最小二乘法——计量经济学

简述计量经济模型普通最小二乘法的基本假设在计量经济学中，普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，简称OLS）是一种常用的统计方法，用于估计线性回归模型中的参数。

为了使用OLS方法，需要满足一些基本假设。

1. 线性关系假设：OLS方法要求被解释变量（因变量）与解释变量（自变量）之间存在线性关系。

这意味着模型中的参数乘以解释变量的变化量，对应地影响因变量的变化量。

2. 零条件均值假设：OLS方法要求解释变量与误差项之间的条件均值为零。

换句话说，解释变量的取值不会对误差的均值造成影响。

这一假设是为了避免遗漏变量的问题，即模型中没有考虑到对因变量有影响的其他变量。

3. 同方差性假设：OLS方法要求误差项具有同方差性，即误差项的方差在解释变量的不同取值下保持不变。

这一假设确保了OLS估计的有效性和一致性。

4. 无自相关假设：OLS方法要求误差项之间不存在自相关性，即误差项之间的相关系数为零。

这一假设是为了避免误差项之间的相关性对OLS估计的影响。

5. 解释变量的非随机性假设：OLS方法要求解释变量是非随机的，即解释变量与误差项之间不存在任何相关性。

这一假设确保了参数估计的一致性和有效性。

6. 多重共线性假设：OLS方法要求解释变量之间不存在完全的线性关系，即不存在多重共线性。

多重共线性会导致OLS估计的方差变大，使得参数估计结果不可靠。

7. 正态性假设：OLS方法要求误差项服从正态分布。

这一假设在样本较大时可以放宽，因为根据中心极限定理，样本均值的抽样分布会趋近于正态分布。

满足这些基本假设的情况下，OLS方法可以提供一种有效且一致的参数估计方法。

然而，在实际应用中，这些假设并不总是完全成立，因此在使用OLS方法时需要谨慎对待。

对于不满足假设的情况，可以采取一些修正方法，如加权最小二乘法或者使用异方差-稳健标准误的OLS估计等。

计量经济模型普通最小二乘法的基本假设包括线性关系假设、零条件均值假设、同方差性假设、无自相关假设、解释变量的非随机性假设、多重共线性假设和正态性假设。

计量经济学最小二乘假设计量经济学是以数理统计学和经济学为基础的一门交叉学科。

它使用统计和经济学的原理和方法来研究经济问题。

在计量经济学中，最小二乘法是最常用的工具之一。

最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来找到最佳回归系数的方法。

这个方法基于一个重要的假设，即最小二乘假设。

最小二乘假设指的是因变量y和自变量x之间的关系是确定性的，即y 的值唯一地确定了给定x的值。

这个假设在计量经济学中是非常重要的，因为它为最小二乘法提供了理论基础。

最小二乘假设可以表述为：对于任意一个给定的x的值，y的条件期望是一个确定的数值。

这个条件期望可以用线性方程来表示。

换句话说，最小二乘假设认为因变量y和自变量x之间的关系是线性的，且残差是随机的。

通过使用最小二乘法来估计回归系数，可以得到一个拟合优度很高的线性模型。

最小二乘假设的适用条件是，因变量和自变量之间的关系是线性的，并且误差项是随机的。

如果这个假设不成立，那么最小二乘法就不能得到准确的估计结果。

例如，如果因变量和自变量之间存在非线性关系，那么最小二乘法可能会得到一个不准确的模型。

此外，误差项必须是满足一定的特征，才能使用最小二乘法进行估计。

误差项的方差必须是恒定的，即误差的方差不会随着自变量的变化而变化。

误差项还必须是独立的和正态分布的。

如果误差项不满足这些条件，那么最小二乘法也不能得到准确的结果。

在计量经济学中，最小二乘假设是非常重要的。

它为计量经济学中的最小二乘法提供了理论基础，并确保了回归系数的准确性。

最小二乘假设的适用条件也提醒我们，当使用最小二乘法进行回归分析时，需要注意数据的特征以及误差项的性质。

只有在满足最小二乘假设的条件下，才能保证最小二乘法的准确性和可靠性。

计量经济学复习要点Min 21ˆ()ni ii Y Y =-∑01ˆˆ(,)ββ： 1121()()ˆ()nii i n ii XX Y Y X X ==--β=-∑∑ ， 01ˆˆY X β=-βOLS 估计量的性质（1）线性：是指参数估计值0β和1β分别为观测值t y 的线性组合。

