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最小二乘法——计量经济学

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中国农业大学《计量经济学》(6 广义最小二乘法(GLS)与异

中国农业大学《计量经济学》(6 广义最小二乘法(GLS)与异
——用最小二乘法估计非线性回归方程的原理与估计线性回归 方程相同，即求解使残差平方和最小的参数；
——对于线性函数，模型参数可以通过求解由一阶条件构成的 方程组估计得出；
——对于非线性方程，我们常常无法确保得到估计参数的解析 解，但通常能够利用数值逼近方法得到方程组的近似解。 此时估计参数可能不是唯一的，并且存在收敛困难。
线性性、无偏性、最小方差性
~
Var(b )
E
~ (b
b
~ )(b
b
)
E (
X
1X
)
1X
1
1uu
1X
(
X
1X
)
1
2 u
(
X
1
X
)1
s 4、
2 u
的估计：
2 e*e* * n k 1
二、异方差
1、含义
Var(ui
)
2 u
f
(
X
i
)
i 1,2,...n
即可：通u过i在散解点释图变观量察取。不同值时方差不同，异方差是X 的函数。
um
1 ni
Yi ni
Yij
j 1
1 ni
X i1 ni
X ij1
j 1
1 ni
X i2 ni
X ij 2
j 1
(i 1, 2, ...,m)
(i 1, 2,...,m)
(i 1, 2,...,m)
1 ni
X ik
ni
X ijk
j 1
(i 1, 2,...,m)
1
E(ui
4
NLS估计技术
求解非线性方程组的常用方法：
——线性化迭代求解法(Iterative linearization method)，即从一组参数的初始值开始将非线性 函数线性化，然后求解线性方程组并得到新的估 计值；重复上述步骤直到估计结果达到收敛标准 或达到最大迭代次数时为止。

简述计量经济模型普通最小二乘法的基本假设

简述计量经济模型普通最小二乘法的基本假设

简述计量经济模型普通最小二乘法的基本假设在计量经济学中，普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，简称OLS）是一种常用的统计方法，用于估计线性回归模型中的参数。

