向量运算法则和运算律比较1

向量运算律摘要：一、向量运算律概述二、向量加法运算律三、向量数乘运算律四、向量数量积运算律五、向量向量积运算律六、应用实例及练习正文：向量运算律是向量计算中的基本规律，掌握这些运算律有助于更好地理解和处理向量问题。

以下将介绍向量的几种主要运算律及其应用。

一、向量运算律概述向量运算律主要包括向量加法运算律、向量数乘运算律、向量数量积运算律、向量向量积运算律等。

这些运算律为向量计算提供了简洁、高效的方法。

二、向量加法运算律向量加法运算律表示两个向量相加的结果与它们的顺序无关，即：(a + b) + c = a + (b + c)三、向量数乘运算律向量数乘运算律表示向量与实数的乘积满足分配律，即：k(a + b) = k * a + k * b四、向量数量积运算律向量数量积运算律表示两个向量的数量积满足交换律和结合律，即：a · (b · c) = (a · b) · c五、向量向量积运算律向量向量积运算律表示两个向量的向量积满足交换律和结合律，即：(a × b) × c = a × (b × c)六、应用实例及练习1.实例：三个向量a、b、c，满足a + b = c，求向量a、b、c。

解：设a = (1, 2), b = (3, 4)，则c = a + b = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)。

2.实例：向量a = (1, 2)，求k 使得k * a = (3, 4)。

解：k * a = (k, 2k)，根据向量数乘运算律，(3, 4) = (k, 2k)，解得k = 2。

3.实例：向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，求向量a、b 的数量积。

解：a · b = 1 × 3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11。

4.实例：向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，求向量a、b 的向量积。

向量运算律向量是一种有方向和大小的几何对象，广泛用于数学、物理和工程等领域。

向量运算律是向量代数中的基本概念，也是进行向量运算的基础。

本文将详细介绍向量的运算律，包括交换律、结合律、分配律、加法单位元、减法单位元、数乘单位元、数乘结合律、加法逆元、数量积、平行四边形法则、三角形法则、反向量、向量的模和向量夹角。

1.交换律交换律是指对任意两个向量a和b，有a+b=b+a。

这个定律表明，向量的加法运算满足交换性质，即不依赖于其运算顺序。

2.结合律结合律是指对任意三个向量a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)。

这个定律表明，向量的加法运算满足结合性质，即不依赖于其运算顺序。

3.分配律分配律是指对任意实数r和任意两个向量a和b，有(r+a)+b=r+a+b=(r+b)+a。

这个定律表明，实数与向量的加法运算满足分配性质，即实数可以分配到向量的两边。

4.加法单位元加法单位元是指对任意向量a，有u+a=a+u=a，其中u是加法单位元。

这个概念表明，加法单位元是一个与任意向量相加都保持不变的向量。

5.减法单位元减法单位元是指对任意向量a，有v-a=-a+v=a，其中v是减法单位元。

这个概念表明，减法单位元是一个与任意向量相减都保持不变的向量。

6.数乘单位元数乘单位元是指对任意实数r和任意向量a，有ra=ar=r。

这个概念表明，实数与向量的数乘运算满足数乘单位性质，即实数可以分配到向量的两边并保持不变。

7.数乘结合律数乘结合律是指对任意实数r、s和任意向量a，有(rs)a=r(sa)=s(ra)。

这个定律表明，实数的乘积可以分配到向量的两边，并且不依赖于其运算顺序。

8.加法逆元加法逆元是指对任意向量a，有-a+b=b-a。

这个概念表明，加法逆元是一个与任意向量相加都等于另一个向量的向量。

9.数量积数量积是指对任意两个向量a和b，有a·b=|a||b|cosθ，其中θ是两个向量的夹角。

这个概念表明，两个向量的数量积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值之积。

向量知识点与公式总结向量知识点与公式总结篇1考点一：向量的概念、向量的基本定理了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。

考点二：向量的运算向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会推断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积推断两个平面向量的垂直关系。

命题形式重要以选择、填空题型显现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

考点三：定比分点掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能娴熟应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。

