写出生产可能集Z 的代数表达式； （2）写出生产（隐）函数； （3）在(),x y 平面上标示生产边界。
解：（1）由题意可知，总量为48，劳动L 是两种产品唯一需要的要素投入，所以有：848x y +≤ 因此，生产可能集Z 的代数表达式为(){},,848Z x y L x y L =+≤≤。
（2）一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1，所以生产（隐）函数为8x y L +=。
（3）由（1）可得，生产可能集Z 为(){},,848Z x y L x y L =+≤≤，如图1-1所示。
图1-12．试画出Leontief 生产函数()}{1,21221min ,f x x x x ββ=的等产量线。
解：由Leontief 生产函数()}{1,21221min ,f x x x x ββ=表达式可知，当1221x x ββ=时，2121x x ββ=，由此可得到其等产量线如图1-2所示。
图1-23．对Cobb-Douglas 生产函数()1,212f x x Ax x αβ=()0,,0A αβ>>（1）证明11MP y x α=，22MP y x β=。
（2）求技术替代率12TRS 。
（3）当y 或21x x 变化时，12TRS 如何随之变化？ （4）画出等产量曲线。
解：（1）已知生产函数()1,212f x x Ax x αβ=，即12y Ax x αβ=，所以有： ()11112121,MP f x x Ax x y x αβαα-'=== ()12212122,MP f x x Ax x y x αβββ-'===即得证。
（2）在（1）中已经证明11MP y x α=，22MP y x β=，因此，技术替代率为：11212221MP y x x TRS MP y x x ααββ=-=-=-在Cobb-Douglas 生产函数中1αβ+=，整理得()21211x TRS x αα=--。
（3）由（2）可知，()21211x TRS x αα=--，技术替代率12TRS 与y 无关，不随y 的变化而变化；而21x x 变化时，技术替代率12TRS 随之等比例变化。
（4）已知Cobb-Douglas 生产函数()1,212f x x Ax x αβ=的技术替代率()21211x TRS x αα=--，12TRS 就是相应点处等产量曲线切线的斜率。
它的等产量线如图1-3所示。
图1-34．对CES 生产函数()11122y A x x αααδδ=+，121δδ+=，0A >（1）证明边际产出()1i i i MP A y x ααδ-=。
（2）求技术替代率12TRS 。
（3）当y 或21x x 变化时，12TRS 如何随之变化？ （4）证明技术替代弹性)11σα=-。
解：（1）()11111112211AMP y x x x αααδδαδα--'==⨯+⨯ ()()()()()1111111211111121111A x x x A A x x x A y x αααααααααααααδδδδδδδ-----=+⎡⎤=+⎣⎦=同理可证()12122MP y A y x ααδ-'==，因此可得边际产出为[]1i i i MP A y x ααδ-=。
（2）由（1）得，[]1i i i MP A y x ααδ-=。
所以，技术替代率111212221MP x TRS MP x αδδ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。
（3）已知技术替代率111212221MP x TRS MP x αδδ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以，当y 变化时，12TRS 保持不变；当21x x 变化时，12TRS 随之等比例变动。
（4）假设21z x x =，则11122TRS z αδδ-=-，那么：()()11212121212112d d d d 111TRS TRS TRS z TRS z z z z z αασδδαδδα----⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫⎡⎤=--- ⎪⎣⎦⎝⎭=-即得证。
5．证明：CES 生产函数在1α=时变为线性函数，在0α→时变为Cobb-Douglas 函数，在α→-∞时变为Leontief 生产函数。
证明：CES 生产函数为()11122y A x x αααδδ=+（1）当1α=时，()1122y A x x δδ=+，即为线性函数。
（2）当0α→时，化简得，()11122y x x Aαααδδ=+，两边同时取对数得： ()1122ln ln x x y A ααδδα+= 运用洛必达法则求极限：()112200111222112211221212ln lim ln lim ln ln ln ln ln a bx x yA x x x x x x x x x x ααααααααδδαδδδδδδδδ→→+=+=++=+= 其中，112a δδδ=+，212b δδδ=+。
所以12a by Ax x =，即为Cobb-Douglas 函数。