为了使用OLS方法，需要满足一些基本假设。

1. 线性关系假设：OLS方法要求被解释变量（因变量）与解释变量（自变量）之间存在线性关系。

这意味着模型中的参数乘以解释变量的变化量，对应地影响因变量的变化量。

2. 零条件均值假设：OLS方法要求解释变量与误差项之间的条件均值为零。

换句话说，解释变量的取值不会对误差的均值造成影响。

这一假设是为了避免遗漏变量的问题，即模型中没有考虑到对因变量有影响的其他变量。

3. 同方差性假设：OLS方法要求误差项具有同方差性，即误差项的方差在解释变量的不同取值下保持不变。

这一假设确保了OLS估计的有效性和一致性。

4. 无自相关假设：OLS方法要求误差项之间不存在自相关性，即误差项之间的相关系数为零。

这一假设是为了避免误差项之间的相关性对OLS估计的影响。

5. 解释变量的非随机性假设：OLS方法要求解释变量是非随机的，即解释变量与误差项之间不存在任何相关性。

这一假设确保了参数估计的一致性和有效性。

6. 多重共线性假设：OLS方法要求解释变量之间不存在完全的线性关系，即不存在多重共线性。

多重共线性会导致OLS估计的方差变大，使得参数估计结果不可靠。

7. 正态性假设：OLS方法要求误差项服从正态分布。

这一假设在样本较大时可以放宽，因为根据中心极限定理，样本均值的抽样分布会趋近于正态分布。

满足这些基本假设的情况下，OLS方法可以提供一种有效且一致的参数估计方法。

然而，在实际应用中，这些假设并不总是完全成立，因此在使用OLS方法时需要谨慎对待。

对于不满足假设的情况，可以采取一些修正方法，如加权最小二乘法或者使用异方差-稳健标准误的OLS估计等。

计量经济模型普通最小二乘法的基本假设包括线性关系假设、零条件均值假设、同方差性假设、无自相关假设、解释变量的非随机性假设、多重共线性假设和正态性假设。

最小二乘法——计量经济学

最小二乘法——计量经济学
• 斜率的变化可通过以乘法的方式引入虚拟变量来 测度。
例：根据消费理论，消费水平C主要取决于收入水 平Y，但在一个较长的时期，人们的消费倾向会发生 变化，尤其是在自然灾害、战争等反常年份，消费 倾向往往出现变化。这种消费倾向的变化可通过在 收入的系数中引入虚拟变量来考察。
如，设
1 Dt 0
正常年份 反常年份
E(Yi | X i , D1 0, D2 1) (0 3 ) 1 X i
•男职工本科以上学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 1, D2 1) (0 2 3 ) 1 X i
2、乘法方式
• 加法方式引入虚拟变量，考察：截距的不同，
• 许多情况下：往往是斜率就有变化，或斜率、截 距同时发生变化。
消费模型可建立如下：
Ct 0 1 X t 2 Dt X t t
• 这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模型中， 从而可用来考察消费倾向的变化。
• 假定E(i)= 0，上述模型所表示的函数可化为： 正常年份：
E(Ct | X t , Dt 1) 0 (1 2 ) X t
反常年份：
假定3>2，其几何意义：
大学教育
保健
高中教育
支出
低于中学教育
收入
• 还可将多个虚拟变量引入模型中以考察多种“定 性”因素的影响。
如在上述职工薪金的例中，再引入代表学历的虚拟 变量D2：
1 D2 0
本科及以上学历 本科以下学历
职工薪金的回归模型可设虚拟变量的引入
• 虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基本方 式：加法方式和乘法方式。
1、加法方式
上述企业职工薪金模型中性别虚拟变量的引入采 取了加法方式。
在该模型中，如果仍假定E(i)=0，则 企业女职工的平均薪金为：

北大计量经济学讲义-工具变量与两阶段最小二乘法

北大计量经济学讲义-工具变量与两阶段最小二乘法
consistent for b1, after applying the law of
large numbers. 当假定(15.4) 和(15.5) 成立时，可以应用大
数定律证明IV估计是b1的一致估计。
Intermediate Econometrics,
That is, Cov(z,u) = 0 (15.4) 即Cov(z,u) = 0
Intermediate Econometrics,
Yan Shen
8
Instrumental Variable: Who qualifies? 什么样的变量可以作为IV？
The instrument must be correlated with the endogenous variable x 工具变量应与内生变量 x 相关
Intermediate Econometrics,
Yan Shen
5
Why Use Instrumental Variables? 为何使用工具变量？
Instrumental Variables (IV) estimation is used when your model has endogenous x’s 当模型解释变量具有内生性时，使用工具 变量估计
Suppose the true model regresses log(wage) on education (educ) and ability (abil). 假定真实模型将对数工资对教育和能力回归
Now ability is unobserved, and the proxy, IQ, is not available. 现在能力不可观测，而且没有代理变量IQ
b1 . 当z=x时，我们得到b1的OLS估计

计量经济学普通最小二乘法假设检验

计量经济学普通最小二乘法假设检验
H1 : 1 0
下，此时的t统计量是ˆ1/ se(ˆ1)
如果原假设被拒绝，那么我们就说在某某 显著水平上x是统计上显著的；如果不能被 拒绝，则就说x在某某显著水平上是统计上 不显著的。
应该注意：即使的绝对值很小很小（即所谓的变量x无 经济显著性或者实际显著性（economic significance/practical significance），但在统 计上，它可能显著地与0不同。
H1 : 1 0
并基于样本来判断1 0 是否为真。 问题2：为什么[, za/2) 并不是拒绝域？
问题3：为什么拒绝域是[za , ) ?
zsq.zjgsu
思考题：
在假设体系： H0 : 1 H1 : 1
下，计量软件包计算出为正的统计量值z， 而且P值为0.120【注：计量软件包默认的P 值是双尾的概率，当z为正时，它计算的是
~
N
(0,
2
)
仅仅参数估计（点估计），假设1-6足矣。要进行假 设检验，就必须对ε的概率分布作出假定。假设误差 项服从正态分布的合理性在于，误差项是由很多因素 构成的，当这些因素是独立同分布时，依照中心极限 定理，那么这些因素之和应该近似服从正态分布。除 少数情形（如Cauchy分布）外，随着样本容量的增加， 该假设都会得到满足。
计量经济学普通最小二 乘法假设检验
2021年8月5日星期四
模型检验内容
经济意义的检验
统计检验
计量经济学检验 预测检验
本节主要讲述统计检验的内容
方程显著性检验及变量知识(1)
1. normal distribution : z ~ N (, 2 ), 密度函数为
（t N 2) zsq.zjgsu
假设检验的正式步骤