重点考查定义和公式，重要以选择题或填空题型显现，难度一般。

由于向量应用的广泛性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若显现在解答题中，难度以中档题为主，偶然也以难度略高的题目。

考点四：向量与三角函数的综合问题向量与三角函数的综合问题是高考常常显现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，实现了高考中试题的掩盖面的要求。

命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

考点五：平面向量与函数问题的.交汇平面向量与函数交汇的问题，重要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。

命题多以解答题为主，属中档题。

考点六：平面向量在平面几何中的应用向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，很多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟识的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，给予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。

平面向量的数乘和运算律一、平面向量的数乘和运算律1、向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$\boldsymbol a$，有$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。

①常用结论$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\leqslant |\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。

当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向时，$|\boldsymbol a+\boldsymbolb|=|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。

当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向或$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$中至少有一个为$\boldsymbol 0$时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=$$|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|$（或$|\boldsymbol b|-|\boldsymbol a|$）。

②向量加法的运算律交换律：$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a$。

结合律：$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbola+(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$。

2、向量的减法求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。

平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．②④ [答案] A[解析] ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③. 【类题通法】1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.4.非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量. 【对点训练】 给出下列六个命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的序号为________． [答案] ①②③④⑤⑥[解析] ①不正确．|a |＝|b |.但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a ＝0时，λa ＝0.⑥不正确．对于非零向量a ，b ，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．考点二、平面向量的线性运算【例2】(1) 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.[答案] (1)D (2)12 －16[解析] (1)由AD →＝－13AB →＋43AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD →＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →，则λ＝－3.(2)由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.【类题通法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【对点训练】1．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．[答案] －2[解析] 因为D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →.由P A →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP →＝λPD →，所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD →＝－2PD →，所以λ＝－2.2．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.[答案] 12[解析] DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.考点三、共线向量定理的应用【例3】(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] (1) B (2) B[解析] (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使 c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]. 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.【类题通法】 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【对点训练】1．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________.[答案] ④[解析] 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上.2．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. [答案] 12[解析] ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎨⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.。

AB 1122x y x y z ==：a,b 不(,μλμ∈+b 推论：点P 在,,A B C 确定的平面内 ⇔=OP xOA (λμp =a +b (法向量AB⋅n90。

一、常用方法：1、综合法；2、向量法；3、坐标法；二、常用技巧：1、假设（存在性）：假设结论成立，待定系数建立结论成立的方程（组），根据方程组是否有解来检验结论的正误。

2、设元：在向量的几何运算中，将可以确定为基底的基向量设为元，用大字字母表示，其他向量用该基向量表示，可以简化计算过程。

3、平方：长度求解。

4：计算量：线性运算、比例（含对应坐标比）和数量积。

5、赋值：法向量求解。

三、易错易混辨析（明确定理、公式运用的前提条件）1、错把向量比直线，本质辨清是关键。

⑴共线向量的平行或重合，主要是看两个向量所在的直线有没有公共点，如没有公共点，则对应的两条直线是平行的，如果有公共点，那么对应的两条直线是重合的。

⑵注意辨析平行直线与平行向量：平行向量所在的直线既可以平行，也可以重合；但平行直线是指不重合的两条直线。

2、混淆向量与平面平行和直线与平面平行导致错误。

线面平行要求直线必须在平面外，在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面的位置关系，这要求同学们在平时的学习中要注意充分理解定义、定理的实质。

3、混淆向量的夹角与空间角：利用向量数量积的性质求解有关平面或空间中角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别与联系，切不可盲目套用而忽略角的取值范围。

利用向量求二面角时，向量求解一般不能保证所示角是锐角还是钝角，这时要结合实际图形对所求角进行适当的处理，不能混淆二面角与面面角的大小。

4、方向向量、法向量的最佳求法：方向向量、法向量的求设要注意结合图形特点，找到线线平行、线面垂直的最本质的有关向量（如图形中固有的平面的垂线），减少计算环节，优化解题步骤。

