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平抛运动考点一平抛运动的基本规律 2019.51．平抛运动(1)定义：(2)性质：(3)研究方法：运动的合成与分解。
(4)运动规律：①速度关系：②位移关系：(5)两个重要推论2．斜抛运动(1)定义：(2)性质：(3)研究方法：①水平方向：②竖直方向： [思维诊断](1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。
()(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。
()(3)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大。
()(4)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。
()(5)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长。
()(6)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。
()[题组训练]1．[平抛运动的理解](多选)关于平抛运动，下列说法正确的是()A．平抛运动是匀变速曲线运动B．做平抛运动的物体在任何相等的时间内，速度的变化量都相等C．可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动D．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关2．[平抛规律的应用]从正在高空水平匀速飞行的飞机上每隔1 s释放1个小球，先后共释放5个，不计空气阻力，则()A．这5个小球在空中处在同一条竖直线上B．这5个小球在空中处在同一条抛物线上C．在空中，第1、2两球间的距离保持不变D．相邻两球的落地间距相等3．[平抛规律推论的应用](2017·宁波模拟)如图所示，在足够高的竖直墙壁MN的左侧某点O以不同的初速度将小球水平抛出，其中OA沿水平方向，则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间，其速度的反向延长线() A．交于OA上的同一点B．交于OA上的不同点，初速度越大，交点越靠近O点C．交于OA上的不同点，初速度越小，交点越靠近O点D．因为小球的初速度和OA距离未知，所以无法确定考点二多体平抛运动问题[两个小球从不同高度抛出，落到同一高度上]如图所示，A、B两个小球从同一竖直线上的不同位置水平抛出，结果它们同时落在地面上的同一点C，已知A离地面的高度是B离地面高度的2倍，则A、B两个球的初速度之比为v A∶v B为()A．1∶2B．2∶1C.2∶1 D．2∶2[考法拓展1][小球从同一高度下落到不同高度](2017·内蒙古呼伦贝尔模拟)如图所示，在同一平台上的O点水平抛出的三个物体，分别落到a、b、c三点，则三个物体运动的初速度v a、v b、v c的关系和三个物体运动的时间t a、t b、t c的关系是()A．v a＞v b＞v c，t a＞t b＞t c＜v b＜v c，t a＝t b＝t cB．vC．v a＜v b＜v c，t a＞t b＞t cD．v a＞v b＞v c，t a＜t b＜t c[考法拓展2][平抛中的相遇](2017·江西省重点中学协作体联考)如图所示，将a、b两小球以大小为20 5 m/s的初速度分别从A、B两点相差1 s先后水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10 m/s2，则抛出点A、B间的水平距离是()A．805m B．100 mC．200 m D．180 5 m[变式训练](多选)如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。
例析平抛运动题型归类一、类平抛运动问题一般来说，质点受恒力作用具有恒定的加速度，初速度与恒力垂直，质点的运动就与平抛运动类似，通常我们把物体的这类运动称做类平抛运动。
对于类平抛运动都可以应用研究平抛运动的方法来研究、处理其运动规律。
例1. 如图1所示，将质量为m的小球从倾角为的光滑斜面上A点以速度水平抛出（即平行CD），小球沿斜面运动到B点。
已知A点的高度为h，则小球在斜面上运动的时间为多少？小球到达B点时的速度大小为多少？图1解析：小球在光滑斜面上做类平抛运动，沿斜面向下的加速度，设由A运动到B的时间为t，则有，解得小球沿斜面向下的速度因为，所以小球在B点的速度为二. 分解末速度的平抛运动问题例2. 如图2所示，以9.8m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，这段飞行所用的时间为：（）A. B. C. D.图2解析：把平抛运动分解成水平的匀速直线运动和竖直的自由落体运动，抛出时只有水平方向速度，垂直地撞在斜面上时，既有水平方向分速度，又有竖直方向的分速度。
物体速度的竖直分量确定后，即可求出物体飞行的时间。
如图2所示，把末速度分解成水平方向分速度和竖直方向的分速度，则有①②解方程①②得选项C正确。