（2）无偏性：是指0β和1β的期望值分别是总体参数0β和1β。

（3）最优性（最小方差性）：是指最小二乘估计量0β和1β在在各种线性无偏估计中，具有最小方差。

高斯-马尔可夫定理OLS 参数估计量的概率分布OLS 随机误差项μ的方差σ2的估计拟合优度的检验R 2离差平方和的分解：TSS=ESS+RSS“拟合优度”是模型对样本数据的拟合程度。

检验方法是构造一个可以表征拟合程度的指标——判定系数又称决定系数。

（1）21SSE SST SSR SSRR SST SST SST-===-，表示回归平方和与总离差平方和之比；反映了样本回归线对样本观测值拟合优劣程度的一种描述； （2） 2[0,1]R ∈；（3） 回归模型中所包含的解释变量越多，2R 越大！变量显著性检验，t 检验例子：回归报告2^22()i Var x σβ=∑2^22i e n σ=-∑函数形式（对数、半对数模型系数的解释）（1）01ˆˆˆi iY X =β+β：X 变化一个单位Y 的变化 （2）01ˆˆˆln ln i i Y X =β+β: X 变化1%，Y 变化1ˆβ%，表示弹性。

（3）01ˆˆˆln i i Y X =β+β：X 变化一个单位，Y 变化百分之1001ˆβ （4）01ˆˆˆln i iY X =β+β：X 变化1%，Y 变化1ˆβ/100。

第三章 多元线性回归1、变量系数的解释（剔除、控制其他因素的影响）01122ˆˆˆˆi i i Y X X =β+β+β 对斜率系数1ˆβ的解释：在控制其他解释变量（X2）不变的条件下，X1变化一个单位对Y 的影响；或者，在剔除了其他解释变量的影响之后，X1的变化对Y 的单独影响！2、多元线性回归模型中对随机扰动项u 的假定，除了零均值假定、同方差假定、无自相关假定、随机扰动与解释变量不相关假定、正态性假定以外，还要求满足无多重共线性假定。

计量经济学简答题及答案1、比较普通最小二乘法、加权最小二乘法和广义最小二乘法的异同.答:普通最小二乘法的思想是使样本回归函数尽可能好的拟合样本数据，反映在图上就是是样本点偏离样本回归线的距离总体上最小，即残差平方和最小.只有在满足了线性回归模型的古典假设时候,采用OLS才能保证参数估计结果的可靠性。

在不满足基本假设时，如出现异方差，就不能采用OLS。

加权最小二乘法是对原模型加权,对较小残差平方和赋予较大的权重，对较大赋予较小的权重，消除异方差，然后在采用OLS估计其参数。

在出现序列相关时，可以采用广义最小二乘法，这是最具有普遍意义的最小二乘法.最小二乘法是加权最小二乘法的特例,普通最小二乘法和加权最小二乘法是广义最小二乘法的特列。

6、虚拟变量有哪几种基本的引入方式？它们各适用于什么情况？答：在模型中引入虚拟变量的主要方式有加法方式与乘法方式，前者主要适用于定性因素对截距项产生影响的情况，后者主要适用于定性因素对斜率项产生影响的情况.除此外，还可以加法与乘法组合的方式引入虚拟变量,这时可测度定性因素对截距项与斜率项同时产生影响的情况。

7、联立方程计量经济学模型中结构式方程的结构参数为什么不能直接应用OLS估计?答:主要的原因有三:第一,结构方程解释变量中的内生解释变量是随机解释变量，不能直接用OLS来估计;第二，在估计联立方程系统中某一个随机方程参数时，需要考虑没有包含在该方程中的变量的数据信息，而单方程的OLS 估计做不到这一点;第三，联立方程计量经济学模型系统中每个随机方程之间往往存在某种相关性，表现于不同方程随机干扰项之间，如果采用单方程方法估计某一个方程,是不可能考虑这种相关性的，造成信息的损失.2、计量经济模型有哪些应用。

答:①结构分析，即是利用模型对经济变量之间的相互关系做出研究，分析当其他条件不变时，模型中的解释变量发生一定的变动对被解释变量的影响程度.②经济预测,即是利用建立起来的计量经济模型对被解释变量的未来值做出预测估计或推算。

计量经济学主要公式1. 简介计量经济学是一门研究经济现象的定量分析方法。

在计量经济学中，有许多重要的公式被广泛应用于经济数据的分析和解释。

本文将介绍计量经济学中的一些主要公式，并对其进行解释和应用。

2. 最小二乘法估计最小二乘法估计是计量经济学中最常用的估计方法之一。

它用于确定数据之间的线性关系，并找到使得预测值与真实值之间的平方差最小化的最佳拟合线。

最小二乘法估计的公式如下：Y = β0 + β1X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1是待估计的参数，ε表示误差项。