四、向量应用注意点1、从点、线、面、体的关系看向量：向量是空间中有顺序的两点，两点的连线是有向线段，即可以看作是空间多面体的棱或边，也可以看作是空间中直线的一个部分，由于向量具有平行移动性，向量移动可以构成平面，共面向量与共面直线是有区别的，由向量构成平面，一般不用共线的两个向量，这与平面的确定方式有所不同。

5) cos0= x 2+y 2-x 2 +y 22 (7)平面两点间的距离公式:a =(x ,y )，b =(x ,y ))。

2211A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2))。

(1) 实数与向量的运算法则：设九、卩为实数，则有：1)结合律:九(p a)=(川)a 。

2)分配律：(九+p )=X a +p a ,九(a +b)=X a +X b 。

(2) 向量的数量积运算法则：1) a •b =b •a 。

2) (X a ).b =X (a .b)=X a .b =a(X b)。

3) (a +b)e c =a .c +b .c 。

(3) 平面向量的基本定理。

q,e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一 对实数X,X ，满足a =X e +X e 。

121122(4) a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：a .b =1aIIbIcos 0，数量积a .b 等于a 的长度IaI 与b 在a 的方向上的投影IbIcos 0的乘积。

(5) 平面向量的运算法则。

1) 设a =(x ,y ),b =(x ,y )，则a +b =(x +x ,y +y )。

112212122) 设a =(x ,y ),b =(x ,y )，则a -b =(x -x ,y -y )。

112212123)设点A (x ,y ),B (x ,y ),则AB =OB —OA =(x —x ,y —y )。

112221214)设a =(x,y),X E R ,则X a =(X x,X y)。

设a =(x ,y ),b =(x ,y ),贝I 」a .b =(xx +yy )。

1122•12126)两向量的夹角公式：d =I AB I =AB -AB ^；(x —x )2+(y —y )2A ,B V 2121(8)向量的平行与垂直：设a =(x ,y ),b =(x ,y ),且b 丰0,则有:11221) a II b O b =X a o xy -xy =0。

向量的运算律及其应用向量是数学中常用的一种表示方式，它具有大小和方向的特性。

在实际问题中，向量的运算律是解决向量相关问题的重要工具。

本文将介绍向量的基本运算律，并探讨它们在实际应用中的具体运用。

一、向量的基本运算律1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加后得到一个新向量的操作。

对于两个向量A和A来说，它们的加法运算可以表示为A = A + A。

向量的加法满足以下运算律：- 交换律：A + A = A + A- 结合律：(A + A) + A = A + (A + A)2. 向量的减法向量的减法是指两个向量相减后得到一个新向量的操作。

对于两个向量A和A来说，它们的减法运算可以表示为A = A - A。

向量的减法满足以下运算律：- A - A = A + (-A)3. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数得到一个新向量的操作。

对于一个向量A和一个实数A来说，它们的数乘运算可以表示为A= AA。

向量的数乘满足以下运算律：- 结合律：A(AA) = (AA)A- 分配律：(A + A)A = AA + AA二、向量运算律的应用1. 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加得到一个新向量的操作。

例如，给定向量A、A和A，它们的线性组合可以表示为AA + AA + AA，其中A、A和A为实数系数。

2. 向量的数量积向量的数量积（内积）是指两个向量相乘后得到一个实数的操作。

对于两个向量A和A来说，它们的数量积可以表示为A·A = |A||A|cosθ，其中|A|和|A|分别表示向量的模，θ为两个向量之间的夹角。

3. 向量的向量积向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后得到一个新向量的操作。

对于两个向量A和A来说，它们的向量积可以表示为A×A= |A||A|sinθA，其中|A|和|A|分别表示向量的模，θ为两个向量之间的夹角，A为垂直于向量A和A所在平面的单位向量。

高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。

5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。

空间向量线性运算与基本定理要点一：空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。

（要注意印刷体用，而手写体为，要区分开）要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或 3．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。

