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.1.线性系统和非线性系统的根本区别在于线性系统满足迭加原理，非线性系统不满足迭加原理。
2．令线性定常系统传递函数的分母多项式为零，则可得到系统的特征方程3． 时域分析法研究自动控制系统时最常用的典型输入信号是阶跃函数4．设控制系统的开环传递函数为G(s)=)2s )(1s (s 10++，该系统为I 型系统5．二阶振荡环节的相频特性)(ωθ，当∞→ω时，其相位移)(∞θ为-180° 6. 根据输入量变化的规律分类，控制系统可分为 恒值控制系统、随动控制系统和程序控制系统7．采用负反馈连接时，如前向通道的传递函数为G(s)，反馈通道的传递函数为H(s)，则其等效传递函数为 )s (H )s (G 1)s (G +8． 一阶系统G(s)=1+Ts K 的时间常数T 越大，则系统的输出响应达到稳态值的时间(越长) 9．拉氏变换将时间函数变换成复变函数 10．线性定常系统的传递函数，是在零初始条件下系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比 11．若某系统的传递函数为G(s)=1Ts K +，则其频率特性的实部R(ω)是 22T1K ω+12. 微分环节的频率特性相位移θ(ω)= 90° 13. 积分环节的频率特性相位移θ(ω)= -90° 14.传递函数反映了系统的动态性能，它与系统的结构参数有关15. 系统特征方程式的所有根均在根平面的左半部分是系统稳定的充分必要条件 16. 有一线性系统，其输入分别为u 1(t)和u 2(t)时，输出分别为y 1(t)和y 2(t)。
当输入为a 1u 1(t)+a 2u 2(t)时(a 1,a 2为常数)，输出应为a 1y 1(t)+a 2y 2(t)17. I 型系统开环对数幅频渐近特性的低频段斜率为-20(dB/dec)18. 设系统的传递函数为G(s)=255252++s s ，则系统的阻尼比为2119．正弦函数sin t ω的拉氏变换是 22s ω+ω20．二阶系统当0<ζ<1时，如果增加ζ，则输出响应的最大超调量%σ将 减小21．主导极点的特点是距离虚轴很近 22．余弦函数cos tω的拉氏变换是22s sω+23．设积分环节的传递函数为G(s)=s1，则其频率特性幅值M(ω)=ω124. 比例环节的频率特性相位移θ(ω)= 0° 25. 奈奎斯特稳定性判据是利用系统的.开环幅相频率特性来判据闭环系统稳定性的一个判别准则。
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
典型输入信号控制系统的动态性能可以通过其在输入信号作用下的响应过程来评价，其响应过程不仅与其本身的特性有关，也与外加输入信号的形式有关。
通常情况下，系统所受到的外加输入情号中，有些是确定性的，有些是具有随机性而事先无法确定的。
在分析和设计控制系统时，为了便于对控制系统的性能进行比较，通常选定几种具有典型意义的试验信号作为外加的输入信号，这些信号称为典型输入信号。
所选定的典型输入信号应满足：数学表达式尽可能简单，尽可能反映系统在实际工作中所受到的实际输入，容易在现场或实验室获得，同时该信号能够使系统工作在最不利情况。
常用的典型输人情号包括以下五种。
1．阶跃输入阶跃输入定义为这里，只为阶跃输入的幅值，只＝l时的阶跃输人称为单位阶跃输入。
阶压输入的波形如图3．1(a)所示。
工程实际中，电源电压的突然波动、负载的突然改变等都可视为阶跃输人形式的外作用。
一般将系统在阶跃输入信号作用下的响应特性作为评价系统动态性能的主要依据。
2．斜坡输入斜坡输入也称为速度输入，其定义为3．1(b)所示。
防空系统中，当雷达跟踪的目标以恒定速率飞行时用之下。
3．加速度输入加速度输入也称为抛物线输入，其定义为式中，R为加速度输入的加速度值．只＝1时的加速度输入称为单位加速度输入。
加速度输入的波形如图3．1(c)所示。
防空系统中，当雷达跟踪的目标作机动飞行时，可avx视为该系统工作于加速度输人作用之下。
4．单位脉冲输入单位脉冲输入通常用8(Z)表示，其定义为单位脉冲输入如图3．1(d)所示。
脉冲输入在现实中是不存在的，只有数学上的定义，但它却是一个重要而有效的数学工具。
在控制理论研究中．单位脉冲输人也具有重要的作用。
例如，一个任意形式的外作用可以分解为不同时刻一系列脉冲输入之和，这样，通过研究系统在脉冲输入作用下的响应特性，便可以了解其在任意形式作用下的响应特性。
5．正强输入正弦输入的定义为式中，A为正弦输入的幅值，。
为正弦输入的角频率。
第3章 辅导控制系统典型的输入信号1. 阶跃函数阶跃函数的定义是⎩⎨⎧=<>0,00 ,)(t t A r t x式中A 为常数。
A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。