计量经济学最小二乘假设

计量经济学最小二乘假设

计量经济学最小二乘假设计量经济学是以数理统计学和经济学为基础的一门交叉学科。

它使用统计和经济学的原理和方法来研究经济问题。

在计量经济学中，最小二乘法是最常用的工具之一。

最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来找到最佳回归系数的方法。

这个方法基于一个重要的假设，即最小二乘假设。

最小二乘假设指的是因变量y和自变量x之间的关系是确定性的，即y 的值唯一地确定了给定x的值。

这个假设在计量经济学中是非常重要的，因为它为最小二乘法提供了理论基础。

最小二乘假设可以表述为：对于任意一个给定的x的值，y的条件期望是一个确定的数值。

这个条件期望可以用线性方程来表示。

换句话说，最小二乘假设认为因变量y和自变量x之间的关系是线性的，且残差是随机的。

通过使用最小二乘法来估计回归系数，可以得到一个拟合优度很高的线性模型。

最小二乘假设的适用条件是，因变量和自变量之间的关系是线性的，并且误差项是随机的。

如果这个假设不成立，那么最小二乘法就不能得到准确的估计结果。

例如，如果因变量和自变量之间存在非线性关系，那么最小二乘法可能会得到一个不准确的模型。

此外，误差项必须是满足一定的特征，才能使用最小二乘法进行估计。

误差项的方差必须是恒定的，即误差的方差不会随着自变量的变化而变化。

误差项还必须是独立的和正态分布的。

如果误差项不满足这些条件，那么最小二乘法也不能得到准确的结果。

在计量经济学中，最小二乘假设是非常重要的。

它为计量经济学中的最小二乘法提供了理论基础，并确保了回归系数的准确性。

最小二乘假设的适用条件也提醒我们，当使用最小二乘法进行回归分析时，需要注意数据的特征以及误差项的性质。

只有在满足最小二乘假设的条件下，才能保证最小二乘法的准确性和可靠性。

计量经济学复习要点

计量经济学复习要点Min 21ˆ()ni ii Y Y =-∑01ˆˆ(,)ββ： 1121()()ˆ()nii i n ii XX Y Y X X ==--β=-∑∑ ， 01ˆˆY X β=-βOLS 估计量的性质（1）线性：是指参数估计值0β和1β分别为观测值t y 的线性组合。

（2）无偏性：是指0β和1β的期望值分别是总体参数0β和1β。

（3）最优性（最小方差性）：是指最小二乘估计量0β和1β在在各种线性无偏估计中，具有最小方差。

高斯-马尔可夫定理OLS 参数估计量的概率分布OLS 随机误差项μ的方差σ2的估计拟合优度的检验R 2离差平方和的分解：TSS=ESS+RSS“拟合优度”是模型对样本数据的拟合程度。