最小二乘法估计的目标是最小化误差项的平方和，即使得∑ε^2最小化。

3. 弹性系数弹性系数是衡量变量之间相互影响程度的指标。

在计量经济学中，弹性系数经常被用来衡量因变量对自变量的变化的敏感度。

常见的弹性系数有价格弹性、收入弹性等。

弹性系数的计算公式如下：E = (ΔY / Y) / (ΔX / X)其中，E表示弹性系数，ΔY表示因变量的变化量，ΔX表示自变量的变化量，Y表示因变量的原始值，X表示自变量的原始值。

弹性系数的绝对值越大，表示变量之间的相互影响越大。

4. 汇总函数汇总函数用于描述宏观经济关系中的总量变量之间的关系。

计量经济学中常用的汇总函数包括线性汇总函数和非线性汇总函数。

线性汇总函数的一般形式如下：Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bnXn其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，a表示截距，b1、b2、…、bn表示回归系数。

线性汇总函数可以用于宏观经济模型的建立和政策分析。

5. 假设检验假设检验是计量经济学中用于检验统计推断的一种方法。

通过对样本数据进行分析，假设检验可以判断统计推断是否具有显著性。

常用的假设检验有t检验、F检验等。

假设检验的一般步骤包括建立原假设和备择假设、计算检验统计量、确定临界值和进行推断。

假设检验的结果通常用p值来表示。

6. 时间序列分析时间序列分析是计量经济学中研究时间序列数据的方法。

主题：两阶段最小二乘法与工具变量法在计量经济学中的应用1. 介绍两阶段最小二乘法两阶段最小二乘法（Two-Stage Least Squares, 2SLS）是一种常用的计量经济学方法，用于解决内生性问题。

内生性指的是因果关系中的变量之间存在相互影响，从而导致回归估计结果出现偏误。

在这种情况下，传统的最小二乘法估计会产生一系列问题，而2SLS方法则可以有效应对内生性问题。

2. 2SLS的基本原理2SLS方法通过两个阶段的回归来解决内生性问题。

在第一阶段，利用工具变量（Instrumental Variable, IV）对内生变量进行预测，得到预测值。

然后在第二阶段，将这些预测值作为虚拟自变量，代替原内生变量进行回归分析。

这样可以消除内生性带来的偏误，得到更准确的估计结果。

3. 工具变量法的选择选取适当的工具变量对2SLS方法的有效实施至关重要。

工具变量要满足两个条件：工具变量必须与内生变量相关；工具变量不能与误差项相关。

只有在满足这两个条件的前提下，工具变量才能有效地解决内生性问题。

4. 工具变量法的优点和局限性工具变量法作为解决内生性问题的一种重要方法，具有一定的优点。

它能够有效地减少回归估计的偏误，提高估计结果的准确性。

工具变量法在理论上被广泛认可，具有较强的可靠性。

然而，工具变量法也存在局限性，例如工具变量的选择可能受到数据可得性的限制，导致实施时候面临较大挑战。

5. 两阶段最小二乘法与工具变量法在实践中的应用在实际的计量经济学研究中，两阶段最小二乘法与工具变量法被广泛应用于解决内生性问题。

研究人员常常利用2SLS方法来评估一些政策或项目对经济变量的影响，同时选择适当的工具变量来进行估计。

通过这种方法，他们可以更加准确地判断政策或项目对经济变量的影响，为决策提供科学依据。

6. 结语两阶段最小二乘法与工具变量法在计量经济学中发挥着重要作用。

通过2SLS方法和适当的工具变量的选择，研究人员能够更加准确地估计经济模型中存在内生性问题的变量，为实证研究提供可靠的结果和结论。

1.普通最小二乘法(Ordinary Least Squares,OLS)：已知一组样本观测值{}n i Y X i i ,2,1:),(⋯=，普通最小二乘法要求样本回归函数尽可以好地拟合这组值，即样本回归线上的点∧i Y 与真实观测点Yt 的“总体误差”尽可能地小。

普通最小二乘法给出的判断标准是：被解释变量的估计值与实际观测值之差的平方和最小。

2.广义最小二乘法GLS ：加权最小二乘法具有比普通最小二乘法更普遍的意义，或者说普通最小二乘法只是加权最小二乘法中权恒取1时的一种特殊情况。

从此意义看，加权最小二乘法也称为广义最小二乘法。

3.加权最小二乘法WLS ：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。

4.工具变量法IV ：工具变量法是克服解释变量与随机干扰项相关影响的一种参数估计方法。

5.两阶段最小二乘法2SLS, Two Stage Least Squares ：两阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别的结构方程，以适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。