三. 分解位移的平抛运动问题例3. 如图3所示，在倾角为的斜面顶点，水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛出点到落点间斜边长为L，求抛出的初速度？图3解析：钢球做平抛运动，初速度和时间决定水平位移①飞行时间由下落高度决定②由方程①②得即钢球抛出的初速度为四. 由图象求解平抛运动的问题例4. 某同学在做研究平抛运动的实验时，忘记记下斜槽末端位置，图4中的A点为小球运动一段时间后的位置，他便以A点为坐标原点，建立了水平方向和竖直方向的坐标轴，得到如图4所示的图象，试根据图象求出小球做平抛运动的初速度（g取）。
图4解析：从图象中可以看出小球的A、B、C、D位置间的水平距离是相等的，都是0.20m，由于小球在水平方向做匀速直线运动，于是可知小球由A运动到B，以及由B运动到C，由C运动到D所用的时间是相等的，设该时间为t，又由于小球在竖直方向做自由落体运动，加速度等于重力加速度g，可根据匀变速运动的规律求解，要特别注意在A点时竖直速度不为零，但做匀变速直线运动的物体在任意连续相等时间内的位移差相等，即，本题中水平方向①竖直方向②由②得代入①得五. 和体育运动相联系的平抛运动问题例5. 如图5所示，排球场总长为18m，设球网高度为2m，运动员站在离网3m的线上（图中虚线所示）正对网前将球水平击出。
高一物理必修2《平抛运动》知识点总结平抛运动1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。
2、条件：a 、只受重力：b 、初速度与重力垂直．3、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g ，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。
g a =4、研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。
水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．5、平抛运动的规律①水平速度：v x =v 0，竖直速度：v y =gt 合速度（实际速度）的大小：22y x v v v +=物体的合速度v 与x 轴之间的夹角为：tan v gt v v xy ==α ②水平位移：t v x 0=，竖直位移221gt y =合位移（实际位移）的大小：22y x s +=物体的总位移s 与x 轴之间的夹角为：2tan v gt x y ==θ 可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。
而且θαtan 2tan =而θα2≠ 轨迹方程：由t v x 0=和221gt y =消去t 得到：222x v g y =。
可见平抛运动的轨迹为抛物线。
6、平抛运动的几个结论①落地时间由竖直方向分运动决定： 由221gt h =得：gh t 2=②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：gh v t v x 200== ③平抛物体任意时刻瞬时速度v 与平抛初速度v 0夹角θ的正切值为位移s 与水平位移x 夹角θ正切值的两倍，即：xsv v x y2tan 2tan ===θθ。
④平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：221tan 20x s s gt v gt =⇒==α ⑤平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量Δv ＝gΔt ，方向恒为竖直向下（与g 同向）。
平抛运动一、平抛运动基本规律1、研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。
水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．2、平抛运动的规律①水平速度：v x =v 0，竖直速度：v y =gt 合速度（实际速度）的大小：22y x v v v += 物体的合速度v 与x 轴之间的夹角为： 0tan v gt v v x y==α ②水平位移：t v x 0=，竖直位移221gt y = 合位移（实际位移）的大小：22y x s += 物体的总位移s 与x 轴之间的夹角为：可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。
而且θαtan 2tan =而θα2≠轨迹方程：由t v x 0=和221gt y =消去t 得到：2202x v g y =。
可见平抛运动的轨迹为抛物线。
3、平抛运动的几个结论①落地时间由竖直方向分运动决定： 由221gt h =得：gh t 2= ②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：gh v t v x 200== ③平抛物体任意时刻瞬时速度v 与平抛初速度v 0夹角a 的正切值为位移s 与水平位移x 夹角θ正切值的两倍。
④平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
02tan v gt x y ==θ证明：221tan 20x s s gt v gt =⇒==α ⑤平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量Δv ＝gΔt ，方向恒为竖直向下（与g 同向）。