它表示为x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)单位阶跃函数的拉氏变换为X r (s)=L[1(t)]=1/s在t ＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0,00, )(t t t A t x r 式中A 为常数。
该函数的拉氏变换是X r (s)=L[At]=A/s 2这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。
当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所示。
3. 抛物线函数如图 所示，这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0 ,00, t )(2t t A t x r式中A 为常数。
这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。
抛物线函数的拉氏变换是X r (s)=L[At 2]=2A/s 3当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。
4. 脉冲函数这种函数的定义是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt At t t x r 式中A 为常数，ε为趋于零的正数。
脉冲函数的拉氏变换是A A L s X r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→εεlim 0)(当A ＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图 所示。
单位脉冲函数的面积等于l ，即⎰∞∞-=1)(dt t δ在t ＝t 0处的单位脉冲函数用δ(t-t 0)来表示，它满足如下条件幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。
《计算机控制系统》作业参考答案作业一第一章1.1什么是计算机控制系统？画出典型计算机控制系统的方框图。
答：计算机控制系统又称数字控制系统,是指计算机参与控制的自动控制系统,既:用算机代替模拟控制装置,对被控对象进行调节和控制. 控制系统中的计算机是由硬件和软件两部分组成的.硬件部分: 计算机控制系统的硬件主要是由主机、外部设备、过程输入输出设备组成; 软件部分: 软件是各种程序的统称，通常分为系统软件和应用软件。
图1.3-2 典型的数字控制系统1.2.计算机控制系统有哪几种典型的类型？各有什么特点。
答：计算机控制系统系统一般可分为四种类型：①数据处理、操作指导控制系统；计算机对被控对象不起直接控制作用,计算机对传感器产生的参数巡回检测、处理、分析、记录和越限报警，由此可以预报控制对象的运行趋势。
②直接数字控制系统；一台计算机可以代替多台模拟调节器的功能，除了能实现PID调节规律外, 还能实现多回路串级控制、前馈控制、纯滞后补偿控制、多变量解藕控制，以及自适应、自学习,最优控制等复杂的控制。
③监督计算机控制系统；它是由两级计算机控制系统：第一级DDC计算机, 完成直接数字控制功能；第二级SCC计算机根据生产过程提供的数据和数学模型进行必要的运算，给DDC计算机提供最佳给定值和最优控制量等。
④分布式计算机控制系统。
以微处理机为核心的基本控制单元，经高速数据通道与上一级监督计算机和CRT操作站相连。
1.3.计算机控制系统与连续控制系统主要区别是什么？计算机控制系统有哪些优点？答：计算机控制系统与连续控制系统主要区别：计算机控制系统又称数字控制系统,是指计算机参与控制的自动控制系统,既:用计算机代替模拟控制装置,对被控对象进行调节和控制。
与采用模拟调节器组成的控制系统相比较，计算机控制系统具有以下的优点：(1)控制规律灵活，可以在线修改。
(2)可以实现复杂的控制规律，提高系统的性能指标.(3)抗干扰能力强，稳定性好。
1、线性定常连续控制系统按其输入量的变化规律特性可分为（恒值控制）系统、随动系统和程序控制系统。
2、传递函数为 [12(s+10)] / {(s+2)[(s/3)+1](s+30)} 的系统的零点为-10， 极点为-2， 增益为2。
3、对自动控制的性能要求可归纳为稳定性、快速性和准确性三个方面， 在阶跃响应性能指标中，调节时间体现的是这三个方面中的快速性，而稳态误差体现的是稳定性和准确性。
4、构成方框图的四种基本符号是： 信号线、比较点、传递环节的方框 和 引出点。
5、我们将 一对靠得很近的闭环零、极点 称为偶极子。
6、频率特性曲线常采用3种表示形式，即 极坐标图、对数坐标图 和 对数幅相图。
7.函数st e t f --=32)(的拉氏变换式为)5(32+-s s 8. 已知单位反馈系统的开环传递函数为G （S ）=1/（S+1），则闭环系统在 r( t )=sin2t 时的稳态输出c( t )= )452sin(35.0)2sin()2( -=-Φ=t t j r c m ss ϕ9、一个反馈系统的特征方程为0522=++Ks s ，若要系统产生临界振荡，则K 的取值应为 K=0 。