检验方法是构造一个可以表征拟合程度的指标——判定系数又称决定系数。

（1）21SSE SST SSR SSRR SST SST SST-===-，表示回归平方和与总离差平方和之比；反映了样本回归线对样本观测值拟合优劣程度的一种描述； （2） 2[0,1]R ∈；（3） 回归模型中所包含的解释变量越多，2R 越大！变量显著性检验，t 检验例子：回归报告2^22()i Var x σβ=∑2^22i e n σ=-∑函数形式（对数、半对数模型系数的解释）（1）01ˆˆˆi iY X =β+β：X 变化一个单位Y 的变化 （2）01ˆˆˆln ln i i Y X =β+β: X 变化1%，Y 变化1ˆβ%，表示弹性。

（3）01ˆˆˆln i i Y X =β+β：X 变化一个单位，Y 变化百分之1001ˆβ （4）01ˆˆˆln i iY X =β+β：X 变化1%，Y 变化1ˆβ/100。

第三章 多元线性回归1、变量系数的解释（剔除、控制其他因素的影响）01122ˆˆˆˆi i i Y X X =β+β+β 对斜率系数1ˆβ的解释：在控制其他解释变量（X2）不变的条件下，X1变化一个单位对Y 的影响；或者，在剔除了其他解释变量的影响之后，X1的变化对Y 的单独影响！2、多元线性回归模型中对随机扰动项u 的假定，除了零均值假定、同方差假定、无自相关假定、随机扰动与解释变量不相关假定、正态性假定以外，还要求满足无多重共线性假定。

计量经济学简答题及答案

计量经济学简答题及答案1、比较普通最小二乘法、加权最小二乘法和广义最小二乘法的异同.答:普通最小二乘法的思想是使样本回归函数尽可能好的拟合样本数据，反映在图上就是是样本点偏离样本回归线的距离总体上最小，即残差平方和最小.只有在满足了线性回归模型的古典假设时候,采用OLS才能保证参数估计结果的可靠性。

在不满足基本假设时，如出现异方差，就不能采用OLS。

加权最小二乘法是对原模型加权,对较小残差平方和赋予较大的权重，对较大赋予较小的权重，消除异方差，然后在采用OLS估计其参数。

在出现序列相关时，可以采用广义最小二乘法，这是最具有普遍意义的最小二乘法.最小二乘法是加权最小二乘法的特例,普通最小二乘法和加权最小二乘法是广义最小二乘法的特列。

6、虚拟变量有哪几种基本的引入方式？它们各适用于什么情况？答：在模型中引入虚拟变量的主要方式有加法方式与乘法方式，前者主要适用于定性因素对截距项产生影响的情况，后者主要适用于定性因素对斜率项产生影响的情况.除此外，还可以加法与乘法组合的方式引入虚拟变量,这时可测度定性因素对截距项与斜率项同时产生影响的情况。

7、联立方程计量经济学模型中结构式方程的结构参数为什么不能直接应用OLS估计?答:主要的原因有三:第一,结构方程解释变量中的内生解释变量是随机解释变量，不能直接用OLS来估计;第二，在估计联立方程系统中某一个随机方程参数时，需要考虑没有包含在该方程中的变量的数据信息，而单方程的OLS 估计做不到这一点;第三，联立方程计量经济学模型系统中每个随机方程之间往往存在某种相关性，表现于不同方程随机干扰项之间，如果采用单方程方法估计某一个方程,是不可能考虑这种相关性的，造成信息的损失.2、计量经济模型有哪些应用。

答:①结构分析，即是利用模型对经济变量之间的相互关系做出研究，分析当其他条件不变时，模型中的解释变量发生一定的变动对被解释变量的影响程度.②经济预测,即是利用建立起来的计量经济模型对被解释变量的未来值做出预测估计或推算。

计量经济学主要公式

计量经济学主要公式1. 简介计量经济学是一门研究经济现象的定量分析方法。

在计量经济学中，有许多重要的公式被广泛应用于经济数据的分析和解释。

本文将介绍计量经济学中的一些主要公式，并对其进行解释和应用。

2. 最小二乘法估计最小二乘法估计是计量经济学中最常用的估计方法之一。

它用于确定数据之间的线性关系，并找到使得预测值与真实值之间的平方差最小化的最佳拟合线。

最小二乘法估计的公式如下：Y = β0 + β1X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1是待估计的参数，ε表示误差项。