任意相同时间内的Δv 都相同（包括大小、方向），如右图。
⑥以不同的初速度，从倾角为θ的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角a 相同，与初速度无关。
（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。
）如右图：所以θtan 20g v t =0)tan(v gt vv a x y ==+θ所以θθtan 2)tan(=+a ，θ为定值故a 也是定值与速度无关。
P蜡块的位置vv xv y涉及的公式：22yx v v v +=xy v v =θtan θvv 水v 船θ 船v d t =min，θsin d x =水船v v =θtan d高中物理必修2知识点第五章 平抛运动§5-1 曲线运动 & 运动的合成与分解一、曲线运动1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。
2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。
3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。
②运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。
③F 合≠0，一定有加速度a 。
④F 合方向一定指向曲线凹侧。
⑤F 合可以分解成水平和竖直的两个力。
4.运动描述——蜡块运动二、运动的合成与分解1.合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、矢量性。
2.互成角度的两个分运动的合运动的判断：①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。
②速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a 合为分运动的加速度。
③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。
④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。
当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。
三、有关“曲线运动”的两大题型（一）小船过河问题模型一：过河时间t 最短： 模型二：直接位移x 最短：模型三：间接位移x 最短：dvv 水v 船θ当v 水<v 船时，x min =d ，θsin 船v d t =， 船水v v =θcos Av 水v 船 θ 当v 水>v 船时，L v v dx 船水==θcos min ， θsin 船v d t =，水船v v =θcos θθsin )cos -(min船船水v Lv v s =θv 船 d（二）绳杆问题(连带运动问题)1、实质：合运动的识别与合运动的分解。
选择题一物体做平抛运动，下列哪个物理量是不变的？A. 速度B. 加速度（正确答案）C. 位移D. 动能一个物体从高度h处做平抛运动，落地时的速度与下列哪个因素无关？A. 物体质量B. 下落高度h（正确答案）C. 抛出时的初速度D. 重力加速度关于平抛运动，下列说法正确的是？A. 是匀变速曲线运动（正确答案）B. 水平方向上的分运动是匀加速直线运动C. 竖直方向上的分运动是匀速直线运动D. 任意两段时间内的速度变化量不相等一个物体做平抛运动，下列哪个物理量的方向与初速度方向相同？A. 加速度B. 落地时的速度C. 任意时刻的速度的水平分量（正确答案）D. 任意时刻的位移平抛运动中，下列哪对物理量的关系是正确的？A. 水平位移与抛出时的速度成正比B. 竖直位移与运动时间成正比C. 水平位移与运动时间的平方成正比（正确答案）D. 落地速度与运动时间的平方成正比一个物体从某一高度做平抛运动，落地时速度与水平地面成θ角，下列说法正确的是？A. 落地速度只与抛出时的初速度有关B. 落地速度只与下落高度有关C. tanθ等于水平位移与竖直位移之比（正确答案）D. tanθ等于竖直分速度与水平分速度之比关于平抛运动，下列哪个物理量的计算不需要知道物体的质量？A. 动能B. 飞行时间（正确答案）C. 落地时的动能D. 落地时重力的瞬时功率一个物体从某一点做平抛运动，下列说法正确的是？A. 落地时间只与抛出时的高度有关（正确答案）B. 水平位移只与抛出时的初速度有关C. 落地速度只与抛出时的初速度有关D. 落地时的动能只与抛出时的高度有关平抛运动中，下列哪个物理量是不随时间变化的？A. 速度B. 竖直分速度C. 水平分速度（正确答案）D. 合速度的大小。
平抛运动常考题型及解析平抛运动的定义及基本公式：1. 平抛运动是指物体仅在重力作用下，由水平初速度开始运动的一种运动方式。
2. 平抛运动需要满足以下条件：a. 物体只受重力作用；b. 物体的初速度与重力方向垂直。
3. 尽管平抛运动的速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度始终为重力加速度g，因此平抛运动属于匀变速曲线运动。