规定：与任意向量平行。

单位向量：长度为1的空间向量，即.相等向量：方向相同且模相等的向量。

相反向量：方向相反但模相等的向量。

共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。

要点诠释：①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．①向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的． 要点二：空间向量的加减法1．加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．AB a a a ||AB ||a 00||1a ab b a //a b a b a b2．运算律交换律：结合律：要点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；①首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；要点三：空间向量的数乘运算1.定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当＞0时，与方向相同；当＞0时，与方向相反；当=0时，=0．的长度是的长度的||倍．如右图所示．2.运算律．a b b a+=+()()a b c a b c++=++12233411n n nA A A A A A A A A A-++++=12233411n n nA A A A A A A A A A-+++++=λa aλλλa aλλa aλλaλa aλ分配律：(+)= +；结合律：(μ)= (μ)． 要点诠释：（1）实数与空间向量的乘积（①R ）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜＜1时，向量缩短；当＞1时，向量伸长；当＜0时，改为反方向的向量．（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当=0时，=0；当≠0时．若≠0时，有≠0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：+，－无意义． 要点四：共线定理1．共线向量的定义．与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作①．注意：0与任意向量是共线向量． 2．共线向量定理．空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：①①（≠0）存在唯一实数，使得=； ①存在唯一实数，使得=（≠0），则①． 注意: ≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．3. 共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ①证明三点共线。

向量的运算基本定律1•实数与向量的积的运算律：设入、卩为实数，那么：J J⑴结合律：入(卩a )=(入卩)a;⑵第一分配律：(入+卩)a = X a+ a ;⑶第二分配律：X( a+b)= X a+x b.2•向量的数量积的运算律：⑴a • b= b • a (交换律)；(2)( ..；“a) • b= (a • b) = ；；” a • b= a • ( b);(3)( a+b) • c= a • c +b • c.3.平面向量基本定理：如果e i、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数X i、X 2,使得a=X iei+ X 2e2.不共线的向量e i、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.4.向量平行的坐标表示：设a=(x i,y i), b=(x2,y2)，且 b = 0，贝U a b(b = 0) ：= X i y? - x?y i 二 0 .5.a与b的数量积(或内积)：a • b=| a|| b|cos 0 .55. a • b的几何意义：数量积a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积.6.平面向量的坐标运算：4 4 4⑴设a= (x1, yj , b=化，y2)，则a+b =(x「x?, % y?).⑵设a= (x i, y i), b =(X2, y2)，则a- b =(治-x?, % - y?)./ 5 t T T⑶设A(为，yj，BN y?),则AB =OB -0人=区-为』2 -y)⑷设a=(x,y)^ R，则■ a=(' X, ■ y).、T 呻* 呻⑸设a=(x i, y) b =区，y2)，则a • b =(住屮财.7 .两向量的夹角公式：,y i), bg, y?)).8.平面两点间的距离公式:d A,B = |AB F：$AB AB f ；'(X2 _X i)2 (y? - y i)2 (A (x i, y i)，B(x?, y?)).9.向量的平行与垂直：设a=(x i,y i), b=(X2,y2)，且 b = 0，则A|| b= b= 入 a - x i y 2 "2力=0.a _ b(a +0) = a • b=0：= x 1x 2 y 1y^ 0.10 •线段的定比分公式：设R(x i ,yj , P 2(X 2,y 2), P(x,y)是线段RF 2的分点，入是实数，且RP = A.PF 2，贝U *—1 OP =tOP*+(i —t)OP2(). i +人11 •三角形的重心坐标公式： △ ABC 三个顶点的坐标分别为A(X i ，y i )、B(X 2，y 2)、C(X 3，y 3),则厶ABC 的重心的坐标 i2 .点的平移公式:I=x —hI =y -k注：图形F 上的任意一点P(x , y)在平移后图形F 上的对应点为P (x , y )，且PP 的坐 标为(h,k).13.“按向量平移”的几个结论：⑴点P(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到点P '(x h, y k).⑵ 函数y=f(x)的图象C 按向量a=(h,k)平移后得到图象C ',则C '的函数解析式为 y = f (x -h) k .⑶ 图象C '按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C 的解析式y 二f(x),则C 的函数解 析式为 y = f (x h) - k .⑷曲线C: f(x,y)=O 按向量a= (h,k)平移后得到图象C ',则C '的方程为 ⑸ 向量m=(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到的向量仍然为m=(x, y). 4 .三角形五“心”向量形式的充要条件：设O 为ABC 所在平面上一点，角A,B,C 所对边长分别为a,b,c ，则 2 ⑴O 为 ABC 的外心=OA -OB-OC . T T T 呻 ⑵O 为 ABC 的重心 二OA OB OC =0.是G( X-! x 2 x 3 3 y i y 2 y 3) 3 )=x h 「2 2 二 OP =OP PP⑶O为ABC的垂心二OA OB =OB OC =OC OA⑷O为ABC的内心二aOA bOB cOC4 =0.⑸O为ABC的.A的旁心= aOA 二 bOB cOC。