最小二乘法估计的目标是最小化误差项的平方和，即使得∑ε^2最小化。

3. 弹性系数弹性系数是衡量变量之间相互影响程度的指标。

在计量经济学中，弹性系数经常被用来衡量因变量对自变量的变化的敏感度。

常见的弹性系数有价格弹性、收入弹性等。

弹性系数的计算公式如下：E = (ΔY / Y) / (ΔX / X)其中，E表示弹性系数，ΔY表示因变量的变化量，ΔX表示自变量的变化量，Y表示因变量的原始值，X表示自变量的原始值。

弹性系数的绝对值越大，表示变量之间的相互影响越大。

4. 汇总函数汇总函数用于描述宏观经济关系中的总量变量之间的关系。

计量经济学中常用的汇总函数包括线性汇总函数和非线性汇总函数。

线性汇总函数的一般形式如下：Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bnXn其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，a表示截距，b1、b2、…、bn表示回归系数。

线性汇总函数可以用于宏观经济模型的建立和政策分析。

5. 假设检验假设检验是计量经济学中用于检验统计推断的一种方法。

通过对样本数据进行分析，假设检验可以判断统计推断是否具有显著性。

常用的假设检验有t检验、F检验等。

假设检验的一般步骤包括建立原假设和备择假设、计算检验统计量、确定临界值和进行推断。

假设检验的结果通常用p值来表示。

6. 时间序列分析时间序列分析是计量经济学中研究时间序列数据的方法。

计量经济学_第2章——最小二乘法分解


4
1992.0
2311.1
1116.0
2007.0
18934.0
7081.0
人均居民消费水平
8000 7000 6000 5000
8000
6000
4000
4000 3000 2000 1000 0 0 5000 10000 15000 20000
Y
2000
0 0 5000 10000 X 15000
565 521 525 566 495 536 507 508
513 521 550 r = 0.3 511 538 504 495
558 513 r= 521 550 511 538 504 495 473
558 513 r= 521 550 511 538 504 495
47 28 6 45 30 79 66
SRF
ˆ ˆX ˆ Y i 1 2 i
X X1 X2 X3 X4
20
3、普通最小二乘法
普通最小二乘法给出的判断标准是：残差平 2 方和 ei n 最小。 n ˆ ˆ X )) 2 ˆ ) 2 (Y ( Q (Yi Y i i 0 1 i
ˆ 、 ˆ 即在给定样本观测值之下，选择出 0 1 能使残差平方和最小。
8 0.8 47 28 6 45 30 79 66
13
607 r4428 = 0.97 2510 31878 3823 3274 725 543
521 525 566 495 536 507 508 489
513 521 550 511 538 504 495 473
4273 607 4428 2510 31878 3823 3274 725
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1、加法方式
上述企业职工薪金模型中性别虚拟变量的引入采 取了加法方式。 在该模型中，如果仍假定E(µi)=0，则 企业女职工的平均薪金为： 企业女职工的平均薪金为：
E (Y i | X i , D i = 0 ) = β 0 + β 1 X i
企业男职工的平均薪金为： 企业男职工的平均薪金为：
E (Yi | X i , Di = 1) = ( β 0 + β 2 ) + β 1 X i
概念： 概念： 同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为虚拟 变量模型。 变量模型 一个以性别为虚拟变量考察企业职工薪金的模型：
Yi = β 0 + β 1 X i + β 2 Di + µ i
其中：Yi为企业职工的薪金，Xi为工龄， Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。
二、虚拟变量的引入