4. 研究平抛运动的方法：通常可以将平抛运动理解为两个分运动的合成结果：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，另一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。
水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性。
5、平抛运动的规律①水平速度：vx=v0，竖直速度：vy=gt合速度（实际速度）的大小：物体的合速度v与x轴之间的夹角为：②水平位移：竖直位移合位移（实际位移）的大小：物体的总位移s与x轴之间的夹角为：可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。
而且但是要记住6、平抛运动的几个结论①落地时间由竖直方向分运动决定：平抛运动常见题型一：直接应用公式解题。
一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。
水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。
发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。
不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是此题是对于公式的直接考查，同学们只要找准题中的限定条件直接带入公式求解就可以了。
具体解题过程如下：平抛运动常见题型二：利用运动的合成与分解解题。
此类题型一般并不能直接代入公式求解，需要先将速度位移进行分解后再去列方程。
例：倾斜雪道的长为50 m，顶端高为30 m，下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接，如图所示。
一滑雪运动员在倾斜雪道的顶端以水平速度v0＝10 m/s飞出，在落到倾斜雪道上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起。
专题2 平抛运动的描述（教师版）一、目标要求二、知识点解析1．平抛运动的定义将物体以一定的速度抛出，如果物体只受重力的作用，这时的运动叫做抛体运动；做抛体运动的物体只受到重力作用，既加速度g不变，因此抛体运动一定是是匀变速运动．抛体运动开始时的速度叫做初速度．如果初速度是沿水平方向的，这个运动叫做平抛运动．平抛运动是匀变速曲线运动．平抛运动的特征：①具有水平方向的初速度②只受重力作用2．平抛运动的基本规律(1)水平方向：匀速直线运动．(2)竖直方向：自由落体运动，加速度为g．3．平抛运动的运动规律v的方向相同；竖直方向为y轴，正方向向下；物以抛出点为原点取水平方向为x轴，正方向与初速度(,)，下面将就质点任意时刻的速度、位移进行讨论．体在任意时刻t位置坐标为P x yy(1)速度公式：水平方向和竖直方向速度：0x y v v v gt =⎧⎪⎨=⎪⎩因此物体的实际速度为：0y x v v gtv v tan α⎧===⎪⎪⎨⎪==⎪⎩(2)位移公式水平方向和竖直方向位移：0212x v t y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩因此实际位移为：02S y gt x v tan θ⎧⎪==⎪⎨⎪==⎪⎩注意：显然，位移和速度的夹角关系为：12tan tan θα=，即v 的反向延长线交于OA 的中点O ’．这一结论在运算中经常用到．(3)轨迹公式 由0x v t =和212y gt =可得2202g y x v =，所以平抛运动的轨迹是一条抛物线． 4．平抛运动的几个重要结论(1)运动时间：t =(2)落地的水平位移：x x v t v ==，即水平方向的位移只与初速度0v 和下落高度h 有关．(3)落地时速度：v =0v 和下落高度h 有关平抛运动 (4)两个重要推论：表示速度矢量v 与水平方向的夹角，故 表示位移矢量与水平方向的夹角，故 ①平抛运动中，某一时刻速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍． ②根据示意图，我们可知，平抛运动中，某一时刻速度的反向延长线与x 轴的交点为水平位移的中点． 5．求解平抛运动飞行时间的四种方法(1)已知物体在空中运动的高度，根据212h gt =，得到t = (2)已知水平射程x 和初速度0v ，也可以求出物体在空中运动的时间0x t v =(3)已知物体在空中某时刻的速度方向与竖直方向的夹角θ与初速度0v 的大小，根据0v gttan θ=可以求得时间．(4)已知平抛运动的位移方向与初速度方向的夹角α及初速度0v 的大小，根据200122gtgt v t v tan α==可求出时间．6．类平抛运动有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某个方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动．对这种运动像平抛又不是平抛，通常称为平抛运动，处理方法与平抛运动一样，只是a 不同而已．如图所示倾角为θ．一物块沿上方顶点P 水平射入，而从右下方顶点Q 离开．xα0tan y xv gt v v α==θ21tan tan 222x x y gt gt x v t v θα====7．