10.表征一阶系统K/（Ts+1）静态特性的参数是K ，动态特性的参数是T 。
11． 自动控制系统包含被控对象和自动控制装置两大部分12. 线性系统数学模型的其中五种形式是微分方程、传递函数：差分方程；脉冲传递函数；方框图和信号流图 13. 相角条件是确定平面上根轨迹的充分必要条件，而用幅值条件确定根轨迹上各点的根轨迹增益k*的值。
当n-m ≥2时, 开环n 个极点之和等于闭环n 个极点之和。
14. 已知一系统单位脉冲响应为t e t g 25.13)(-=，则系统的传递函数为3/（s+1.25）。
15. 自动控制系统的基本控制方式有反馈控制方式、开环控制方式和复合控制方式_。
16. 已知一系统单位脉冲响应为t e t g 5.16)(-=，则该系统的传递函数为6/（s+1.5）17. 当∞→ω时比例微分环节的相位是90 18. 根轨迹一定开始于 开环极点 ，终止于 开环零点 。
自动控制系统的输入输出信号一、常用信号类型及含义1、模拟量信号模拟量是在时间和数量上都是连续的物理量，其表示的信号则为模拟信号。
模拟量在连续的变化过程中任何一个取值都是一个具体有意义的物理量，如温度，压力，电流等。
常用模拟量信号有：热电阻、热电偶、4~20mA、1~5VDC、mV等。
模拟量信号如下图：模拟量信号通常来自现场仪表，如铂热电阻，压力，流量、液位变送器等；集中控制设备也会发送模拟量信号给调节阀，变频器等；集中控制设备之间也有模拟量信号交流，如盘装仪表之间的信号。
2、开关量信号一般指的是触点的“开”与“关”的状态，在计算机设备中也会用“0”或“1”来表示开关量的状态。
开关量分为有源开关量信号和无源开关量信号，有源开关量信号指的是“开”与“关”的状态时带电源，通常电源是220VAC, 24VDC；无源开关量信号指的是当开关处于“开”和“关”的状态时不带电源，行话俗称之为干接点。
对于控制系统来说，通常开关量输入卡件接收的是无源开关量信号，开关量输出信号根据实际应用可以有源，也可以无源。
开关量信号如下图：开关量信号通常由现场仪表发出，如温度开关、压力，流量，物位开关、位置开关等；集中控制设备发送开关量信号到执行器，如开关阀，电磁阀等，集中控制设备之间也有开关量信号交流，如盘装仪表发出信号至闪光信号报警器等。
3、数字量信号数字量，也就是离散量，指得是分散开来的、不存在中间值的量。
例如，一个开关所能够取的值是离散的，只能是开或者关，不存在中间的状况。
所以数字量在时间和数量上都是离散的物理量，其表示的信号则为数字信号，数字量是由0和1组成的信号，如循环二进制码。
数字量信号如下图：4、脉冲量信号脉冲量就是瞬间电压或电流由某一值跃变到另一值的信号量。
在量化后，其变化持续有规律就是数字量，在工业应用中一些流量计就可以输出脉冲信号，如椭圆齿轮量计通常使用其输出的脉冲信号。
如果其由0变成某一固定值并保持不变，其就是开关量。
第3章 辅导控制系统典型的输入信号1. 阶跃函数阶跃函数的定义是⎩⎨⎧=<>0,00,)(t t A r t x式中A 为常数。
A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。
它表示为x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)单位阶跃函数的拉氏变换为X r (s)=L[1(t)]=1/s在t ＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0,00, )(t t t A t x r 式中A 为常数。
该函数的拉氏变换是X r (s)=L[At]=A/s 2这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。
当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所示。
3. 抛物线函数如图 所示，这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0 ,00, t )(2t t A t x r式中A 为常数。
这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。
抛物线函数的拉氏变换是X r (s)=L[At 2]=2A/s 3当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。
4. 脉冲函数这种函数的定义是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt At t t x r 式中A 为常数，ε为趋于零的正数。