• 虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基本方 式：加法方式 乘法方式 加法方式和乘法方式 加法方式 乘法方式。
第八章 虚拟变量
• 许多经济变量是可以定量度量 可以定量度量的，如：商品需求 可以定量度量 如 量、价格、收入、产量等 • 但也有一些影响经济变量的因素无法定量度量 无法定量度量， 无法定量度量 如：职业、性别对收入的影响，战争、自然灾害 对GDP的影响，季节对某些产品（如冷饮）销售 的影响等等。 • 为了在模型中能够反映这些因素的影响，并提高 模型的精度，需要将它们“量化”，
1 春季 D1t = 0 其他
1 夏季 D2t = 0 其他 1 D3t = 0
秋季 其他Байду номын сангаас
则冷饮销售量的模型为：
Yt = β 0 + β 1 X 1t + L β k X kt + α 1 D1t + α 2 D2t + α 3 D3t + µ t
• 在上述模型中，若再引入第四个虚拟变量
如，设
1 Dt = 0
正常年份 反常年份
消费模型可建立如下：
Ct = β 0 + β 1 X t + β 2 Dt X t + µ t
• 这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模型中， 从而可用来考察消费倾向的变化。 • 假定E(µi)= 0，上述模型所表示的函数可化为： 正常年份：
E (C t | X t , Dt = 1) = β 0 + ( β 1 + β 2 ) X t
•男职工本科以下学历的平均薪金：
E (Yi | X i , D1 = 1, D2 = 0) = ( β 0 + β 2 ) + β 1 X i
•女职工本科以上学历的平均薪金：
E (Yi | X i , D1 = 0, D2 = 1) = ( β 0 + β 3 ) + β 1 X i
•男职工本科以上学历的平均薪金：
1 Dt = 0
t ≥ t* t<t
*
则进口消费品的回归模型可建立如下： 则进口消费品的回归模型可建立如下：
Yt = β 0 + β 1 X t + β 2 ( X t − X t* ) Dt + µ t
OLS法得到该模型的回归方程为 法得到该模型的回归方程为
ˆ ˆ ˆ ˆ = β + β X + β ( X − X * )D Yt t t t 0 1 t 2
可以运用邹氏结构变化的检验 邹氏结构变化的检验。这一问题也可通 邹氏结构变化的检验 过引入乘法形式的虚拟变量来解决。 将n1与n2次观察值合并，并用以估计以下回归：
Yi = β 0 + β 1 X i + β 3 Di + β 4 ( Di X i ) + µ i
Di为引入的虚拟变量：
1 Di = 0
反常年份：
E (C t | X t , Dt = 0) = β 0 + β 1 X t
当截距与斜率发生变化时， 当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加 法与乘法形式的虚拟变量。 法与乘法形式的虚拟变量 • 例5.1.1，考察1990年前后的中国居民的总储蓄-收 入关系是否已发生变化。 表5.1.1中给出了中国1979~2001年以城乡储蓄 存款余额代表的居民储蓄以及以GNP代表的居民 收入的数据。
年中国居民储蓄与收入数据（亿元） 1979~2001 年中国居民储蓄与收入数据（亿元） GNP 90年后 储蓄 4038.2 1991 9107 4517.8 1992 11545.4 4860.3 1993 14762.4 5301.8 1994 21518.8 5957.4 1995 29662.3 7206.7 1996 38520.8 8989.1 1997 46279.8 10201.4 1998 53407.5 11954.5 1999 59621.8 14922.3 2000 64332.4 16917.8 2001 73762.4 18598.4
在E(µi)=0 的初始假定下，高中以下、高中、大学 及其以上教育水平下个人保健支出的函数： • 高中以下： • 高中：
E (Yi | X i , D1 = 0, D2 = 0) = β 0 + β 1 X i
E (Yi | X i , D1 = 1, D2 = 0) = ( β 0 + β 2 ) + β 1 X i
1990年前： 1990年后：