斜面上的平抛运动解决这类问题应该注意一下几点： (1)斜面的倾角θ是一个很重要的条件(2)当物体做平抛运动，落到斜面上时，若已知斜面倾角，则相当于间接告诉合速度或者合位移的方 向．这个类问题主要就是将平抛运动规律与几何知识综合起来．①当物体的起点和落点均在斜面上此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角．一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向(角度)关系进行求解．例如：两个相对的斜面，倾角分别为037和053，在顶点把两个小球以相同初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，是求解A 、B 两个小球落到斜面上的时间之比是多少．a ：从位移关系入手，我们可以求出水平方向和竖直方向的位移大小：2012x v t y gt ,== b ：由于物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角可知：tan y x θ=，()201tan 2gt v t θ=，0tan v t g θ2=，所以：tan 379tan 5316A B t t ︒==︒ ②当物体的起点在斜面外，落点在斜面上 解决这类问题应该注意一下几点： (1)斜面的倾角θ是一个很重要的条件(2)当物体做平抛运动，落到斜面上时，是垂直打到斜面上，所以水平方向的速度和竖直方向的速度有以下关系：0tan yv v θ=根据这个公式再加上水平方向和竖直方向的位移关系就可以方便的求解．例如：在倾角为37°的斜面底端的正上方H 处平抛一个小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度．a ：从位移关系入手，我们可以求出水平方向和竖直方向的位移大小：2012x v t y gt ,==，由图可知， 2012tan 37H gt v t-︒=. b ：由速度关系得：0tan 37v gt ︒=，解之得：0v = 8．斜抛运动的基本概念(1)定义：斜向上或斜向下抛出的物体只在重力(不考虑空气阻力)作用下的运动叫做斜抛运动． (2)斜抛运动的特点：水平方向速度不变，竖直方向仅受重力，加速度为g ．(3)斜抛运动的分解：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下 抛运动的合运动． (4)斜抛运动的方程如图所示，斜上抛物体初速度为v ，与水平方向夹角为θ，则速度：x yv v v v gt cos sin θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩位移：212x v t y v t gt cos sin θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩轨迹方程：可得：xt v cos θ=，代入y 可得2222gx y x v tan cos θθ=-可以看出：y ＝0时 (1)x ＝0是抛出点位置．(2)22v x gsin θ=是水平方向的最大射程．(3)飞行时间：2v t gsin θ=三、考查方向题型1：平抛运动的基本规律典例一：(多选)关于平抛运动，下列说法中正确的是( ) A ．落地时间仅由抛出点高度决定B ．抛出点高度一定时，落地时间与初速度大小有关C ．初速度一定的情况下，水平飞出的距离与抛出点高度无关D ．抛出点高度一定时，水平飞出距离与初速度大小成正比 【答案】AD【解析】AB ．平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由 h =212gt 得 t则知平抛运动的时间由抛出点高度决定，与初速度无关，故A 正确，B 错误；CD ．平抛运动的水平距离 x =v 0t=v 抛出点高度一定时，水平飞出距离与初速度的大小成正比，故C 错误，D 正确．题型2：平抛运动的计算典例二：（2020江苏·多选）如图所示，小球A 、B 分别从2l 和l 的高度水平抛出后落地，上述过程中A 、B 的水平位移分别为l 和2l 。
平抛运动小结（一）平抛运动的基础知识1. 定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。
2. 特点：（1）平抛运动是一个同时经历水平向的匀速直线运动和竖直向的自由落体运动的合运动。
（2）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为y ax 2 bx c 。
（3）平抛运动在竖直向上是自由落体运动，加速度 a g 恒定，所以竖直向上在相等的时间相邻的位移的高度之比为 s i ： s 2 ： s 3 1:3:5…竖直向上在相等的时间相邻的位移之差是一个恒量（4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平向之间的夹角为 夹角是 ）是不相同的，其关系式 tan 2ta n （即任意一点的速度延长线必交于此时物体位移 的水平分量的中点）。
3.平抛运动的规律描绘平抛运动的物理量有 v 0、V y 、v 、X 、y 、S 、 、t ，已知这八个物理量中的任意两个,（二）平抛运动的常见问题及求解思路关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆运动组合的 问题、有平抛运动与天体运动组合的问题、有平抛运动与电场（包括一些复合场）组合的问题等。