脉冲函数的拉氏变换是A A L s X r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→εεlim 0)(当A ＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图 所示。
单位脉冲函数的面积等于l ，即⎰∞∞-=1)(dt t δ在t ＝t 0处的单位脉冲函数用δ(t-t 0)来表示，它满足如下条件幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。
单位脉冲函数δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。
控制系统的时域性能指标对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。
工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。
1 动态性能指标动态性能指标通常有如下几项：延迟时间d t 阶跃响应第一次达到终值)(∞h 的50％所需的时间。
上升时间r t 阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。
峰值时间p t 阶跃响应越过稳态值)(∞h 达到第一个峰值所需的时间。
调节时间s t 阶跃响到达并保持在终值)(∞h 5±％误差带内所需的最短时间；有时也用终值的2±％误差带来定义调节时间。
超调量σ％ 峰值)(p t h 超出终值)(∞h 的百分比，即 σ％100)()()(⨯∞∞-=h h t h p ％在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间s t （描述“快”），超调量σ％（描述“匀”）以及峰值时间p t 。
2 稳态性能指标稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。
稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。
一阶系统的阶跃响应一. 一阶系统的数学模型由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。
一些控制元部件及简单系统如RC 网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。
因为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s ，故输出的拉氏变换式为11111)()()(+-=•+=•Φ=Ts Ts s Ts s R s s C 取C(s)的拉氏反变换得t Tec(t)11--=或写成tt ss c c c(t)+=式中，c ss =1，代表稳态分量；t Tttec 1--=代表暂态分量。
当时间t 趋于无穷，暂态分量衰减为零。
显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图所示。
响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。
一阶系统的单位阶跃响应二阶系统的阶跃响应典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为：()()()v m v m v m v K s s T K s T s K s T s K s R s C s ++=+++==Φ2)1(/1)1(/2222nn ns s ωζωω++= 式中K v --开环增益；ωn --无阻尼自然频率或固有频率，mvn T K =ω； ζ--阻尼比，mn T ωζ21=。
二阶系统的闭环特征方程为 s 2+2ζωn s+ω2n =0其特征根为n s ωζζ⎪⎭⎫ ⎝⎛-±-=122,11. 临界阻尼(ζ=1)其时域响应为())1(1t et c n tn ωω+-=-上式包含一个衰减指数项。
c(t)为一无超调的单调上升曲线，如图3-8b 所示。
(a) (b) (c)ζ≥1时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应2. 过阻尼(ζ＞1)具有两个不同负实根])1(,[221n s s ωζζ-±-=的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换式。
其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。
图为其特征根分布图。
3. 欠阻尼（0<ζ＜1）图3-9 0<ζ＜1时二阶系统特征根的分布 图3-10 欠阻尼时二阶系统的单位阶跃响应4. 无阻尼(ζ＝0)())(222nns s s C ωω+=其时域响应为()t t c n ωcos 1-=在这种情况下，系统的响应为等幅(不衰减)振荡，图ζ＝0时特征根的分布 图ζ＝0时二阶系统的阶跃响应5. 负阻尼（ζ＜0）当ζ＜0时，特征根将位于复平面的虚轴之右，其时域响应中的e 的指数将是正的时间函数，因而tn e ζω-为发散的，系统是不稳定的。