6.间接最小二乘法ILS ：间接最小二乘法是先对关于内生解释变量的简化式方程采用普通小最二乘法估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后过通参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量的一种方法。

7.异方差性Heteroskedasticity ：对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性。

8.序列相关性Serial Correlation ：多元线性回归模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相关。

如果模型的随机干扰项违背了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。

9.多重共线性Multicollinearity ：对于模型i k i i X X X Y μββββ++⋯+++=i k 22110i ，其基本假设之一是解释变量X 1,X 2,…,Xk 是相互独立的。

第一章导论计量经济学定义：计量经济学（Econometrics）是一门应用数学、统计学和经济理论来分析、估计和检验经济现象与理论的科学。

通过使用统计数据和经济模型，计量经济学试图量化经济关系，以更好地理解经济变量之间的相互作用。

研究的问题（相关关系）：计量经济学的目的是研究经济变量之间的关系，例如：1. 消费与收入的关系。

2. 教育与工资的关系。

3. 利率与投资的关系。

第二章 OLS (普通最小二乘法)：OLS 是一种用于估计线性回归模型中未知参数的方法。

它通过最小化误差平方和来找到回归线。

在一元线性回归中，我们通常使用普通最小二乘法（OLS）来估计模型参数。

对于模型 Y = α + βX + ε，我们可以使用以下公式来计算α和β：β= Σ( (X - mean(X)) (Y - mean(Y)) ) / Σ( (X - mean(X))^2 ) α̂ = mean(Y) - β̂ * mean(X)这里，mea n(X) 是 X 变量的平均值（即ΣX/n），mean(Y) 是 Y 变量的平均值（即ΣY/n）。

在这些公式中，mean 表示求平均值。

Σ 表示对所有数据点求和，n 是样本大小。

这里α_hat 是截距的估计值，β_hat 是斜率的估计值。

结论及推论：1. 在高斯马尔可夫假设下，OLS 估计量是最佳线性无偏估计量（BLUE）。

2. 当误差项的方差是常数时，OLS 估计量是有效的。

3. 如果模型是正确规范的，并且误差项是独立且同分布的，那么 OLS 估计量是一致的。

4. 如果误差项与解释变量相关，或者存在遗漏变量，那么 OLS 估计量可能是有偏的。

5. OLS 提供了估计的标准误差、t 统计量和其他统计量，这些可以用于进行假设检验和构建置信区间。

第三章一元回归：(1)总函、样函：总函数和样本函数是线性回归模型的两种表现形式。

总函数（总体函数）表示整体样本的关系，一般形式为Y = β0 + β1X + ε。

（说为参考，发现错误，纯属正常，意料之中的事情，嘿嘿……） 1、最小二乘法对随机误差项u 做了哪些假定？说明这些假定条件的意义：（1）E （i u ）=0，i =1,2，……表示在Xi 已知的条件下，随机误差项i u 可以取不同的值，有些大于零，有些小于零，如果考虑所有可能的值，他们的期望值或平均值等于零。

（2）i ar u V （） =2[()]i i E u E u - =E （2i u ）=2u σ，i =1，2，……表示每个Xi 对应的随机误差项i u 具有相同的常数方差，称为同方差性。

（3）i j ov u u C （，） =[()]i i E u E u -[j j u u E -（）]=i j u u E （）=0，i j ≠，i ，j=1,2，……表示任意两个i X 和j X 所对应的随机误差项i j u u ，，称为随机误差项u 无序列相关。

（4）i i ov u C （，X ）=E[i u -E （i u ）][ i X -E （i X ）]= E （i i u X ）=0，表示解释变量X 是确定的变量，与随机相u 不相关，此假定保证解释变量X 是非随机变量。

（5）服从正态分布，由（1）（2）知，i u N （0，σu^2）。

【P9】2、阐述对样本回归模型拟合优度的检验及对回归系数估计值显著性检验的步骤：（1）总离差平方和的分解、样本可决系数、样本相关系数（2）随机变量u 的方差、回归系数估计值的显著性检验——t 检验：提出原假设H0：β=0，备择假设1H =1β≠0，计算t=11S ββ,给出显著水平α，查自由度v=n-2的t 分布表，得临界值/2t α（n-2）。

做出判断：如果t </2t α（n-2），拒绝H0t >/2t α（n-2），拒绝0H ，接受1H ：1β0≠，表明X 对Y 有显著影响。

对常数项0β∧的显著性检验于此类似。

如果接受0H :0β=0，则常数项0β不应该出现在模型中。