本文主要讨论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。
1.从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的法，就应该是从竖直向上的自由落体运 动中求出时间，然后，根据水平向做匀速直线运动，求出速度。
［例1］如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在 A 处越过x 5m 的壕沟，沟面对面比 A 处低h 1.25m ，摩托车的速度至少要有多大S ||| S || S || S |gT 2。
）向和位移向（与水平向之间的解析：在竖直向上，摩托车越过壕沟经历的时间2 1.25 s10在水平向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为v 0- — m/s 10m /s t 0.52. 从分解速度的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说， 如果知道了某一时刻的速度向， 则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。
［例2］如图2甲所示，以s 的初速度水平抛出的物体， 飞行一段时间后，垂直地撞在倾角 为30的斜面上。
可知物体完成这段飞行的时间是（）解析：先将物体的末速度 V t 分解为水平分速度 V x 和竖直分速度V y （如图2乙所示）。
根据平 抛运动的分解可知物体水平向的初速度是始终不变的，所以V x V 0 ；又因为V t 与斜面垂直、V y 与水平面垂直，所以V t 与V y 间的夹角等于斜面的倾角。
再根据平抛运动的分解可知物体在竖直向做自由落体运动，那么我们根据V y gt 就可以求出时间t 了。
则tan VVy所以V yVx V 9.8m/s 9.8- 3m/ s ，根据平抛运动竖直向是自由落体运动可 tan tan 3010.5sA. r'3 s 3B. 23sD. 2sV yV xV t30图1甲到tan同理tan53 gt 22v o_g£所以有tan37gt 1 2v o则 t 1 :t 2 9:16v y9 8 J3l以写出：V y gt ，所以t —3S ，所以答案为Cog 9.83. 从分解位移的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移向（如物体从已知倾角的斜面上 水平抛出，这个倾角也等于位移与水平向之间的夹角），则我们可以把位移分解成水平向和竖直向， 然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种法，暂且叫做“分解位移法”）［例3］在倾角为 的斜面上的P 点，以水平速度V o 向斜面下抛出一个物体，落在斜面上的 Q 点，证明落在Q 点物体速度vv 0 ■, 1 4tan 2解析：设物体由抛出点P 运动到斜面上的 Q 点的位移是I ，所用时间为t ，则由“分解位移法” 可得，竖直向上的位移为h I sin ；水平向上的位移为 s I cos 。
又根据运动学的规律可得 1 2竖直向上h gt 2， V y gt 2水平向上s v 0t所以 Q 点的速度 v'-'v ； v ：v 0、；1 4tan 2［例4］如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v o 同时水平向左与水平向右抛出两个小球A 和B ,两侧斜坡的倾角分别为 37和53，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则 A 和B两小球的运动时间之比为多少ABV o （入 v o/\/\/37° 53°、图3解37和53都是物体落在斜面上后，位移与水平向的夹角，则运用分解位移的法可以得则tan1 + 22gtv °tv y，v y2v ° tan2v °2v o则把顶点坐标A ( 0, H )B(0, 2H )、 E (2S , 0)、F ( S , 0)分别代入可得程组H 24s 2 x 2H 2H，这个程组的解的纵坐标2Hy - H ，即为屏的高。
74. 从竖直向是自由落体运动的角度出发求解在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规，有多同学作出的平抛运动的轨迹，常常不能直接 找到运动的起点(这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”)，这给求平抛运动的初速度带来了很大 的困难。
为此，我们可以运用竖直向是自由落体的规律来进行分析。
［例5］某一平抛的部分轨迹如图 4所示，已知x i X 2 a ，y i b ，丫 2 c ，求v o 。
j - - _ _ _ _ I _ _ L_ _ Ii i C I I Iiii图4解析：A 与B 、B 与C 的水平距离相等，且平抛运动的水平向是匀速直线运动，可设 A 到B 、B到C 的时间为T ,则X i X 2 v °T ，又竖直向是自由落体运动，贝U y y 2 y i gT 25. 从平抛运动的轨迹入手求解问题［例6］从高为H 的A 点平抛一物体，其水平射程为2S ，在A 点正上高为2H 的B 点，向同一向平抛另一物体，其水平射程为 S 。