显然，ζ≤0时的二阶系统都是不稳定的，而在ζ≥1时，系统动态响应的速度又太慢，所以对二阶系统而言，欠阻尼情况是最有实际意义的。
下面讨论这种情况下的二阶系统的动态性能指标。
欠阻尼二阶系统的动态性能指标1. 上升时间t r上升时间t r 是指瞬态响应第一次到达稳态值所需的时间。
21ζωθπωθπ--=-=n d r t 由此式可见，阻尼比ζ越小，上升时间t r 则越小；ζ越大则t r 越大。
固有频率ωn 越大，t r 越小，反之则t r 越大。
2. 峰值时间t p 及最大超调量M p21ζωπωπ-==n d p t最大超调量 πζζ)1/(max 2)(--=∞-=e c c M p最大超调百分数 %100.)()(%)1/(max 2πζζδ--=∞∞-=e c c c c3. 调整时间t s707.00 4)]1ln(214[1%)2( 707.00 3)]1ln(213[1%)5(22<<≈--=<<≈--=ζζωζζωζζωζζω，，nn s n n s t t图3-13 二阶系统单位阶跃响应的一对包络线 图3-14 调节时间和阻尼比的近似关系根据以上分析，二阶振荡系统特征参数ζ和ωn 与瞬态性能指标(δ4. 振荡次数μ在调整时问t s 之内，输出c(t)波动的次数称为振荡次数μ，显然fst t =μ 式中 2122ζωπωπ-==n df t ，称为阻尼振荡的周期时间。
()122122++=TS S T s φ 这一系统的单位阶跃响应瞬态特性指标为： 最大超调百分数%3.4%100)1/(%2=⨯=--πζζδe上升时间T t n r 7.412=--=ζωθπ调整时间()T t s 43.8%2=(用近似式求得为8T) ()T t s 14.4%5=(用近似式求得为6T)有一位置随动系统其中K k ＝4。
求该系统的(１)固有频率；(2)阻尼比；(3)超调量和调整时间；(4)如果要求实现工程最佳参数ζ＝l ／2，开环放大系数k k 值应是多少？【解】系统的闭环传递函数为 ()kkK s s K s ++=2φ 4=k K 与二阶系统标准形式的传递函数()2222nn ns s s ωζωωφ++= 对比得：(1) 固有频率24===k n K ω(2) 阻尼比 由12=n ζω得 25.021==nωζ(3) 超调()%47%100%)1/(2=⨯=--ne ζζδ(4) 调整时间()s t ns 63%5=≈ξω当要求21=ζ时，由12=n ζω 得 5.0,212===n k n K ωω可见该系统要满足工程最佳参数的要求，须降低开环放大系数k K 的值。
但是，降低kK 值将增大系统的误差。
劳斯稳定判据将系统的特征方程式写成如下标准式0122110=+++++---n n n n n a s a sa s a s a ΛΛ 将各系数组成如下排列的劳斯表1112124321343212753116420g s f s e e s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s on n n nM M M M M M ΛΛΛΛΛΛΛΛ---表中的有关系数为130211a a a a a b -=150412a a a a a b -=170613a a a a a b -=ΛΛΛΛΛΛΛΛ系数i b 的计算，一直进行到其余的b 值全部等于零为止。
121311b b a a b c -=131512b b a a b c -=141713b b a a b c -=ΛΛΛΛΛΛΛΛ这一计算过程，一直进行到 n 行为止。
为了简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。
(l) 第一列所有系数均不为零的情况 第一列所有系数均不为零时，劳斯判据指出，特征方程式的实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。
方程式的根全部在复平面的左半平面的充分必要条件是，方程式的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一列都具有正号。
例如， 三阶系统的特征方程式为0322130=+++a s a s a s a列出劳斯表为3130211312203a s a a a a a s a a s a a s -则系统稳定的充分必要条件是00>a ，01>a ，02>a ，03>a ，0)(3021>-a a a a系统的特征方程为054322345=+++++s s s s s 试用劳斯判据判断系统的稳定性。
解 计算劳斯表中各元素的数值，并排列成下表532059031532411012345s s ss s s -由上表可以看出，第一列各数值的符号改变了两次，由+2变成-1，又由-1改变成+9。