（3）当α→-∞时，同（2）中得：1112221122ln ln lim ln x x x x y A x x αααααδδδδ→-∞+=+ 当12x x =时，12lim lnln ln yx x Aα→-∞==，即12y Ax Ax ==。
当12x x ≠时，先假设12x x >，则()121x x α>，那么：()()112122111222211221122ln ln ln ln lim ln ln x x x x x x x x y x A x x x x ααααδδδδδδδδ→-∞++===++ 同理，假设12x x <，则11122211122ln ln lim ln ln x x x x y x A x x αααααδδδδ→-∞+==+。
因此，当α→-∞时，生产函数为}{12min ,y Ax Ax =，即为Leontief 生产函数。
6．（1）试证明欧拉定理：对任何k 次（0k ≥）齐次生产函数()f x ，总有()i iif kf x x x ∂=∂∑（2）用生产函数()1,212f x x Ax x αβ=()0,,0A αβ>>验证欧拉定理。
证明：（1）对于k 次齐次生产函数，0t ∀≥，()()k f tx t f x =，等式两边同时对t 求微分，得()()()1k i ii f tx kt f x x tx -∂≡∂∑。
当1t =时，可以得到()x i iifkf x x ∂=∂∑。
（2）生产函数()1,212f x x Ax x αβ=()0,,0A αβ>>是αβ+次齐次函数，()1,21121,f x x A x x x αβα-∂=∂，()1,21122f x x A x x x ββ-∂=∂所以，()()()1,21,2121212121,2f x x f x x x x A x x A x x Ax x x x αβαβαβαβαβ∂∂+=+=+∂∂，即欧拉定理得证。
7．下列生产函数的规模收益状况如何？ （1）线性函数：()1,212f x x ax bx =+，,0a b >； （2）Leontief 生产函数；（3）Cobb-Douglas 生产函数； （4）CES 生产函数。
解：（1）线性生产函数()1,212f x x ax bx =+，()()121212f tx tx atx btx t ax bx =+=+，，产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。
（2）Leontief 生产函数也是产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。
（3）Cobb-Douglas 生产函数()1,212f x x Ax x αβ=()0,,0A αβ>>，当1αβ+=时，是规模收益不变的；当1αβ+>时，规模收益是递增的；当1αβ+<时，规模收益是递减的。
（4）同理，CES 生产函数()11122y A x x αααδδ=+，产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。
8．证明：（1）对于二元生产函数()12f x x ，，替代弹性可以表示为()()12112212221212121222112f f x f x f x x f f f f f f f σ+=--（2）如果生产函数()12f x x ，是一次齐次函数，则有()()()()()121212x x x x x f f f f σ=证明：（1）对于二元生产函数()1,2f x x ，替代弹性其为()2112121221d d x x TRS TRS x x σ=⋅。
令21z x x =，则()()()121121212121221d d d d x x TRS TRS TRS TRS x x z z σ-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦将21x zx =代入生产函数，()11y f x zx =， 令()1x g z =，()1d d x g z z'=，对z 求导得，()()()()11220f x x g z f g x zg z ''++=⎡⎤⎣⎦， 解得，()11212d d x x fg z z f zf '==-+。
由于()()()()1122,,f g z zg z TRS f g z zg z ⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦，所以：()()()()()()121222111212221222121211222112222112221112122212d d 1f f g f g zg f f g f g zg TRS zf f f f fg f f zf f f f g f x f f f f f f f f f zf ''''++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦='-++-=⎡⎤+-⎣⎦=+将21z x x =代入上式，()()22211222111212122211221d d x f f f f f f f TRS zf x f x f ⎡⎤+-⎣⎦=+从而得，()()12112212221212121222112f f x f x f x x f f f f f f f σ+=--。
