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正比例函数的图像及性质【目标导航】1．会画正比例函数的图像． 2．理解正比例函数的图像及性质． 【要点梳理】 正比例函数y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过 的直线，我们通常称之为直线y =kx ． 当k 0时，直线y =kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，即随着x •的增大y 也 ；当k 0时，直线y =kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x •的增大y 反而 ． 例1．下列说法中不成立的是 （ D ） A ．在y =3x －1中y +1与x 成正比例； B ．在y =－2x 中y 与x 成正比例；C ．在y =2（x +1）中y 与x +1成正比例；D ．在y =x +3中y 与x 成正比例． 例2．根据下列条件求函数的解析式：①y 与x 2成正比例，且x =－2时y =12．答案：设y=kx 2，则12=k ×（－2）2，有k=3，故函数的解析式为y=3x 2． ②函数y =（k 2－4）x 2+（k +1）x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小． 答案：由已知有2k 4010k ⎧-=⎨+<⎩，解得k=－2， 故函数的解析式为y=－x ． ③已知y －4与x 成正比例，且当x = 6时，y =－4． （1）求y 与x 的函数关系式； （2）画出（1）中函数的图象； （3）设点P 在y 轴上，（1）中函数的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，△ABP 的面积等于9，求点P 的坐标．答案：（1）设y －4=kx ，则－4－4=6k ，得k=－43， 故y 与x 的函数关系式为y=－43x ＋4（2）图象略； （3）（0，10）或（－2，0）． 例3．一个函数的图像是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，－3a ）与点（ a ，－6），求这个函数的解析式． 答案：设y=kx ，则-3a 26kak =⎧⎨-=⎩， 解得k=±3， 又由于这条直线过第四象限，从而k=－3，故这个函数的解析式是y=－3x ．【课堂操练】1．正比例函数y =kx 的图像经过第一、三象限，则k 的取值范围是 k>0 ． 2．如果1盒标有“12支装”的圆珠笔售价为18元，那么圆珠笔的售价y （元）与圆珠笔的数量x （支）之间的函数关系式是 （ C ）A ．x y 18=B ．x y 12=C ．x y 23=D ．x y 32= 3．已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线y =－3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2•的大小关系是 （ B ）A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1=y 2D ．以上都有可能4．已知y +4与x 成正比例，且当x =2时，y =1，则当x =－3时，y = __．答案： 725．如果函数y =kx －(2－3k )的图像经过原点，则k = ．答案：23 6．请指出正比例函数y =(m ＋2)x ＋m 2－4的图象经过的象限．答案：由已知得m 2－4=0，且m ＋2≠0，即m=2，故这个函数的解析式是y=2x ， 从而图象经过第一，三象限．7．在函数y =－3x 的图象上取一点P ，过P 点作P A ⊥x 轴，A 为垂足，已知P 点的横坐标为－2，求△POA 的面积（O 为坐标原点）． 答案：6 ．8．已知y －3与x 成正比例，且x =2时，y =7． （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x =4时，求y 的值； （3）当y =4时，求x 的值．答案：（1）y=2x ＋3； （2）当x=4时，y=11； （3）当y=4时，x=12． 【课后巩固】 1．若y =(m －2)x +(m 2－4)是正比例函数，则的m 取值是 ( B )A ．2B ．－2C ．±2D ．任意实数 2．某商人购货时，某货物原价为x 元，进价按原价扣去25℅，他希望对此货物定一新价y元，以便按新价让利20℅销售后，仍可获得售价25℅的纯利，则新价y 与原价x 的函数关系式为 （ C ）A ．y =0.75xB ．y =0.8xC ．y =1.25xD ．y =4x /3 3．若函数y =（2m +6）x 2+（1－m ）x 是正比例函数，则m 的值是 （ A ）A ．m =－3B ．m =1C ．m =3D ．m >－3 4．如果函数1)2(--=a x a y 是正比例函数，则a 的值是 －2 ．5．正比例函数y =(2k +1)x 中，若y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是 k<－12 ． 6．当x > 0时，y =－2x 的图像在第 四 象限．7．已知函数y 1=2x ，y 2=－2kx ，当x =1时，y 1的值是y 2的值的21，则k 的值是多少？ 答案：k=－2．8．已知y +2与x 成正比例，且x =－2时， y = 0．（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）若点（m ，6）在该函数的图象上，求m的值． 答案：（1）设y ＋2=kx ，则 －2k=2，即k=－1， 故y=－x －2；（2）由已知有－m －2=6，得m=－8． 9．在同一坐标系中画出下列两个函数的图象：.21)2(;2)1(x y x y -==观察以上图象，回答问题：（1）以上两条直线的位置关系是 垂直 ； （2）若正比例函x k y 1=，和x k y 2=，满足121-=⋅k k 那么它们的函数图象的位置关系是 垂直 ．10．一辆客车从A 地出发，以不变的速度开往相距300千米的B 地，共需5小时． （1）此客车的平均速度是多少？（2）试写出客车据B 地的路程s （千米）与行驶时间t （小时）之间的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围； （3）画出上述函数的图象． 答案：（1）60千米/时；（2）s=300－60t ，其中0≤t ≤5；（3）图象略．11．已知△ABC 的底边BC =8cm ，当BC 边上的高从小到大变化时， △ABC 的面积也随之变化．（1）写出△ABC 的面积y （cm 2）与高x 的函数解析式，并指明它是什么函数； （2）当x =7时，求出y 的值． 答案：（1）y=4x ，正比例函数； （2）28． 12．已知y 与x －1成正比例，x =8时，y =6，写出y 与x 之间函数关系式，并分别求出x =4和x =－3时y 的值． 答案：设y=k （x －1），则 k （8－1）=6，解得k=67，故y=67（x －1），当x=4时，y=187；当x=－3时，y=－247． 13．在同一坐标系中画出下列三个函数的图象：.4)3(;3)2(;21)1(x y x y x y -===14．如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是① y = ax ，② y = bx ，③ y = cx ，则a 、b 、c 的大小关系是 b ＞a ＞c ．【课外拓展】 1．已知y = y 1+ y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x －2成正比例，当x =1时，y =0，当x =－3时，y =4，求x =3时，y 的值． 答案：由y 1与x 2成正比例，可设y 1=mx 2；由y 2与x －2成正比例， 可设y 2=n （x －2）； 又y = y 1+ y 2， 所以y =mx 2＋n （x －2）；有m 0954n m n -=⎧⎨-=⎩，解得m=n=1，从而y =x 2＋（x －2），当x=3时，y=10．2．两种移动电话计费方式如表：全球通 神州行 月租费 20元/月 0 本地通话费0.20元/分0.40元/分（1）一个月内在本地通话240分，按两种计费方式各需缴费多少元？（2）设一个月内在本地通话t 分，按“全球通”需缴费y 1元，按“神州行”需缴费y 2元，分别写出y 1 和y 2与t 的函数关系式．答案：（1）对“全球通”，缴费68元；对“神州行”，缴费96元； （2）y 1=20＋0.2t ， y2=0.4t ．①②③。