ˆ Yi = −1649.7 + 0.4116 X i
ˆ Yi = −15452 + 0.8881X i
3、临界指标的虚拟变量的引入
在经济发生转折时期，可通过建立临界指标的虚 拟变量模型来反映。 例如， 例如 ， 进口消费品数量Y主要取决于国民收入X 的多少，中国在改革开放前后，Y对X的回归关系明 显不同。 这时，可以t*=1979年为转折期，以1979年的国 民收入Xt*为临界值，设如下虚拟变量：
几何意义： 几何意义： • 假定β2>0，则两个函数有相同的斜率，但有不同 的截距。意即，男女职工平均薪金对教龄的变化 率是一样的，但两者的平均薪金水平相差β2。 • 可以通过传统的回归检验，对β2的统计显著性进 行检验，以判断企业男女职工的平均薪金水平是 否有显著差异。
年薪 Y 男职工 女职工
β2 β0
• 大学及其以上： E (Yi | X i , D1 = 0, D2 = 1) = ( β 0 + β 3 ) + β 1 X i 假定β3>β2，其几何意义： β
保健 支出 大学教育 高中教育 低于中学教育
收入
• 还可将多个虚拟变量引入模型中以考察多种“定 还可将多个虚拟变量引入模型中以考察多种“ 因素的影响。 性”因素的影响。 如在上述职工薪金的例中，再引入代表学历的虚拟 变量D2：
1 D2 = 0
本科及以上学历 本科以下学历
职工薪金的回归模型可设计为：
Yi = β 0 + β 1 X i + β 2 D1 + β 3 D2 + µ i
于是，不同性别、不同学历职工的平均薪金分别为： •女职工本科以下学历的平均薪金：
E (Yi | X i , D1 = 0, D2 = 0) = β 0 + β 1 X i
1 D4t = 0
冬季 其他
则冷饮销售模型变量为：
Yt = β 0 + β 1 X 1t + L β k X kt + α 1 D1t + α 2 D2t + α 3 D3t + α 4 D4t + µ t
其矩阵形式为：
则两时期进口消费品函数分别为：
ˆ ˆ ˆ 当t<t*=1979年， Yt = β 0 + β 1 X t
当t≥t*=1979年， t≥t*=1979
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Yt = ( β 0 − β 2 X i* ) + ( β 1 + β 2 ) X t
三、虚拟变量的设置原则
虚拟变量的个数须按以下原则确定： 虚拟变量的个数须按以下原则确定： 每一定性变量所需的虚拟变量个数要比该定性变 量的类别数少1，即如果有m个定性变量 个定性变量， 量的类别数少 ，即如果有 个定性变量，只在模型 中引入m-1个虚拟变量。 个虚拟变量。 中引入 个虚拟变量 例。已知冷饮的销售量Y除受k种定量变量Xk的影 响外，还受春、夏、秋、冬四季变化的影响，要考察 该四季的影响，只需引入三个虚拟变量即可：
工龄 X
又例：在横截面数据基础上，考虑个人保健支出 又例 对个人收入和教育水平的回归。 教育水平考虑三个层次：高中以下， 高中， 大学及其以上 这时需要引入两个虚拟变量：
1 D1 = 0 高中 其他 1 D2 = 0 大学及其以上 其他
模型可设定如下： Yi = β 0 + β 1 X i + β 2 D1 + β 3 D2 + µ i
GNP 21662.5 26651.9 34560.5 46670.0 57494.9 66850.5 73142.7 76967.2 80579.4 88228.1 94346.4
以Y为储蓄，X为收入，可令： • 1990年前： Yi=α1+α2Xi+µ1i i=1,2…,n1
• 1990年后： Yi=β1+β2Xi+µ2i i=1,2…,n2 则有可能出现下述四种情况中的一种： (1) α1=β1 ，且α2=β2 ，即两个回归相同，称为重合回 重合回 归（Coincident Regressions）； (2) α1≠β1 ,但α2=β2 ，即两个回归的差异仅在其截距， 称为平行回归 平行回归（Parallel Regressions）; 平行回归 (3) α1=β1 ，但α2≠β2 ，即两个回归的差异仅在其斜率， 汇合回归(Concurrent Regressions)； 称为汇合回归 汇合回归 (4) α1≠β1，且α2≠β2 ，即两个回归完全不同，称为相 相 异回归（Dissimilar Regressions）。 异回归