（完整版）向量及向量的基本运算向量及向量的基本运算一、教学目标：1 ?理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件2 ?会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题. 不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则.三、教学过程：（一）主要知识：1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。

向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行。

＜注意与0的区别＞③单位向量：模为1个单位长度的向量。

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

相反向量：我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量。

记作-a。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b。

2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设AB a, BC b，则a + b = AB BC = AC。

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。

说明：（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法满足交换律与结合律；3）向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。

记作a,零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i）（ a）= a ; （ii）a+（a ）=（a）+ a =0 ;（iii）若a、b是互为相反向量，则a = b ,b = a ,a + b =0。

②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a （ b）。

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

a b的作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。

注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

平面向量及运算法则1、向量：（1）概念：既有 又有 的量叫做向量（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB 或 a （3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a（4）零向量：零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量.（5）相等向量： 的向量叫相等向量；（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则： 加法法则：（1）平行四边形法则，要点是：统一起点； （2）三角形法则，要点是：首尾相接；减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。

3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下：（1）||a λ = ||||a λ；（2）λ> 0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=04、向量的线性运算满足： （1）()a λμ=（2）(λμ+)a = （3）()a b λ+=5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一随堂练习1.给出下列命题：①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②两个单位向量是相等向量； ③若a =b, b=c,则a=c ；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ⑤若|a |=|b |,则a =b 。

错误!未找到引用源。

若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线 其中正确命题的个数是（ ）DBAA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -＝( )A. B.C.FED.BE3、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ） A ．+=AB BC CA B ．+=AB AC BC C ．+=AC BA AD D ．+=AC AD DC4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ） A.AB BC CA ++ B.OA OC BO CO +++ C.AB AC BD CD -+- D.NQ QP MN MP ++-5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-则必有 ( ) A. 0AD = B. 00AB AD ==或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形6、如图所示，OADB 是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=31BC ，CN=31CD ．试用，表示OM ，ON ，．7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量（1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．OADBCMN变式: 已知OA 、OB 不共线，OP =a OA +b OB ． 求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．1．平面向量的基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a = （2）平面向量的坐标运算： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

向量运算法则和运算律比较1向量运算法则和运算律比较1首先，让我们了解一下向量的基本概念。

向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，比如AB或u。

一个向量可以在一个坐标系中用坐标表示为一个序列(a1, a2, ..., an)。

在二维空间中，一个向量可以用(x, y)表示，在三维空间中，一个向量可以用(x, y, z)表示。

向量的长度称为向量的模或者向量的大小，通常用，u，表示。

现在我们来比较向量运算法则和运算律的概念和应用。

向量的加法满足交换律，即a+b=b+a，也满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，这意味着无论向量的顺序如何，加法的结果都是相同的。

