2018年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明课时达标36合情推理与演绎推理理

(时间：40分钟)1．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对 答案 B解析 本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立． 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n n 2＋3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D.13(k ＋1) 答案 B解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2，故选B.4．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·2…(2n －1)”(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B.2k ＋3k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.1k＋答案 D解析 当n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…2k ，当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…2k (2k ＋1)(2k ＋2)，所以从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是k ＋k ＋k k ＋k ＋kk ＋k ＋＝k ＋1k ＋k ＋＝1k ＋，选D.5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k项 答案 D解析 运用数学归纳法证明 1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋ (2)＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k＝2k项．6．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案1k ＋k ＋解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1k ＋k ＋，故填1k ＋k ＋.7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n n ＋2(n ∈N *)的第三步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．答案 3k ＋2解析 n ＝k ＋1比n ＝k 时左边变化的项为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2. 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________________________________________________________________________.答案nn ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝nn ＋1.9．用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n－1(n ∈N *)能被9整除． 证明 ①当n ＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立， 即(3k ＋1)·7k－1能被9整除，则当n ＝k ＋1时， ·7k ＋1－1＝(3k ＋1)·7k ＋1－1＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k－1＋6(3k ＋1)·7k＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k－1＋9·(2k ＋3)·7k.由于(3k ＋1)·7k －1和9·(2k ＋3)·7k 都能被9整除，所以(3k ＋1)·7k－1＋9·(2k ＋3)·7k 能被9整除，即当n ＝k ＋1时，命题也成立，故(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．10．用数学归纳法证明不等式：2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.证明 ①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋3k ＋＞k ＋1·2k ＋3k ＋＝2k ＋32k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋k ＋， 由基本不等式2k ＋32＝k ＋＋k ＋2≥k ＋k ＋成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立．所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知n ∈N *时，不等式2＋12·4＋14·…·2n ＋12n＞n ＋1成立．(时间：20分钟)11．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋2＝n 2＋n ＋22个区域．12．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除， 即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．13．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2015＝________.答案 －123解析 ①a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12.②求出a 4＝13，a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2015＝a 1a 2a 3＝3. 14．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝1， 右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k， 这表明n ＝k ＋1时，结论成立， 由①②知猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)成立．。

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重点强化课(三) 不等式及其应用［复习导读］本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法,简单的线性规划问题,基本不等式及其应用,针对不等式具有很强的工具性,应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．重点1 一元二次不等式的综合应用（1)（2016·山东青岛一模)函数y＝错误!的定义域为（）A．（－∞，1］B．［－1,1]C．［1,2）∪（2，＋∞)D。

错误!∪错误!(2)已知函数f（x)＝错误!则满足不等式f(1－x2)〉f(2x)的x的取值范围是__________．(1）D（2)(－1，错误!－1) [（1）由题意得错误!解得错误!即－1≤x≤1且x≠－错误!，所以函数的定义域为错误!，故选D.（2）由题意得错误!或错误!解得－1〈x<0或0≤x〈错误!－1.所以x的取值范围为（－1，错误!－1）．］［规律方法］一元二次不等式综合应用问题的常见类型及求解方法(1)与函数的定义域、集合的综合，此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集．（2）与分段函数问题的综合．解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解．（3）与函数的奇偶性等的综合．解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解．［对点训练1] 已知f(x）是定义在R上的奇函数．当x〉0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________. 【导学号：31222215】(－5，0)∪(5，＋∞）[由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时,f(0)＝0；当x〈0时，－x〉0,所以f(－x）＝x2＋4x＝－f(x），即f(x)＝－x2－4x，所以f（x)＝错误!由f（x)〉x，可得错误!或错误!解得x〉5或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞）．］重点2 线性规划问题(1）(2017·深圳二次调研）在平面直角坐标系xOy中,若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋y的最大值为（)A。

2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第36讲合情推理与演绎推理实战演练理1．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( B ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误，故选B．2．(2015·山东卷)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；…照此规律，当n∈N*时，C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1＝4n－1.＝4n－1.解析：由题知C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－13．(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三个去过同一城市．由此可推断乙去过的城市为A．解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，因此三人去过同一城市应为A，而甲去过的城市比乙多，但没去过B城市，所以甲去过的城市数应为2，乙去过的城市应为A．4．(2016·山东卷)观察下列等式：2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43n (n ＋1)． 解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．。

B.错误!C.错误!∪错误!D．（－∞，－2）∪（3，＋∞)解析：由表可知－2,3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a〉0，∴错误!设方程cx2＋bx＋a＝0的两根为x3，x4（x3〈x4），则x3＋x4＝－错误!＝－错误!，x3·x4＝错误!＝－错误!,∴x3＝－错误!，x4＝错误!.又c<0，∴－错误!〈x〈错误!，选B.答案：B4．已知不等式ax2－bx－1〉0的解集是错误!，则不等式x2－bx －a≥0的解集是（）A．{x｜2〈x〈3} B．{x|x≤2或x≥3}C。

错误!D。

错误!解析:∵不等式ax2－bx－1〉0的解集是错误!，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－错误!和x2＝－错误!，且a<0.∴错误!解得错误!则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.答案:B5．(2017·西安一模）若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．(－∞，－2]∪[2，＋∞）B．[－2，2]C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．（－2,2)解析:法一由题意知，x2＋mx＋1≥0恒成立，所以当x＝0时,1≥0显然成立；当x〉0时，m≥－错误!恒成立,又（－错误!）max＝－2，所以m≥－2;当x<0时，m≤－错误!恒成立，又（－错误!）min＝2,所以m≤2.综上，－2≤m≤2。

法二不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，相当于二次函数y＝x2＋mx＋1的最小值非负，即方程x2＋mx＋1＝0最多有一个实根,故Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.答案：B6．若不等式x2＋ax－2〉0在区间［1,5］上有解，则a的取值范围是（)A。

错误!B。

错误!C．(1，＋∞) D.错误!解析:设f（x）＝x2＋ax－2，由Δ＝a2＋8〉0，知方程f(x）＝0恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间［1，5]上有解的充要条件是f(5）≥0，f （1）≤0，解得a≥－错误!，且a≤1,故a的取值范围为错误!。