两物体轨迹在同一竖直平面且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高 度。
iy解析：本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们换一个角度，即从运动轨迹入手 进行思考和分析，问题的求解会很容易，如图5所示，物体从A 、B 两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在y 轴上的抛物线，即可设 A 、B 两程分别为2 2y ax bx c , y ax b x c代入已知量，联立可得: V oTIT ------------6.灵活分解求解平抛运动的最值问题［例7］如图6所示，在倾角为的斜面上以速度V。
水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动，虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。
取沿斜面向下为x轴的正向，垂直斜面向上为y轴的正向，如图6所示，在y轴上，小球做初速度为v0 sin 、加速度为geos的匀变速直线运动，所以有2 2V y (V o sin ) 2gy eos ①v y v0 sin g eos t ②当V y 0时，小球在y轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。
当V y 0时，小球在y轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。
由②式可得小球运动的时间为t tang7.利用平抛运动的推论求解推论1:任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角形。
解析：设两小球抛出后经过时间t，它们速度之间的夹角为90，与竖直向的夹角分别为和由①式可得小球离开斜面的最大距离(V o Sin )22g eos［例8］从空中同一点沿水平向同时抛出两个小球,90它们的初速度大小分别为w和V2，初速度向相反,图6V2V2y图7对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图7所示，由图可得cot 型 和tan 匕v igt又因为90，所以cot tan，由以上各式可得 鱼 竺，解得t 1 v 1v 2v igt g推论2 :任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形 推论3:平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。
延长线与水平分位移的交点。
根据平抛运动规律有水平向位移x v 0t1 2竖直向v y gt 和y — gty2由图可知，ABC 与 ADE 相似，则巴，联立以上各式可得 DE -v y y2该式表明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。
4y图10［例10］如图11所示，与水平面的夹角为 的直角三角形木块固定在地面上, 从三角形木块的顶点上水平抛出，求在运动过程中该质点距斜面的最远距离。
图11解析：当质点做平抛运动的末速度向平行于斜面时，质点距斜面的距离最远，此时末速度的向与初速度向成 角。
如图12所示，图中A 为末速度的反向延长线与水平位移的交点， AB 即为所求的最远距离。
根据平抛运动规律有：v y gt ，x v 0t 和业 tanv 。
证明：设平抛运动的初速度为V 。
，经时间t 后的水平位移为x ，如图10所示,D 为末速度反向A-：V yv oB有一质点以初速度v °由上述推论3知OAx2，据图9中几关系得AB AOSin由以上各式解得ABv ： tan sin2g，即质点距斜面的最远距离为农 tan sin2g图12，则有 tan 2 tan证明：如图13,设平抛运动的初速度为 v o ，经时间t 后到达A 点的水平位移为x 、速度为v t ， 如图所示，根据平抛运动规律和几关系:［例11］ 一质量为m 的小物体从倾角为30的斜面顶点A 水平抛出，落在斜面上B 点，若物体到达B 点时的动能为35J ，试求小物体抛出时的初动能为多大（不计运动过程中的空气阻力）v oA图14v 0 1 2 9—，所以初动能E kA 一mv 。
E kB 15Jcos 2 21［例12］如图15所示，从倾角为 斜面足够长的顶点 A ,先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为 v 1，球落到斜面上前一瞬间的速度向与斜面的夹角为 1，第二次初速度v 2，推论4:平抛运动的物体经时间t 后，其速度v t 与水平向的夹角为 ,位移s 与水平向的夹角为在速度三角形中tanV y型，在位移三角形中tanV o V ogt 2 2v o tgt 2v o由上面两式可得tan 2 tan解析：由题意作出图 14,根据推论4可得,tan 2tan 2tan30，所以 tan由三角知识可得cos，又因为比球落在斜面上前一瞬间的速度向与斜面间的夹角为2，若v 2 v 1，试比较 1和2的大小。