向量的乘法有数量积和向量积两种形式。

数量积满足交换律和结合律，即a·b = b·a，(ka)·b = k(a·b)，其中a·b = ，a，·，b，·cosθ，θ为向量a和向量b之间的夹角。

数量积可以用来计算两个向量之间的夹角和它们的投影。

向量积满足反交换律和分配律，即a×b = -b×a，a×(b + c) = a×b + a×c。

向量积可以用来计算两个向量的边界平行四边形的面积和法向量。

向量的标量乘法是指一个向量和一个实数相乘，即ka，其中k为实数。

标量乘法满足交换律和结合律，即k(a + b) = ka + kb，(kl)·a = k(l·a)，k(la) = (kl)a。

向量运算律是针对向量加法和向量乘法的运算规则。

向量加法满足交换律和结合律，并且存在一个零向量0，使得a + 0 = a，并且对于每个向量a，存在一个负向量-b，使得a + (-a) = 0。

向量乘法满足分配律，即k(a + b) = ka + kb，(k + l)a = ka + la。

向量运算法则和运算律在数学和物理中都有广泛的应用。

向量的运算律及其应用一、向量的运算律向量是具有大小和方向的量，可以进行一系列运算。

在向量的运算中，有几个重要的运算律需要我们掌握和应用。

下面将逐一介绍这些运算律。

1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

设有向量A、B和C，它们的加法运算可表示为A+B=C。

具体来说，向量的加法满足以下两个运算律：（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)2. 向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。

其中，-B表示向量B的反向量，大小相等，方向相反。

向量的减法可以用向量的加法和负向量来表示，满足以下运算律：A+(-B)=A-B3. 数乘向量的数乘即将一个向量与一个标量相乘，其结果为新的向量。

设有向量A和标量k，向量A的数乘运算可表示为kA。

数乘满足以下运算律：（1）结合律：k(lA)=(kl)A（2）分配律：k(A+B)=kA+kB（3）分配律：(k+l)A=kA+lA4. 数乘的性质数乘还具有一些重要的性质：（1）0乘任意向量等于零向量：0A=0（2）负数乘向量等于反向量的数乘：(-k)A=-(kA)二、向量运算的应用向量的运算律可以应用于多个领域，下面列举几个常见的应用。

1. 几何应用向量的加法和数乘可以用于求向量的几何性质。

例如，两个向量相加可以得到它们的合向量，该合向量的大小等于两个向量大小之和，方向与其中一个向量相同。

同时，向量的数乘可以用于求向量的倍数关系，如果两个向量共线或反向，它们之间存在数乘的关系。

2. 物理应用向量在物理中有广泛的应用。

例如，速度和加速度是向量，它们的运算通过向量的加法和数乘来表示。

速度的方向和大小可以用向量表示，而速度的变化可以通过加速度向量的数乘来表示。

3. 工程应用在工程领域，向量的运算可以用于求解力的合成、位移的计算等问题。

例如，在静力学中，多个力的合力可以通过向量的加法来求解；在工程测量中，位移和位移的关系可以通过向量的数乘来表示。

向量运算律【原创实用版】目录1.向量运算律的定义和概念2.向量运算律的基本运算法则3.向量运算律在几何和物理学中的应用4.向量运算律的扩展和推广正文一、向量运算律的定义和概念向量运算律是指在向量空间中，向量之间进行加法、减法、数乘等运算时所遵循的规则。

在数学和物理学等领域中，向量运算律是研究和解决实际问题的基础。

二、向量运算律的基本运算法则1.向量加法：对于两个向量 A 和 B，它们的和是一个新的向量 C，记作 A+B。

向量加法满足交换律和结合律。

2.向量减法：对于两个向量 A 和 B，它们的差是一个新的向量 C，记作 A-B。

向量减法可以看作是向量加法的特例，即 A-B=A+(-B)。

3.向量数乘：对于一个向量 A 和一个标量 k，它们的积是一个新的向量 B，记作 kA。

向量数乘满足标量乘法的分配律。

三、向量运算律在几何和物理学中的应用1.在几何中，向量运算律可以用于计算向量的和、差以及数乘，从而解决几何问题，例如求两个向量的和、求两个向量的夹角等。

2.在物理学中，向量运算律可以用于描述物体的运动和力的作用。

例如，用力的向量表示力的作用，用物体运动状态的向量表示物体的速度、加速度等。

四、向量运算律的扩展和推广1.向量运算律可以扩展到更高维的空间，例如三维空间、四维空间等。

在这些空间中，向量运算律仍然满足加法、减法和数乘的基本运算法则。

2.向量运算律可以推广到更广泛的数学领域，例如线性代数、微积分等。

在这些领域中，向量运算律被用于解决更复杂的数学问题，如线性方程组、微分方程等。

总结：向量运算律是向量空间中的基本运算规则，它在几何、物理学以及更广泛的数学领域中具有重要的应用价值。